CN111353251B - 一种非线性声场的基频和高次谐波频域有限差分计算方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供一种非线性声场的基频和高次谐波频域有限差分计算方法，包括：得到频域上的非线性波动方程；计算出频域非线性波动方程的通解；基频采用线性近似表达式，求解得到二次谐波与基频的对应关系；利用得到的二次谐波与基频的对应关系，替代掉基频表达式中卷积项的二次谐波，对基频表达式进行修正；采用黎曼和近似，对二次谐波通解积分项写成便于数值求解的形式；基于声波波长确定空间步长，将基频总解代入到黎曼和，计算出黎曼和；将黎曼和代入到二次谐波通解中，求解出二次谐波在空间中的声场。本发明考虑了介质中基频和二次谐波声速及声衰减的不平等，精确地描述了各阶谐波在频散、衰减介质中的非线性传播，且计算量较小。
Description
技术领域
本发明涉及一种非线性声场的基频和高次谐波频域有限差分计算方法，利用傅立叶变换实现从时域向频域的转变，并能充分利用各阶谐波不等声速及声衰减的物理条件，真实的模拟具有强衰减、强频散介质中的非线性声传播。
背景技术
自20世纪80年代开始，非线性效应的影响越来越受到人们的重视，尤其近二十多年，非线性声学已经渗透到各种场合，应用也越来越广，诸如物理学领域、生物医学领域、水声学领域等。由于实际的传播介质大都不是均匀介质，如水声领域中的含气泡水介质，医学中使用得造影剂等，均具有强衰减、强频散的特性，即声波的相速度、衰减系数随声波的频率变化而变化，这就使得一列声波在这种介质传播时，由于非线性效应产生的谐波相速度、衰减系数是不相等的。而典型的非线性波动方程，如Westervelt、KZK等，均是将不同频率声波的相速度和衰减系数等看做相等的加以处理，这与实际问题存在较大偏差。如何对不等声速和声衰减条件下的非线性声场进行模拟和计算成为亟需解决的问题。目前，主流的数值计算方法主要有以下两种：时域有限差分、频域有限差分。其中，时域有限差分是以离散差分近似于时空偏导数(Ibrahim M.Hallaj，FDTD simulation of finite-amplitudepressure and temperature fields for biomedical ultrasound，J.Acoust.Soc.Am.105(5),May 1999,L7-L12)来模拟声场的传播，但该方法无法直观的看到频域谐波传播情况，需要对空间中每一点处的声压值作傅立叶变换，巨大地消耗了计算空间和存储空间，且无法克服谐波声速和声衰减的不平等。频域有限差分(S.I.Aanonsen，T.Barkve，J.N.Distortion and Harmonic Generation in the Near-Field of a Finite AmplitudeSound Beam.J.Acoust.Soc.Am,1984,75(3):749-768)是运用频域傅立叶分解方法将展开成傅立叶级数的声压代入KZK方程，消去时间变量，得到谐波声压所满足的线性偏微分对偶方程组，然后采用有限差分对计算区域内对偶方程组进行网格化离散求解。虽然频域有限差分能够方便的处理依赖于频率的吸收效应，但并没有给出谐波声速不同时的声传播。
本专利充分考虑谐波的不等声速和声衰减，发明了一种新的频域有限差分计算方法。该方法可准确地模拟谐波在强衰减、强频散介质中的非线性声传播。
发明内容
本发明的目的是为了针对依赖于频率的吸收效应的频散介质，实现从时域向频域的转化，方便的处理声波的衰减及相速度依赖于频率的关系而提供一种非线性声场的基频和高次谐波频域有限差分计算方法。
本发明的目的是这样实现的：步骤如下：
(a)以空间z方向为主要声传播方向，对Westervelt方程进行时间维度以及空间x、y维度三维傅立叶变换，得到频域上的非线性波动方程；
(b)利用一维格林函数，得到频域非线性波动方程的通解；
(c)考虑弱非线性近似，基频采用线性近似表达式，求解得到二次谐波与基频的对应关系；
(d)利用得到的二次谐波与基频的对应关系，替代掉基频表达式中卷积项的二次谐波，对基频表达式进行修正；
(e)采用黎曼和近似，对二次谐波通解积分项写成便于数值求解的形式；
(f)基于声波波长确定空间步长，将基频总解代入到黎曼和，计算出黎曼和；
(g)将黎曼和代入到二次谐波通解中，求解出二次谐波在空间中的声场。
