CN111240212B - 一种基于优化预测的倾转旋翼无人机控制分配方法 - Google Patents

一种基于优化预测的倾转旋翼无人机控制分配方法 Download PDF

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Abstract

本发明属于无人机控制分配领域，涉及一种基于优化预测的倾转旋翼无人机控制分配方法。本发明的优化预测控制分配方法是在传统伪逆法的基础上引入零空间的概念，通过零空间向量的补偿项，拓展伪逆解的可达控制集合，从而拓展了传统伪逆法的转矩可达集合，提升了控制分配效率。针对倾转旋翼无人机过渡模态下存在的控制冗余和复杂扰动的现象，本发明的优化预测控制分配方法能够实现转矩可达集合内的完全分配，实现控制解耦，保证过渡过程的姿态稳定，提升控制效果。

Description

一种基于优化预测的倾转旋翼无人机控制分配方法
技术领域
本发明属于无人机控制分配领域，涉及一种基于优化预测的倾转旋翼无人机控制分配方法。
背景技术
倾转旋翼无人机结合传统直升机和固定翼飞机的优点，能够实现垂直起降，高速巡航，适用于不同的实际场景，满足不同的任务需求。但是倾转旋翼的设计对控制分配提出了更高的要求。以过渡阶段为例，就倾转旋翼无人机的姿态控制而言，旋翼和舵面都能起到控制作用，存在控制冗余的现象，而前倾的旋翼在前向和垂向上都有着分力，使得旋翼的滚转和偏航控制上存在控制耦合现象。此外由于过渡阶段存在着复杂的内外扰动现象，使得过渡过程中姿态波动较大，无人机的安全性收到威胁，因此需要运用控制分配技术解决控制冗余和控制耦合的问题，同时对期望力矩的完全分配，能提高倾转旋翼无人机的机动能力，保证过渡过程中的稳定性与安全性。
控制分配技术从原理上分为两类：线性分配算法与非线性分配算法。其中，非线性算法虽然更能适应于高维度，强非线性的问题，但是由于机载能力的限制，难以实际应用。而线性分配算法由于实现简单，在工程实际中应用广泛，但该方法不能实现转矩可达集合内的完全分配。
发明内容
针对线性分配算法不能实现转矩可达集合内完全分配的问题，本发明提供了一种基于优化预测的倾转旋翼无人机控制分配方法，本方法通过引入控制效能矩阵的零空间的补偿项，使得在满足一定假设条件下，能实现转矩可达集合的分配，提升了传统伪逆法的分配效率。
本发明提供了一种基于优化预测的倾转旋翼无人机控制分配方法，包括如下步骤：
S1：计算倾转旋翼无人机当前模态下的控制效能矩阵B；
S2：输入期望三轴力矩的单位化向量
Figure BDA0002424651470000021
为期望三轴力矩向量，其中，L、M、N分别表示滚转力矩、俯仰力矩和偏航力矩；
S3：计算伪逆解
Figure BDA0002424651470000022
并对伪逆解向量
Figure BDA0002424651470000023
单位化处理得到单位伪逆解
Figure BDA0002424651470000024
S4：基于步骤S3中计算得到的单位伪逆解
Figure BDA0002424651470000025
判断第一个饱和的作动器；
S5:计算伪逆解系数和零空间系数；
S6：确定下一个饱和的作动器并更新优化预测解系数；
S7：判断是否遍历所有的作动器，若所有作动器饱和时的优化预测解系数都已经确定，则进行步骤S8，否则不断执行步骤S6，直至所有作动器达到饱和；
S8：查表法确定任意期望转矩下的优化预测解。
进一步，步骤S1具体过程如下：
对倾转旋翼无人机过渡过程中的控制效能矩阵进行计算。确定倾转旋翼无人机过渡走廊内的某一状态点，得到安全可靠的飞行速度V和短舱倾转角δ，在当前状态下对倾转旋翼无人机六自由度非线性动力学模型进行配平与线性化，得到小扰动状态方程：
Figure BDA0002424651470000026
其中，x为***状态变量；y为***输出；u为***控制输入；上标·表示一阶导数；A、Bu、C均表示常数矩阵；
提取系数矩阵Bu中的力矩系数，得到倾转旋翼无人机当前模态下的控制效能矩阵B：
Figure BDA0002424651470000031
其中，CL,CM,CN分别表示滚转力矩系数、俯仰力矩系数、偏航力矩系数；{δg|g＝1,2,…m}表示作动器，m为作动器数量。
进一步，步骤S3具体过程如下：
求解控制分配问题
Figure BDA0002424651470000032
通过求解控制效能矩阵B的逆矩阵B-1得到伪逆解
Figure BDA0002424651470000033
对伪逆解
Figure BDA0002424651470000034
进行单位化处理得到单位伪逆解
Figure BDA0002424651470000035
进一步，步骤S4具体过程如下:
基于步骤S4计算得到的单位伪逆解
Figure BDA0002424651470000036
找到使得只有一个作动器饱和的伪逆解系数a0使得
Figure BDA0002424651470000037
满足式(2)：
Figure BDA0002424651470000038
式中，
Figure BDA0002424651470000039
表示在可达控制集合Ω内伪逆法能够输出的沿着期望力矩方向的最大力矩；
Figure BDA00024246514700000310
表示优化预测解中的伪逆解部分；
Figure BDA00024246514700000311
表示优化预测解中的零空间解部分；Ω为可达控制集合，
Figure BDA00024246514700000312
其中，
Figure BDA00024246514700000313
