CN111010144B - 改进的两通道iir的qmfb设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种改进的两通道IIR的QMF组设计方法，本发明针对全通滤波器的相位和整体失真传输函数的相位进行最小最大化问题，通过确定相应的相位误差和合适的加权值，对得到的非线性优化目标进行一阶泰勒展开，转换为线性问题，以求得最优的全通滤波器的系数。本发明最大的改进在于不再仅仅只考虑全通滤波器的性能或者只考虑分析‑合成滤波器的性能，而是把两者的性能综合考虑，保证了信号经过的每一个子滤波器都具有更近似线性的相位，减少相位失真的可能性，达到设计预期目标。而且本发明并未对幅度讨论，只对全通滤波器和整体传输函数的相位进行了讨论，而幅度完全由相位控制。

Description

改进的两通道IIR的QMFB设计方法

技术领域

本发明属于数字信号处理技术领域，具体涉及一种改进的基于全通滤波器的两通道IIR正交镜像滤波器组设计方法。

背景技术

在过去的几十年里，数字信号处理***已经陆续取代了模拟***，今天，在各种不同的设备上都可以找到数字信号处理***的身影，如移动通信***、消费者电子产品和汽车电子产品，或者助听器。数字信号处理的一个决定性的优势是一个***可以通过数字信号处理来实现，而不能或几乎不能通过模拟处理来实现。许多数字信号处理算法的一个重要组成部分是滤波器及其作为滤波器组的串联。滤波器组主要用于信号的频谱分析，作为跨多路复用器，或处理子带频域或时域信号。最后提到的处理子带信号需要一个分析-合成滤波器组来获得重建的时域信号。本发明研究的就是正交镜像滤波器组(QMFB，QuadratureMirror Filter Bank)。

近年来两通道QMFB被应用于越来越多的领域，例如语音和图像信号的子带编码，小波基设计等。由于QMFB的广泛应用，人们对于它的设计关注也越来越重视。

X.Zhang and H.Iwakura于1994年提出了一种利用数字全通滤波器(DAFs，Digital Allpass Filters)设计正交镜滤波器组的方法。由全通滤波器和纯延迟部分组成的QMFB具有近似线性的相位响应，使用另一个附加的DAFs作为均衡器可以使相位畸变最小化。论文中采用一个DAFs和一个纯延迟共同设计一个QMFB，设计DAFs的方法是其于1992年提出的一个算法，简单可以描述为一种基于特征值问题设计等纹波相位响应的DAFs的新方法，并通过计算最大特征向量和迭代法得到了最优滤波系数。这种算法借用等波纹设计FIR的方法得到了全通滤波器，但是其计算极其复杂；并且该算法并没有考虑全通滤波器和纯延迟合成时的相位误差和得到的低通滤波器的阻带误差。

Ju-Hong Lee and Yi-Lin Shieh于2013年提出一种考虑到分析滤波器中的低通滤波器的阻带误差的方法。但是并没有对全通滤波器的性能考虑，使用两个IIR DAFs的双通道QMFB的理论，得到了一个Chebyshev近似，用于IIR DAFs的期望群延迟响应和低通分析滤波器的幅值响应。该论文是以群延迟误差和低通阻带的幅度线性加权作为目标函数，这是一个高度非线性的问题，通过频率采样和迭代逼近的方法，利用加权的最小二乘法求解析解，所得到的双通道QMFB具有近似线性相位响应，且无幅度失真。但由于该方法的原型滤波器系数是通过计算由近似的矩阵逆和矩阵乘法所组成的方程直接获得的解析解，而矩阵求逆本身就具有较高的计算复杂度，另外，由于滤波器长度问题，还可能会导致不存在矩阵逆的情况。

发明内容

本发明针对现有技术的不足，提出了一种改进的两通道IIR的QMFB设计方法。

本发明一种改进的两通道IIR的QMFB设计方法，该方法具体包括以下步骤：

步骤一、根据设计要求，确定全频带上的频率点数L、两个全通滤波器的阶数N₁和N₂、分析滤波器中的低通滤波器的通带截止频率ω_p，阻带截止频率ω_s，令迭代初始系数k＝0，第k次的全通滤波器系数a_i(k)＝0，初始加权值W_i＝1，i＝1,2；其中N₁＝N₂+1；

