CN111279337A - 正交时频空间调制中格规约 - Google Patents

Abstract

描述了用于正交时频空间(OTFS)调制的判决反馈均衡器中的格规约的方法、***和装置。可由无线通***装置实现的示例性无线通信方法包括接收包括使用OTFS调制方案调制的信息比特的信号。信号中的每个延迟多普勒单元是通过使用正交幅度调制(QAM)映射来调制的。该方法还包括基于信号的单个误差协方差矩阵的逆矩阵来估计信息比特，其中单个误差协方差矩阵表示信号中所有延迟多普勒单元的估计误差。

Description

正交时频空间调制中格规约

相关申请的交叉引用

本专利文件要求2017年9月6日提交的标题为“LATTICE REDUCTION IN OTFSDECISION FEEDBACK EQUALIZER(OTFS判决反馈均衡器中的格规约)”的序列号的美国临时专利申请的优先权和权益。上述专利申请的全部内容通过引用并入为本专利文件的公开内容的一部分。

技术领域

本文件涉及无线通信，更具体地，涉及在无线通信中使用的信号接收方案。

背景技术

由于无线用户装置的数量和这些装置生成或消耗的无线数据量的***性增长，当前的无线通信网络快速地用尽带宽，以适应数据业务的这种高增长，并向用户提供高质量的服务。

在电信工业中正在进行各种努力，以提出可以满足无线装置和网络的性能需求的下一代无线技术。

发明内容

该文件公开了可用于实现接收正交时频空间(OTFS)调制符号并部分地基于用于OTFS调制的格规约技术从这些符号中恢复信息比特的接收器的技术。

在一个示例方面，公开了一种用于在接收器设备处可实现的无线通信的方法。该方法包括接收包括使用正交时频空间(OTFS)调制方案调制的信息比特的信号，其中信号中的每个延迟多普勒单元是使用正交幅度调制(QAM)映射来调制的，以及基于信号的单个误差协方差矩阵的逆矩阵来估计信息比特，其中单个误差协方差矩阵表示信号中所有延迟多普勒单元的估计误差。

在另一示例方面，公开了一种实现上述方法的无线通信装置。

在又一示例方面，该方法可以体现为处理器可执行代码，并且可以存储在非暂时性计算机可读程序介质上。

这些和其他特征在本文件中描述。

附图说明

本文描述的附图用于提供进一步的理解并构成本申请的一部分。示例实施方式及其说明用于解释该技术，而不是限制其范围。

图1示出了无线通信***的示例。

图2是OTFS无线接收器装置中的判决反馈均衡(DFE)的示例实现的框图。

图3示出了格扩展的示例。

图4示出了基的单能改变的示例。

图5示出了基的翻转改变的示例。

图6示出了两个实数格标准秩的实现变换的改变的示例。

图7A和图7B分别示出了关于非规约基和规约基的Babai近似的示例。

图8示出了球解码组合树的示例。

图9是无线信号接收的示例方法的流程图。

图10是无线通信装置的示例的框图。

具体实施方式

为了使本公开的目的、技术方案和优势更加明显，下面将参照附图详细描述各种实施方式。除非另有说明，否则本文件的实施方式和实施方式中的特征可以彼此组合。

在本文件中使用章节标题来提高说明书的可读性，而不以任何方式将讨论或实施方式仅限于相应章节。

1多输入多输出(MIMO)***综述

多输入多输出(MIMO)***的一个基本属性是它为给定带宽提供的数据传输速率增加。这是通过并行发送若干数据流来实现的。数据流可以被编码成QAM符号的并行流，并且可以从保持适当分离的不同发射天线同时发射。通过在一组接收天线上接收这些信号，可以正确地检测这些QAM符号的向量，从而可以正确地恢复所发射的比特流。容量增加与a)发射天线的数量或b)接收天线的数量两者中的最小值成比例。

在接收器处，通常联合检测所接收的QAM向量。MIMO信道的最佳QAM向量检测在计算上极其密集。为了实现合理的天线配置(例如，发射QAM 64的4×4天线)，当前在实践中使用高次优的QAM检测器。

在正交时频空间(OTFS)调制中，由于发射的符号的延迟-多普勒域组织，所有发射的QAM向量经历相同的信道。因此，在均衡之后，所有的QAM向量将具有相同的误差协方差矩阵，表示为R_ee。这个性质在数学上不同于传统的基于正交频分复用(OFDM)的传输，诸如LTE***，因为传统OFDM方案中的每个QAM向量经历不同的信道，因此每个QAM向量的残差矩阵通常是不同的。

所公开的技术的实施方式利用接收器处的OTFS调制的这一性质来将单个预处理算法应用于R_ee。在对R_ee进行预处理之后，计算上开销不大的QAM检测算法(例如，Babai检测器)可以有效地用于所有发射的QAM向量。如本文件中所公开的，预处理算法包括执行格规约。

图1描绘了无线通信***100的示例，其中可以实现本文件中描述的技术。***100可以包括一个或多个基站(BS)和一个或多个用户设备(UE)102。装置102(标记为接收器)可以是以各种形式实现的用户装置，诸如移动电话、智能电话、桌上电脑、计算机等。BS(被标记为发射器)可以向UE 102发射下行链路传输。UE(102)可以向BS发射上行链路传输(图中未明确示出)。由于诸如移动车辆、建筑物、树等的对象，这些传输可能经历失真和多径延迟。类似地，UE可以移动，并且因此可以向UE和BS处的接收信号添加多普勒失真。本文件中描述的方法可以由UE接收器或BS接收器在接收来自BS发射器或UE发射器的传输时实现。

1.1 MIMO信道检测问题

考虑MIMO信道。假设在MIMO信道上发射的QAM信号具有单位能量，并且表示为：

(1.1)y＝Hx+w。

下面的表1解释了后序中使用的一些变量。

表1

1.2基于MMSE接收均衡器和限幅器的QAM检测

最小均方估计(MMSE)均衡器在均方误差意义上找到最可能的发射向量。该算法通常在***中的噪声可以被建模为加性高斯白噪声(AWGN)的假设下实现。

如果MMSE接收均衡器由C表示，则其可以示出为：

(1.2)

将MMSE接收均衡器应用于所接收的向量给出了发射向量的软估计的向量，表示为x_s：

(1.3)x_s＝Cy。

可以使用公知的限幅器来实现简单的符号检测机构。这是通过将软估计映射到最近的QAM星座点来实现的。软估计的向量必须接近所发射的QAM向量，以确保所发射的QAM向量的真正接收。

1.2.1残留误差

令e表示软估计和真实发射向量之间的差：

(1.4)e＝x-x_s。

由R_ee表示e的协方差。然后MMSE理论给出：

(1.5)

1.2.2 ML检测标准

在某些情况下，没有接收器可以比执行基于最大似然(ML)的符号检测的接收器执行得更好。然而，ML接收器在计算上难以处理，因此ML接收器的实现非常困难。所公开的技术的实施方式实现了用于OTFS调制信号的计算上有效的近似ML接收器。

QAM估计问题可以如下公式表示。接收器需要找到最可能发射的QAM向量：

(1.6)

这里，项

表示大小为L_t的QAM估计向量的集合。

1.2.3概率近似

对于(1.1)中描述的信道模型，概率

可以通过均值x_s和协方差R_ee的高斯密度函数很好地近似。

(1.7)

1.2.4经由二次最小化检测QAM向量

使用概率近似，可以执行以下简化：

(1.8)

搜索空间

在L_t中呈指数增长。例如，当L_t＝4，且QAM＝64(对应于64QAM)时，则

(1.9)|QAM^Lt|＝16.77e6。

可以使用试探法来加速搜索。然而，这些“捷径(short cuts)”可能不能提供良好的结果(或者可能不能加速计算)，特别是对于病态信道。在常规MIMO OFDM(例如，LTE)中，将频率块划分为子载波。在每个子载波上发射QAM向量。每个发射的QAM向量经历不同的信道。为了恢复QAM向量，接收器可以为每个子载波执行单独的QAM检测。因此，***中数据子载波的数量进一步增加了上述的计算复杂度。这进一步迫使接收器使用次优检测算法。

1.3用于QAM向量的近似ML检测的预处理阶段

在MIMO OTFS中，在延迟多普勒域中指定要发射的信息。即，对于每个延迟多普勒单元，发射QAM的向量。

表2概括了关于MIMO OTFS信号使用的表示法。

表2

无线对象	表示法	数学对象
			发射天线数量	L<sub>t</sub>	正整数
接收天线数量	L<sub>r</sub>	正整数
			延迟单元的数量	N<sub>υ</sub>	正整数
多普勒单元的数量	N<sub>h</sub>	正整数
			发射的QAM的向量	x	L<sub>t</sub>×N<sub>υ</sub>×N<sub>h</sub>复矩阵

为简单起见，假设QAM向量具有单位平均能量。分配给延迟多普勒单元(τ，v)的QAM向量表示为x(τ，v)。

MIMO OTFS***也可以由(1.1)描述。这里，y表示延迟多普勒域中的接收信号，H表示延迟多普勒域中的信道，w表示延迟多普勒域中的噪声。在OTFS中的典型均衡结构中，前馈均衡器(FFE)被应用在时频域中，并且2D噪声预测DFE被应用在混合延迟时域中。

