CN111922783B - 基于杠杆原理的机床多维几何误差测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于杠杆原理的机床多维几何误差测量方法。现有球杆仪产品测量方向单一。本发明同时检测加长杆端精密球球头位移量与球杆仪端精密球球头伸缩量，通过加长杆端精密球的球心位移量能反映出被测机床做圆弧插补运动时垂直于球杆仪轴向方向的几何误差大小，通过球杆仪端精密球的球心位移量能反映出被测机床做圆弧插补运动时沿着球杆仪轴向方向的几何误差大小；且通过改变加长杆两端的长度比例，可以成倍地放大垂直于球杆仪轴向方向的机床几何误差，利于传感器对机床几何误差的高精度检测。本发明细分了球杆仪本身所测得的几何误差量，可以实时获得机床在任意位置的多个方向的几何误差量，利于更精准的分析机床产生几何误差的原因。

Description

基于杠杆原理的机床多维几何误差测量方法

技术领域

本发明属于机床误差检测技术领域，具体涉及一种测量机床多维(多个方向)几何误差的测量方法。

背景技术

现代工业对数控机床加工精度的要求越来越高。但机床本身的制造精度和加工过程中存在的一些影响因素等问题，都会影响到机床的加工精度。因此，对机床的误差进行检测成为一项重要的工作，而如何快速、有效地检测出机床的误差是其中的关键。

球杆仪作为一种已经商品化的检测机床误差的仪器，相对于其他检测设备具有价格低、安装便捷、检测效率高等优势。球杆仪可以检测出机床单轴直线度、两轴垂直度、反向越冲、反向间隙等的机床主要几何误差。

在使用球杆仪对机床的几何误差进行检测时，通常情况是令机床主轴在某一平面内做圆弧插补运动。但是由于安装偏心、传动间隙、热变形等原因，导致机床主轴的运动不仅仅是在理想平面内。因此，需要检测的机床几何误差实则为多个方向的耦合误差。但是球杆仪产品本身只能检测出沿其轴向方向上的误差变化，对其他方向的机床几何误差无法进行检测。

发明内容

为了弥补现有球杆仪产品测量方向单一的缺陷，本发明以现有球杆仪产品为基础，加装自己设计的辅助测量装置(包括旋转球、连接平台、圆光栅同步旋转盖、圆光栅角度编码器、装置基座、读数头、特制加长杆、三点支撑式磁性球窝、旋转同步支架、套杆、伸缩杆、传感器安装支架和位移传感器等)，再结合可测量位移的传感器，将机床多维(多个方向)几何运动误差进行分开测量，可一次性同时测量机床多维几何运动误差，且通过改变加长杆的杆长比例将机床几何运动误差放大后再进行测量，优于直接使用普通商品化的球杆仪检测方式。

为了解决上述技术问题，本发明采取的技术方案是：

本发明基于杠杆原理的机床多维几何误差测量方法，具体如下：

步骤一、将圆光栅角度编码器的座体通过法兰轴承支承在装置基座上，圆光栅同步旋转盖与圆光栅角度编码器的转子固定；读数头通过读数头支架固定在装置基座上；读数头对准圆光栅角度编码器；然后，将旋转同步支架底部固定在圆光栅同步旋转盖上，套杆一端与旋转同步支架底部通过紧固螺栓一及螺母固定连接；伸缩杆与套杆构成滑动副，且在套杆开设的螺纹孔内连接旋紧螺栓对伸缩杆进行固定；传感器安装支架与伸缩杆通过紧固螺栓二及螺母固定连接；位移传感器固定在传感器安装支架上；最后，将连接平台与装置基座固定；底座工具杯通过磁力吸附固定在连接平台上，并与圆光栅角度编码器同轴设置。

步骤二、将主轴端工具杯固定在待测机床的主轴上，装置基座固定在待测机床的工作台上。

步骤三、将特制加长杆一端的外螺纹与单精密球球杆仪本体的螺纹孔连接，特制加长杆另一端的螺纹孔与加长杆端精密球的外螺纹连接；然后，在特制加长杆开设的球窝装配口处固定三点支撑式磁性球窝；旋转球通过磁力吸附在三点支撑式磁性球窝上。旋转球的半径与加长杆端精密球和单精密球球杆仪本体未安装特制加长杆那端的伸缩球头的半径均相等。最后，将特制加长杆嵌入旋转同步支架顶部的夹槽内。