步骤二、确定全通滤波器的实际相位误差及整体失真传输函数T(e^jω)的实际相位误差。

2.1.确定全通滤波器的理想相位

全通滤波器的理想相位在ω∈[0,π]的频率带上满足：当IIR滤波器的相位满足ω＝0时，相位是0；当ω＝π时，相位满足θ(π)＝-Nπ；此时全通滤波器是稳定的；全通滤波器的理想相位分别是θ_d1(ω)＝-N₁ω+0.25ω和θ_d2(ω)＝-N₂ω-0.25ω。

2.2.求全通滤波器的实际相位误差

通过(1)、(2)、(3)式分别得到全通滤波器的表达式、全通滤波器的实际相位表达式和全通滤波器的实际相位误差，其中ω∈[0,2ω_p]，i＝1,2。

θ_ei(ω)＝θ_i(ω)-θ_di(ω) (3)

其中a_i(n)表示滤波器系数a_i的第n个元素，n＝1,2,…,N_i；

2.3.求整体失真传输函数T(e^jω)的实际相位误差θ_eT(ω)

式(4)、式(5)、式(6)分别为整体失真传输函数

的理想相位、实际相位和实际相位误差,其中ω∈[0,ω_p]。

θ_dT(ω)＝θ_d1(2ω)+θ_d2(2ω)-ω (4)

θ_T(ω)＝θ₁(2ω)+θ₂(2ω)-ω (5)

θ_eT(ω)＝θ_T(ω)-θ_dT(ω) (6)

其中θ₁(2ω)、θ₂(2ω)、θ_d1(2ω)、θ_d2(2ω)分别表示为式(7)，式(8)，式(9)和式(10)

θ_d1(2ω)＝-2N₁ω+0.5ω (9)

θ_d2(2ω)＝-2N₂ω+0.5ω (10)

步骤三、求解得出第k次迭代下全通滤波器的滤波器系数a_i(k)。

3.1.得到目标优化函数表示为

min W₁||θ_e1(ω)||+W₂||θ_e2(ω)||+||θ_eT(ω)|| (11)

式(7)中的θ_e1(ω)、θ_e2(ω)和θ_eT(ω)依次是指全通滤波器A₁(e^jω)、A₂(e^jω)和整体失真传输函数T(e^jω)的实际相位误差。

该目标优化函数是最大最小化问题，同时也是一个非线性的问题，步骤3-2可将该非线性问题转换为线性问题；

3.2.计算第k-1次迭代所得的θ_ei(ω)关于系数a_i(k-1)的一阶偏导数

如式(12)所示。

3.3.计算第k次迭代时全通滤波器A_i(e^jω)的相位误差θ_ei(ω)如式(13)所示。

式(13)中，△_i代表第k次迭代时全通滤波器A_i(e^jω)的系数增量，Δ_i＝a_i(k)-a_i(k-1)。

计算第k次迭代时整体失真传输函数T(e^jω)的实际相位误差θ_eT(ω)如式(14)所示。

3.4.第k次迭代时优化目标函数表示为凸优化问题进行求解，确定第k次迭代的系数增量△₁和△₂。

步骤四、若式(16)不成立，则转到步骤五。若式(16)成立，则将a_i(k)作为最终设计出的全通滤波器A_i(e^jω)的系数，迭代结束。

式(16)中，E^k是第k次迭代中目标函数的最大值，E^k-1是第k-1次迭代中目标函数的最大值。μ为设定阈值。

E^k＝max(W₁|θ_e1(a₁(k),ω)|)+max(W₂|θ_e2(a₂(k),ω)|)+max(|θ_eT(a(k),ω)|) (17)

