CN111830441B - 一种变压器投运导致的电压暂降频次估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种变压器投运导致的电压暂降频次估计方法，包括建立变压器磁化曲线、确定合闸角与剩磁的概率分布、计算变压器空载合闸导致的电压暂降和评估变压器投运造成的电压暂降频次；本发明运用最大熵原理，并利用变压器合闸角、剩磁与最大瞬时磁通之间的关系客观、准确地评估了变压器剩磁的概率分布，克服了传统方法按照经验估计剩磁的不可靠性；利用多段幅值‑持续时间函数将变压器造成的非矩形暂降进行等效频次统计，避免了传统频次统计方法对该类暂降的过估计。

Description

一种变压器投运导致的电压暂降频次估计方法

技术领域

本发明涉及电压暂降技术领域，特别是一种变压器投运导致的电压暂降频次估计方法。

背景技术

引起电压暂降的原因主要包括短路(包括雷击)和大容量设备的投切，比如变压器投运等。在以往的电压暂降频次评估中，无论是考虑了故障位置的分布、继电保护的配合等因素，都仅是对短路造成的电压暂降频次进行评估，而通常忽略变压器投运造成的电压暂降。理论研究和监测数据表明，变压器空载合闸时产生极大的励磁涌流，该电流对距离较近的母线造成的电压暂降不可忽视。

其次，三相变压器运行原理复杂，其空载合闸时产生的励磁涌流大小与较多不确定因素相关，如合闸角和剩磁，不易准确评估，在当今剩磁测算方法和合闸角控制策略尚未成熟和普及的情况下，亟需借助一种随机评估方法来度量变压器空载合闸导致的电压暂降频次，使得评估结果客观、准确和可靠。

此外，在传统的电压暂降评估中，通常是将电压暂降波形当做矩形来做频次统计，然而，变压器空载合闸造成的电压暂降波形是不规则的，如果按照固定的暂降幅值和持续时间进行统计，那势必造成此类电压暂降的过估计。

历史暂降数据和最大熵原理来估计变压器剩磁的概率分布，最大熵原理为公知性方法，其实现步骤为：

1、建立随机变量x的概率密度函数f(x)的最大熵模型：

其中，R为积分区间,m为所用矩的阶数,m_i为样本的第i阶原点矩。

2、采用拉格朗日乘子法来求解上述模型，并得到概率密度函数表达式，如下所示：

式中，λ₀～λ_m为对应的拉格朗日乘子。

3、应用约束条件则可得到λ₀～λ_m所满足的方程，如下所示：

4、利用非线性数值计算的方法求解方程(5)和(6)，即可得到λ₀～λ_m的解，再代入式(4)中，即得所求随机变量的概率密度函数f(x)。

多段幅值-持续时间(Multiple Magnitude-Duration，MMD)函数对单次电压暂降进行分段，多段幅值-持续时间函数计算公式如下：

式中，s(m,t)表示电压幅值为小于等于m的累计暂降持续时间，m从最低电压幅值U_min开始取值，以p为步长递增到0.9p.u.，q为m取值的个数，显然步长p越小，q越大，p和q可根据暂降波形的规则程度确定。T_s和T_e分别表示电压刚降低和恢复到m时的采样点，f_s为采样频率，U(n)为采样点n处的电压幅值。

现有方法在对电压暂降频次进行估计时，电网拓扑结构中的变压器支路往往是将其忽略，还没有文献对变压器投运造成的电压暂降频次进行深入研究。历史监测数据和理论研究表明，变压器空载合闸产生的励磁涌流会对附近母线造成不可忽视的电压暂降，可能使敏感设备发生故障。因此，在电压暂降频次估计时如果忽视变压器支路，那么评估结果将不太符合实际。

现有方法在对不规则电压暂降进行评估时，通常是根据电压暂降的定义直接确定电压幅值和持续时间，或者将其等效成矩形暂降进行统计。而结合敏感设备耐受曲线(ITIC曲线或SEMI F47曲线)分析，前两种方法都将对电压暂降造成不同程度的过估计，使得电压暂降频次估计结果不能反映出对敏感设备的真实影响。

电压暂降：国际电气与电子工程师协会(IEEE)将电压暂降(voltage sag)定义为供电电压有效值快速下降到0.1～0.9p.u.，持续时间为0.5个周波至1min的电能质量现象。

