CN111159853A - 一种针对高雷诺数粘性流动问题的边界层高精度处理方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种针对高雷诺数粘性流动问题的边界层高精度处理方法，利用高雷诺数粘性流动问题在边界层内和边界层外不同的流场变化特性，结合直接间断有限元方法能够灵活选取解函数空间的优点，提出一种基于多项式和指数函数耦合解空间的直接间断有限元方法，该方法在物面边界网格单元内使用基于指数函数空间的直接间断有限元方法，在外部网格单元内使用基于多项式空间的直接间断有限元方法，相比于传统的多项式空间，本发明提出的多项式和指数函数耦合解空间更符合高雷诺数流动问题的流场变化规律，能够利用较少的网格数得到高精度的流场值和流场变量壁面法向梯度值，减少对边界层内所需网格数的极端要求，提高计算效率。

Description

一种针对高雷诺数粘性流动问题的边界层高精度处理方法

技术领域

本发明涉及计算流体力学数值方法技术领域，尤其涉及一种针对高雷诺数粘性流动问题的边界层高精度处理方法。

背景技术

高雷诺数粘性流动问题在自然界和许多工程技术领域当中都有着广泛的应用，因此，对它的求解一直是计算流体力学领域中的研究热点和研究重点之一，同时也是求解很多实际科学与工程应用问题的关键。

在过去的几十年中，以间断有限元(DG)方法为代表的高精度数值方法在计算流体力学领域取得快速的发展。然而，对于高雷诺数粘性流动问题，其物面摩阻系数和热流通量等物理量的低精度和低效率是将高精度算法推广应用于求解高雷诺数飞行器优化等实际问题的主要技术瓶颈。

为了提高工程应用中最关注的物面摩阻系数和热流通量的计算精度，目前主要有以下两类解决办法：一类方法是使用高精度数值格式；另一类方法是增加边界层内的网格数。然而，这两类解决办法都不可避免的导致计算量的大幅度增加，从而影响算法的计算效率。

因此，发展一类适于求解高雷诺数粘性流动问题的稳定、高效和高精度的数值方法具有重要的理论意义和实际应用价值。

发明内容

有鉴于此，本发明提供了一种针对高雷诺数粘性流动问题的边界层高精度处理方法，用以提供一种适于求解高雷诺数粘性流动问题的稳定、高效和高精度的数值方法。

因此，本发明提供了一种针对高雷诺数粘性流动问题的边界层高精度处理方法，包括如下步骤：

S1：将待求解问题的计算区域进行网格剖分，将物面边界处的网格称为物面边界网格单元，将物面边界以外的网格称为外部网格单元；

S2：判断是否为物面边界网格单元；若是，则执行步骤S3；若否，则执行步骤S4；

S3：使用指数函数解空间进行逼近；

S4：使用多项式解空间进行逼近；

S5：将所述多项式解空间和所述指数函数解空间进行耦合，采用直接间断有限元方法对耦合解空间进行数值实现，发展出当前时刻基于耦合解空间的直接间断有限元空间离散格式；

返回步骤S2，执行步骤S2～步骤S5，进行下一时刻的计算。

在一种可能的实现方式中，在本发明提供的上述边界层高精度处理方法中，步骤S3中，指数函数的指数因子通过求解线性化的定常高雷诺数可压缩纳维尔斯托克斯方程获得。

在一种可能的实现方式中，在本发明提供的上述边界层高精度处理方法中，步骤S5中，在耦合界面处，使用非守恒型数值通量，耦合界面的左流场值由左网格单元的基函数和自由度直接重构获得，耦合界面的右流场值由右网格单元的基函数和自由度直接重构获得。

本发明提供的上述针对高雷诺数粘性流动问题的边界层高精度处理方法，充分利用了高雷诺数粘性流动问题在边界层内和边界层外截然不同的流场变化特性，结合直接间断有限元方法能够灵活选取解函数空间的优点，提出一种适于求解高雷诺数粘性流动问题的基于多项式和指数函数耦合解空间的直接间断有限元方法，该方法仅仅在物面边界网格单元(即物面边界层内的网格)内使用基于指数函数空间的直接间断有限元方法，而在外部网格单元(即物面边界层外的网格)内使用基于多项式空间的直接间断有限元方法，相比于传统的多项式空间，本发明提出的多项式和指数函数耦合解空间更符合高雷诺数流动问题的流场变化规律，能够利用较少的网格数得到高精度的流场值和流场变量壁面法向梯度值，可以减少对边界层内所需网格数的极端要求，提高计算效率，为高精度数值方法在高雷诺数飞行器优化等实际工程问题中的应用探索出一条新途径。