图2公开了OTFS接收器中的信道均衡的示例实现的框图。在图2中，Y表示时频域中的接收信号，x_h表示硬判决，FFE表示前馈均衡器，FBE表示反馈滤波器，(I)FFT代表(逆)快速傅立叶变换，RAM表示存储中间结果的存储器。令x_in(τ，v)表示延迟τ时的L_t×1维向量(一组软符号)，并且多普勒v被输入到限幅器。对于所有延迟多普勒单元(τ，v)，软符号和硬符号之间的误差e_in为：

(1.10)e_in(τ，v)＝x(τ，v)-x_in(τ，v)。

由于在OTFS中的扩展，输入误差的协方差矩阵在延迟和多普勒帧上是恒定的。即，对于所有的传输延迟-多普勒单元对(τ，v)和(τ′，v′)

(1.11)

这意味着单个矩阵定义或表示给定传输帧的延迟多普勒单元的误差协方差。因此，存在表示为

的L_t×L_t矩阵，使得对于所有的延迟多普勒单元

(1.12)

可以作为DFE计算的副产品来获得。如前所述，检测问题可以用二次最小化问题来近似。对于所有延迟多普勒传输单元(τ，v)，

(1.13)

如果矩阵

是良态的，则沿x_in(τ，v)的标准格坐标对(QAM向量的)每个QAM符号进行限幅的普通限幅器是最佳的。换句话说，如果条件数接近于1，则普通限幅器可以是接近最佳的检测器。

在一些实施方式中，可以通过执行称为格规约的方案来改进矩阵

的状态。章节2和章节3提供了格规约算法的理论框架和一些实现示例。

如图3所示，QAM星座可以被认为是无限格(infinite lattice)的小片。下面的格可以表示为Λ。如果所有项都是整数并且行列式是1，则将矩阵称为单模矩阵。如果矩阵是单模的，则它的逆矩阵也是单模的。此外，如果U是L_t×L_t维的单模矩阵，则

(1.14)

对于单模矩阵U，预条件的格检测问题是

(1.15)

这里，q′＝U^-1q。

存在算法以找到使

良态的单模矩阵U。在一些实施方式中，可以使用Lenstra-Lenstra-Lovász(LLL)格规约算法，并且其在章节2和章节3中进一步详细描述。使用这些结果，可以如下实现OTFS QAM向量检测方案。

1.4使用预处理误差协方差矩阵的近似ML检测

首先，可以实现格规约算法以找到使

良态的单模矩阵U。

接下来，对于每个延迟多普勒单元，使用计算开销不大的算法(例如，章节2中描述的Babai检测器)来解决U预条件检测问题。

然后，将结果乘以U，以得到所发射的QAM向量的近似ML估计。

如前所述，在OTFS中，所有发射的QAM向量经历相同的信道。因此，在MMSE均衡之后，给定帧的所有QAM向量具有相同的误差协方差矩阵(表示为R_ee)。这意味着对于给定的OTFS帧，单个预处理算法(诸如格规约)用于

与OFDM相比，这带来了显著的计算优势。在预处理之后，可以将若干种众所周知的QAM检测算法中的任何一种有效地用于所有传输的QAM向量。

所属领域的技术人员将了解，此技术不能用于标准OFDM***，在标准OFDM***中每个传输的QAM向量经历不同的信道且因此在均衡之后具有不同的残差矩阵。

然而，可以使用本文描述的一些技术来降低传统OFDM接收器中的计算复杂度。例如，如上所述，在OFDM***的情况下，要预处理的误差协方差矩阵的数量将等于***中的数据子载波的数量。如所指出的，在这种***中近似ML检测的复杂度非常高。然而，可以进行一些简化以减轻这种计算负担。例如，可以对来自具有相似信道特性的子载波的R_ee进行平均，以得到单个平均R_ee。该实体可以用作所有这些子载波的代表R_ee。这种机制可以降低OFDM***的计算负荷，但总体性能可能会有所下降。

2 MIMO涡轮均衡器的示例性实施方式

2.1基于的埃尔米特(Hermitian)格

高斯整数。我们用Z_i表示高斯整数的环，即，元素z∈Z_i是形式为如下的复数：

(2.1)z＝a+bi，

其中a，b∈Z。高斯整数构成整数

的平面环的复数概括。本文中的所有构造都将基于C(Z_i)推导，但前提是承认R(Z)的简单对应。特别是，在考虑图解说明时，我们将限制为R(Z)。

欧几里得度量。令

为正定埃尔米特矩阵。对于每个

矩阵R定义了由以下公式给出的CN上的欧几里得度量：

(2.2)R(x，y)＝x^HRy，

对于每个

我们用||-||R表示与R相关的范数，即：

(2.3)

最后，我们用R_N表示单位矩阵I_N给出的在C^N上的标准欧几里得度量，即：

(2.4)R_N(x，y)＝x^Hy，

我们简单地用||-||表示与R_N相关的范数。最后，给定一个点

我们用B_r(x；R)表示相对于度量R围绕x的半径r＞0的球，即：

(2.5)

基础埃尔米特格。秩N的基础埃尔米特格(简称BHL)是一对γ＝(G，R)，其中R是C^N上的欧几里得度量，而G是可逆矩阵

矩阵G定义了满秩高斯格

由以下公式给出：

(2.6)

其中g_k表示G的第k列，即：

(2.7)

或者，满秩高斯格可以表示为：

(2.8)

也就是说，对于某些

每个元素λ∈Λ唯一表示为λ＝Gξ。我们将矩阵G称为格Λ的基，并将整数向量ζ称为λ相对于基G的坐标。基于秩N的埃尔米特格的标准示例是γ_N＝(I，R_N)。简而言之，基础埃尔米特格是配备有基并出现在配备欧几里得度量的复向量空间中的格。基础埃尔米特格是类别中的对象(与作为集合的点的对象相反)。结果，他们承认许多同构的表现，我们称之为实现。要从一种实现转换为另一种实现，需要应用两种基操作：基的改变和坐标的改变。

基的改变。γ的基的改变是基础埃尔米特格γ’＝(G’，R)，其中

T是行列式为1的N×N矩阵，系数在高斯环Z_i中。矩阵T称为基转换矩阵的改变。可以证实，行列式条件确保逆矩阵T^-1也具有整数系数。我们给出两个改变γ₂＝(I₂，R₂)基的示例。第一个被称为基的单能改变(见图4)，并通过以下形式的转换矩阵实现：

(2.9)

其中

基的第二个改变称为翻转(见图5)并且其由以下的转换矩阵实现：

(2.10)

事实上，我们可以证明，每一个单模整数矩阵T，detT＝1，都是翻转转换矩阵和单能转换矩阵的有限组合。当我们讨论计算格规基的算法时，这将变得重要。

坐标的改变。γ的坐标的改变是基础埃尔米特格γ′＝(G′，R′)，其中

并且R′＝A^-HRA^-1，其中A是N×N可逆矩阵。矩阵A被称为坐标改变的转换矩阵。矩阵A定义了欧几里得度量R和R’之间的等距关系，即，对于每个

(2.11)R′(Ax，Ay)＝R(x，y)，

存在被称为上三角实现的卓越实现，其中基矩阵是上三角并且度量R＝I_N。

对应的转换矩阵由A＝UG^-1给出，其中U是柯列斯基分解中的上三角因子：

(2.12)G^HRG＝U^HU，

此外，可以证实：

G′＝AG＝U，

(2.13)

LLL规约基。粗略地说，如果基G的向量相对于度量R是正交的，即对于每个i≠j，R(g_i，g_j)＝0，则基于的埃尔米特矩阵γ＝(G，R)被称为LLL规约(LLL代表Lenstra-Lenstra-Lovász)。

二维。我们分别用P1表示一维子空间

上的正交投影，用

表示互补子空间上的正交投影。对于每个

P₁的公式由以下给出：

(2.14)

定义1.1。如果γ满足以下两个条件，则称γ是LLL规约的：

(1)尺度规约条件：

(2.15)

(2)良序条件：

(2.16)R(g₁，g₁)≤R(g₂，g₂)。

二维理论中的主要陈述总结在以下定理中：

定理1.2(规约定理)。如果g₁，g₂是LLL规约基，那么：

(1)向量g₁满足：

其中

并且λ_short表示Λ中最短的非零向量。

(2)对于

上非零正交投影的每个向量λ∈Λ，向量g₂满足：

换句话说，定理1.2断言，第一基向量g₁不长于格中最短非零向量的标量倍数，其中标量是通用的(不依赖于格)，而第二基向量是最短非零向量模g₁。

广义维度。假设γ的秩为N，我们用V_n表示由前n个基向量所生成的子空间，即

我们采用约定V₀＝{O}。子空间V_n，n＝0，..，N的集合形成了完整的平面：

(2.17)