表示作动器位置向量，ui表示作动器i的位置，m是作动器的数量，
Figure BDA00024246514700000314
表示m维向量空间，ulwri表示作动器i的位置下限，uupri表示作动器i的位置上限；δ(Ω)表示可达控制集合的边界；PSmin表示伪逆解的集合，
Figure BDA00024246514700000315
Φ为转矩可达集合，
Figure BDA00024246514700000316
Figure BDA00024246514700000317
表示n维向量空间，
Figure BDA00024246514700000318
表示转矩可达集合Φ内的力矩向量；计算使得只有一个作动器饱和的伪逆解系数a0，得到第一个饱和的作动器。
进一步，步骤S5具体过程如下:
由步骤S4得到，当只有一个作动器饱和的伪逆解系数a0对应的零空间系数
Figure BDA0002424651470000041
设下一个作动器饱和时的伪逆解系数为a1，求解对应的零空间系数
Figure BDA0002424651470000042
设定局部优化代价函数
Figure BDA0002424651470000043
如式(3)：
Figure BDA0002424651470000044
其中，上标T表示转置矩阵；
Figure BDA0002424651470000045
表示拉格朗日算子；
Figure BDA0002424651470000046
表示零空间的标准正交基；
Figure BDA0002424651470000047
表示伪逆解系数为a0时对应的伪逆解
Figure BDA0002424651470000048
Figure BDA0002424651470000049
表示伪逆解系数为a1时对应的伪逆解
Figure BDA00024246514700000410
脚标sat表示向量中与饱和作动器相对应的元素；
通过求解式(3)得到二范数最小的零空间解
Figure BDA00024246514700000411
Figure BDA00024246514700000412
其中，
Figure BDA00024246514700000413
进一步，步骤S6具体过程如下：
假定随着期望力矩幅值逐渐增大，作动器从未饱和逐渐达到全部饱和，为此需要判定饱和顺序以及饱和集合对应的伪逆解系数，求解步骤S5中的下一个作动器饱和时的伪逆解系数a1；
定义：
Figure BDA00024246514700000414
其中，
Figure BDA00024246514700000415
表示输入期望力矩为
Figure BDA00024246514700000416
时的伪逆解；
Figure BDA00024246514700000417
表示输入期望力矩为
Figure BDA00024246514700000418
时的伪逆解；Δa表示伪逆解系数增量；
由式(4)求得当伪逆解为
Figure BDA00024246514700000419
时分别对应的零空间解
Figure BDA00024246514700000420
得到最优控制量为：
Figure BDA0002424651470000051
Figure BDA0002424651470000052
定义每单位a0变化下最优控制解的速率改变
Figure BDA0002424651470000053
Figure BDA0002424651470000054
其中，
Figure BDA0002424651470000055
表示
Figure BDA0002424651470000056
中未饱和作动器i对应的值；
Figure BDA0002424651470000057
表示
Figure BDA0002424651470000058
中未饱和作动器i对应的值；S1表示未饱和作动器集合；
随着增益变化各个未饱和作动器的变化趋势
Figure BDA0002424651470000059
为：
Figure BDA00024246514700000510
其中，sgn表示符号函数；
由式(6)和(7)得到作动器饱和评定参数δa0(i)：
Figure BDA00024246514700000511
将最小的作动器饱和评定参数δa0(imin)对应的指数imin加入当前已饱和作动器集合S2，计算下一个作动器饱和时的伪逆解系数a1：
a1＝a0+Δa+δa0(imin) (9)
由式(4)计算得到伪逆解系数a1对应的零空间系数
Figure BDA00024246514700000512
得到当前饱和集合S2下的优化预测解
Figure BDA00024246514700000513
Figure BDA00024246514700000514
进一步，步骤S8具体过程如下：
设
Figure BDA0002424651470000061
表示迭代次数为s,s＝0,1,...,k-1时的优化预测解系数，对应向量的二范数为
Figure BDA0002424651470000062
将
Figure BDA0002424651470000063
集合写成矩阵形式：
Figure BDA0002424651470000064
其中，k表示作动器全部达到饱和时的迭代次数；
将二范数
Figure BDA0002424651470000065
集合写成矩阵形式：
Figure BDA0002424651470000066
对于一个任意力矩向量
Figure BDA0002424651470000067
且