附图说明

图1为本发明实施例提供的针对高雷诺数粘性流动问题的边界层高精度处理方法的流程图；

图2为本发明实施例提供的针对高雷诺数粘性流动问题的边界层高精度处理方法的流程示意图；

图3a为本发明实例1中一维算例在等焓条件下的二阶精度测试图；

图3b为本发明实例1中一维算例在等焓条件下的三阶精度测试图；

图4a为本发明实例1中一维算例在等焓条件下的速度变量比较图；

图4b为本发明实例1中一维算例在等焓条件下的温度变量比较图；

图5a为本发明实例1中一维算例在非等焓条件下的速度变量比较图；

图5b为本发明实例1中一维算例在非等焓条件下的温度变量比较图；

图6为本发明实例2中二维算例的结构网格剖分示意图；

图7a为本发明实例2中二维算例在细网格δ_y＝1.0×10^-3下的物面摩阻系数比较图；

图7b为本发明实例2中二维算例在细网格δ_y＝1.5×10^-3下的物面摩阻系数比较图；

图8a为本发明实例2中二维算例在粗网格δ_y＝3.0×10^-3下的物面摩阻系数比较图；

图8b为本发明实例2中二维算例在粗网格δ_y＝4.5×10^-3下的物面摩阻系数比较图；

图9为本发明实例2中二维算例在粗网格δ_y＝4.5×10^-3下的马赫数等值线图。

具体实施方式

下面将结合本申请实施方式中的附图，对本申请实施方式中的技术方案进行清楚、完整的描述，显然，所描述的实施方式仅仅是作为例示，并非用于限制本申请。

本发明实施例提供的一种针对高雷诺数粘性流动问题的边界层高精度处理方法，如图1和图2所示，图1和图2分别为上述边界层高精度处理方法的流程图和流程示意图，包括如下步骤：

S1：将待求解问题的计算区域进行网格剖分，将物面边界处的网格称为物面边界网格单元，将物面边界以外的网格称为外部网格单元；

S2：判断是否为物面边界网格单元；若是，则执行步骤S3；若否，则执行步骤S4；

S3：使用指数函数解空间进行逼近；

S4：使用多项式解空间进行逼近；

S5：将多项式解空间和指数函数解空间进行耦合，采用直接间断有限元方法对耦合解空间进行数值实现，发展出当前时刻基于耦合解空间的直接间断有限元空间离散格式；

返回步骤S2，执行步骤S2～步骤S5，进行下一时刻的计算。

本发明实施例提供的上述边界层高精度处理方法，充分利用高雷诺数粘性流动问题在边界层内和边界层外截然不同的流场变化特性，结合直接间断有限元(DDG)方法能够灵活选取解函数空间的优点，提出一种适于求解高雷诺数粘性流动问题的基于多项式和指数函数耦合解空间的DDG方法，该方法仅仅在物面边界网格单元(即物面边界层内的网格)内使用基于指数函数空间的DDG方法，而在外部网格单元(即物面边界层外的网格)内使用基于多项式空间的DDG方法，相比于传统的多项式空间，本发明提出的多项式和指数函数耦合解空间更符合高雷诺数流动问题的流场变化规律，能够利用较少的网格数得到高精度的流场值和流场变量壁面法向梯度值，可以减少对边界层内所需网格数的极端要求，提高计算效率，为高精度数值方法在高雷诺数飞行器优化等实际工程问题中的应用探索出一条新途径。

在具体实施时，在本发明实施例提供的上述边界层高精度处理方法中，步骤3，指数函数中指数因子的取值可以通过求解线性化的定常高雷诺数可压缩纳维尔斯托克斯(Navier-Stokes)方程获得。具体而言，首先将定常的高雷诺数可压缩Navier-Stokes方程进行整理和化简，将其简化为一个只包含速度变量的一阶非线性常微分方程；接下来，通过对该非线性常微分方程进行线性化，可以分析出速度变量在边界层内的指数变化形式，由此即可确定出指数因子的具体取值。由于指数因子的确定方法是根据定常可压缩Navier-Stokes方程的近似精确解获得的，因此在使用基于此指数因子的指数函数来逼近该方程的流场值时，所得结果更加准确和有效。更进一步的，由于在确定指数因子的过程中，将高雷诺数定常可压缩Navier-Stokes方程进行了线性化，这就避免了求解原始的非线性定常可压缩Navier-Stokes方程的复杂过程，实施过程更加简便和通用。