我们用P_n表示子空间V_n上的正交投影(相对于R)。我们相应地用

表示正交互补子空间上的正交投影。

定义1.3.如果(G，R)满足以下两个条件，则称(G，R)是LLL规约的：

(1)尺度规约条件：对于每个n＝1，..，N-1，并且m＞n，

(2)良序条件：对于每个n＝1，..，N-1，

当G是上三角并且R＝I时，LLL条件具有特别简单的形式。对于每个n＝1，..，N-1，并且m＞n，尺度规约条件具有如下形式：

顺序条件具有如下形式：

|g_nn|²≤|g_n，n+1|²+|g_n，+1，n+1|²。

2.2硬/软检测问题

在该章节中，假设延迟多普勒卷积信道模型：

(2.18)y＝h*x+w。

其中

并且w是噪声项。我们假设输入变量x[τ，ν]是独立的随机变量，取QAM星座集

#Ω＝2^NQ中的值。

我们的最终目标是计算有限后验概率分布。由于这是一个艰巨的问题，我们用圆形对称高斯分布

近似x[τ，ν]的先验概率分布。我们用

表示MIMO符号x＝x[τ，v]的MMSE估计。随机变量

和x通过向后和缩放公式相关：

(2.19)

(2.20)

其中

并且z⊥x。此外，以上公式的参数通过以下公式相关：

(2.21)

R_z＝AR_e。

MMSE变量

为x建立了一个足够的统计量，此外，通过以下公式给出了后验概率分布：

(2.22)

粗略地说，我们希望找到忠实地表示(2.22)的小子集Ω。我们将这个问题称为软MAP检测问题。(2.22)的指数中的表达式建议使用欧几里得度量

定义几何项的解。为此，我们引入了以下概念：

定义2.1围绕点

的大小为K的Ω-球，其中

为有限集：

(2.23)

其中最大半径r(K)，使得

在普通语言中，(2.23)是包含最多K个星座点的围绕

的最大半径的球。特别地，当K＝1时，球由称为MAP检测器的一个元素

组成，其定义如下：

(2.24)

软MAP检测问题被公式化为对于参数K的各种选择计算大小为K的Ω-球的问题。注意，(2.23)给出了大小为K的最优列表的精确数学定义，该列表近似于后验概率分布。在一些实施方式中，随着列表的大小变得更大，对应的近似变得更好。

非固有的后验位概率(LLR计算)。对于每个x∈Ω，令

通过缩放公式(2.20)定义的总MIMO似然函数表示为：

(2.25)

令

表示第n个MOMO符号的第i位，其中n＝1，..，N并且i＝1，...，Q。令

表示(i，n)位的先验概率分布。可以证实(i，n)位上的(确切)非固有的后验概率是由以下公式给出：

(2.26)

其中m：{0，1}^QN→Ω是总映射规则，在位和星座向量之间转换。

通常，在公式(2.26)中，对于大的N或/和Q值，对所有元素b∈{0，1}^QN-1的求和是难处理的。相反，使用列表

我们可以定义近似的似然函数：

(2.27)

使用该近似，通过以下公式定义近似的非固有的概率分布：

(2.28)

(2.28)中的和基于大小的小得多(大小≤K)的集合。为了使(2.28)得到很好的满足，集合

应该满足温和的(mild)技术要求，即对于每个(i，n)和比特值b∈{0，1}，存在向量b∈{0，1)^QN，使得：

(2.29)

2.3格弛豫的示例

在一些实施方式中，计算(2.23)可能是困难的，因为搜索空间Ω随着MIMO维度N和星座顺序Q指数增长。当欧几里得度量R高度地相关时，这种困难增加。减少搜索问题的复杂度的一个示例是将Ω嵌入在更好表现的更大的集合内(并且通常被称为问题弛豫)。

这样做的一个方法是嵌入Ω作为无限(移位)格的子集。令

表示秩为N的标准高斯格。令v₀＝(1+i)/2.1，其中1＝(1，1，..，1)。可以很容易地证实当Q是偶数时，我们有：

(2.30)

设∧具有基础埃尔米特格结构γ＝(G，R)，其中G＝I_N。我们定义

我们考虑以点

为中心的离散球的半径或大小为参数：给定正实数r＞0，我们将围绕

的半径为r的γ-球定义为集合：

(2.31)

换句话说，该集合(2.31)由球内或围绕点

的半径r所有格点组成，或者更精确地说，由相对于标准基的这些点的坐标组成。

给定正整数

我们将围绕

的大小为K的γ-球定义为集合：

(2.32)

其中r(K)为使得

的最大半径，即：

(2.33)

换句话说，集合(2.32)是包含至多K个点的最大半径的γ-球。在一些实施方式中，该关系

是可用的。软格检测问题的解决方案可以被定义为用于选择各种参数K的球

其中，用(2.32)代替(2.23)的一个益处在于，基础埃尔米特格(与星座集合不同)承认多个同构实现(或图像)。这有利地使得能够方便地实现选择γ用于计算(2.32)，并且这种灵活性是采用格弛豫方法的一个原因。

2.4软格检测的近似解的示例

在一些实施方式中，可以有效地实现软格检测问题的近似解。例如，该构造可以使用基础埃尔米特格γ的LLL规约的上三角实现，其被表示为γ_LR。

也就是说，γ_LR＝(U，I_N)，其中U＝(u_nm)是尺度规约的良序的上三角矩阵。我们进一步假设我们被给定基T的改变和坐标A的改变，使得

并且

我们构造了球

的近似，其中

并通过以下关系导出球

的近似：

(2.34)

我们在

上引入了一个概率分布的参数族。对于任意正实数a＞0，我们定义了概率分布

其表示为一维条件概率分布的乘积，即，对于每个

(2.35)

第n个条件概率由以下给出：

(2.36)

其中

(2.37)

我们注意到s_n(ξ[n+1：N])仅仅是确保总概率等于1的归一化因子。此外，复数

具有几何意义：为了解释它，我们用P_n表示基向量u₁，..，u_n所生成的子空间V_n上的正交投影，借由此上三角结构与标准坐标n维子空间V_n＝{x：x[n+1：N]＝0}重合。我们有：

(2.38)

为了获得一些构造的直观判断，考虑当a→∞时的极限情况是有益的。可以看到，在这个极限中，第n个条件概率衰减到元素

支持的确定性δ，其中

表示舍入到最接近的高斯整数到z。向量

称为Babai格点，它可以被解释为连续的取消检测器的解。使参数K的值固定，我们定义了集合：

(2.39)B_K(a)＝{ξ：P_a(ξ)≥1K}。

换句话说，集合B_K(a)由概率≥1K的所有点

组成。显然，因为总概率等于1，所以B_K(a)中的元素数量≤K。结果表明，如果适当地选择参数α，则B_K(a)是球

的良好近似。主要的技术说明是，集合B_K(a)包含一定半径为r的Υ_LR-球，r当然取决于α和K的值。以下引理总结了精确的陈述：

引理4.1(技术引理)。我们有

其中r＝r(a.K)由以下公式给出：

(2.40)

其中a＝ln(ρ)/min_m|u_mm|²。

鉴于引理4.1的有效性，对于给定的K值，自然会问使半径r(a，K)最大化的参数ρ的最优值是多少。

用f(ρ)表示(2.40)的右侧的表达式，并等化导数f′(ρ₀)＝0，可以通过以下公式证实ρ₀和K是相关的：

(2.41)

将ρ₀代入回f’我们得到了用于最优半径的以下公式：

(2.42)

为了使事情有序，可以方便地引入附加参数：对于给定的半径r＞0，我们定义：

(2.43)

为了解释该参数的意义，我们注意到表达式1/2min_m|u_mm|是Babai半径，也就是说，如果

则ξ_babai＝ξ^★，其中ξ^★是最接近

的格点。鉴于这个事实，G(r)可以解释为r在Babai半径上的径向增益。例如，如果G(r)＝2，我们说r在Babai半径上具有3dB的增益。实际上，固定增益G并要求参数K的值使得4·r(K)²/min_m|u_mm|²＝G是很自然的。

使用(2.42)中的表达式和(2.43)中的定义，我们可以导出：

这意味着ρ₀＝16N/G.。因此，使用(2.41)，我们得到：

(2.44)K＝(16Ne/G)^G/4。

从公式(2.44)可以看出，作为径向增益的函数的大小参数K随着MIMO顺序增长为O(N^G/4)，因此，为了实现更大的增益，可以采用更大的列表大小。例如，为了得到3dB的径向增益，我们使用

以及ρ₀＝8N。

2.5球解码器的示例性变形

在该章节中，我们描述了标准球解码器的变形，它特别适合于计算集合B_K(a)。对于该章节的其余部分，我们固定参数K和a的值。接下来，我们引入涉及到球解码基础组合的一些基本的术语。