Figure BDA0002424651470000068
通过式(11)和(12)求得优化预测解
Figure BDA0002424651470000069
具体分为以下三种情况讨论：
1)
Figure BDA00024246514700000610
2)
Figure BDA00024246514700000611
3)
Figure BDA00024246514700000612
1)情况：此时利用伪逆法满足位置限幅要求，因此：
Figure BDA00024246514700000613
2)情况：因为期望的力矩超出了转矩可达集合Φ，所以优化预测解位于可达控制集合的边界δ(Ω)，即优化预测解系数
Figure BDA00024246514700000614
因此：
Figure BDA00024246514700000615
3)情况：首先通过分段线性化的方式确定s：
Figure BDA00024246514700000616
设定等式：
Figure BDA0002424651470000071
其中，G为由指数i和i+1确定的优化预测解系数，C写为：
Figure BDA0002424651470000072
其中，C的上下行向量分别为回归截距和斜率增益向量，因此
Figure BDA0002424651470000074
为：
Figure BDA0002424651470000073
本发明的有益效果：
本发明能实现对转矩可达集合边界的寻优，从而提升传统伪逆法的分配效率，相较于一般优化方法通过设定目标优化函数，在整个控制可达集合内进行寻优的方式，本发明通过对沿着期望力矩向量方向进行寻优的方式，提升了计算速度，减轻了计算负担，具有在线寻优的能力。
附图说明
图1为本发明的基于优化预测的倾转旋翼无人机控制分配方法流程图；
图2为优化预测算法原理示意图；
图3为本发明实施例的作动器饱和趋势示意图；
图4为本发明的优化预测算法与传统伪逆法输出力矩对比图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例进一步描述本发明，应该理解，以下所述实施例旨在便于对本发明的理解，而对其不起任何限定作用。
如图1所示，本发明的基于优化预测的倾转旋翼无人机控制分配方法包括如下步骤：
S1：计算倾转旋翼无人机过渡模态下的控制效能矩阵B；
选取倾转旋翼无人机过渡模态下短舱角度为δ＝60°，速度V＝16m/s，在当前状态下对倾转旋翼无人机六自由度非线性动力学模型进行配平与线性化，由小扰动方程得到系数矩阵Bu，提取控制效能矩阵B为：
Figure BDA0002424651470000081
作动器位置限幅为：
umax＝[2.5 2.5 10 10 15 15 25 25 15 15]T
umin＝[-2.5 -2.5 -10 -10 -15 -15 -25 -25 -15 -15]T
其中，umax为作动器位置上限，umin为作动器位置下限。
对作动器的位置限幅进行归一化处理：
Figure BDA0002424651470000082
W表示系数矩阵，得到
Figure BDA0002424651470000083
和
Figure BDA0002424651470000084
Figure BDA0002424651470000085
Figure BDA0002424651470000086
Figure BDA0002424651470000087
其中，
Figure BDA0002424651470000088
表示归一化后的控制效能矩阵；
Figure BDA0002424651470000089
表示归一化的作动器位置上限；
Figure BDA00024246514700000810
表示归一化的作动器位置下限；
S2：输入期望单位三轴力矩向量
Figure BDA00024246514700000811
设定输入的期望三轴力矩向量
Figure BDA00024246514700000812
对其进行单位化处理得到
Figure BDA00024246514700000813
Figure BDA00024246514700000814
S3：计算伪逆解
Figure BDA00024246514700000815
并对伪逆解
Figure BDA00024246514700000816
单位化处理得到单位伪逆解
Figure BDA00024246514700000817
由伪逆法计算得到伪逆解
Figure BDA00024246514700000818
Figure BDA00024246514700000819
对伪逆解
Figure BDA00024246514700000820
单位化处理得到单位伪逆解
Figure BDA00024246514700000821
Figure BDA0002424651470000091
S4：判断第一个饱和的作动器
设：
Figure BDA0002424651470000092
其中，ulim为作动器位置上限或下限(通过
Figure BDA0002424651470000093
的符号判断)，0.1080为r中最大的元素，相对应的作动器1为位置上最易饱和的作动器，即随着输入期望力矩向量幅值的增大，作动器1最先达到饱和；
S5：计算伪逆解系数ai和零空间系数bi
如图3所示，优化预测方法计算出的优化预测解包含两部分：伪逆解和零空间解，其中伪逆解实现期望力矩输出，零空间解对伪逆解超出可达控制集合的部分进行限制而不改变力矩输出，从而拓展转矩可达集合。