步骤四、将旋转球通过磁力吸附在底座工具杯上；然后将主轴移动到单精密球球杆仪本体的伸缩球头位置，并将伸缩球头吸附在机床的主轴工具杯上；接着，通过紧固螺栓一和旋紧螺栓调节套杆及伸缩杆，使得位移传感器位于加长杆端精密球正下方；最后，通过紧固螺栓二调节传感器安装支架，使得位移传感器竖直设置。

步骤五、让机床做圆弧插补运动，单精密球球杆仪本体测量机床沿单精密球球杆仪本体轴向上的伸缩量，位移传感器测量位移传感器与加长杆端精密球的距离，圆光栅角度编码器测量机床主轴产生误差时所处的方位；信号采集***采集位移传感器和读数头的输出信号给处理器，球杆仪采集***采集单精密球球杆仪本体的输出信号给处理器，处理器处理后得到机床沿垂直于单精密球球杆仪本体轴向运动时位移传感器理论上应测得的与加长杆端精密球的距离y₃和机床在垂直于单精密球球杆仪本体轴向的几何误差x。

进一步，所述特制加长杆的材料为殷钢。

进一步，在三点支撑式磁性球窝内固定定位环，定位环设有一体成型且沿周向均布的三块支撑块。

进一步，所述三点支撑式磁性球窝的球心到特制加长杆两端端面的距离经过标定获得。

进一步，步骤二之后还有如下步骤：调节球放置到底座工具杯上，并将底座工具杯的紧固拉杆调至松开状态；然后，将主轴移动至底座工具杯上方，并调整主轴的位置，使调节球受磁力作用吸附到主轴工具杯上，拉紧底座工具杯的紧固拉杆，将主轴当前位置记为测量坐标的原点；接着，将主轴上升3-5cm，取下调节球，重新将主轴调节至测量坐标的原点位置；最后，将主轴水平平移至预设的待测位置。

进一步，机床沿垂直于单精密球球杆仪本体轴向运动时位移传感器理论上应测得的与加长杆端精密球的距离y₃和机床在垂直于单精密球球杆仪本体轴向的几何误差x的具体计算过程如下：

加长杆端精密球球心到特制加长杆靠近加长杆端精密球的那个端面的距离记为L₄；特制加长杆的杆长记为L₁+L₂，其中，三点支撑式磁性球窝的球心到特制加长杆靠近加长杆端精密球的那个端面的距离记为L₂，三点支撑式磁性球窝的球心到单精密球球杆仪本体靠近加长杆端精密球的那个端面的距离记为L₁，单精密球球杆仪本体靠近加长杆端精密球的那个端面到伸缩球头球心的长度记为L₃；L₁、L₂、L₃和L₄为已知量，经过标定获得。

当主轴出现与单精密球球杆仪本体轴向垂直的误差时，加长杆端精密球球心沿水平方向的位移量为：

r₂＝(L₂+L₄)-cosθ(L₂+L₄)＝(1-cosθ)(L₂+L₄) (1)

其中，θ为球杆仪轴线与水平面的夹角。

初始状态时位移传感器与加长杆端精密球的距离记为y，主轴出现与单精密球球杆仪本体轴向垂直的误差时，位移传感器与加长杆端精密球的距离记为y₁，y和y₁通过位移传感器测得，为已知量；当主轴出现与球杆仪轴向方向垂直的几何误差时，加长杆端精密球球心的位移轨迹为绕三点支撑式磁性球窝的球心O的圆弧；记加长杆端精密球发生位移后被位移传感器检测到的被测点为点A，记初始状态时加长杆端精密球被位移传感器检测到的被测点在加长杆端精密球发生位移后的位置点为点B，记点A与点B的高度差为r₄，记点A和加长杆端精密球发生位移后的球心位置D₁的连线与点B和加长杆端精密球发生位移后的球心位置D₁的连线间的夹角为α，则推导得：