暂降频次：暂降频次是非常重要的电能质量指标，对于用户、电网、甚至于政府招商引资都有较高的参考价值。频次反映了待评估的地区年均可能发生电压暂降的次数，是电网供电可靠性的一个考核指标。

非矩形暂降：在电压暂降频次评估中，一般采用电压幅值-持续时间两个参数来衡量单次电压暂降，绘制在坐标图中的波形为矩形，然而，部分原因导致的电压暂降并不是标准的矩形波，而是不规则的波形，如变压器空载合闸导致的电压暂降，其电压幅值是由最低点逐渐恢复至正常，此类电压暂降便称为非矩形暂降。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种变压器投运导致的电压暂降频次估计方法，客观估计变压器剩磁和合闸角以计算电压暂降，并利用所提的分段统计频次的方法，解决该类非矩形暂降的过估计问题，最终得到更符合实际的电网电压暂降频次估计结果。

为解决上述技术问题，本发明采用的技术方案是：

一种变压器投运导致的电压暂降频次估计方法，包括以下步骤：

步骤一、建立变压器磁化曲线

采用通用非线性单值曲线方程表示变压器铁心磁化曲线，反映了铁心磁通Φ和励磁电流i之间的关系，其表达式为：

其中，K₁表示最大饱和磁通大小，K₂表示曲线饱和区段的斜率，f₀表示饱和开始时的磁通大小，p决定曲线饱和过渡区域的非线性程度；

步骤二、确定合闸角与剩磁的概率分布

①变压器空载合闸的铁心磁通

对于单相变压器，忽略变压器绕组电阻和漏电感，则变压器在t＝0时刻空载合闸时，一次侧的电压方程为：

式中，U_m为一次侧电压最大值，α为电压初始相位角，也称为合闸角；ω为角频率，N₁为一次绕组匝数，Φ为铁心主磁通；假定在接通前瞬间，变压器铁心中剩余磁通为Φ_r，根据磁链守恒定律，解得合闸后磁通瞬时值如下式：

Φ(t)＝-Φ_mcos(ωt+α)+(Φ_mcosα+Φ_r)e^-t/τ (10)

其中，第一项-Φ_mcos(ωt+α)称为稳态分量，Φ_m＝U_m/ωN₁为稳态磁通最大值；第二项为关于铁心剩磁的衰减的非周期分量，τ＝L₁/r₁为衰减时间常数，L₁为一次绕组自感系数，r₁为高压侧***阻抗；

②历史铁心磁通峰值的获取

首先，分别获取以往变压器每次合闸时a、b、c三相产生的励磁涌流峰值

利用变压器铁心磁化曲线Φ-i，即式(8)，得到每次合闸时各相对应的铁心磁通峰值；若变压器或变压器高压侧母线未安装电流监测装置，则利用变压器导致的历史各相电压暂降数据计算励磁涌流最大值，即将历史各相电压暂降幅值

代入步骤三中的式(22)计算

以获取

③确定合闸角概率分布

认定三相同时并随机合闸，则对于合闸角α，设其在[0,2π]内服从均匀分布，即：

设变压器a相合闸角为α，则计算其余弦值cosα的概率密度函数f_α(x)的过程如式(12)-(13)：

由于余弦函数是以2π为周期循环，则b、c两相合闸角余弦值的概率密度函数均为式(13)；

④通过最大熵原理计算变压器剩磁概率密度函数

忽略非周期分量的衰减，得到铁心磁通最大值如下式：

设Φ_m＝1，则得到剩磁Φ_r和cosα之和与最大瞬时磁通Φ_max之间的关系，即：

记

X_j＝Φ_rj+cosα_j (16)

表示一相剩磁和合闸角余弦之和的连续随机变量，其概率密度函数为f_Xj(x)，由于在步骤②中已经获取了最大瞬时磁通的历史分布数据，利用最大熵原理，即利用式(1)～(6)建立关于X的最大熵模型并求解，求得X_j的概率密度函数f_Xj(x)；

基于求得的f_αj(x)和f_Xj(x)以及式(16)表示的关系，则变压器一相剩磁Φ_rj的概率密度函数f_rj(x)按下式求得：

f_rj(x)＝F_rj'(x) (17)