由步骤S4得到最先达到饱和的作动器j:{j∈1:m|r(j)＝||r||∞}(j为作动器对应的指数，m为作动器的数量，||r||∞为r中最大的值)，计算伪逆解达到边界时的伪逆解系数
Figure BDA0002424651470000094
零空间系数
Figure BDA0002424651470000095
S6：确定下一个饱和的作动器并优化预测解系数更新；
计算下一个作动器饱和时对应的伪逆解系数a1；
定义：
Figure BDA0002424651470000096
其中，
Figure BDA0002424651470000097
表示输入期望力矩为
Figure BDA0002424651470000098
时的伪逆解，
Figure BDA0002424651470000099
表示输入期望力矩为
Figure BDA00024246514700000910
时的伪逆解。设
Figure BDA00024246514700000911
由式(4)求得相应的
Figure BDA00024246514700000912
最优控制量为：
Figure BDA0002424651470000101
Figure BDA0002424651470000102
定义每单位a0变化下最优控制解的速率改变为：
Figure BDA0002424651470000103
其中，
Figure BDA0002424651470000104
表示
Figure BDA0002424651470000105
中未饱和作动器i对应的值；
Figure BDA0002424651470000106
表示
Figure BDA0002424651470000107
中未饱和作动器i对应的值；S1表示未饱和作动器集合；
Figure BDA0002424651470000108
描述了随着增益变化各个未饱和作动器的变化趋势(向着最大值或最小值变化)：
Figure BDA0002424651470000109
其中，sgn表示符号函数；
Figure BDA00024246514700001010
表示作动器i的位置上限；
Figure BDA00024246514700001011
表示作动器i的位置下限；
由(6)(7)两式得到δa0i：
Figure BDA00024246514700001012
将最小的δa0(i)对应的指数imin(imin＝2)加入已饱和作动器集合S2，计算对应伪逆解系数a1：
a1＝a0+Δa+δa0(i)＝1.5782
由式(4)计算得到零空间系数
Figure BDA00024246514700001013
得到当前饱和集合S2下的优化预测解
Figure BDA00024246514700001014
Figure BDA0002424651470000111
Figure BDA0002424651470000112
Figure BDA0002424651470000113
S7：判断是否遍历所有的作动器
判断是否遍历所有的作动器，若所有作动器饱和时的优化预测解系数都已经确定，则进行步骤S8，否则不断执行步骤S6，直至所有作动器饱和，得到作动器的饱和顺序如图3所示；
S8：查表法确定任意期望转矩下的控制增益
设
Figure BDA0002424651470000114
表示迭代次数为s时的优化预测解系数，对应向量的二范数为
Figure BDA0002424651470000115
将
Figure BDA0002424651470000116
集合写成矩阵形式：
Figure BDA0002424651470000117
其中，k表示作动器全部达到饱和时的迭代次数；
将二范数
Figure BDA0002424651470000118
集合写成矩阵形式：
Figure BDA0002424651470000119
对于一个任意力矩向量
Figure BDA00024246514700001110
且
Figure BDA00024246514700001111
通过式(11)和(12)求得优化预测解
Figure BDA00024246514700001112
具体分为以下三种情况讨论：
1)
Figure BDA00024246514700001113
2)
Figure BDA00024246514700001114
3)
Figure BDA00024246514700001115
1)情况：此时伪逆法就可以满足位置限幅要求，因此：
Figure BDA0002424651470000121
2)情况：因为期望的力矩超出了转矩可达集合Φ，所以优化预测方法解位于可达控制集合的边界δ(Ω)，即优化预测解系数
Figure BDA0002424651470000122
因此：
Figure BDA0002424651470000123
3)情况：首先通过分段线性化的方式确定s：
Figure BDA0002424651470000124
设定等式：
Figure BDA0002424651470000125
其中，G为由指数i和i+1确定的优化预测解系数，C写为：
Figure BDA0002424651470000126
其中，C的上下行向量分别为回归截距和斜率增益向量，
Figure BDA0002424651470000127
为：
Figure BDA0002424651470000128
带入数据得到：
Figure BDA0002424651470000129
转矩可达集合内输出力矩对比如图4所示；
优化预测算法输出力矩：
Figure BDA00024246514700001210
伪逆法输出力矩：