其中，r为加长杆端精密球的半径，为已知量，经过标定获得；

记点A和加长杆端精密球发生位移后的球心位置D₁的高度差为r₃，则推导得：

r₃＝rcosα (3)

记初始状态时加长杆端精密球球心D和发生位移后时加长杆端精密球球心D₁的高度差为r₁，推导得：

r₁＝(L₂+L₄)sinθ (4)

将式(1)、式(2)、式(3)和式(4)代入下式：

y₂+r＝r₁+r₃ (5)

得：

其中，y₂为中间变量；

又由于

y₂＝y-y₁ (7)

联立式(6)和式(7)，求解出θ的表达式；

则有：

计算位移传感器理论上应测得的与加长杆端精密球的距离y₃：

当主轴出现与球杆仪轴向方向垂直的几何误差时，记几何误差大小为x,则x与夹角θ的关系为：

式中，△L为机床沿单精密球球杆仪本体轴向上的几何误差，由单精密球球杆仪本体直接测量出。由式(10)求得机床在垂直于单精密球球杆仪本体轴向的几何误差x的大小。

本发明具有的有益效果是：

1.本发明采用同时检测加长杆端精密球球头位移量与球杆仪端精密球球头伸缩量的方法，可以实时获得机床在任意位置的多个方向的几何误差量；其中，加长杆端精密球的球心位移量可以反映出被测机床做圆弧插补运动时垂直于球杆仪轴向方向的几何误差大小，球杆仪端精密球的球心位移量可以反映出被测机床做圆弧插补运动时沿着球杆仪轴向方向的几何误差大小。可见，本发明细分了球杆仪本身所测得的几何误差量，利于更精准的分析机床产生几何误差的原因。

2.本发明利用杠杆原理来检测加长杆端精密球球头位移量，可以通过改变加长杆两端的长度比例，成倍地放大机床几何误差，利于传感器对机床几何误差的高精度检测。

3.本发明采用圆光栅角度编码器直接测量球杆仪自身的旋转角度，不需通过采样频率和机床做圆弧插补运动的进给速率间接求解，可确保在高速进给加减速时，所得的旋转角度都是精准的，更利于解析测量轨迹图。可见，本发明所测得误差值与空间位置一一对应，可以精确分析机床产生误差的原因，并进行相应的补偿。

附图说明

图1为本发明整体测量装置的结构图；

图2为本发明中位移传感器与加长杆端精密球的装配示意图；

图3为本发明中特制加长杆的结构立体图；

图4为本发明测量机床垂直于球杆仪方向的几何误差原理图；

图5为本发明的加长杆端精密球处计算几何原理图；

图6为本发明实施例仿真结果中机床几何误差x与r₄的关系图；

图7为本发明实施例仿真结果中补偿后位移传感器的测量值y₃与机床几何误差x的关系图。

图中：1、主轴工具杯；2、球杆仪；3、旋转球；4、底座工具杯；5、连接平台；6、圆光栅同步旋转盖；7、圆光栅角度编码器；8、法兰轴承；9、装置基座；10、读数头支架；11、读数头；12、紧固螺栓一；13、套杆；14、旋紧螺栓；15、伸缩杆；16、紧固螺栓二；17、位移传感器；18、加长杆端精密球；19、传感器安装支架；20、特制加长杆；21、旋转同步支架。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步说明。

基于杠杆原理的机床多维几何误差测量方法，具体如下：

步骤一、如图1、2和3所示，将圆光栅角度编码器7的座体通过法兰轴承8支承在装置基座9上，即圆光栅角度编码器7的座体与法兰轴承8中轴承的外圈配合，法兰轴承8中轴承的内圈与装置基座9配合；圆光栅同步旋转盖6与圆光栅角度编码器7的转子固定；读数头11通过读数头支架10固定在装置基座9上；读数头11对准圆光栅角度编码器7；然后，将旋转同步支架21底部固定在圆光栅同步旋转盖上，套杆13一端与旋转同步支架21底部通过紧固螺栓一12及螺母固定连接；伸缩杆15与套杆13构成滑动副，且在套杆13开设的螺纹孔内连接旋紧螺栓14，旋紧螺栓14用于伸缩杆15伸缩定位后对伸缩杆15进行旋紧固定；传感器安装支架19与伸缩杆15通过紧固螺栓二16及螺母固定连接；位移传感器17固定在传感器安装支架19上；最后，将连接平台5与装置基座9固定；底座工具杯4通过磁力吸附固定在连接平台5上，并与圆光栅角度编码器7同轴设置。