在具体实施时，在本发明实施例提供的上述边界层高精度处理方法中，步骤S5，将多项式解空间和指数函数解空间进行耦合，采用直接间断有限元方法对耦合解空间进行数值实现，其中，在不同解函数空间的耦合界面处，使用非守恒型数值通量，耦合界面的左流场值由左网格单元的基函数和自由度直接重构获得，耦合界面的右流场值由右网格单元的基函数和自由度直接重构获得，不需要对不同函数空间进行数值投影，实施过程更为简单。

下面通过一个具体的实例对本发明实施例提供的上述边界层高精度处理方法的主要构造过程进行详细说明。以一维高雷诺数可压缩Navier-Stokes方程为例。

实例1：

一维高雷诺数可压缩Navier-Stokes方程的定常形式为：

状态方程为：

取计算区域为Ω＝[x₀,x₁]，当Pr＝3/4时，对方程(1)两端关于x在区间[x₀,x]内进行一次积分，可得：

这里，ε＝μ/(PrRe)为一个小参数，下标‘0’代表在来流x₀处的流场值。将上述方程组(3)中的连续方程和能量方程带入到动量方程中，可得如下的速度变量所满足的一阶非线性常微分方程：

将以上的速度方程(4)简记为：

则方程(5)可线性化为如下形式：

通过求解线性化后的速度方程(6)可以发现：当Re＞＞1即ε＜＜1时，在边界层内，速度变量是以指数函数

的形式迅速变化的，其中，指数因子的取值为λ＝F'(u₀)/ε；而在边界层外，速度变量近似保持为常数，即为来流速度u₀，因此，通过以上分析，可以构造出如下的适于逼近一维高雷诺数可压缩Navier-Stokes定常解的多项式和指数函数耦合解空间H_k。具体而言：

(1)在边界层外，即外部网格单元内，使用多项式空间P_k进行逼近：

(2)在边界层内，即物面边界网格单元内，使用指数函数空间E_k进行逼近：

这里，k代表解空间的阶数，

为网格单元的中心点。

需要说明的是，采用同样的分析方法，可以推导出适于逼近二维高雷诺可压缩Navier-Stokes方程定常解的多项式和指数函数耦合解空间及其指数因子的具体表达式。并且，对于本发明给出的多项式和指数函数耦合解空间，可以证明其空间精度阶与传统的多项式空间的空间精度阶能够保持一致。

接下来，采用DDG方法对本发明给出的耦合解空间进行数值实现。具体实现过程如下：将计算区域Ω＝[x₀,x₁]等分为N个网格单元I_j＝[x_j-1/2,x_j+1/2],(1≤j≤N)，网格单元的中点定义为

在网格单元I_j(1≤j≤N-1)内，使用基于多项式空间的DDG(P_k)方法进行求解；而在网格单元I_N内，使用基于指数函数空间的DDG(E_k)方法进行求解。为了构造在耦合界面处的数值通量，需要使用在耦合界面的左网格单元与右网格单元，即I_N-1和I_N内的自由度来重构出在耦合界面处的流场值。以速度变量为例，其在耦合界面处的左侧值u^-和右侧值u⁺可通过以下方程来获得：

其中，u_j ^(k)代表网格单元I_j内的自由度。

为了验证上述边界层高精度处理方法的有效性，采用DDG(P_k)方法和DDG(H_k)方法在求解等焓边界条件下的一维可压缩Navier-Stokes方程时所得的二阶精度(k＝1)的测试结果如图3a所示，采用DDG(P_k)方法和DDG(H_k)方法在求解等焓边界条件下的一维可压缩Navier-Stokes方程时所得的三阶精度(k＝2)的测试结果如图3b所示，其中，雷诺数的取值为Re＝1.0×10³。由图3a和图3b可得，与DDG(P_k)方法相同，基于耦合解空间的DDG(H_k)方法同样的能够得到理论的最优空间精度阶。采用DDG(P_k)方法和DDG(H_k)方法在求解等焓边界条件下所得的速度值的比较结果如图4a所示，采用DDG(P_k)方法和DDG(H_k)方法在求解等焓边界条件下所得的温度值的比较结果如图4b所示。采用DDG(P_k)方法和DDG(H_k)方法在求解等焓边界条件下所得的流场变量壁面法向梯度值的比较结果如表1所示。

表1

由图4a、图4b和表1可以看出，在等总焓条件下，相比于DDG(P_k)方法，DDG(H_k)方法能够利用相同的网格数得到更为准确的流场值和流场变量壁面法向梯度值。

