CN111766785A

CN111766785A - 一种最小化期望提前和拖期费用的多机调度方法

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Publication number: CN111766785A
Application number: CN202010663324.9A
Authority: CN
Inventors: 张玉利; 周超越
Original assignee: Beijing Institute of Technology BIT
Current assignee: Beijing Institute of Technology BIT
Priority date: 2020-07-10
Filing date: 2020-07-10
Publication date: 2020-10-13
Anticipated expiration: 2040-07-10
Also published as: CN111766785B

Abstract

本发明公开了一种最小化期望提前和拖期费用的多机调度方法，属于机器调度技术领域；以工件顺序和交付期为决策变量，并考虑了多机器的情况。对于具有对称费用结构的单机和相同多机问题，给出了最小方差优先(SVF)的调度方法并根据该规则设计了贪心算法。对于一般费用结构的问题，给出了等价二阶锥规划模型；为了实现更高效的求解，针对其中的两机问题提出了基于模函数特性的启发式调度方法，针对多机问题提出了一种变邻域的方法。本发明所提出的方法考虑加工时间的不确定性，使决策更加符合实际情况，实用性更强，降低了决策成本；能够比较快速的求出精度很高的解，非常适合求解大规模的问题，可以为实际的调度问题提供决策。

Description

一种最小化期望提前和拖期费用的多机调度方法

技术领域

本发明属于机器调度技术领域，涉及一种最小化期望提前和拖期费用的多机调度方法，具体涉及一种以最小化期望E/T费用作为衡量指标的考虑随机加工时间的多机调度方法。

背景技术

机器调度问题是一个被广泛研究的优化问题，同时在生产调度、机器制造等方面有广泛的实际应用。不确定性是生产***中不可避免的因素，其对***性能有着重要影响。机器的随机波动、启动时间的变化等都使得调度者无法确定准确的生产加工时间，因而考虑随机加工时间的机器调度问题更加符合实际情况。衡量指标包括与工件完成时间相关的指标和与交付期相关的指标，准时制(JIT)生产方式促进产生了一种新的衡量指标—提前和拖期(E/T)成本指标。提前到达可能会导致额外的库存成本、产品变质等，延期到达可能会带来顾客诚意损失和失销等惩罚。

机器调度问题可以分为单机器和多机器，多机器调度问题研究工件在多个机器上加工的过程，其中每个工件只能在一个机器上加工。多机器调度问题在物流、制造业和服务业都有广泛应用，因此受到广泛关注；交付期分配和加工顺序是求解多机器调度问题重点关注的方面。与单机器交付期分配与加工顺序问题相比，多个相同机器的交付期分配和加工顺序方面的研究较少。

与交付期分配和加工顺序有关的调度模型大致可以分为三类：1、交付期给定的情况下，求最优的工件加工顺序；2、工件加工顺序给定的情况下，求最优交付期；3、交付期和加工顺序都是内部给定。

在工件加工顺序确定的交付期分配模型中，Sridharan等针对动态交付期设置问题提出了新的交付期分配规则(SL规则)，其中工件加工时间服从的分布已知；为获取SL规则的最优参数，作者分析了先到先服务规则下的M/M/1模型。

在交付期给定的工件调度模型中，可以依据加工时间是否是随机变量进一步分类；交付期给定的单机排序模型的确定性版本是调度理论的基本范式。基于该调度模型，有许多变体。大部分研究都将加权的E/T成本之和作为刻画调度有效性的目标函数，也有一些研究将加权的二次E/T成本之和作为目标。相比于加工时间确定的情况，加工时间不确定的情况更具有挑战性，这是一个NP难问题；随机的调度问题采用了不同的衡量指标来衡量结果好坏，如加权E/T成本之和、最大延迟时间的期望、加权延迟时间之和的期望等。在多机器情况下，Liu等提出了一个两阶段的随机规划公式，以最大程度地减少期望的总加权E/T成本。

加工顺序和交付期联合调度问题是指为各工件指定交付期并将工件排序以使得与交付期相关的性能指标最优。在这种情况下，交付期是决策变量，可以在与客户的谈判中使用或纳入进度表中，以适应各种工作的进度。此类模型通常会将交付期的惩罚纳入目标函数中，所有工件或有一个共同的交付期，或各自拥有各自的交付期。相比较而言，不同交付期的情况更难求解。