步骤三、计算变压器空载合闸导致的电压暂降

①计算三相变压器励磁涌流

设某一瞬间，i_α、i_b、i_c分别形成磁场强度H₁、H₂、H₃，那么每柱绕组实际的磁场强度由该柱绕组本身产生的磁场强度和另外两柱绕组的部分磁场强度形成，即：

其中，H_α、H_b、H_c为每柱绕组实际磁场强度，β_αb、β_bc、β_αc表示每相之间的磁耦合程度；根据麦克斯韦方程∮_lHdl＝Ni,磁场强度H与相应的电流i成正比，则每柱绕组实际磁场强度所对应的励磁电流分别为：

对应每一瞬时t，结合式(8)表示的磁化曲线和各相磁通表达式Φ_a(t)、Φ_b(t)、Φ_c(t)计算出上述的i₁、i₂、i₃，代入式(19)并求解该方程组，即得到每一瞬时a、b、c三相的励磁涌流，即i_a、i_b、i_c；

磁通-时间表达式Φ_a(t)、Φ_b(t)、Φ_c(t)由式(10)确定，式(10)中每相的合闸角α和剩磁Φ_r取值范围分别为[0,2π]和[-1,1]；将各相的α和Φ_r分别分成n份，结合式(11)和各相剩磁的概率密度函数f_ra(x)、f_rb(x)和f_rc(x)，计算每份α和Φ_r对应的励磁涌流随时间的波形以及产生该励磁涌流对应的概率P(I_inrush)；由于三相合闸角是由式(11)关联的，而三相剩磁之间无直接关系，则不同α和Φ_r下的三相励磁涌流应该有n⁴份，每份对应的概率计算公式如下：

其中，Φ_j1、Φ_j2分别为各相剩磁取Φ_rj时的上下边界，按下式计算：

②计算励磁涌流导致的电压暂降

得到变压器空载投运的励磁涌流之后，按短路计算的方法求得合闸之后***中任意关心节点和任意时刻的某相电压暂降幅值U_sαg，即：

其中，m、T分别表示关心节点和变压器一次侧节点编号，Z_mT为两个节点之间的互阻抗，

表示关心节点正常运行时的电压；

步骤四、变压器投运造成的电压暂降频次评估

①计算单次变压器投运造成的电压暂降的等效频次

首先，根据步骤三计算出变压器在某剩磁、某合闸角下空载合闸造成的电压暂降幅值-持续时间波形，再通过式(7)计算得到单次的多段幅值-持续时间函数，其对应的等效频次为：

其中，U_min和U_max分别为频次统计表中相应的电压幅值下界和上界；

②评估一年内变压器投运造成的电压暂降频次

选取三相中电压暂降幅值最低的一相进行频次统计，由于变压器造成的电压暂降均为非矩形暂降，则结合式(23)，得全网变压器一年内投运对关心母线造成的电压暂降频次为：

其中，l_k为第k台变压器全年计划空载合闸的次数，K为全网变压器总台数，n为α和Φ_r所分的份数。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：从历史电压暂降数据出发，利用最大熵原理及变压器各合闸参数之间的关系，估计变压器剩磁值的概率分布，从而能够客观地评估变压器空载投运造成的电压暂降。对于如变压器投运导致的此类非矩形暂降，本发明基于多段幅值-持续时间函数将单次暂降分段统计，计算其等效频次，使得频次评估结果更能反映出电压暂降对敏感设备的真实影响。

附图说明

图1是变压器铁心非线性磁化曲线。

图2是单相变压器空载合闸磁通波形。

图3是通过磁化曲线得到励磁电流。

图4是通过励磁涌流峰值确定铁心磁通峰值。

图5是三相三柱心式变压器模型。

图6是变压器励磁涌流导致电压暂降示意图。

图7是本发明变压器投运造成的电压暂降频次评估流程图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。

本发明包括以下步骤，即建立变压器磁化曲线、确定合闸角与剩磁的概率分布、计算变压器空载合闸导致的电压暂降和评估变压器投运造成的电压暂降频次，其中每个大步骤及其小步骤的详细阐述如下：