图8示出了标准格

上的分层有向树结构的示例性定义。树由N+1级组成。

对于每个数字n＝1，..，N+1，我们用Lⁿ表示第n级，它由元素

组成，使得对于每一个m＜n，ξ[m]＝0。特别是，级L^N+1由一个零向量元素组成，称为树的根；在另一个极端，级L¹等于

它的元素称为叶。边连接Lⁿ⁺¹中的顶点与Lⁿ中的顶点；给定一对元素ξⁿ⁺¹∈Lⁿ⁺¹和ξⁿ∈Lⁿ，如果对于每个m≥n+1，ξⁿ[m]＝ξⁿ⁺¹[m]，那么顺序对(ξⁿ⁺¹，ξⁿ)是边。

公式(2.36)可用于在边上引入加权。例如，给定边eⁿ＝(ξⁿ⁺¹，ξⁿ)，它的加权可以定义为：

(2.45)

可以观察到，当且仅当如下公式成立时，叶ξ∈L¹属于集合B_K(a)：

(2.46)

这里e^N，e^N-1，…，e¹是沿着从根到叶ξ的唯一分支的边。注意，在(2.45)中代入a＝1并省略仿射项ln s_n(ξⁿ⁺¹)，我们得到了常规球解码器所使用的加权。在这点上，新的加权可以被解释为球解码器结构的变形。在一些实施方式中，并且基于该加权的树结构，用于计算集合B_K(a)的算法按照沿着加权的树的顶点的深度优先搜索算法进行。

2.6两个维度中的格规约算法的示例

规约算法-不变形式。该算法将基矩阵G接受为输入，并产生LLL规约基矩阵G’作为输出，使得

其中

具体地，该算法构造序列：

(2.47)G＝G⁰，G¹，..，G^K＝G′，

使得

其中

结果，我们有

经由两个基本变换之间的交替来构造序列(2.47)。

(1)尺度规约变换。根据规则

规约第二基向量相对于第一基向量的尺度，其中

通过单模矩阵实现该变换：

(2)翻转变换。根据规则

和

互换基向量。该变换通过单模矩阵实现：

规约算法-上三角形式。我们描述了适用于上三角实现的LLL规约算法的版本。该算法接受上三角基矩阵U作为输入，并产生LLL规约基矩阵U′作为输出，使得

其中

并且

具体地，该算法构造了上三角矩阵的序列：

(2.48)U＝U⁰，U¹，..，U^K＝U′，

使得

其中

并且

(单位矩阵)。结果，我们有

并且

接下来，我们将表示法

用于矩阵U^k的(i，j)坐标，并用

表示第k个基的第n个向量。

(2.48)中的生成器的序列是通过在以下两种类型的变换之间交替来构造的。

(1)尺度规约变换。根据规则

规约第二基向量相对于第一基向量的尺度，其中：

该变换由以下的单模矩阵实现：

(2)翻转变换。根据规则

和

翻转基向量。该基向量的改变由以下的单模矩阵实现：

得到的矩阵

是下三角的并且通过实现A^k＝Q的改变变换回上三角形式，其中Q是G^k+1的QR分解中的单位因子。可替代地，U^k+1＝U-柯列斯基分解G^k+1HG^k+1＝U^HU中的上三角乘法器。

算法的收敛性。规约算法的收敛性可以通过能量考虑证明。我们定义能量公式：

考虑(2.47)中的序列，我们有以下定理：

定理6.1以下不等式总是成立：

E(G^k+1)≤E(G^k)。

此外，当G^k翻转时，对于一些α＜1，我们有E(G^k+1)≤αE(G^k)。

2.7高维度中的格规约算法示例

规约算法-不变形式。不变LLL规约算法将基矩阵G接受为输入，并产生LLL规约基矩阵G’作为输出，使得

其中

具体地，算法构造了以下的序列：

(2.49)G＝G⁰，G¹，...G^K＝G′，

使得

结果，我们有

序列(2.49)是使用两种类型的基变换的改变来构造的。

(1)尺度规约变换。令m＞n∈[1，N]。根据规则

相对于第i个基向量规约第j个基向量的尺度，其中

这里[-]代表最接近的高斯整数。该变换由以下的单模矩阵实现：

即，带有附加非零项T^k(n，m)＝-a的单位矩阵。

(2)翻转变换。令n∈[1，N-1]。根据规则

和

互换第n个基向量和第n+1个基向量。该变换通过以下的单模矩阵实现：

即，除了

的单位矩阵。

备注。该算法仅当尺度规约条件不满足时才应用尺度规约步骤，并且总是在应用尺度规约变换之后并且仅当良序条件不满足时才应用翻转变换。

规约算法-上三角形式。上三角版本的LLL规约算法将上三角基矩阵U接受为输入，并产生LLL规约的上三角基矩阵U’作为输出，使得

其中

并且

更详细地，该算法构造了上三角矩阵的序列：

(2.50)U⁰＝U，U¹，..，U^K＝U′，

使得

其中

并且

结果，

并且令

接下来，我们使用表示法

用于矩阵U^k的(i，j)坐标，并且用

表示第k个基的第n个向量。

使用两种类型的变换来构造序列(2.50)，每种变换是基的改变与实现的改变的组合。

(1)尺度规约变换。根据规则

对于m＞n，相对于第n个基向量u_n规约第m个基向量u_m的尺度，其中：

这通过以下的单模矩阵实现：

即，带有附加非零项T^k(n，m)＝-a的单位矩阵。最后：

注意的是，由于

已经处于上三角形式，因此上三角尺度规约变换具有与其恒量对应部分相同的形式。

(2)翻转变换。对于n＝1，..，N-1，根据规则

和

在第n个基向量和第n+1个基向量之间互换，随后是实现的改变以返回上三角形式。基矩阵的改变由以下给出：

实现矩阵的改变定义如下。令

能够证实除了L＝G^k+1(n：n+1.n：n+1)是下三角以外，G^k+1几乎是上三角。令L＝QR为L的Q-R分解，其中Q是单位的并且R是上三角。我们定义：

即，除了A^k(n：n+1，n：n+1)＝Q，A^k是单位矩阵。最后，

可替代地，我们可以定义U^k+1＝G^k，除了U^k+1(n：n+1，n：n+1)＝U，其中U是柯列斯基因式分解L^HL＝U^HU中的上三角因子。

3用于格检测/规约的示例性实现

类似QAM向量的典型星座可以自然地被看作是

中的平移后的格的截断。该观察提出了将找到最近的星座点的问题(aka CCP问题)放宽到忽略截断边界条件的找到最近的对应格点的问题(aka CLP问题)的想法。与使用星座集合相比，使用格的优点之一是格容许各种基础和实现。这种自由度使得能够实现较低复杂度的检测算法。这种算法的两个示例是启发式Babai检测器和确切的球检测器。两种算法都使用与格相关联的规范加权树结构。

3.1线性代数预备

欧几里得几何。

埃尔米特向量空间。复数上的欧几里得几何学研究埃尔米特向量空间。

定义埃尔米特向量空间是一对(V，R)，其中V是在

上的向量空间，并且

是埃尔米特积。

我们遵循第一个变量是斜线性的约定，也就是说，对于每个v，υ′∈V和λ，

埃尔米特积在线性映射下变换。给定埃尔米特向量空间(V，R)和线性映射A：U→V，对于每个u，u′∈U，通过以下规则定义回调埃尔米特积

A^*(R)(u，u′)＝R(Au，Au′)。

我们注意到与标准矩阵定义的关系。当

时，形式R可以用埃尔米特矩阵R表示，使得对于每个

R(x，y)＝x^HRy，

其中x^H表示作为列向量x的复共轭获得的行向量。此外，如果另外

并且A是N×M矩阵，则：

A^*(R)＝A^HRA，

其中A^H代表A的共轭转置。最后，将埃尔米特向量空间视为埃尔米特矩阵的同等自由对应部分。在后续中，对于每个υ∈V，我们使用如下表示法：

R(υ)＝R(υ，υ)。

对于每个

我们还使用表示法

用于标准埃尔米特积：

R₀(x，y)＝x^Hy，

对偶。埃尔米特向量空间容许对偶。给定埃尔米特向量空间(V，R)，在对偶向量空间V^*上存在规范的埃尔米特形式。为了定义它，令

表示将向量υ∈V发送到线性函数

的规范斜线性映射，对于每个υ′∈V，其定义如下：

映射

是双射，因为R是非退化的。对偶埃尔米特积

的特征在于回调公式：

(3.1)

注意到R^d在第二个变量中是斜线性的。最后，我们注意到与标准矩阵定义的关系。假设

让我们用R₀表示

上的标准内积。对于每个

假设埃尔米特积R由埃尔米特矩阵表示：

R(x，y)＝x^HRy。

在这些假设下，可以说明，对于每个

(3.2)

换句话说，映射

下R^d的回调由矩阵R的逆矩阵表示。

备注。在概率论的框架中对R和R^d存在很好的解释。在这种解释下，形式R是高斯随机变量X∈V的信息矩阵，使得：

对偶形式R^d是X的协方差矩阵。可以说明，对于每对线性函数α，β∈V^*：

换句话说，R^d(α，β)是随机变量X的任意一对标量度量之间的协方差。注意到在标准文本中，R和R^d均由满足R^d＝R^-1的埃尔米特矩阵给出。这个约定不是规范的，而是依赖于V上用来标识V和V*的另一个埃尔米特形式R₀的存在。

