CN110928297A - 基于多目标动态粒子群优化的智能公交车辆路径规划方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于多目标动态粒子群优化的智能公交车辆路径规划方法，包括：实时获取车辆和道路信息，生成全局参考路径；基于道路规则线和全局参考路径构建二维环境模型，并初始化粒子群中每个粒子：粒子的每个维度对应一个坐标点，每相邻两个维度坐标点之间设定曲线段，得到粒子对应的轨迹；根据路径长度、平滑度以及静态安全度指标设计轨迹的静态多目标适应度函数；然后采用粒子群算法，并应用静态多目标适应度函数，提取最优轨迹候选集；根据动态障碍物设计动态多目标适应度函数和约束加速度关系，并与静态安全性设计适应度函数结合，从最优轨迹候选集中选择综合适应度最优的一条轨迹。本发明在改善舒适性指标同时，大大提高动态安全性能。

Description

基于多目标动态粒子群优化的智能公交车辆路径规划方法

技术领域

本发明涉及智能驾驶及其控制技术领域，特别是一种基于多目标动态粒子群优化的智能公交车辆路径规划方法。

背景技术

近年来，智能驾驶一直是社会关注的焦点，随着智能驾驶技术研究的持续推进，智能车辆逐步走到了现实中，而结构化的城市道路，清晰的道路标志也使得城市公交车路况相对简单，这些促使了公交车成为自动驾驶技术在日常生活中普及的突破口，自动驾驶技术核心的部分就是为智能车辆规划一条安全无碰撞的最优行驶路径。

路径规划方法的研究主要是为了使智能车辆能够避开障碍物。现有的路径规划算法可分为全局规划和局部规划两个阶段。在全局规划阶段，通过数字地图和定位***确定全局路径和车辆状态。在局部规划阶段，可以根据全局路径以及相机、雷达等传感器获取的周边信息来实现局部路径。但现有技术中缺少一种用于智能公交车辆的、综合考虑静态与动态多障碍目标以及乘车舒适性的轨迹规划方法。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于，提供一种基于多目标动态粒子群优化的智能公交车辆路径规划方法，在改善舒适性指标的同时，大大提高动态安全性能。

为实现上述技术目的，本发明采用如下技术方案：

一种基于多目标动态粒子群优化的智能公交车辆路径规划方法，包括以下步骤：

步骤1，全局参考路径生成；

根据车载传感器实时获取车辆和道路信息，从道路信息提取道路规则线，生成符合道路规则线的全局参考路径；

步骤2，初始化粒子群及相应的轨迹；

基于道路规则线和全局参考路径，构建以前进方向为纵向X轴、垂直方向为横向Y轴的二维环境模型，在二维环境模型中初始化粒子群；

其中，每个粒子的位置编码规则为：每个维度对应二维环境模型中的一个坐标点，每相邻两个维度坐标点之间设定一条曲线段，则M-1条曲线段的总和得到与粒子对应的寻优轨迹，粒子群对应得到轨迹集；

步骤3，静态多目标设定及动态障碍物避让；

根据每条寻优轨迹的长度、平滑度以及与静态障碍物关联的静态安全度指标，设计静态多目标适应度函数；

采用粒子群算法，并应用静态多目标适应度函数，从粒子群轨迹集中筛选出适应度最优的前K条寻优轨迹，构成最优轨迹候选集；

根据动态障碍物及其与当前位置的关系，设计动态多目标适应度函数，并与静态安全性设计适应度函数结合得到综合适应度函数，从最优轨迹候选集中选择综合适应度最优的一条轨迹。

进一步地，每个粒子的每相邻两个维度坐标点之间设定的曲线，均采用三次样条插值方法得到。

进一步地，在生成M-1条样条曲线时，包括以下约束条件：

a，起点约束，起点坐标的函数值及一阶导数值均为0；

b，终点约束，终点坐标的函数值已知且一阶导数值为0；

c，中间点约束，每个中间点在相邻两条曲线段上的函数值相同、一阶导数值相同、二阶导数值相同。

进一步地，所述静态多目标适应度函数的表达式具体为：

f_{stastic_fitness}＝ω_df_{fit_distence}+ω_sf_{fit_smoothness}+ω_uf_{fit_security}；