Figure BDA0002424651470000131
对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明创造构思的前提下，还可以对本发明的实施例做出若干变型和改进，这些都属于本发明的保护范围。

Claims (5)

1.一种基于优化预测的倾转旋翼无人机控制分配方法，其特征在于，包括如下步骤：
S1：计算倾转旋翼无人机当前模态下的控制效能矩阵B；具体过程如下：
对倾转旋翼无人机过渡过程中的控制效能矩阵进行计算，确定倾转旋翼无人机过渡走廊内的某一状态点，得到安全可靠的飞行速度V和短舱倾转角δ，在当前状态下对倾转旋翼无人机六自由度非线性动力学模型进行配平与线性化，得到小扰动状态方程：
Figure FDA0002841564620000011
其中，x为***状态变量；y为***输出；u为***控制输入；上标·表示一阶导数；A、Bu、C均表示常数矩阵；
提取系数矩阵Bu中的力矩系数，得到倾转旋翼无人机当前模态下的控制效能矩阵B：
Figure FDA0002841564620000012
其中，CL,CM,CN分别表示滚转力矩系数、俯仰力矩系数、偏航力矩系数；{δg|g＝1,2,…m}表示作动器，m为作动器数量；
S2：输入期望三轴力矩的单位化向量
Figure FDA0002841564620000013
Figure FDA0002841564620000014
为期望三轴力矩向量，其中，L、M、N分别表示滚转力矩、俯仰力矩和偏航力矩；
S3：计算伪逆解
Figure FDA0002841564620000015
并对伪逆解向量
Figure FDA0002841564620000016
单位化处理得到单位伪逆解
Figure FDA0002841564620000017
S4：基于步骤S3中计算得到的单位伪逆解
Figure FDA0002841564620000018
判断第一个饱和的作动器；
S5：计算伪逆解系数和零空间系数；具体过程如下：
由步骤S4得到，当只有一个作动器饱和的伪逆解系数a0对应的零空间系数
Figure FDA0002841564620000021
设下一个作动器饱和时的伪逆解系数为a1，求解对应的零空间系数
Figure FDA0002841564620000022
设定局部优化代价函数
Figure FDA0002841564620000023
如式(3)：
Figure FDA0002841564620000024
其中，上标T表示转置矩阵；
Figure FDA0002841564620000025
表示拉格朗日算子；
Figure FDA0002841564620000026
表示零空间的标准正交基；
Figure FDA0002841564620000027
表示伪逆解系数为a0时对应的伪逆解
Figure FDA0002841564620000028
Figure FDA0002841564620000029
表示伪逆解系数为a1时对应的伪逆解
Figure FDA00028415646200000210
脚标sat表示向量中与饱和作动器相对应的元素；
通过求解式(3)得到二范数最小的零空间解
Figure FDA00028415646200000211
Figure FDA00028415646200000212
其中，
Figure FDA00028415646200000213
S6：确定下一个饱和的作动器并更新优化预测解系数；
S7：判断是否遍历所有的作动器，若所有作动器饱和时的优化预测解系数都已经确定，则进行步骤S8，否则不断执行步骤S6，直至所有作动器达到饱和；
S8：查表法确定任意期望转矩下的优化预测解。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤S3具体过程如下：
求解控制分配问题
Figure FDA00028415646200000214
通过求解控制效能矩阵B的逆矩阵B-1得到伪逆解
Figure FDA00028415646200000215
对伪逆解
Figure FDA00028415646200000216
进行单位化处理得到单位伪逆解
Figure FDA00028415646200000217
3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤S4具体过程如下：
基于步骤S3计算得到的单位伪逆解
Figure FDA0002841564620000031
找到使得只有一个作动器饱和的伪逆解系数a0使得
Figure FDA0002841564620000032
满足式(2)：
Figure FDA0002841564620000033
式中，
Figure FDA0002841564620000034
表示在可达控制集合Ω内伪逆法能够输出的沿着期望力矩方向的最大力矩；
Figure FDA0002841564620000035
表示优化预测解中的伪逆解部分；
Figure FDA0002841564620000036
表示优化预测解中的零空间解部分；Ω为可达控制集合，
Figure FDA0002841564620000037
其中，
Figure FDA0002841564620000038
表示作动器位置向量，ui表示作动器i的位置，m是作动器的数量，
Figure FDA0002841564620000039
表示m维向量空间，ulwri表示作动器i的位置下限，uupri表示作动器i的位置上限；δ(Ω)表示可达控制集合的边界；PSmin表示伪逆解的集合，