本发明还包括这样一些结构特征：
1.(a)中的频域非线性波动方程为：
式中： w是角频率，ρ是介质的密度，β是介质的非线性系数，p(r,t)是时域声压，P(kx,ky,z,w)是时域声压经三维傅立叶变换后的频域复声压，卷积项与kx,ky,w相关，kx,ky分别是x,y方向上的波数，w＜0时/>而w＞0时/>c(w)是与角频率相关的声速，α(w)是与角频率相关的声衰减，单位是Neper/m。
2.(b)中的通解为：
式中，M＝βw2/ρc4(w)，P(0)是z＝0处的复声压。
3.(c)中的二次谐波与基频的对应关系为：
式中，w1、w2分别是基频和二次谐波的负角频率，c1、c2分别是基频和二次谐波的声速。
4.(d)中的修正后的基频总解为：
式中：
5.(g)中二次谐波由下式得出：
通过传播距离z前的N个基频声压，得到该点处的二次谐波声压，进而得到在空间中的二次谐波声场。
与现有技术相比，本发明的有益效果是：1)该模型充分考虑依赖于频率的吸收效应的频散介质，从时域非线性波动方程转向频域非线性波动方程，将各次谐波对应的声速和声衰减加入到表达式中，来获得各次谐波空间上的声场。2)该模型适用于各种声衰减和声速依赖于频率的介质，应用范围广。3)无需对空间中的每点作傅立叶变换，只消耗较小的计算空间和存储空间。
附图说明
图1是采用弱非线性近似前后基频解随传播距离变化曲线；
图2是修正后的基频解与线性近似、Bessel-Fubini解的对比；
图3是弱非线性条件下二次谐波与Burgers方程解的对比；
图4是强非线性条件下二次谐波与Burgers方程解的对比；
图5是含气泡水介质中二次谐波随距离变化曲线；
图6是本发明流程图。
具体实施方式
下面结合附图与具体实施方式对本发明作进一步详细描述。
结合图6，本发明的步骤如下：
(a)首先以空间z方向为主要声传播方向，对Westervelt方程进行时间维度以及空间x、y维度三维傅立叶变换，得到频域非线性波动方程。
式中
上式中w是角频率，ρ是介质的密度，β是介质的非线性系数，p(r,t)是时域声压，P(kx,ky,z,w)是时域声压经三维傅立叶变换后的频域复声压，(3)式中的卷积项与kx,ky,w相关，kx,ky分别是x,y方向上的波数，w＜0时而w＞0时/>c(w)是与角频率相关的声速，α(w)是与角频率相关的声衰减，单位是Neper/m。
(b)利用一维格林函数，计算得到频域非线性波动方程通解。
一维格林函数表示为
最后的通解通过计算得到
式中，M＝βw2/ρc4(w)，P(0)是z＝0处的复声压。
(c)考虑弱非线性近似，基频采用线性近似表达式，求解得到二次谐波与基频的对应关系。
对于弱非线性条件，存在以下近似
故(6)式又可简化为
在弱非线性近似条件下，基频采用线性表达式
对于二次谐波，将基频线性表达式代入(6)式第二、三、五项有
式中， w1、w2分别是基频和二次谐波的负角频率，c1、c2分别是基频和二次谐波的声速。
同理，(6)式第四项有
二次谐波总解((8)+(9))为
在弱非线性近似条件下式(12)又可以写成
式中，
(d)利用得到的二次谐波与基频的对应关系，替代掉基频表达式中卷积项的二次谐波，对基频表达式进行修正。
对于基频，式(7)的右边
式中，
式(13)代入式(14)，有
式中，
同理，式(12)代入式(7)的左边，有
由于式(7)的成立，修正后的基频总解为
(e)采用黎曼和近似，对二次谐波通解积分项写成便于数值求解的形式。
二次谐波通解积分项由黎曼和近似，有
式中，Δz为空间步长，N为空间传播距离z处时Δz的个数。P(nΔz,w1)为基频在z＝nΔz处的复声压，F(P(nΔz,w1))＝P2(nΔz,w1)。
(f)基于声波波长确定空间步长，将基频总解代入到黎曼和，计算出黎曼和。
以声波波长为基准选择合适的空间步长，将式(17)中对应距离处的基频声压代入到黎曼和中，计算出前N项黎曼和。
(g)将黎曼和代入到二次谐波通解中，求解出二次谐波在空间中的声场。
二次谐波由以下式子计算得出
通过传播距离z前的N个基频声压，求解出该点处的二次谐波声压，进而求解出在空间中的二次谐波声场。
下面结合具体数值给出本发明的实施例：
实例参数设置如下：水介质密度ρ＝1000kg/m3，非线性系数β＝3.5，激励频率为100kHz，声压幅值为10kPa。水中声波的吸收与频率的关系表示为α＝2.17×10-7f2dB/m(f以kHz为单位)，基频与二次谐波的声速可认为相等，即c1＝c2＝1500m/s。