上式中，f_{stastic_fitness}表示轨迹的静态多目标适应度，f_{fit_distence}表示轨迹长度，ω_d表示长度权重，f_{fit_smoothness}表示平滑度，ω_s表示平滑度权重，f_{fit_security}表示静态安全度，ω_u表示静态安全度权重，且有：

上式中，f_{calculate_security}表示障碍物到轨迹中各曲线段的最短距离，f_(j+1)表示轨迹在第j个维度坐标与第j+1个维度坐标之间的曲线段，f″_(j+1)表示曲线段f_(j+1)的曲率，(x_j,y_j)表示粒子的第j个维度的坐标，且粒子的M个维度的横坐标依次等间距分布，间距为L₁；

若障碍物到轨迹的最短距离小于障碍物的几何半径，设置静态安全度为：f_{calculate_security}＝9999。

进一步地，ω_d＝4，ω_s＝400，ω_u＝2。

进一步地，动态多目标适应度函数的设计规则为：

f_{dynamic_fitness}＝ω_dynamic(L₄-r)|a|，

式中，f_{dynamic_fitness}表示轨迹的动态多目标适应度，ω_dynamic表示动态适应度权重，a表示车辆沿轨迹行驶的加速度，L₄表示车辆沿轨迹跟随环境车辆的行驶距离，L₅表示车辆在轨迹当前位置与动态碰撞物的碰撞点之间的路径弧长，v₀表示车辆沿轨迹行驶的初速度，v_limit表示车辆的限制速度。

进一步地，所述动态碰撞物保持匀速直线运动，轨迹在避让动态障碍物时只考虑减速避让，且最优轨迹候选集中的轨迹在做动态障碍物避让时存在以下情况：轨迹与动态障碍物不存在碰撞点的适应度值大于轨迹与动态障碍物存在碰撞点的适应度值，即：f¹ _{nocollison_fitness}＝f¹ _{stastic_fitness}+0>+f² _{collison_fitness}＝f² _{stastic_fitness}+f² _{dynamic_fitness}。

进一步地，步骤1的具体过程为：

步骤1.1，获取车辆和道路信息，从中提取道路规则线；

利用定位装置获取车辆的当前定位和状态信息，利用雷达获取道路边沿数据并提取道路边沿的几何描述，利用摄像头获取车道线数据并提取车道线的几何描述；

步骤1.2，全局参考路径生成；

若步骤1.1提取的道路规则线中包括车道线的几何描述，则全局参考路径为平行于车道线、且相对于中央车道线右侧的几何描述左移半个车道得到；

若步骤1.1提取的道路信息中不包括车道线的几何描述、但包括道路边沿的几何描述，则全局参考路径为平行于道路边沿、且相对于右侧道路边沿左移半个车道得到；

若步骤1.1提取的道路信息中不包括车道线的几何描述、且不包括道路边沿的几何描述，则检测传感器是否发生故障，并在传感器正常情况下重新执行步骤1。

进一步地，在二维环境模型中初始化粒子群的方法为：

将粒子的位置初始编码为二维环境模型中M维坐标点集合：X_i＝([x₁,y₁],[x₂,y₂]，…，[x_M,y_M])， i表示粒子群中的粒子标号，M表示粒子的维度；