步骤五、根据群延迟误差的包络计算加权值W_i

首先计算出第k次迭代的群延迟误差

其中g_di表示第k次迭代的全通滤波器A_i(e^jw)的实际群延迟，τ_di表示全通滤波器A_i(e^jω)的理想群延迟；然后计算出

的包络

如果不满足

使

然后令

k＝k+1，返回步骤三；否则的话直接令

k＝k+1，返回步骤三。其中ε为设定阈值。

本发明具有的有益效果是：

本发明不再仅仅只考虑全通滤波器的性能或者只考虑分析-合成滤波器的性能，而是把两者的性能综合考虑，保证了信号经过的每一个子滤波器都具有更近似线性的相位，减少相位失真的可能性，达到设计预期目标。本发明与其他方法相比，最大的改进就在于本发明方法并未对幅度讨论，只对全通滤波器和整体传输函数的相位进行了讨论，而幅度完全由相位控制；这种方法保证了信号在任何时间段都没有相位失真并且在有限的迭代次数中可以得到更好的性能指标。

附图说明

图1为表1中的系数所画出的全通滤波器A₁的相位误差。

图2为表1中的系数所画出的全通滤波器A₂的相位误差。

图3为表1中的系数所画出的QMFB幅频响应图。

图4为表1中的系数所画出的QMFB重构误差频率响应图。

图5为表1中的系数所画出的重构滤波器的相位误差。

具体实施方式

以下结合附图对本发明作进一步说明。

改进的基于全通滤波器的两通道IIR正交镜像滤波器组设计方法的具体步骤如下：

步骤一、根据设计要求，确定全频带上的频率点数L、两个全通滤波器的阶数N₁和N₂、分析滤波器中的低通滤波器的通带截止频率ω_p，阻带截止频率ω_s，令迭代初始系数k＝0，第k次的全通滤波器系数a_i(k)＝0，初始加权值W_i＝1，i＝1,2；其中N₁＝N₂+1；

步骤二、确定全通滤波器的实际相位误差及整体失真传输函数T(e^jω)的实际相位误差。

2.1.确定全通滤波器的理想相位

全通滤波器的理想相位在ω∈[0,π]的频率带上满足：当IIR滤波器的相位满足ω＝0时，相位是0；当ω＝π时，相位满足θ(π)＝-Nπ；此时全通滤波器是稳定的；全通滤波器的理想相位分别是θ_d1(ω)＝-N₁ω+0.25ω和θ_d2(ω)＝-N₂ω-0.25ω。

2.2.求全通滤波器的实际相位误差

通过(1)、(2)、(3)式分别得到全通滤波器的表达式、全通滤波器的实际相位表达式和全通滤波器的实际相位误差，其中ω∈[0,2ω_p]，i＝1,2。

θ_ei(ω)＝θ_i(ω)-θ_di(ω) (3)

其中a_i(n)表示滤波器系数a_i的第n个元素，n＝1,2,…,N_i；

2.3.求整体失真传输函数T(e^jω)的实际相位误差θ_eT(ω)

式(4)、式(5)、式(6)分别为整体失真传输函数

的理想相位、实际相位和实际相位误差,其中ω∈[0,ω_p]。

θ_dT(ω)＝θ_d1(2ω)+θ_d2(2ω)-ω (4)

θ_T(ω)＝θ₁(2ω)+θ₂(2ω)-ω (5)

θ_eT(ω)＝θ_T(ω)-θ_dT(ω) (6)

其中θ₁(2ω)、θ₂(2ω)、θ_d1(2ω)、θ_d2(2ω)分别表示为式(7)，式(8)，式(9)和式(10)

θ_d1(2ω)＝-2N₁ω+0.5ω (9)

θ_d2(2ω)＝-2N₂ω+0.5ω (10)

步骤三、求解得出第k次迭代下全通滤波器的滤波器系数a_i(k)。

3.1.得到目标优化函数表示为

min W₁||θ_e1(ω)||+W₂||θ_e2(ω)||+||θ_eT(ω)|| (11)