步骤二、将主轴端工具杯1固定在待测机床的主轴上，装置基座9固定在待测机床的工作台上，调节球放置到底座工具杯4上，并将底座工具杯4的紧固拉杆调至松开状态；这里以及下文提及的主轴端工具杯1、单精密球球杆仪本体、加长杆端精密球18、底座工具杯4和调节球均是现有成熟的球杆仪套件中的零件，底座工具杯4的紧固拉杆松开状态下，底座工具杯4的调节杯具有偏摆和绕自身轴线旋转的功能。然后，将主轴移动至底座工具杯4上方，并调整主轴的位置，使调节球受磁力作用而自然吸附到主轴工具杯4上，以保证底座工具杯4和主轴工具杯1同轴心。最后，拉紧底座工具杯4的紧固拉杆，将主轴当前位置记为测量坐标的原点。

步骤三、将主轴上升3-5cm，取下调节球；然后重新将主轴调节至测量坐标的原点位置；最后，将主轴水平平移至预设的待测位置，待测位置根据需要设置即可。

步骤四、将特制加长杆20一端的外螺纹与单精密球球杆仪本体2的螺纹孔连接，特制加长杆20另一端的螺纹孔与加长杆端精密球18的外螺纹连接；然后，在特制加长杆20开设的球窝装配口处固定三点支撑式磁性球窝；三点支撑式磁性球窝的球心到特制加长杆20两端端面的距离可以经过标定获得；特制加长杆20的材料使用热膨胀系数极低的殷钢，以减小温度的变化对测量结果的影响；作为优选实施例，在三点支撑式磁性球窝内固定定位环，定位环设有一体成型且沿周向均布的三块支撑块；旋转球3通过磁力吸附在三点支撑式磁性球窝上，作为杠杆法原理的支点。旋转球3的半径与加长杆端精密球18和单精密球球杆仪本体未安装特制加长杆20那端的伸缩球头的半径均相等。最后，将特制加长杆20嵌入旋转同步支架21顶部的夹槽内。

步骤五、给单精密球球杆仪本体装好电池，使单精密球球杆仪本体处于待工作状态。

步骤六、将旋转球通过磁力吸附在底座工具杯4上；然后将主轴移动到单精密球球杆仪本体的伸缩球头位置，并将伸缩球头吸附在机床的主轴工具杯1上。

步骤七、通过紧固螺栓一12和旋紧螺栓14调节套杆13及伸缩杆15，使得位移传感器17位于加长杆端精密球18正下方；然后，通过紧固螺栓二16调节传感器安装支架19，使得位移传感器17竖直设置；位移传感器17用于测量加长杆端精密球18球心的位移变化量。

步骤八、将位移传感器17和读数头的信号输出端连接到信号采集***，单精密球球杆仪本体的信号输出端连接到球杆仪采集***。

步骤九、让机床做圆弧插补运动，使得主轴工具杯牵引单精密球球杆仪本体、特制加长杆20和加长杆端精密球18同步转动；特制加长杆20再带动旋转同步支架21、圆光栅同步旋转盖6和圆光栅角度编码器7同步转动；单精密球球杆仪本体测量机床沿单精密球球杆仪本体轴向上的伸缩量，位移传感器17测量位移传感器与加长杆端精密球的距离，圆光栅角度编码器7测量机床主轴产生误差时所处的方位；信号采集***采集位移传感器17和读数头的输出信号给处理器，球杆仪采集***采集单精密球球杆仪本体的输出信号给处理器，处理器处理后得到机床沿垂直于单精密球球杆仪本体轴向运动时位移传感器理论上应测得的与加长杆端精密球的距离y₃和机床在垂直于单精密球球杆仪本体轴向的几何误差x。