图1给出采用弱非线性近似前后基频解随传播距离变化曲线。
由图1可知，弱非线性条件下，(7)式的近似是合理的。
图2给出修正后的基频解与线性近似、Bessel-Fubini解的对比。
图3给出弱非线性条件下二次谐波与Burgers方程解的对比。
由图3可知，在非线性效应远大于耗散效应的情况下，本模型数值解与Bessel-Fubini解吻合得很好，由此验证了本模型的正确性。
改变非线性系数至β＝350，其余参数不变。
图4给出强非线性条件下二次谐波与Burgers方程解的对比。
由图4可知，本模型在强非线性条件下也是适用的。
将纯水介质更换为含气泡水介质，并假设气泡是单一分布的，气泡平衡半径R0＝10um，气泡体积占比为1×10-6，给出激励频率在气泡共振频率(气泡共振频率f0＝3.4×105Hz)附近时含气泡水介质参数：激励频率f＝3.32×105Hz，声压p＝10kPa，非线性系数β＝1.52×104，基频声速c1＝1347m/s，衰减α1＝33.86Np/m，二次谐波声速c2＝1504m/s，衰减α2＝0.07Np/m。
图5给出含气泡水介质中二次谐波随距离变化曲线。
综上，本发明公开了一种不等声速和声衰减下频域有限差分计算方法。该方法首先以空间z方向为主要声传播方向，对Westervelt方程进行时间维度以及空间x、y维度三维傅立叶变换，得到频域上的非线性波动方程；利用一维格林函数，计算出频域非线性波动方程的通解；考虑弱非线性近似，基频采用线性近似表达式，求解得到二次谐波与基频的对应关系；利用得到的二次谐波与基频的对应关系，替代掉基频表达式中卷积项的二次谐波，对基频表达式进行修正；采用黎曼和近似，对二次谐波通解积分项写成便于数值求解的形式；基于声波波长确定空间步长，将基频总解代入到黎曼和，计算出黎曼和；将黎曼和代入到二次谐波通解中，求解出二次谐波在空间中的声场。该方法考虑了介质中基频和二次谐波声速及声衰减的不平等，精确地描述了各阶谐波在频散、衰减介质中的非线性传播，且计算量较小。
Claims (6)
1.一种非线性声场的基频和高次谐波频域有限差分计算方法，其特征在于：步骤如下：
(a)以空间z方向为主要声传播方向，对Westervelt方程进行时间维度以及空间x、y维度三维傅立叶变换，得到频域上的非线性波动方程；
(b)利用一维格林函数，得到频域非线性波动方程的通解；
(c)考虑弱非线性近似，基频采用线性近似表达式，求解得到二次谐波与基频的对应关系；
(d)利用得到的二次谐波与基频的对应关系，替代掉基频表达式中卷积项的二次谐波，对基频表达式进行修正；
(e)采用黎曼和近似，对二次谐波通解积分项写成便于数值求解的形式；
(f)基于声波波长确定空间步长，将基频总解代入到黎曼和，计算出黎曼和；
(g)将黎曼和代入到二次谐波通解中，求解出二次谐波在空间中的声场。
2.根据权利要求1所述的一种非线性声场的基频和高次谐波频域有限差分计算方法，其特征在于：(a)中的频域非线性波动方程为：
式中： w是角频率，ρ是介质的密度，β是介质的非线性系数，p(r,t)是时域声压，P(kx,ky,z,w)是时域声压经三维傅立叶变换后的频域复声压，卷积项与kx,ky,w相关，kx,ky分别是x,y方向上的波数，w＜0时/>而w＞0时/>c(w)是与角频率相关的声速，α(w)是与角频率相关的声衰减，单位是Neper/m。
3.根据权利要求2所述的一种非线性声场的基频和高次谐波频域有限差分计算方法，其特征在于：(b)中的通解为：
式中，M＝βw2/ρc4(w)，P(0)是z＝0处的复声压。
4.根据权利要求3所述的一种非线性声场的基频和高次谐波频域有限差分计算方法，其特征在于：(c)中的二次谐波与基频的对应关系为：
式中，w1、w2分别是基频和二次谐波的负角频率，c1、c2分别是基频和二次谐波的声速。
5.根据权利要求4所述的一种非线性声场的基频和高次谐波频域有限差分计算方法，其特征在于：(d)中的修正后的基频总解为：
式中：
6.根据权利要求5所述的一种非线性声场的基频和高次谐波频域有限差分计算方法，其特征在于：(g)中二次谐波由下式得出：
通过传播距离z前的N个基频声压，得到该点处的二次谐波声压，进而得到在空间中的二次谐波声场。
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