式(7)中的θ_e1(ω)、θ_e2(ω)和θ_eT(ω)依次是指全通滤波器A₁(e^jω)、A₂(e^jω)和整体失真传输函数T(e^jω)的实际相位误差。

该目标优化函数是最大最小化问题，同时也是一个非线性的问题，步骤3-2可将该非线性问题转换为线性问题；

3.2.计算第k-1次迭代所得的θ_ei(ω)关于系数a_i(k-1)的一阶偏导数

如式(12)所示。

3.3.计算第k次迭代时全通滤波器A_i(e^jω)的相位误差θ_ei(ω)如式(13)所示。

式(13)中，△_i代表第k次迭代时全通滤波器A_i(e^jω)的系数增量，Δ_i＝a_i(k)-a_i(k-1)。

计算第k次迭代时整体失真传输函数T(e^jω)的实际相位误差θ_eT(ω)如式(14)所示。

3.4.第k次迭代时优化目标函数表示为凸优化问题进行求解，确定第k次迭代的系数增量△₁和△₂。

步骤四、若式(16)不成立，则转到步骤五。若式(16)成立，则将a_i(k)作为最终设计出的全通滤波器A_i(e^jω)的系数，迭代结束。

式(16)中，E^k是第k次迭代中目标函数的最大值，E^k-1是第k-1次迭代中目标函数的最大值。μ为设定阈值。

E^k＝max(W₁|θ_e1(a₁(k),ω)|)+max(W₂|θ_e2(a₂(k),ω)|)+max(|θ_eT(a(k),ω)|) (17)

步骤五、根据群延迟误差的包络计算加权值W_i

首先计算出第k次迭代的群延迟误差

其中g_di表示第k次迭代的全通滤波器A_i(e^jw)的实际群延迟，τ_di表示全通滤波器A_i(e^jω)的理想群延迟；然后计算出

的包络

如果不满足

使

然后令

k＝k+1，返回步骤三；否则的话直接令

k＝k+1，返回步骤三。其中ε为设定阈值。

为了本发明的有效性，对本发明进行了计算机模拟仿真。

模拟仿真中的设计要求：全通滤波器阶数N₁＝9，N₂＝8，全频带上的频率点数L为8N₁+1，通带截至频率ω_p＝0.4π，阻带截止频率ω_s＝0.6π，最小化重构误差，最大化阻带衰减。

用本发明的设计方法，经过10次迭代，得到最终滤波器的滤波器系数，如表1所示，表1中的系数所画出的全通滤波器A₁的相位误差如图1所示，表1中的系数所画出的全通滤波器A₂的相位误差如图2所示。其对应的QMFB幅频响应、重构误差频率响应和相位误差响应如图3、图4和图5所示。

表1本发明方法设计的QMFB中全通滤波器A₁和A₂的系数表

最后用得出的滤波器系数，计算出低通分析滤波器的最大阻带衰减(PSR)，通带最大群延迟误差(MVPGD)，QMFB重构响应的最大相位误差(MVPR),最大群延迟误差(MVGR)，以及重构响应误差(MVFBR)。计算公式如下：

其中，H₀(e^jω)为所得低通分析滤波器的幅度响应；gd为QMFB的理想群延迟；T(e^jω)

为整体失真传输函数。计算得出的指标如表2所示。

本发明所得的QMFB与Lee和Shieh设计方法所得的QMFB指标对比如表2所示。

表2本发明与Lee和Shieh方法关键指标比较

从表2可以看出，本发明的设计方法所得的QMFB在上述各项关键指标上都明显优于Lee和Shieh的设计方法。

Claims (1)

1.改进的两通道IIR的QMFB设计方法，其特征在于，该方法具体包括以下步骤：

步骤一、根据设计要求，确定全频带上的频率点数L、两个全通滤波器的阶数N₁和N₂、分析滤波器中的低通滤波器的通带截止频率ω_p，阻带截止频率ω_s，令迭代初始系数k＝0，第k次的全通滤波器系数a_i(k)＝0，初始加权值W_i＝1，i＝1,2；其中N₁＝N₂+1；