为了验证上述边界层高精度处理方法的有效性，对非等焓边界条件下的一维可压缩Navier-Stokes方程进行了测试。采用DDG(P_k)方法和DDG(H_k)方法求解该问题所得的速度值的比较结果如图5a所示，采用DDG(P_k)方法和DDG(H_k)方法求解该问题所得的温度值的比较结果如图5b所示。采用DDG(P_k)方法和DDG(H_k)方法求解该问题所得的流场变量壁面法向梯度值的比较结果如表2所示。

表2

由图5a、图5b和表2可以看出，在非等总焓条件下，相比于DDG(P_k)方法，DDG(H_k)方法能够利用相同的网格数得到更为准确的流场值和流场变量壁面法向梯度值。

下面通过一个具体的实例说明本发明实施例提供的上述边界层高精度处理方法对于二维问题同样适用。

实例2：

实例2的具体实施过程与上述实例1类似，在此不做赘述。

为了验证上述边界层高精度处理方法对二维问题的有效性，下面对二维高雷诺数层流平板边界层问题进行测试，雷诺数取为Re＝1.0×10⁵，来流马赫数取为M_∞＝0.5。分别采用四套不同的结构网格进行计算，其对应的第一层网格高度分别为δ_y＝1.0×10^-3，1.5×10^-3，3.0×10^-3，4.5×10^-3，如图6所示。采用DDG(P_k)方法和DDG(H_k)方法在细网格：δ_y＝1.0×10^-3下得到的物面摩阻系数结果如图7a所示，采用DDG(P_k)方法和DDG(H_k)方法在细网格：δ_y＝1.5×10^-3下得到的物面摩阻系数结果如图7b所示，采用DDG(P_k)方法和DDG(H_k)方法在粗网格：δ_y＝3.0×10^-3下得到的物面摩阻系数结果如图8a所示，采用DDG(P_k)方法和DDG(H_k)方法在粗网格：δ_y＝4.5×10^-3下得到的物面摩阻系数结果如图8b所示。由图7a、图7b、图8a和图8b可以看出，随着第一层网格高度δ_y的增大，相比于DDG(P_k)方法，DDG(H_k)方法能够得到收敛并更接近Blasius精确解的物面摩阻系数。如图9所示，根据DDG(H_k)方法在粗网格：δ_y＝4.5×10^-3下所得的流场计算结果，通过Tecplot可视化软件对粗网格下的马赫数(Ma)等值线进行了可视化演示，可以看出在粗网格下该方法仍然能够得到准确有效的流场值。

本发明实施例提供的上述针对高雷诺数粘性流动问题的边界层高精度处理方法，充分利用了高雷诺数粘性流动问题在边界层内和边界层外截然不同的流场变化特性，结合DDG方法能够灵活选取解函数空间的优点，提出一种适于求解高雷诺数粘性流动问题的基于多项式和指数函数耦合解空间的DDG方法，该方法仅仅在物面边界网格单元(即物面边界层内的网格)内使用基于指数函数空间的DDG方法，而在外部网格单元(即物面边界层外的网格)内使用基于多项式空间的DDG方法，相比于传统的多项式空间，本发明提出的多项式和指数函数耦合解空间更符合高雷诺数流动问题的流场变化规律，能够利用较少的网格数得到高精度的流场值和流场变量壁面法向梯度值，可以减少对边界层内所需网格数的极端要求，提高计算效率，为高精度数值方法在高雷诺数飞行器优化等实际工程问题中的应用探索出一条新途径。

显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

Claims (3)

1.一种针对高雷诺数粘性流动问题的边界层高精度处理方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1：将待求解问题的计算区域进行网格剖分，将物面边界处的网格称为物面边界网格单元，将物面边界以外的网格称为外部网格单元；

S2：判断是否为物面边界网格单元；若是，则执行步骤S3；若否，则执行步骤S4；

S3：使用指数函数解空间进行逼近；

S4：使用多项式解空间进行逼近；

S5：将所述多项式解空间和所述指数函数解空间进行耦合，采用直接间断有限元方法对耦合解空间进行数值实现，发展出当前时刻基于耦合解空间的直接间断有限元空间离散格式；

返回步骤S2，执行步骤S2～步骤S5，进行下一时刻的计算。

2.如权利要求1所述的边界层高精度处理方法，其特征在于，步骤S3中，指数函数的指数因子通过求解线性化的定常高雷诺数可压缩纳维尔斯托克斯方程获得。

3.如权利要求1所述的边界层高精度处理方法，其特征在于，步骤S5中，在耦合界面处，使用非守恒型数值通量，耦合界面的左流场值由左网格单元的基函数和自由度直接重构获得，耦合界面的右流场值由右网格单元的基函数和自由度直接重构获得。

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