如图4和5所示，由杠杆法的原理和支点到特制加长杆20两端端面的比例关系，可以进一步得出加长杆端精密球18球心在垂直于单精密球球杆仪本体轴向的位移量。该位移量是由机床的几何误差引起的，现有球杆仪不能测量此误差值。因此，通过本发明可以测量机床沿单精密球球杆仪本体轴向的几何误差，又可以测量机床在垂直于单精密球球杆仪本体轴向的几何误差x。下面说明机床沿垂直于单精密球球杆仪本体轴向运动时位移传感器理论上应测得的与加长杆端精密球的距离y₃和机床在垂直于单精密球球杆仪本体轴向的几何误差x的具体计算过程：

加长杆端精密球球心到特制加长杆20靠近加长杆端精密球的那个端面的距离记为L₄；特制加长杆20的杆长记为L₁+L₂，其中，三点支撑式磁性球窝的球心到特制加长杆20靠近加长杆端精密球的那个端面的距离记为L₂，三点支撑式磁性球窝的球心到单精密球球杆仪本体靠近加长杆端精密球18的那个端面的距离记为L₁，单精密球球杆仪本体靠近加长杆端精密球18的那个端面到伸缩球头球心的长度记为L₃；L₁、L₂、L₃和L₄为已知量，经过标定获得。

当主轴出现与单精密球球杆仪本体轴向垂直的误差时，加长杆端精密球球心沿水平方向的位移量为：

r₂＝(L₂+L₄)-cosθ(L₂+L₄)＝(1-cosθ)(L₂+L₄) (1)

其中，θ为球杆仪轴线与水平面的夹角。

初始状态时位移传感器与加长杆端精密球的距离记为y，主轴出现与单精密球球杆仪本体轴向垂直的误差时，位移传感器与加长杆端精密球的距离记为y₁，y和y₁通过位移传感器便能测得，为已知量；当主轴出现与球杆仪轴向方向垂直的几何误差时，加长杆端精密球球心的位移轨迹为绕三点支撑式磁性球窝的球心O的圆弧；因此，受机床误差影响，记加长杆端精密球发生位移后被位移传感器检测到的被测点为点A，记初始状态时加长杆端精密球被位移传感器检测到的被测点在加长杆端精密球发生位移后的位置点为点B，则点A和点B不是加长杆端精密球上的同一个点，记点A与点B的高度差为r₄。记点A和加长杆端精密球发生位移后的球心位置D₁的连线与点B和加长杆端精密球发生位移后的球心位置D₁的连线间的夹角为α，则推导得：

即：

其中，r为加长杆端精密球的半径，为已知量，经过标定获得；

记点A和加长杆端精密球发生位移后的球心位置D₁的高度差为r₃，则推导得：

r₃＝rcosα (3)

记初始状态时加长杆端精密球球心D和发生位移后时加长杆端精密球球心D₁的高度差为r₁，推导得：

r₁＝(L₂+L₄)sinθ (4)

将式(1)、式(2)、式(3)和式(4)代入下式：

y₂+r＝r₁+r₃ (5)

得：

其中，y₂为中间变量；

又由于

y₂＝y-y₁ (7)

联立式(6)和式(7)，求解出θ的表达式；

则有：

计算位移传感器理论上应测得的与加长杆端精密球的距离y₃：

当主轴出现与球杆仪轴向方向垂直的几何误差时，记几何误差大小为x,则x与夹角θ的关系为：

式中，△L为机床沿单精密球球杆仪本体轴向上的几何误差，即单精密球球杆仪本体轴向的伸缩量，其值由单精密球球杆仪本体直接测量出。由式(10)求得机床在垂直于单精密球球杆仪本体轴向的几何误差x的大小。