步骤二、确定全通滤波器的实际相位误差及整体失真传输函数T(e^jω)的实际相位误差；

2.1.确定全通滤波器的理想相位

全通滤波器的理想相位在ω∈[0,π]的频率带上满足：当IIR滤波器的相位满足ω＝0时，相位是0；当ω＝π时，相位满足θ(π)＝-Nπ；此时全通滤波器是稳定的；全通滤波器的理想相位分别是θ_d1(ω)＝-N₁ω+0.25ω和θ_d2(ω)＝-N₂ω-0.25ω；

2.2.求全通滤波器的实际相位误差

通过(1)、(2)、(3)式分别得到全通滤波器的表达式、全通滤波器的实际相位表达式和全通滤波器的实际相位误差，其中ω∈[0,2ω_p]，i＝1,2；

θ_ei(ω)＝θ_i(ω)-θ_di(ω) (3)

其中a_i(n)表示滤波器系数a_i的第n个元素，n＝1,2,…,N_i；

2.3.求整体失真传输函数T(e^jω)的实际相位误差θ_eT(ω)

式(4)、式(5)、式(6)分别为整体失真传输函数

的理想相位、实际相位和实际相位误差,其中ω∈[0,ω_p]；

θ_dT(ω)＝θ_d1(2ω)+θ_d2(2ω)-ω (4)

θ_T(ω)＝θ₁(2ω)+θ₂(2ω)-ω (5)

θ_eT(ω)＝θ_T(ω)-θ_dT(ω) (6)

其中θ₁(2ω)、θ₂(2ω)、θ_d1(2ω)、θ_d2(2ω)分别表示为式(7)，式(8)，式(9)和式(10)

θ_d1(2ω)＝-2N₁ω+0.5ω (9)

θ_d2(2ω)＝-2N₂ω+0.5ω (10)

步骤三、求解得出第k次迭代下全通滤波器的滤波器系数a_i(k)；

3.1.得到目标优化函数表示为

min W₁||θ_e1(ω)||+W₂||θ_e2(ω)||+||θ_eT(ω)|| (11)

式(11)中的θ_e1(ω)、θ_e2(ω)和θ_eT(ω)依次是指全通滤波器A₁(e^jω)、A₂(e^jω)和整体失真传输函数T(e^jω)的实际相位误差；

该目标优化函数是最大最小化问题，同时也是一个非线性的问题，步骤3.2可将该非线性问题转换为线性问题；

3.2.计算第k-1次迭代所得的θ_ei(ω)关于系数a_i(k-1)的一阶偏导数

如式(12)所示；

3.3.计算第k次迭代时全通滤波器A_i(e^jω)的相位误差θ_ei(ω)如式(13)所示；

式(13)中，△_i代表第k次迭代时全通滤波器A_i(e^jω)的系数增量，Δ_i＝a_i(k)-a_i(k-1)；

计算第k次迭代时整体失真传输函数T(e^jω)的实际相位误差θ_eT(ω)如式(14)所示；

3.4.第k次迭代时优化目标函数表示为凸优化问题进行求解，确定第k次迭代的系数增量△₁和△₂；

步骤四、若式(16)不成立，则转到步骤五；若式(16)成立，则将a_i(k)作为最终设计出的全通滤波器A_i(e^jω)的系数，迭代结束；

式(16)中，E^k是第k次迭代中目标函数的最大值，E^k-1是第k-1次迭代中目标函数的最大值；μ为设定阈值；

E^k＝max(W₁|θ_e1(a₁(k),ω)|)+max(W₂|θ_e2(a₂(k),ω)|)+max(|θ_eT(a(k),ω)|) (17)

步骤五、根据群延迟误差的包络计算加权值W_i

首先计算出第k次迭代的群延迟误差

其中g_di表示第k次迭代的全通滤波器A_i(e^jw)的实际群延迟，τ_di表示全通滤波器A_i(e^jω)的理想群延迟；然后计算出

的包络

如果不满足

使

然后令

k＝k+1，返回步骤三；否则的话直接令

k＝k+1，返回步骤三；其中ε为设定阈值。

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