一、建立变压器磁化曲线

变压器励磁涌流可通过铁心磁通和磁化曲线Φ-i进行计算。变压器磁化曲线是反映铁心磁化特性的高度非线性曲线，无法直接测量，虽然通过测算变压器多项参数或进行多次实验测算可获取较精确的变压器磁化曲线，但较为麻烦且通常条件不允许，因此，工程上一般采用通用非线性单值曲线方程表示来变压器铁心磁化曲线，反映了铁心磁通Φ和励磁电流i之间的关系，其表达式为：

其中K₁、K₂、f₀和p为经验参数，K₁表示最大饱和磁通大小，K₂表示曲线饱和区段的斜率，f₀表示饱和开始时的磁通大小，p决定曲线饱和过渡区域的非线性程度，可通过调整各参数使单值曲线逼近通过仿真实验得到的变压器铁心磁化曲线。实际上，磁化曲线是变压器磁滞曲线概念的扩展，虽然该单值曲线未反映出铁心的磁滞特性，但由于本文无需分析谐波等因素，仅针对励磁电流有效值进行计算，对后续电压暂降计算并无较大影响。因此，只要选取合适的参数，就能够得到足够准确的励磁涌流。本发明中，可取K₁＝1.15，K₂＝0.0014，f₀＝1，p＝3.5，并绘制出非线性磁化曲线如图1所示。

二、确定合闸角与剩磁的概率分布

①变压器空载合闸的铁心磁通

对于单相变压器，忽略变压器绕组电阻和漏电感，则变压器在时间t＝0时刻空载合闸时，一次侧的电压方程为：

式中U_m为一次侧电压最大值，α为电压初始相位角，也称为合闸角；ω为角频率，N₁为一次绕组匝数，Φ为铁心主磁通。假定在接通前瞬间，变压器铁心中剩余磁通为Φ_r，根据磁链守恒定律，解得合闸后磁通瞬时值如下式：

Φ(t)＝-Φ_mcos(ωt+α)+(Φ_mcosα+Φ_r)e^-t/τ (10)

其中，第一项-Φ_mcos(ωt+α)称为稳态分量，Φ_m＝U_m/ωN₁为稳态磁通最大值。第二项为关于铁心剩磁的衰减的非周期分量，τ＝L₁/r₁为衰减时间常数，L₁为一次绕组自感系数，r₁为高压侧***阻抗。

图2为变压器空载合闸的铁心磁通瞬时值波形，图3展示了如何通过磁化曲线获得励磁电流。

②历史铁心磁通峰值的获取

由图2和图3可知，利用励磁涌流在第一个周期内的峰值和变压器铁心磁化曲线可唯一地确定铁心磁通的最大值Φ_max，那么，变压器每次空载合闸铁心磁通峰值的分布规律便可由励磁涌流峰值的分布规律来表征。首先，分别获取以往变压器每次合闸时a、b、c三相产生的励磁涌流峰值

利用变压器铁心磁化曲线Φ-i，即式(8)，可得到每次合闸时各相对应的铁心磁通峰值，该过程可用图4表达。若变压器或变压器高压侧母线未安装电流监测装置，则可利用变压器导致的历史各相电压暂降数据计算励磁涌流最大值，即将历史各相电压暂降幅值

代入步骤三中的式(20)计算

以获取

③确定合闸角概率分布

虽然目前有如选相合闸技术的变压器励磁涌流抑制方案，通过控制各相合闸角度来减少励磁涌流，但限于经济性和技术性，并未被普遍采用，加上目前电力***还广泛采用三相联动断路器，因此，可以认为三相同时并随机合闸。那么，对于合闸角α，设其在[0,2π]内服从均匀分布，即：

设变压器a相合闸角为α，则计算其余弦值cosα的概率密度函数f_α(x)的过程如式(12)-(13)：

由于余弦函数是以2π为周期循环，因此b、c两相合闸角余弦值的概率密度函数均为式(13)。

④通过最大熵原理计算变压器剩磁概率密度函数

由式(10)和图3可知，变压器空载合闸后，铁心瞬时磁通的峰值一定会在第一个周波内且ωt+α＝0或π时出现，因此忽略非周期分量的衰减，得到铁心磁通最大值如下式：

设Φ_m＝1，则可得到剩磁Φ_r和cosα之和与最大瞬时磁通Φ_max之间的关系，即：

记

X_j＝Φ_rj+cosα_j (16)