正交投影。欧几里得几何中最重要的概念可能是正交投影的概念。令(V，R)为有限维埃尔米特向量空间。令

为线性子空间。U的正交互补由U^⊥表示，并定义为：

U^⊥＝{v∈V：R(v，u)＝0for every u∈U}。

每个向量υ∈V都可以以唯一的方式写为和：

其中P_U(υ)∈U并且

规则

给出了称为U上的正交投影的线性映射P_U：V→V。类似地，规则

给出了称为在U^⊥上的正交投影的线性映射P_U：V→V。能够证实以下恒等式：

换句话说，P_U和

形成该恒等式的正交分解。有趣的是，对于每个υ∈V，P_U可以通过以下几何性质来表征：

换句话说，P_U(υ)是U中相对于欧几里得度量R最接近v的向量。

备注。正交的概念以及因此正交投影的定义在很大程度上依赖于埃尔米特结构R。请注意，即使当

并且

是标准坐标子空间时，除非对于每个

埃尔米特积为以下形式，否则正交互补U^⊥看起来也可能与

不同：

R₀(x，y)＝x^Hy。

舒尔规约。令(V，R)为有限维埃尔米特向量空间。令

为线性子空间。我们通过以下方式定义简并的埃尔米特积

(3.3)R_U(υ，υ′)＝R(P_Uυ，υ′)。

埃尔米特积R_U称为R到子空间U的舒尔规约。可以证实对于每个u∈U^⊥和υ∈V，R_U(u，υ)＝0，因此R_U在商向量空间V/U^⊥上会规约到非简并的埃尔米特积。类似地，相对于U^⊥的舒尔规约由以下给出：

相对于U，埃尔米特积

有时称为R的舒尔互补；它是简并的埃尔米特形式，该形式在商向量空间V/U^⊥上规约到非简并的埃尔米特积。

我们注意到与标准矩阵形式的关系。假设

并且

假设R由具有以下形式的N×N埃尔米特矩阵R表示：

其中A，B和D分别是，K×K，K×N-K和N-K×N-K维矩阵。我们假设^A是可逆的。R_U和

的舒尔规约分别由(单一的)埃尔米特矩阵表示：

(3.4)

基础埃尔米特格。令

为高斯整数的环，其中

这些注解的主要研究对象是位于埃尔米特向量空间内的满秩格。这些对象位于格理论和欧几里得几何的交集。事实上，我们还需要选择所述格的特定基，从而产生基础埃尔米特格的概念。

定义。

上的基础埃尔米特格是三重(V，G，R)，其中：

V是N维复向量空间，

G是线性同构

R是埃尔米特积

基础埃尔米特格(V，G，R)特别定义了格

Λ的元素为

向量λ_i＝G(e_i)的线性组合，其中e_i是

的第i个标准的基向量，也就是：

向量λ₁，..，λ_n∈V形成Λ的基。映射G称为Λ的生成器。埃尔米特向量空间(V，R)称为Λ的实现空间。

备注。基础埃尔米特格是配备有对基的特定选择埃尔米特向量空间中的满秩格。

基础埃尔米特格的两个基本运算包括：

1.基的改变。改变基础埃尔米特格的基相当于改变生成器矩阵G。令

表示高斯单模N×N矩阵的群组，也就是由行列式为1的N×N矩阵组成的集合，其中环

中的系数配备有矩阵乘法的运算(可以说明的是，单模矩阵的逆矩阵也是单模的)。

定义。基础埃尔米特格(V，G，R)的基的改变是具有(V，G’，R)形式的基础埃尔米特格，其中对于一些

2.实现的改变。改变基础埃尔米特格的实现相当于改变实现空间(V，R)。

定义。基础埃尔米特格(V，G，R)的实现的改变是基础埃尔米特格(V’，G’，R’)，其中对于一些同构

日R＝A^*(R′)。

注意如果

那么形式R和R’可以由埃尔米特矩阵表示，并且回调公式R＝A^*(R′)转化成共轭条件：

R＝A^HR′A。

三角实现。令(V，G，R)为基础埃尔米特格。存在两个特殊实现。上三角实现

其中U是上三角矩阵。生成器U由上柯列斯基分解来定义：

G^*(R)＝U^HU。

类似地，存在下三角实现

其中L是下三角矩阵。生成器L由下柯列斯基分解来定义：

G^*(R)＝L^HL。

我们将埃尔米特格的上三角实现称为上三角埃尔米特格，将埃尔米特格的下三角实现称为下三角埃尔米特格。

标准过滤。令(V，G，R)为具有基λ_i＝G(e_i)，i＝1，..，N的基础埃尔米特格。我们定义V的两个提升过滤。下过滤：

其中V_n为由基向量λ₁，..，λ_n生成的V的子空间。上过滤：

其中Vⁿ为由基向量λ_N-n+1，..，λ_N生成的V的子空间。接下来，我们分别使用表示法[R]_n和[R]ⁿ用于R相对于V_n和Vⁿ的舒尔互补。

对偶。基础埃尔米特格容许对偶。令(V，G，R)为具有基λ_i＝G(e_i)，i＝1，..，N的基础埃尔米特格。令

表示对偶基。回顾对于每个j∈[1，N]，

由以下定义：

对偶基础埃尔米特格是三重(V^*，G^d _，R^d)，其中对于每个i∈[1，N]，对偶生成器由以下定义：

注意，在常规意义上，格

对于Λ是对偶的，即，Λ^*＝{α∈V^*：对于每个λ∈Λ，α(λ)∈Z}。

VBLAST格规基。令(V，G，R)为基础埃尔米特格。令λ₁，..，λ_N∈V为对应的基，其中λ_i＝G(e_i)。VBLAST规约条件根据对偶格表示。

定义。对于n∈[0，N-1]，如果λ₁，..，λ_N满足以下条件，我们说λ₁，..，λ_N是Λ的VBLAST格规基：

换句话说，如果基向量是良序，则λ₁，..，λ_N是VBLAST规约的，使得

具有取模

的最小对偶范数。

备注。在Wiener判决反馈均衡理论的框架内，对VBLAST良序条件有很好的解释。在这种解释下，从符号N-n+1，..，N中减去干扰后，前N-n个符号中的最后一个具有最大SNR。这意味着，VBLAST顺序相对于误差传播效果是最佳的。

VBLAST规约算法。VBLAST规约算法将基础埃尔米特格(V，G，R)接受为输入，并产生基础埃尔米特格(V，G’，R)作为输出，使得：

(1)

其中

是置换矩阵，

(2)λ′_i＝G′(e_i)，i＝1，..，N是

的VBLAST格规基。

根据下面的递归公式定义基置换π：[1，N]→[1，N]的VBLAST改变。在步骤n∈[0，N-1]，

令

表示由

生成的子空间。

令

表示Rd相对于

的舒尔互补。

通过以下公式来定义值π(N-n)：

结果，基变换的改变是通过根据π置换恒等式的列而获得的矩阵T。

LLL(Lenstra-Lenstra-

)格规基。可以将LLL规约条件视为上一子章节中解释的VBLAST规约条件的一种概括。令(V，G，R)为基础埃尔米特格。令λ₁，..，λ_N∈V为对应的基，其中λ_i＝G(e_i)。

定义。如果λ₁，..，λ_N满足以下两个条件，我们说λ₁，..，λ_N是LLL规约基：

(1)尺度规约条件，对于每个i＝1，..，N-1并且j＞i：

(2)良序条件.对干每个i＝1，..，N-1：

[R]_i-1(λ_i，λ_i)≤[R]_i-1(λ_i+1，λ_i+1)。

注意到尺度规约条件意味着对于每个i＝1，..，N-1并且j＞i，不等式：

当λ₁，..，λ_N是LLL规约基时，我们说生成器矩阵G是LLL规约的。

规约算法。我们描述LLL规约算法的两个版本。第一个版本独立于格的特定实现，并且第二个版本根据上三角实现来定义。

不变形式。不变LLL规约算法将基础埃尔米特格(V，G，R)接受为输入，并产生(基的改变)基础埃尔米特格(V，G’，R)作为输出，使得：

(1)

其中

(2)

是

的LLL规约基。

更详细地，算法构造了生成器矩阵的序列：

(3.5)G＝G⁰，G¹，..，G^K＝G′，

使得

令

LLL规约生成器

序列(3.5)是使用两种类型的基本变换来构造的。

尺度规约变换。令j＞i∈[1，N]，根据规则

相对于第i个基向量规约第j个基向量的尺度，其中：

这里[-]代表最接近的高斯整数。该变换通过以下的单模矩阵实现：

即，带有附加非零项T^k(i，j)＝-a的单位矩阵。

翻转变换。令i∈[1，N-1]，根据规则

和

互换第i个基向量和第i+1个基向量。该变换通过以下的单模矩阵实现：

即，除了

的单位矩阵。

备注。该算法仅当尺度规约条件不满足的情况下才应用尺度规约步骤，并且在应用尺度规约变换之后并且当且仅当良序条件不满足的情况下应用翻转变换。

上三角形式。LLL规约算法的上三角版本将上三角基础埃尔米特格

接受为输入，并产生上三角基础埃尔米特格

作为输出，使得：

(1)