Figure FDA00028415646200000310
Φ为转矩可达集合，
Figure FDA00028415646200000311
Figure FDA00028415646200000312
表示n维向量空间，
Figure FDA00028415646200000313
表示转矩可达集合Φ内的力矩向量；计算使得只有一个作动器饱和的伪逆解系数a0，得到第一个饱和的作动器。
4.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤S6具体过程如下：
假定随着期望力矩幅值逐渐增大，作动器从未饱和逐渐达到全部饱和，为此需要判定饱和顺序以及饱和集合对应的伪逆解系数，求解步骤S5中的下一个作动器饱和时的伪逆解系数a1；
定义：
Figure FDA00028415646200000314
其中，
Figure FDA00028415646200000315
表示输入期望力矩为
Figure FDA00028415646200000316
时的伪逆解；
Figure FDA00028415646200000317
表示输入期望力矩为
Figure FDA00028415646200000318
时的伪逆解；Δa表示伪逆解系数增量；
由式(4)求得当伪逆解为
Figure FDA00028415646200000319
时分别对应的零空间解
Figure FDA00028415646200000320
得到最优控制量为：
Figure FDA00028415646200000321
Figure FDA00028415646200000322
定义每单位a0变化下最优控制解的速率改变
Figure FDA0002841564620000041
Figure FDA0002841564620000042
其中，
Figure FDA0002841564620000043
表示
Figure FDA0002841564620000044
中未饱和作动器i对应的值；
Figure FDA0002841564620000045
表示
Figure FDA0002841564620000046
中未饱和作动器i对应的值；S1表示未饱和作动器集合；
随着增益变化各个未饱和作动器的变化趋势
Figure FDA0002841564620000047
为：
Figure FDA0002841564620000048
其中，sgn表示符号函数；
由式(6)和(7)得到作动器饱和评定参数δa0(i)：
Figure FDA0002841564620000049
将最小的作动器饱和评定参数δa0(imin)对应的指数imin加入当前已饱和作动器集合S2，计算下一个作动器饱和时的伪逆解系数a1：
a1＝a0+Δa+δa0(imin) (9)
由式(4)计算得到伪逆解系数a1对应的零空间系数
Figure FDA00028415646200000410
得到当前饱和集合S2下的优化预测解
Figure FDA00028415646200000411
Figure FDA00028415646200000412
5.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤S8具体过程如下：
设
Figure FDA00028415646200000413
表示迭代次数为s,s＝0,1,...,k-1时的优化预测解系数，对应向量的二范数为
Figure FDA00028415646200000414
将
Figure FDA00028415646200000415
集合写成矩阵形式：
Figure FDA0002841564620000051
其中，k表示作动器全部达到饱和时的迭代次数；
将二范数
Figure FDA0002841564620000052
集合写成矩阵形式：
Figure FDA0002841564620000053
对于一个任意力矩向量
Figure FDA0002841564620000054
且
Figure FDA0002841564620000055
通过式(11)和(12)求得优化预测解
Figure FDA0002841564620000056
具体分为以下三种情况讨论：
1)
Figure FDA0002841564620000057
2)
Figure FDA0002841564620000058
3)
Figure FDA0002841564620000059
1)情况：此时利用伪逆法满足位置限幅要求，因此：
Figure FDA00028415646200000510
2)情况：因为期望的力矩超出了转矩可达集合Φ，所以优化预测解位于可达控制集合的边界δ(Ω)，即优化预测解系数
Figure FDA00028415646200000511
因此：
Figure FDA00028415646200000512
3)情况：首先通过分段线性化的方式确定s：
Figure FDA00028415646200000513
设定等式：
Figure FDA00028415646200000514
其中，G为由指数i和i+1确定的优化预测解系数，C写为：
Figure FDA0002841564620000061
其中，C的上下行向量分别为回归截距和斜率增益向量，因此
Figure FDA0002841564620000062
为：
Figure FDA0002841564620000063
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