该类模型也可以进一步分为加工时间确定的情况和加工时间不确定的情况，在加工时间不确定情况下，加工时间是随机变量，通常假定其概率分布已知。Baker在假设作业的加工时间服从正态分布的前提下研究了该问题，并开发了一种分支定界算法以找到单机E/T问题的最优解。其发现对于所有工件具有相同E/T成本参数的特殊情况，最小方差优先(SVF)规则是最佳的。在多机器情况下，Gu等提出了一种基于随机规划理论的随机期望值模型，并提出了一种量子遗传调度算法；与传统的遗传算法相比，该算法能够在没有过早收敛的情况下获得更好的调度方案；Otten等引入了E/T凹面的概念，并证明了在E/T凹面的假设下，最小方差优先(SVF)规则是最优的。

通过对上述文献的回顾发现，关于加工时间不确定情况下的多机排序和交付期联合调度方面的研究较少，且难以实现高效求解。

发明内容

针对现有技术中存在的上述问题，本发明提供最小化期望提前和拖期费用的多机调度方法，其以最小化期望E/T成本为衡量指标、以加工顺序和交付期为决策变量；针对两机器和多机器的情况，分别提出了考虑模函数特性的启发式调度方法和一种变邻域的方法。

本发明公开了一种最小化期望提前和拖期费用的多机调度方法，包括：

对于一般费用结构的问题，采用等价二阶锥规划模型求解方法；

对于具有对称费用结构的单机和相同多机问题，采用最小方差优先的调度方法。

作为本发明的进一步改进，所述采用等价二阶锥规划模型的求解方法，包括：

在原优化问题的基础上，基于

各原优化问题转化成等价的混合0-1二阶锥规化模型，求解该模型获得精确解；其中，变量x_k，ij∈{0，1}表示为工件i和j是否都在机器k上加工。

作为本发明的进一步改进，所述采用等价二阶锥规划模型的求解方法，具体包括：

设模型中有n个工件，工件集合为J＝{1，…，n}；有m个机器，机器集合为M＝{1，…，m}，工件i在机器k上的随机加工时间由p_k，i表示，p_k，i的方差由

表示；变量x_k，ij∈{0，1}表示为工件i和j是否都在机器k上加工，其中i≠j∈J，k∈M；变量x_k，ii∈{0，1}表示为工件i是否在机器k上加工，其中i∈J，k∈M；用J_k，i表示在机器k上方差小于等于

的工件集合；

所考虑的优化问题的目标函数表述如下：

(P1)模型的约束条件如下：

将优化问题转化为如下等价的混合0-1二阶锥规化模型，目标函数具有以下形式：

(P2)min∑_k∈K∑_i∈J y_k，i (16)

(P2)模型的约束条件如下：

x_k，ij≥x_k，ii+x_k，jj-1 (19)

通过求解该模型获得精确解。

作为本发明的进一步改进，还包括：

对于具有一般费用结构的两机问题，采用基于模函数特性的启发式调度方法；

对于具有一般费用结构的多机问题，采用变邻域的方法。

作为本发明的进一步改进，所述采用基于模函数特性的启发式调度方法，包括：

考虑工件集合N＝{1，…，n}的两机器问题，

为分配到机器1上的工件，因此分配到机器2上的工件集合为N\S；f_i(S)为当S被分配到机器i，与机器i相关的成本，f(S)＝f₁(S)+f₂(N\S)，所考虑的两机器问题可以被表述为

用S^*表示最优解；f(S)是一个超模函数，-f(S)是一个次模函数；

次模函数-f(S)有如下命题：

若

且对于某个

满足

则

即，工件k会被最优分配给机器2；

若

且对于某个k∈S满足

则k∈S^*；即，工件k会被最优分配给机器1。

作为本发明的进一步改进，所述变邻域的方法包括：***方法、两机器交换方法和全局交换方法。

作为本发明的进一步改进，

所述***方法为：假设工件i当前在机器k上加工，计算当工件i在其他机器上加工时目标函数值是否减少，如果***到某一机器使得目标函数值减小，则将工件i***到该机器上；

所述两机器交换方法为：假设工件i，j当前分别在机器p，q上加工，计算当工件i在机器q上加工，工件j在机器p上加工时目标函数值是否减少，如果函数值减小，则交换加工工件i和j的机器；

所述全局交换方法为：在多个机器之间交换多个工件。

作为本发明的进一步改进，所述采用最小方差优先的调度方法，包括：

根据SVF规则，将方差进行排序，使

为满足

的工件集合J的排列，其中k指第k个机器；根据此设计出了贪心算法。

与现有技术相比，本发明的有益效果为：

本发明探究了在加工时间不确定性情况下考虑提前和拖期费用的多机加工排序和交付期联合调度问题，在提出的调度方法中，以工件顺序和交付期为决策变量，并考虑了多机器的情况。对于具有对称费用结构的单机和相同多机问题，给出了最小方差优先(SVF)的调度方法并根据该规则设计了贪心算法。对于一般费用结构的问题，给出了等价二阶锥规划模型；为了实现更高效的求解，针对其中的两机问题提出了基于模函数特性的启发式调度方法，针对多机问题提出了一种变邻域的方法。本发明所提出的方法考虑加工时间的不确定性，使决策更加符合实际情况，实用性更强，降低了决策成本；能够比较快速的求出精度很高的解，非常适合求解大规模的问题，可以为实际的调度问题提供决策。