表示一相剩磁和合闸角余弦之和的连续随机变量，其概率密度函数为f_Xj(x)，由于在步骤②中已经获取了最大瞬时磁通的历史分布数据，因此，利用最大熵原理，即利用式(1)～(6)建立关于X的最大熵模型并求解，可求得X_j的概率密度函数f_Xj(x)。

基于上述求得的f_αj(x)和f_Xj(x)以及式(16)表示的关系，则变压器一相剩磁Φ_rj的概率密度函数f_rj(x)可按下式求得：

f_rj(x)＝F_rj'(x) (17)

三、计算变压器空载合闸导致的电压暂降

①计算三相变压器励磁涌流

对于三相变压器，由于铁心结构的特殊性，计算励磁涌流时需考虑各相之间的磁耦合关系。三相变压器铁心普遍采用心式结构，即三铁心柱在同一平面内，如图5所示。在这种铁心结构的变压器中，由于任意一相的磁通均以另外两相心柱作为回路，因此各相磁路相互关联的，存在磁耦合。并且由于中间相磁路相对较短，磁阻较小，那么在三相对称电源下的星形连接绕组，三相励磁电流不相等，左右两相励磁电流大小通常为中间相的1.2～1.5倍，与每相之间的磁耦合程度相关。

首先考虑变压器稳态空载运行时的情况，由于每柱磁场强度并不由该相励磁电流单独产生，而是由各相励磁电流i_α、i_b、i_c共同形成的，因此可通过叠加原理进行分析。设某一瞬间，i_α、i_b、i_c分别形成磁场强度H₁、H₂、H₃，如图5中所示，那么每柱绕组实际的磁场强度由该柱绕组本身产生的磁场强度和另外两柱绕组的部分磁场强度形成，即：

其中H_α、H_b、H_c为每柱绕组实际磁场强度，β_αb、β_bc、β_αc表示每相之间的磁耦合程度，可在0～1/2范围内取值，取值越高，表示磁耦合程度越高，取决于变压器结构以及漏磁程度等因素。根据麦克斯韦方程∮_lHdl＝Ni,磁场强度H与相应的电流i成正比，则每柱绕组实际磁场强度所对应的励磁电流分别为：

对应每一瞬时t，可结合式(8)表示的磁化曲线和各相磁通表达式Φ_a(t)、Φ_b(t)、Φ_c(t)计算出上述的i₁、i₂、i₃，代入式(19)并求解该方程组，即可得到每一瞬时a、b、c三相的励磁涌流，即i_a、i_b、i_c。

磁通-时间表达式Φ_a(t)、Φ_b(t)、Φ_c(t)可由式(10)确定，式(10)中每相的合闸角α和剩磁Φ_r取值范围分别为[0,2π]和[-1,1]。基于“故障点法”的思想，将各相的α和Φ_r分别分成n份，结合式(11)和各相剩磁的概率密度函数f_ra(x)、f_rb(x)和f_rc(x)，计算每份α和Φ_r对应的励磁涌流随时间的波形以及产生该励磁涌流对应的概率P(I_inrush)。由于三相合闸角是由式(11)关联的，而三相剩磁之间无直接关系，所以不同α和Φ_r下的三相励磁涌流应该有n⁴份，每份对应的概率计算公式如下：

其中，Φ_j1、Φ_j2分别为各相剩磁取Φ_rj时的上下边界，按下式计算：

②励磁涌流导致的电压暂降计算方法

得到变压器空载投运的励磁涌流之后，则可以按短路计算的方法求得合闸之后***中任意关心节点和任意时刻的某相电压暂降幅值U_sαg，即：

其中，m、T分别表示关心节点和变压器一次侧节点编号，Z_mT为两个节点之间的互阻抗，

表示关心节点正常运行时的电压。

四、变压器投运造成的电压暂降频次评估

①计算单次变压器投运造成的电压暂降的等效频次

为了在电压暂降频次估计结果中反映出变压器投运引起的电压暂降对敏感设备的真实影响，避免由于对电压幅值或持续时间的等效而产生的错误估计，本发明提出基于多段幅值-持续时间函数的非矩形暂降频次统计方法，对非矩形电压暂降的频次进行分段统计。