其中

并且A∈U_N。

(2)λ′_i＝U′(e_i)，i＝1，..，N是

的LLL规约基。

在一些实施方式中，算法构造上三角矩阵的序列：

(3.6)U⁰＝U，U¹，..，U^K＝U′，

使得

其中

并且A^k∈U_N(。令

并且令

规约的上三角实现由

给出。接下来我们使用表示法：

使用两种类型的变换来构造序列(3.6)，每种变换都是基的改变与实现的改变的组合。

尺度规约变换。令Let j＞i∈[1，N]。根据规则

相对于第i个基向量规约第j个基向量的尺度，其中：

这由单模矩阵实现：

即，带有附加非零项T^k(i，j)＝-a的单位矩阵。最后

注意的是，由于

已经处于上三角形式，因此上三角尺度规约变换具有与其不变的对应部分相同的形式。

翻转变换。令i∈[1，N-1]。根据规则

和

在第i个基向量和第i+1个基向量之间互换，随后是实现(realization)的改变，以返回上三角形式。基矩阵的改变由以下给出：

实现矩阵的改变定义如下。令

能够证实除了L＝G^k+1(i：i+1.i：i+1)是下三角以外，G^k+1几乎是上三角。令L＝QR为L的Q-R分解，其中Q是单位的并且R是上三角。我们定义：

即，除了A^k(i：i+1.i：i+1)＝Q，A^k是单位矩阵。最后，

可替代地，除了U^k+1(i：i+1.i：i+1)＝U，我们还可以定义U^k+1＝G^k，其中U是柯列斯基因式分解L*L＝U*U中的上三角因子。

二维的LLL规约理论。由于教学上的原因，有必要在当维度V＝2时的特殊情况下解释通用理论。设置包括基础埃尔米特格(V，G，R)，其中维度V＝2。向量λ₁＝G(e₁)和λ₂＝G(e₂)形成对应秩2格

的基。

定义。加果λ₁，λ₂满足以下两个条件，我们说λ₁，λ₂是Λ的LLL规约基：

(1)尺度规约条件：

(2)良序条件：

R(λ₁，λ₁)≤R(λ₁，λ₁)。

注意到尺度规约条件意味着不等式：

关于LLL规约基的好处是它们由彼此几乎正交的短向量组成。该陈述的定量意义是以下定理的内容。

定理。(规约定理)。如果λ₁，λ₂是LLL规约基，那么：

(1)向量λ₁满足：

其中

并且λ_short表示Λ中最短的非零向量。

(2)对于每个λ∈Λ，向量λ₂满足：

具有在

上的非零正交投影。

换句话说，定理断言第一基向量λ₁不长于格中最短非零向量的标量倍数，其中标量是通用的(不依赖于格)，而第二基向量是最短非零向量模λ₁。

规约算法-不变形式。该算法将基础埃尔米特格(V，G，R)接受为输入，并产生(基的改变)基础埃尔米特格(V，G’，R)作为输出，使得：

(1)

其中

(2)λ′_i＝G′(e_i)，i＝1，2是

的LLL规约基。

在一些实施方式中，该算法构造生成器矩阵的序列：

(3.7)G＝G⁰，G¹，...G^K＝G′

本文中，

其中

序列(3.7)通过在以下两个基本变换之间交替来构造。

尺度规约变换。根据规则

相对于第1个基向量规约第2个基向量的尺度，其中：

该变换通过以下的单模矩阵实现：

翻转变换。根据规则

和

互换基向量。该变换通过以下的单模矩阵实现：

规约算法-上三角形式。算法将上三角基础埃尔米特格

接受为输入，并产生上三角基础埃尔米特格

作为输出，使得：

(1)

其中

并且A∈U₂。

(2)λ′_i＝U′(e_i)，i＝1，2是

的LLL规约基。

在一些实施方式中，该算法构造上三角生成器矩阵的序列：

(3.8)U＝U⁰，U¹，..，U^K＝U′，

使得

其中

并且A^k∈U₂。接下来我们使用表示法：

(3.8)中的发生器的序列是通过在以下两种类型的变换之间交替来构造的。

尺度规约变换。根据规则

相对于第1个基向量规约第2个基向量的尺度，其中：

该变换由单模矩阵实现：

翻转变换。根据规则

和

翻转基向量。该基的改变通过以下的单模矩阵实现：

得到的矩阵

是下三角的并且通过实现A^k＝Q的改变变换回上三角形式，其中Q是G^k+1的QR分解中的单位因子。可替代地，U^k+1＝U-柯列斯基分解G^k+1*G^k+1＝U*U中的上三角乘法器。

算法的收敛性。规约算法的收敛性可以通过能量考虑来证明。我们定义能量公式：

E(G)＝R(λ₁，λ₁)²[R]₁(λ₂，λ₂)

考虑(3.7)中的序列，我们有以下定理。

定理。以下不等式总是成立：

E(G^k+1)≤E(G^k)。

此外，当G^k翻转时，对于一些α＜1，我们有E(G^k+1)≤αE(G^k)

3.2格检测的示例

最近格点(CLP)问题。CLP问题是作为硬有限二次最小化问题(称为最接近星座点(CCP)问题)的弛豫而出现的。我们考虑以下一般设置：

(1)令(V，R)为N维埃尔米特向量空间。

(2)令

为格

的生成器。

(3)令

为称为软估计的V中的点。

(4)令Ω＝(Λ＋υ₀)∩B，其中B是一些有界的集合，并且υ₀∈V是某个平移向量。集合Ω称为星座点的集合。

CCP问题定义如下：

(3.9)

令

CLP问题是(3.9)的以下弛豫：

(3.10)

结果，导出的

的硬估计由

给出。有趣的是，由于格弛豫而产生的性能代价可以忽略。

备注。注意，标准QAM星座集合可以被视为平移后的高斯格的截断。

经由格规约来促进CLP。考虑CCP问题的格弛豫的主要优势是，与星座集合相比，格容许可用于减少CLP最小化问题的复杂度的各种基础和实现。具体地，令

为(V，G，R)的LLL规约的上三角实现。回顾：

其中

(1)U是上三角。

(2)

(3)

是满足A*(R₀)＝R的同构。

(4)λ_i＝U(e_i)，i＝1，..，N是格

的LLL规约基。

注意，一旦T是已知的(例如在应用了不变LLL规约算法之后)，矩阵U就可以经由柯列斯基分解获得：

令

在规约的实现中的CLP问题由以下定义：

通过规则

从“规约的”最小值a^*导出硬判决

我们称规约基中的CLP问题为LR CLP。

格检测问题。本文中，描述了根据通信理论的各种检测问题的CLP弛豫。

单抽头信道的格检测问题。首先考虑单抽头信道模型的更简单情况：

(3.11)y＝h(x)+w，

其中：

(1)

是信道变换。

(2)x∈Ω是假设属于星座集合的发射向量。

(3)

是接收的向量。

(4)

是假设为均值零和协方差矩阵R_ww的高斯随机向量

均噪声项。

为了定义CLP问题，我们假设高斯先验

通常，对于某个正功率P，R_xx＝P·Id。在这些假设下，给定y的x的条件概率采用以下形式：

其中

并且

换句话说，

是根据y的x的MMSE估计器，而R_ee是残留误差

的协方差矩阵。检测问题由以下方式定义：

结果，CLP弛豫由以下方式定义：

其中

多抽头信道的格检测问题。现在考虑色散信道模型：

(3.12)y＝h(x)+w，

其中：

(1)h是信道抽头的序列，

(2)x是发射序列，

(3)y是接收序列，

(4)ω是假设在时间上与

不相关的噪声序列。

我们进一步假设信道是因果的，也就是说，对于每个k＜0以及有限的，也就是说，对于每个k＞v，h[k]＝0。

(3.12)中的项h(x)代表卷积：

为了定义CLP问题，我们假设x上的不相关高斯先验，其中

在这些假设下，我们定义

为x的判决反馈Wiener估计，由以下形式给出：

(3.13)

在本文中，

(1)