附图说明

图1为本发明一种实施例公开的最小化期望提前和拖期费用的多机调度方法的示意图。

具体实施方式

为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

下面结合附图对本发明做进一步的详细描述：

如图1所示，本发明提供一种最小化期望提前和拖期费用的多机调度方法，包括：

1)、对于一般费用结构的问题，采用等价二阶锥规划模型求解方法；其中，

采用等价二阶锥规划模型的求解方法，包括：

在原优化问题的基础上，基于

将原优化问题转化成等价的混合0-1二阶锥规化模型，求解该模型获得精确解；其中，变量x_k，ij∈{0，1}表示为工件i和j是否都在机器k上加工；但当问题规模变大时，求解时间也相应变长。

采用等价二阶锥规划模型的求解方法，具体包括：

的工件集合；

所考虑的优化问题的目标函数表述如下：

(P1)模型的约束条件如下：

(P2)min∑_k∈K∑_i∈J y_k，i (26)

(P2)模型的约束条件如下：

x_k，ij≥x_k，ii+x_k，jj-1 (29)

通过求解该模型获得精确解；但当问题规模变大时，求解时间也相应变长。

为了实现更高效的求解，还包括2)、3)：

2)、对于具有一般费用结构的两机问题，采用基于模函数特性的启发式调度方法；其中，

基于模函数特性的启发式调度方法，包括：

用f(S)表示两机器的成本函数，可以发现f(S)是一个超模函数，因此-f(S)是一个次模函数，关于次模函数-f(S)有如下命题：

若

且对于某个

满足

则

即，工件k会被最优分配给机器2；

若

且对于某个k∈S满足

则k∈S^*；即，工件k会被最优分配给机器1；

据此设计出了两机器问题的基于模函数特性的启发式调度策略。

基于模函数特性的启发式调度方法，具体包括：

考虑工件集合N＝{1，…，n}的两机器问题，让

为分配到机器1上的工件，因此分配到机器2上的工件集合为N\S。让f_i(S)为当S被分配到机器i，与机器i相关的成本，f(S)＝f₁(S)+f₂(N\S)，所考虑的两机器问题可以被表述为

用S^*表示最优解，可以证明f(S)是一个超模函数，因此-f(S)是一个次模函数。

关于次模函数-f(S)有如下命题：

a)、如果

且对于某个

满足

则

即，工件k会被最优分配给机器2；

b)、如果

且对于某个k∈S满足

则k∈S^*；即，工件k会被最优分配给机器1；

因此设计出两机器问题的确定性启发式算法(DHA)如下：

a)、初始化：使

T＝N及R＝N。

b)、当存在工件k∈R使得a_k＝f(k|S)之0或b_k＝f(k|T\{k})≤0：如果a_k＝f(k|S)之0，那么t＝t\{k}且R＝R\{k}；如果b_k＝f(k|T\{k})≤0，那么S＝S∪{k}且R＝R\{k}；直到对于所有k∈R，a_k＜0且b_k＞0。

c)、使k^*＝arg max_k∈R{(-a_k)V b_k}，如果

那么S＝S∪{k^*}且R＝R\{k^*}；如果

那么T＝T∪{k^*}且R＝R\{k^*}。

d)、如果

那么算法停止并返回S。

3)、对于具有一般费用结构的多机问题，采用变邻域的方法；其中，

变邻域的方法包括：***方法、两机器交换方法和全局交换方法；***方法为：假设工件i当前在机器k上加工，计算当工件i在其他机器上加工时目标函数值是否减少，如果***到某一机器使得目标函数值减小，则将工件i***到该机器上；两机器交换方法为：假设工件i，j当前分别在机器p，q上加工，计算当工件i在机器q上加工，工件j在机器p上加工时目标函数值是否减少，如果函数值减小，则交换加工工件i和j的机器；全局交换方法为：在多个机器之间交换多个工件。