将公式(1)至公式(10)的计算式输入MATLAB中进行仿真分析得：

(1)球杆仪采用雷尼绍公司的QC20-W型号球杆仪，最大测量范围为2mm。本实施例给定一组y₁数据，求解对应的r₄、y₃和x，并进行仿真，得到x与r₄以及y₃与x的关系曲线图。如图6所示为x与r₄的关系曲线图，可见，当误差x达到最大值2mm时，本发明位移传感器实际测得的与加长杆端精密球的距离和应测得的与加长杆端精密球的距离y₃间的误差，即点A与点B的高度差r₄约为0.015μm，该仿真结果说明，本发明可有效测量机床的误差x。

(2)由上面推导可知，误差x为***误差，可以由公式(10)进行表达。因此，可以根据误差x的表达式，对位移传感器所采集到的与加长杆端精密球的距离数据进行补偿，得到位移传感器理论上应测得的与加长杆端精密球的距离y₃。

将补偿后的数据作为原始数据，得到的y₃与x关系曲线图如图7所示，由仿真结果可知：位移传感器理论上应测得的与加长杆端精密球的距离和机床在垂直于球杆仪轴向方向产生的几何误差x呈现线性关系，理论推导与仿真结果相符，证明了本发明方法具有有效性和真实性，也进一步说明了本发明方法可以有效测量机床在垂直于球杆仪轴向方向上所产生的几何误差。

Claims (6)

1.基于杠杆原理的机床多维几何误差测量方法，其特征在于：该方法具体如下：

步骤一、将圆光栅角度编码器的座体通过法兰轴承支承在装置基座上，圆光栅同步旋转盖与圆光栅角度编码器的转子固定；读数头通过读数头支架固定在装置基座上；读数头对准圆光栅角度编码器；然后，将旋转同步支架底部固定在圆光栅同步旋转盖上，套杆一端与旋转同步支架底部通过紧固螺栓一及螺母固定连接；伸缩杆与套杆构成滑动副，且在套杆开设的螺纹孔内连接旋紧螺栓对伸缩杆进行固定；传感器安装支架与伸缩杆通过紧固螺栓二及螺母固定连接；位移传感器固定在传感器安装支架上；最后，将连接平台与装置基座固定；底座工具杯通过磁力吸附固定在连接平台上，并与圆光栅角度编码器同轴设置；

步骤二、将主轴端工具杯固定在待测机床的主轴上，装置基座固定在待测机床的工作台上；

步骤三、将特制加长杆一端的外螺纹与单精密球球杆仪本体的螺纹孔连接，特制加长杆另一端的螺纹孔与加长杆端精密球的外螺纹连接；然后，在特制加长杆开设的球窝装配口处固定三点支撑式磁性球窝；旋转球通过磁力吸附在三点支撑式磁性球窝上；旋转球的半径与加长杆端精密球和单精密球球杆仪本体未安装特制加长杆那端的伸缩球头的半径均相等；最后，将特制加长杆嵌入旋转同步支架顶部的夹槽内；

步骤四、将旋转球通过磁力吸附在底座工具杯上；然后将主轴移动到单精密球球杆仪本体的伸缩球头位置，并将伸缩球头吸附在机床的主轴工具杯上；接着，通过紧固螺栓一和旋紧螺栓调节套杆及伸缩杆，使得位移传感器位于加长杆端精密球正下方；最后，通过紧固螺栓二调节传感器安装支架，使得位移传感器竖直设置；

步骤五、让机床做圆弧插补运动，单精密球球杆仪本体测量机床沿单精密球球杆仪本体轴向上的伸缩量，位移传感器测量位移传感器与加长杆端精密球的距离，圆光栅角度编码器测量机床主轴产生误差时所处的方位；信号采集***采集位移传感器和读数头的输出信号给处理器，单精密球球杆仪本体采集***采集单精密球球杆仪本体的输出信号给处理器，处理器处理后得到机床沿垂直于单精密球球杆仪本体轴向运动时位移传感器理论上应测得的与加长杆端精密球的距离y₃和机床在垂直于单精密球球杆仪本体轴向的几何误差x。