多段幅值-持续时间函数计算公式如式(7)。首先，根据步骤三计算出变压器在某剩磁、某合闸角下空载合闸造成的电压暂降幅值-持续时间波形，再通过式(7)计算得到单次的多段幅值-持续时间函数，其对应的等效频次为：

其中，U_min和U_max分别为频次统计表中相应的电压幅值下界和上界。

②评估一年内变压器投运造成的电压暂降频次

对于一年内变压器投运造成的电压暂降频次，可根据电网公司调度部门关于变压器的投运计划进行估计。小修后的变压器可直接投入电网，而新安装或大修后的变压器在正式投入电网前，通常需对变压器进行多次空载合闸试验，根据国家电网公司规定，新安装的变压器应进行5次合闸，大修后的变压器进行3次合闸，每次合闸后至少运行5分钟，分闸后再进行下一次合闸。

选取三相中电压暂降幅值最低的一相进行频次统计，由于变压器造成的电压暂降均为非矩形暂降，则结合式(23)，得全网变压器一年内投运对关心母线造成的电压暂降频次为：

其中，l_k为第k台变压器全年计划空载合闸的次数，根据变压器为无投运计划、小修、大修或新安装取l＝0～5，K为全网变压器(包括计划安装的)总台数，n为α和Φ_r所分的份数。

Claims (1)

1.一种变压器投运导致的电压暂降频次估计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、建立变压器磁化曲线

采用通用非线性单值曲线方程表示变压器铁心磁化曲线，反映了铁心磁通Φ和励磁电流i之间的关系，其表达式为：

其中，K₁表示最大饱和磁通大小，K₂表示曲线饱和区段的斜率，f₀表示饱和开始时的磁通大小，p决定曲线饱和过渡区域的非线性程度；

步骤二、确定合闸角与剩磁的概率分布

①变压器空载合闸的铁心磁通

对于单相变压器，忽略变压器绕组电阻和漏电感，则变压器在时间t＝0时刻空载合闸时，一次侧的电压方程为：

式中，U_m为一次侧电压最大值，α为电压初始相位角，也称为合闸角；ω为角频率，N₁为一次绕组匝数，Φ为铁心主磁通；假定在接通前瞬间，变压器铁心中剩余磁通为Φ_r，根据磁链守恒定律，解得合闸后磁通瞬时值如下式：

Φ(t)＝-Φ_mcos(ωt+α)+(Φ_mcosα+Φ_r)e^-t/τ (10)

其中，第一项-Φ_mcos(ωt+α)称为稳态分量，Φ_m＝U_m/ωN₁为稳态磁通最大值；第二项为关于铁心剩磁的衰减的非周期分量，τ＝L₁/r₁为衰减时间常数，L₁为一次绕组自感系数，r₁为高压侧***阻抗；

②历史铁心磁通峰值的获取

首先，分别获取以往变压器每次合闸时a、b、c三相产生的励磁涌流峰值

利用变压器铁心磁化曲线Φ-i，即式(8)，得到每次合闸时各相对应的铁心磁通峰值；若变压器或变压器高压侧母线未安装电流监测装置，则利用变压器导致的历史各相电压暂降数据计算励磁涌流最大值，即将历史各相电压暂降幅值

代入步骤三中的式(22)计算

以获取

③确定合闸角概率分布

认定三相同时并随机合闸，则对于合闸角α，设其在[0,2π]内服从均匀分布，即：

设变压器a相合闸角为α，则计算其余弦值cosα的概率密度函数f_α(x)的过程如式(12)-(13)：

由于余弦函数是以2π为周期循环，则b、c两相合闸角余弦值的概率密度函数均为式(13)；

④通过最大熵原理计算变压器剩磁概率密度函数

忽略非周期分量的衰减，得到铁心磁通最大值如下式：

设Φ_m＝1，则得到剩磁Φ_r和cosα之和与最大瞬时磁通Φ_max之间的关系，即：

记

X_j＝Φ_rj+cosα_j (16)

表示一相剩磁和合闸角余弦之和的连续随机变量，其概率密度函数为f_Xj(x)，由于在步骤②中已经获取了最大瞬时磁通的历史分布数据，利用最大熵原理，即利用式(1)～(6)建立关于X的最大熵模型并求解，求得X_j的概率密度函数f_Xj(x)；建立随机变量x的概率密度函数f(x)的最大熵模型：