是Wiener前滤波器。

(2)b＝b[1]，..，b[v]∈Hom(V，V)是严格的Wiener反馈滤波器。

例如，(3.13)是两个卷积项的和：

可以示出的是，误差序列

在时间上与

不相关。采取埃尔米特形式

在时间n处的检测问题由以下形式定义：

结果，在时间n的CLP弛豫由以下形式定义：

其中

DF Weiner滤波器的计算以及残留协方差矩阵。第一步是将(3.12)中的信道模型转化为矩阵形式。为此，定义列向量：

Y＝[y[0]^T，..，y[μ]^T]^T∈Mat(n_yM，1)，

x＝[x[-v]^T，..，x[μ]^T]^T∈Mat(n_xM，1)

w＝[ω[0]^T，..，w[μ]^T]^T∈Mat(n_yM，1)。

其中n_y＝μ+1，n_x＝μ+v+1。我们将矩阵定义如下：

在这些约定下，信道模型转化为矩阵公式：

(3.14)Y＝HX+W。

此外，通过以下方式定义Wiener逆信道：

(3.15)X＝CY+E，

其中C∈Mat(n_xN，n_yM)是取决于Y的X的Wiener估计器以及E是残留误差，根据定义，E与Y不相关。我们有以下公式：

将R_EE考虑成n_x×n_x分块矩阵。令R_EE＝LDU为块LDU分解，其中U是分块上三角形，I_M在对角线的每个分块上，D是分块对角线，并且L＝U^H。

将L^-1应用于逆信道公式(3.15)的两侧以得到：

(3.16)L^-1 X＝L^-1 C Y+L^-1 E，

公式(3.16)示出以下属性：新噪声项L^-1E在时间上与

不相关。写成L^-1＝I-B。注意，B是严格地分块下三角。代入(3.16)中，我们得到：

(3.17)X＝L^-1 C Y+B X+L^-1 E。

取公式(3.17)两边的第0块坐标，我们得到：

我们有：

(1)

(2)

(3)R_ee＝D₀，0。

多抽头2D信道的格检测问题。令

令

表示对M取模的整数环。元素

被称为频率时隙。我们考虑色散2D信道模型：

(3.18)y＝h(x)+w，

其中：

(1)

称为2D信道。

(2)

称为发射频率。

(3)

称为接收频率。

(4)

称为噪声频率。

假设噪声序列在时间和频率上与

不相关。我们进一步假设该信道是因果的且时间有限的，也就是说，对于每个k＜0并且k＞v时h[k，l]＝0。

(3.18)中的项h(x)代表2D卷积：

其中在第二个求和下面的方程式l₁+l₂＝l是对N_f取模。因此，第一个卷积是线性的，第二个卷积是循环的。我们假设在x上的不相关的高斯先验，其中

在这些假设下，我们将

定义为x的2D判决反馈Wiener估计，由以下形式给出：

(3.19)

其中：

(1)

是2D Wiener前滤波器。

(2)b＝b[1，l]，..，b[v，l]∈Hom(V，V)是严格的Wiener反馈滤波器。

更明确地，(3.19)是两个卷积项的和：

可以说明，误差序列

在时间上并且Toeplitz在频率上与

不相关，

在对CCP问题的定义中，通过取

我们忽略不同频率之间的相关。在时间n和频率l处的检测问题由以下形式定义：

结果，在时间n和频率l处的CLP弛豫由以下形式定义：

其中

备注。忽略CCP问题定义中不同频率时隙之间的互相关会导致

联合检测问题的次优弛豫。当这些交叉项与对角项r₁₁相比较小时，我们预计性能损失将较小。

通过傅立叶域表示的2D Wiener滤波器的计算。在本文中，描述了将2D Wiener滤波器f[k，l]和b[k，l]的计算以及残留协方差矩阵规约到1D计算。为此，在(3.18)中，将沿频率维度的(归一化的)DFT应用于2D信道模型。这产生了以下形式的信道模型：

(3.20)Y＝H(X)+W，

其中：

(1)

(2)

(3)

(4)

我们将(3.20)称为2D信道模型(3.18)的傅立叶域表示。

由于DFT是单一变换，因此傅立叶噪声项在时间和频率上与

不相关。最重要地，DFT将循环卷积转换为乘法。因此，傅立叶2D信道模型由N_f个非相互作用的1D信道组成，即，对于每个l＝0，..，N_f-1：

令

表示根据Y的X的DF Wiener估计，其中

和B[k，l]∈Hom(V，V)分别是前和后Wiener滤波器。可以说明残差

在时间和频率上与

l＝0，..，N_f-1不相关。我们有：

f[k，l]＝IDFT_l(F[k，l])，

b[k，l]＝IDFT_l(B[k，l])，

3.3 CLP检测算法的示例

在本章节中，我们描述了用于找到CLP的各种算法。该算法分为两类：确切算法和启发式算法，确切算法找到真正的最小值，启发式算法找到最小值的近似值。如何权衡是复杂的。所有算法结合了格的基本加权树结构表示，其中树的叶与格中的向量1-1对应。这使得能够定位允许分支和边界搜索策略的搜索问题。各种算法之间的不同之处在于对树进行搜索所应用的策略。

设置。我们假设以下设置：

(1)令(V，G，R)是基础埃尔米特格。

(2)令

为具有基λ_i＝G(e_i)，i＝1，..，N的相关联格。

(3)令

为软估计。

CLP问题由以下形式定义：

换句话说：在格Λ中找到关于欧几里得度量R的最接近于

的点。

格树。存在与(V，G，R)和

相关联的规范的加权树结构

称为格树。

正式地，格树是三重

其中：

(1)

是顶点的集合。

(2)ε是边的集合。

(3)

是边上的加权函数。

格树的拓扑结构。格树的拓扑结构根据标准格

定义。顶点的集合是N+1层的不相交并集：

其中

是在层k的顶点的集合。结果，边的集合是N层不相交并集：

其中

是将层k与层k+1连接的边的集合。ε^k中的边是顺序对(a，b)，使得对于每个l≥N-K+1，b[l]＝a[l]。

请注意，

是深度为N的统一无限树。

的根为零向量

零层

所有分支具有长度N，并且与

中的向量一一对应。在这种对应下，向量

与分支相关联：

其中

并且e^k＝(a^k，a^k+1)∈ε^k。顶点a^k由以下形式定义：

最后，我们引入以下表示法。给定顶点

我们用

表示从a发出的边，并且如果k≥1，我们用in(a)∈ε^k-1表示指向a的唯一边。定义。

格树的加权结构。根据基础埃尔米特格(V，G，R)和软估计

来定义加权函数ω。我们的方法是首先描述顶点加权函数μ：

然后将ω导出为μ的局部版本。对于每个

ω和μ之间的精确关系为：

其中：

是连接根与a^k的唯一分支。我们固定顶点

定义。加权μ(a^k)定义如下：

(3.21)

换句话说，μ(a^k)是测量模λ₁，..，λ_N-k的向量

与向量G(a^k)的平方距离。为了定义ω，我们引入了表示法：

(3.22)

令e^k＝(a^k，a^k+1)∈ε^k。

定义。加权ω(e^k)定义如下：

(3.23)

在下面的命题中正式化顶点和边加权之间的关系。

命题。我们有：

μ(a^k+1)＝μ(a^k)+ω(e^k)。

加权函数的显式公式。为了以显式形式写入权重值，我们假设(V，G，R)是上三角实现。也就是：

(1)

(2)G＝U是上三角矩阵。

(3)R＝<-，->是

上的标准埃尔米特积。

在该实现中，对于每个k＝0，..，N：

V_k＝{(x₁，..，x_N)：x_i＝0，i≥k+1}，

正交投影

和

由

和

给出，其中：

给定顶点

加权μ(a^k)由以下给出：

(3.24)

其中

给定边e^k＝(a^k，a^k+1)∈ε^k，加权ω(e^k)由以下形式给出：

(3.25)

其中

备注。在一些实施方式中，由于计算的原因，在上三角实现中操作是有益的，因为加权公式可以通过简单的递归公式用发生器U的系数来明确地表示。

Babai检测器。Babai检测器是最简单的启发式检测器。Babai检测器的输出是分支

对于每个k＝0，..，N-1，递归定义为：

换句话说，Babai检测器是贪婪算法，它选择每一层经由最小加权的边延伸到下一层的分支。

备注。在一些实施方式中，Babai格检测器等效于判决反馈MMSE。然而，在应用LLL基规约之后，Babai检测器的性能显著优于标准DFMMSE。

球检测器。球检测器是确切检测器。球检测器根据深度优先搜索策略穿过格树，在该策略中，

的边根据它们的加权按升序被选择。该算法包含一个阈值参数T，该参数在开始时初始化为T＝∞。该算法遵循以下两个规则：

(1)当达到叶

更新T←μ(a^N)。

(2)仅当μ(a^k+1)＜T时，从

至

分支。

图9是用于无线数据接收的方法900的流程图。方法900包括，在910，接收包括使用正交时频空间(OTFS)调制方案调制的信息比特的信号，其中使用正交幅度调制(QAM)映射来调制信号中的每个延迟多普勒单元。使用本文件中描述的技术，方法900可以从信号中成功地解码和提取信息比特。

方法900包括，在920，通过对表示所有延迟多普勒单元的估计误差的单个误差协方差矩阵进行求逆和预处理来估计信息比特。换句话说，是基于信号的单个误差协方差矩阵的逆矩阵来估计信息比特。

如本文件中所述，在一些实现中，方法900可以进一步包括计算单模矩阵U，并且通过与U相乘来改进单个误差协方差矩阵的数值条件(或等效地，减小条件数)。尽管可以使用若干种方法，例如，强力方法来计算矩阵U，但是在一些实施方式中，可以使用格规约算法(包括在第2和3章节中描述的示例性实现)来减少数值复杂度。在一些实施方式中，格规约算法可以包括尺度规约变换，随后是翻转变换。在示例中，尺度规约变换可以基于第一单模矩阵，并且翻转变换可以基于第二(不同)单模矩阵。