2.根据权利要求1所述基于杠杆原理的机床多维几何误差测量方法，其特征在于：所述特制加长杆的材料为殷钢。

3.根据权利要求1所述基于杠杆原理的机床多维几何误差测量方法，其特征在于：在三点支撑式磁性球窝内固定定位环，定位环设有一体成型且沿周向均布的三块支撑块。

4.根据权利要求1所述基于杠杆原理的机床多维几何误差测量方法，其特征在于：所述三点支撑式磁性球窝的球心到特制加长杆两端端面的距离经过标定获得。

5.根据权利要求1所述基于杠杆原理的机床多维几何误差测量方法，其特征在于：步骤二之后还有如下步骤：调节球放置到底座工具杯上，并将底座工具杯的紧固拉杆调至松开状态；然后，将主轴移动至底座工具杯上方，并调整主轴的位置，使调节球受磁力作用吸附到主轴工具杯上，拉紧底座工具杯的紧固拉杆，将主轴当前位置记为测量坐标的原点；接着，将主轴上升3-5cm，取下调节球，重新将主轴调节至测量坐标的原点位置；最后，将主轴水平平移至预设的待测位置。

6.根据权利要求1至5中任一项所述基于杠杆原理的机床多维几何误差测量方法，其特征在于：机床沿垂直于单精密球球杆仪本体轴向运动时位移传感器理论上应测得的与加长杆端精密球的距离y₃和机床在垂直于单精密球球杆仪本体轴向的几何误差x的具体计算过程如下：

加长杆端精密球球心到特制加长杆靠近加长杆端精密球的那个端面的距离记为L₄；特制加长杆的杆长记为L₁+L₂，其中，三点支撑式磁性球窝的球心到特制加长杆靠近加长杆端精密球的那个端面的距离记为L₂，三点支撑式磁性球窝的球心到单精密球球杆仪本体靠近加长杆端精密球的那个端面的距离记为L₁，单精密球球杆仪本体靠近加长杆端精密球的那个端面到伸缩球头球心的长度记为L₃；L₁、L₂、L₃和L₄为已知量，经过标定获得；

当主轴出现与单精密球球杆仪本体轴向垂直的误差时，加长杆端精密球球心沿水平方向的位移量为：

r₂＝(L₂+L₄)-cosθ(L₂+L₄)＝(1-cosθ)(L₂+L₄) (1)

其中，θ为单精密球球杆仪本体轴线与水平面的夹角；

初始状态时位移传感器与加长杆端精密球的距离记为y，主轴出现与单精密球球杆仪本体轴向垂直的误差时，位移传感器与加长杆端精密球的距离记为y₁，y和y₁通过位移传感器测得，为已知量；当主轴出现与单精密球球杆仪本体轴向方向垂直的几何误差时，加长杆端精密球球心的位移轨迹为绕三点支撑式磁性球窝的球心O的圆弧；记加长杆端精密球发生位移后被位移传感器检测到的被测点为点A，记初始状态时加长杆端精密球被位移传感器检测到的被测点在加长杆端精密球发生位移后的位置点为点B，记点A与点B的高度差为r₄，记点A和加长杆端精密球发生位移后的球心位置D₁的连线与点B和加长杆端精密球发生位移后的球心位置D₁的连线间的夹角为α，则推导得：

其中，r为加长杆端精密球的半径，为已知量，经过标定获得；

记点A和加长杆端精密球发生位移后的球心位置D₁的高度差为r₃，则推导得：

r₃＝rcosα (3)

记初始状态时加长杆端精密球球心D和发生位移后时加长杆端精密球球心D₁的高度差为r₁，推导得：

r₁＝(L₂+L₄)sinθ (4)

将式(1)、式(2)、式(3)和式(4)代入下式：

y₂+r＝r₁+r₃ (5)

得：

其中，y₂为中间变量；

又由于

y₂＝y-y₁ (7)

联立式(6)和式(7)，求解出θ的表达式；

则有：

计算位移传感器理论上应测得的与加长杆端精密球的距离y₃：

当主轴出现与单精密球球杆仪本体轴向方向垂直的几何误差时，记几何误差大小为x,则x与夹角θ的关系为：

式中，△L为机床沿单精密球球杆仪本体轴向上的几何误差，由单精密球球杆仪本体直接测量出；由式(10)求得机床在垂直于单精密球球杆仪本体轴向的几何误差x的大小。

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