其中，R为积分区间,m为所用矩的阶数,m_i为样本的第i阶原点矩；

采用拉格朗日乘子法来求解上述模型，并得到概率密度函数表达式，如下所示：

式中，λ₀～λ_m为对应的拉格朗日乘子；

应用约束条件则可得到λ₀～λ_m所满足的方程，如下所示：

基于求得的f_αj(x)和f_Xj(x)以及式(16)表示的关系，则变压器一相剩磁Φ_rj的概率密度函数f_rj(x)按下式求得：

f_rj(x)＝F′_rj(x) (17)

步骤三、计算变压器空载合闸导致的电压暂降

①计算三相变压器励磁涌流

设某一瞬间，i_a、i_b、i_c分别形成磁场强度H₁、H₂、H₃，那么每柱绕组实际的磁场强度由该柱绕组本身产生的磁场强度和另外两柱绕组的部分磁场强度形成，即：

其中，H_a、H_b、H_c为每柱绕组实际磁场强度，β_ab、β_bc、β_ac表示每相之间的磁耦合程度；根据麦克斯韦方程∮_lHdl＝Ni,磁场强度H与相应的电流i成正比，则每柱绕组实际磁场强度所对应的励磁电流分别为：

对应每一瞬时t，结合式(8)表示的磁化曲线和各相磁通表达式Φ_a(t)、Φ_b(t)、Φ_c(t)计算出上述的i₁、i₂、i₃，代入式(19)并求解该方程组，即得到每一瞬时a、b、c三相的励磁涌流，即i_a、i_b、i_c；

磁通-时间表达式Φ_a(t)、Φ_b(t)、Φ_c(t)由式(10)确定，式(10)中每相的合闸角α和剩磁Φ_r取值范围分别为[0,2π]和[-1,1]；将各相的α和Φ_r分别分成n份，结合式(11)和各相剩磁的概率密度函数f_ra(x)、f_rb(x)和f_rc(x)，计算每份α和Φ_r对应的励磁涌流随时间的波形以及产生该励磁涌流对应的概率P(I_inrush)；由于三相合闸角是由式(11)关联的，而三相剩磁之间无直接关系，则不同α和Φ_r下的三相励磁涌流应该有n⁴份，每份对应的概率计算公式如下：

其中，Φ_j1、Φ_j2分别为各相剩磁取Φ_rj时的上下边界，按下式计算：

②计算励磁涌流导致的电压暂降

得到变压器空载投运的励磁涌流之后，按短路计算的方法求得合闸之后***中任意关心节点和任意时刻的某相电压暂降幅值U_sag，即：

其中，m、T分别表示关心节点和变压器一次侧节点编号，Z_mT为两个节点之间的互阻抗，

表示关心节点正常运行时的电压；

步骤四、变压器投运造成的电压暂降频次评估

①计算单次变压器投运造成的电压暂降的等效频次

首先，根据步骤三计算出变压器在某剩磁、某合闸角下空载合闸造成的电压暂降幅值-持续时间波形，再通过式(7)计算得到单次的多段幅值-持续时间函数，

U(n)≤m＜0.9p.u.

m＝U_min+p·i,i＝0,1,...,q-1 (7)

式中，s(m,t)表示电压幅值为小于等于m的累计暂降持续时间，m从最低电压幅值U_min开始取值，以p为步长递增到0.9p.u.，q为m取值的个数，显然步长p越小，q越大，p和q可根据暂降波形的规则程度确定， T_s和T_e分别表示电压刚降低和恢复到m时的采样点，f_s为采样频率，U(n)为采样点n处的电压幅值其对应的等效频次为：

其中，U_min和U_max分别为频次统计表中相应的电压幅值下界和上界；

②评估一年内变压器投运造成的电压暂降频次

选取三相中电压暂降幅值最低的一相进行频次统计，由于变压器造成的电压暂降均为非矩形暂降，则结合式(23)，得全网变压器一年内投运对关心母线造成的电压暂降频次为：

其中，l_k为第k台变压器全年计划空载合闸的次数，K为全网变压器总台数，n为α和Φ_r所分的份数。

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