方法900还可以包括格检测。此外，这可以包括将上述检测到的格转换为标准格(QAM格)，并通过执行符号到比特的解映射来估计信息比特。在一些实施方式中，方法900包括，对于每个延迟多普勒单元，对格规约算法的输出执行Babai检测(格检测)。在一些实施方式中，方法900包括，对于每个延迟多普勒单元，对格规约算法的输出执行球检测(格检测)。在一些实施方式中，并且更一般地，方法900包括，对于每个延迟多普勒单元，对格规约算法的输出执行最接近的格点(CLP)检测。在一些实施方式中，可以使用LLL算法、BlockKorkine Zolotarev(BKZ)算法、随机采样规约(RSR)算法或原始对偶规约(PDR)算法来实现格规约算法。

方法900还可以包括首先确定单个误差协方差矩阵的逆矩阵是数值上良态的(或等效地，具有接近于1的条件数)，然后对每个延迟多普勒单元中的QAM符号执行限幅操作。

图10是无线通信装置1000的示例的框图。装置1000可以包括处理器1002、存储器1004和收发器电路1006。处理器可以实现在本文件中描述的各种操作，包括但不限于在章节2中描述的MIMO涡轮均衡器和在章节3中描述的示例性格规约算法实现。存储器可用于存储在实现操作时由处理器使用的代码和数据。收发器电路可以接收OTFS和其它类型的信号。

将会理解，除其他特征以外，本文件还公开了允许在OFTS***中提供近似最大似然性能的实施方式的技术。理想地，最大似然算法可以产生理论上最佳的结果。然而，实际***可以使用Babai检测器或球解码器，以实现几乎与ML接收器一样好的性能。如本文所讨论的，格规约可用作用于实施Babai检测器或球解码器的预处理步骤。特别地，对于OTFS调制信号，可以通过对单个R_ee矩阵求逆来减少实现的复杂度，使得格规约的实现在计算上是可承受的(与OFDM信号相比)。此外，由于只需要处理一个矩阵，而不是在OFDM***的情况下需要处理多个矩阵，因此矩阵的条件也变成了在数字上更容易的任务。

可以在数字电子电路中、或者在计算机软件、固件或硬件中，包括在本文件中公开的结构及其结构等同物，或者在它们中的一个或多个的组合中，实现在本文件中描述的所公开的和其他实施方式、模块和功能操作。所公开的和其他实施方式可以被实施为一个或多个计算机程序产品，即，在计算机可读介质上编码的计算机程序指令的一个或多个模块，用于由数据处理装置执行或控制数据处理装置的操作。计算机可读介质可以是机器可读存储装置、机器可读存储基板、存储器装置、实现机器可读传播信号的物质组成，或它们中的一个或多个的组合。术语“数据处理装置”包括用于处理数据的所有装置、设备和机器，包括例如可编程处理器、计算机、或多处理器或计算机。除了硬件之外，该装置还可以包括为所讨论的计算机程序创建执行环境的代码，例如构成处理器固件、协议栈、数据库管理***、操作***或它们中的一个或多个的组合的代码。传播的信号是人工生成的信号，例如机器生成的电、光或电磁信号，其被生成以对信息编码以传输到合适的接收器装置。

计算机程序(也称为程序、软件、软件应用程序、脚本或代码)可以以任何形式的编程语言来编写，其中编程语言包括编译或解释语言，并且可以以任何形式来部署，包括作为独立的程序或作为模块、组件、子例程或适于在计算环境中使用的其他单元。计算机程序不必对应于文件***中的文件。程序可以存储在保存其他程序或数据的文件的一部分(例如，存储在标记语言文件中的一个或多个脚本)中，存储在专用于所讨论的程序的单个文件中，或者存储在多个协调文件(例如，存储一个或多个模块、子程序或代码部分的文件)中。计算机程序可被部署为在一个计算机上或在位于一个站点或分布在多个站点上并通过通信网络互连的多个计算机上执行。

在本文件中描述的过程和逻辑流程可以由一个或多个可编程处理器执行，该可编程处理器执行一个或多个计算机程序以通过对输入数据进行操作并生成输出来执行功能。过程和逻辑流程也可以由专用逻辑电路(例如，FPGA(现场可编程门阵列)或ASIC(专用集成电路))来执行，并且装置也可以实施为专用逻辑电路。

适于执行计算机程序的处理器例如包括通用和专用微处理器，以及任何类型的数字计算机的任何一个或多个处理器。通常，处理器将从只读存储器或随机存取存储器或两者接收指令和数据。计算机的基本元件是用于执行指令的处理器和用于存储指令和数据的一个或多个存储器装置。通常，计算机还将包括或被可操作地联接以从一个或多个大容量存储装置接收数据或向一个或多个大容量存储装置传递数据或从一个或多个大容量存储装置接收数据也向一个或多个大容量存储装置传递数据，大容量存储装置用于存储数据，例如磁盘、磁光盘或光盘。然而，计算机不必具有这种装置。适于存储计算机程序指令和数据的计算机可读介质包括所有形式的非易失性存储器、介质和存储器装置，包括例如半导体存储器装置，例如EPROM、EEPROM和闪存装置；磁盘，例如内部硬盘或可移动磁盘；磁光盘；以及CD ROM和DVD-ROM盘。处理器和存储器可以由专用逻辑电路补充或并入专用逻辑电路中。

虽然本专利文件包含许多细节，但这些不应被解释为对所要求保护的发明或可被要求保护的发明的范围的限制，而是被解释为对特定实施方式的具体特征的描述。在本文件中在单独实施方式的上下文中描述的某些特征也可以在单个实施方式中组合实现。相反地，在单个实施方式的上下文中描述的各种特征也可以在多个实施方式中单独实现或者在任何合适的子组合中实现。此外，尽管上面可以将特征描述为在某些组合中起作用，并且甚至初始是如此要求保护的，但是在一些情况下，可以从组合中去除要求保护的组合中的一个或多个特征，并且要求保护的组合可以形成为子组合或子组合的变型。类似地，虽然在附图中以特定顺序描述了操作，但这不应被理解为要求以所示的特定顺序或以连续的顺序执行这些操作，或者要求执行所有示出的操作以实现期望的结果。

仅公开了几个示例和实现。可以基于所公开的内容对所描述的示例和实现以及其他实现进行变型、修改和增强。

Claims (15)

1.一种由无线通***装置实现的无线通信方法，包括：

接收包括使用正交时频空间(OTFS)调制方案调制的信息比特的信号，其中所述信号中的每个延迟多普勒单元是通过使用正交幅度调制(QAM)映射来调制的；以及

基于所述信号的单个误差协方差矩阵的逆矩阵来估计所述信息比特，其中所述单个误差协方差矩阵表示所述信号中的所有延迟多普勒单元的估计误差。

2.根据权利要求1所述的方法，还包括：

计算包括整数项并具有单位行列式的单模矩阵；以及

基于与所述单模矩阵相乘来减小所述单个误差协方差矩阵的所述逆矩阵的条件数。

3.根据权利要求1所述的方法，还包括：

在确定所述单个误差协方差矩阵的所述逆矩阵是数值上良态时，对所有延迟多普勒单元中的QAM符号执行限幅操作。

4.根据权利要求2所述的方法，其中计算所述单模矩阵包括应用格规约算法来获得所述单模矩阵。

5.根据权利要求4所述的方法，其中应用所述格规约算法包括：

应用Lenstra Lenstra Lovasz(LLL)格规约算法。

6.根据权利要求4或5所述的方法，还包括：对于每个延迟多普勒单元，对所述格规约算法的输出执行巴拜(Babai)检测。

7.根据权利要求4或5所述的方法，还包括：对于每个延迟多普勒单元，对所述格规约算法的输出执行球检测。

8.根据权利要求4或5所述的方法，还包括：对于每个延迟多普勒单元，对所述格规约算法的输出执行最接近格点(CLP)检测。

9.根据权利要求4至8中任一项所述的方法，其中，所述格规约算法包括尺度规约变换，随后是翻转变换。

10.根据权利要求9所述的方法，其中所述尺度规约变换基于所述单模矩阵，并且其中所述翻转变换基于不同于所述单模矩阵的另一单模矩阵。

11.根据权利要求4所述的方法，其中，所述格规约算法包括Lenstra Lenstra Lovasz(LLL)算法、Block Korkine Zolotarev(BKZ)算法、随机采样规约(RSR)算法或原始对偶规约(PDR)算法。

12.根据权利要求1所述的方法，还包括：对于每个延迟多普勒单元，将检测到的符号的输出转换为标准格。

13.根据权利要求1所述的方法，其中，所述估计信息比特包括对QAM符号执行符号到比特的解映射。

14.一种无线通信设备，包括存储指令的存储器和处理器，其中所述指令在由所述处理器执行时使所述处理器实现根据权利要求1至13中任一项所述的方法。

15.一种无线信号传输装置，包括存储器、处理器和传输电路，所述装置实现如权利要求1至13中任一项所述的方法。

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