3-1)、***方法的实施步骤如下：

a)、设

obj0＝obj.；

b)、对于k∈K，s∈K(k≠s)，对集合J中的每个工件做如下操作：

如果

找到满足π_s，p＝π_k，i的位置p，计算将工件π_k，i在机器s上加工与该工件在机器k上加工目标函数值的变化Δ，如果Δ＜0，更新

s_k，i＝0，

obj＝obj+Δ。注意s_s，t满足条件s_s，t≠0及t＝max_t≤p-1t。

c)、***操作在k，s遍历完每个机器后停止。

3-2)、两机器交换方法的实施步骤如下：

两机器交换的思想是假设工件i，j当前分别在机器p，q上加工，计算当工件i在机器q上加工，工件i在机器p上加工时目标函数值是否减少，如果函数值减小，则交换加工工件i和j的机器。两机器交换操作的步骤如下：

a)、设obj0＝obj.

b)、k∈K，s∈{1，2...k-1}，对于满足条件

的工件i和满足条件

的工件j做如下操作：

(1).获取满足π_s，p1＝π_k，i的位置p1，将工件i***到位置p1，计算Δ_i→p1.

(2).获取满足π_s，j＝π_k，p2的位置p2，将工件j***到位置p2，计算Δ_j→p2·

(3).如果Δ_i→p1+Δ_j→p2＜0，更新

obj＝obj+Δ。

c)、两机器交换操作在k遍历完每个机器后终止。

3-3)、全局交换方法的实施步骤如下：

现在考虑如何在多个机器之间交换多个工件。对于一个给定的解矩阵

其中

表示工件i被分配到机器j上。以S_j表示被分配到机器j上的工件集合，即

对于工件i，用k_i表示

中使得

的机器，即

用J_i表示工件集口，

对于任意i，l∈N，定义交换成本项p_li，p_li表示当工件i从机器k_i移除，工件l***到机器k_i时与机器k_i相关的成本变化，因此：

其中M是一个很大的正数。

对于每个工件i∈N，不失一般性，考虑i＝1。用L₁表示交换的工件链表，初始情况下，用P₁表示可交换工作列表

求解链表L₁的启发式扩展交换算法(HEEP)如下：

a)、初始化：L₁＝{1}，P₁＝J1，利用初始解

计算交换成本项矩阵p，总成本减小值t＝0，当前工件curjob＝1。

b)、定义下一个可加入到链表L₁的工件nextjob＝0，减少的成本r＝M，其中M为一极大正数。

(1).对于

如果p_curjob，j+p_j1＜r，则nextjob＝j，r＝p_curjob，j+p_j1。

(2).如果δ＝t+r＜0，则得到L₁及δ，算法结束，否则更新L₁＝L₁∪{nextjob}，P₁＝P₁∩J_nextjob，t＝t+p_{curjob，nextjob}，curjob＝nextjob。

c)、当

时，算法结束。

再考虑精确求解链表的优化模型，对于任意i，l∈N，定义决策变量y_li，表示工件i从机器k_i移除，工件l***到机器k_i。考虑如下优化问题：

(EEP)min∑_l∈N∑_i∈N p_li y_li (32)

第一个约束保证了当工件i从机器k_i移除后，会被***到不同的机器k_s中，其中s∈J_i，第二个约束保证了对于每个机器j，最多一个工件i∈S_j会被从机器j中移除，第二个约束也可以写为

用y^*和

表示最优解和(EEP)的最优值，如果

那么依据y^*更新

更新的费用将减少

利用更新后的

再次求解(EEP)，反复更新，直到

时停止。

4)、对于具有对称费用结构的单机和相同多机问题，给出了最小方差优先(SVF)的调度方法；其中，

最小方差优先的调度方法，包括：

根据SVF规则，将方差进行排序，使

为满足

贪心算法的步骤包括：

a)、初始化：设x_k，i＝0，d_i＝0，p_k＝1，目标函数obj＝0，其中k∈M，i∈J。

b)、求解主问题：

I.对于k∈M，当

时，pk＝pk+1

II.使得增量

III.更新

c)、停止条件：对于所有工件i∈J，如果d_i＝1，贪心算法终止。

本发明的优点为：

本发明探究了在加工时间不确定性情况下考虑提前和拖期费用的多机加工排序和交付期联合调度问题，在提出的调度方法中，以工件顺序和交付期为决策变量，并考虑了多机器的情况；对于具有对称费用结构的单机和相同多机问题，给出了最小方差优先(SVF)的调度方法并根据该规则设计了贪心算法。对于一般费用结构的问题，给出了等价二阶锥规划模型；为了实现更高效的求解，针对其中的两机问题提出了基于模函数特性的启发式调度方法，针对多机问题提出了一种变邻域的方法。本发明所提出的方法考虑加工时间的不确定性，使决策更加符合实际情况，实用性更强，降低了决策成本；能够比较快速的求出精度很高的解，非常适合求解大规模的问题，可以为实际的调度问题提供决策。相比于现有的随机模型，本发明考虑了工件排序和交付期联合调度的多机问题，所得到的结果保守性更低，求解更高效。

以上仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。