其中，粒子编码的纵向解固定为[x₁,x₂,…,x_M]＝[0,L₁,…,(M-1)L₁]，

将粒子的横向解空间[-L₂,L₂]以间隔为L₃划分为

个离散值，即粒子的横向解空间为

j表示粒子的维度标号；

再将粒子的每相邻两个维度坐标点之间设定一条曲线段，则M-1条的曲线段的总和得到与粒子对应的寻优轨迹，粒子群对应为轨迹集。

有益效果

本发明的有益效果为：

1、综合考虑轨迹的长度、平滑性、静态安全性、动态安全性等性能指标设计多目标适应度函数设计，大大提高了智能公交路径规划的安全性及舒适性；

2、在动态障碍物的引入，在提高了轨迹规划的动态安全性的同时，输出了车辆加速度规划，尤其适用于智能化的智能公交车辆中；

3、采用粒子群算法，拟合多维度粒子的每相邻维度坐标之间的曲线时，有考虑起点、终点及中间点的约束，增加了轨迹的平滑性，进一步提高路径规划的舒适性；

4、采用粒子群算法，根据路径规划的前进方向特点以将粒子编码的纵向解固定，根据轨迹的偏移上限将横向解离散化为有限个数值，只需要设定较小粒子群种群数量及迭代周期即可完成粒子寻优，大大缩减了路径规划的完成周期。

5、基于路径规划的完成周期短，可在进行动态障碍物避让规划时，可将动态障碍物的运动简单化为匀速直线运动，在保证路径规划安全性的同时，降低了动态障碍物避让进行路径规划的难度。

附图说明

图1为本发明实施例的多目标动态粒子群优化路径规划流程图；

图2为本发明实施例建立的二维环境模型示意图；

图3为本发明实施例的最优轨迹候选集生成及多目标设定流程图；

图4为本发明实施例的动态障碍物避让流程图。

具体实施方式

下面对本发明的实施例作详细说明，本实施例以本发明的技术方案为依据开展，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，对本发明的技术方案作进一步解释说明。

本实施例采用长12m，宽2.5m，高3.3m的大客车改装的智能车，装有激光雷达、毫米波雷达、GPS定位***及机器视觉***，在结构化道路进行路径规划实验。

本实施例提供的一种基于多目标动态粒子群优化的智能公交车辆路径规划方法，参见图 1、3、4所示，包括如下过程：

步骤1，全局参考路径生成；

根据车载传感器实时获取车辆和道路信息，从道路信息中提取道路规则线，生成符合道路规则线的全局参考路径，具体过程为：

步骤1.1，获取车辆和道路信息，从中提取道路规则线；

车辆信息具体是指车辆的当前定位和状态信息，即

利用GPS定位***获得。

道路信息具体是指道路边沿数据和车道线数据。其中道路边沿数据通过激光雷达和毫米波雷达获取，然后可从道路边沿数据中提取道路边沿的几何描述：包括左边沿的几何描述

和右边沿的几何描述

车道线数据通过工业摄像头获取，然后可从车道线数据中提取车道线的几何描述

其中i表示车道线序号，i∈{0,...,K}，K为检测到车道线总数量。上述道路边沿的几何描述和车道线的几何描述，即为提取的道路规则线。

步骤1.2，全局参考路径生成；

若步骤1.1获取的道路规则线中包括车道线的几何描述，则全局参考路径

为平行于车道线、且相对于中央车道线右侧的几何描述左移半个车道得到，即

k∈{1,2,3}，

若步骤1.1获取的道路信息中不包括车道线的几何描述、但包括道路边沿的几何描述，则全局参考路径

为平行于道路边沿、且相对于可侧道路边沿左移半个车道得到，即

或

且有

或

若步骤1.1获取的道路信息中不包括车道线的几何描述、且不包括道路边沿的几何描述，则检测传感器是否发生故障，并在传感器正常情况下重新执行步骤1。

步骤2，初始化粒子群及相应的轨迹；

基于道路规则线和全局参考路径，构建以前进方向为纵向X轴、垂直方向为横向Y轴的二维环境模型，如图2所示，其中在二维环境模型中初始化粒子群；其中，每个粒子的位置编码规则为：每个维度对应二维环境模型中的一个坐标点，每相邻两个维度坐标点之间均采用三次样条插值方法得到一条曲线段，则M-1条曲线段的总和得到与粒子对应的的寻优轨迹，粒子群对应得到轨迹集；

在二维环境模型中初始化粒子群的方法具体为：

步骤2.1，将粒子的位置初始编码为二维环境模型中M个坐标点集合： X_i＝([x₁,y₁],[x₂,y₂]，…，[x_M,y_M])，i表示粒子群中的粒子标号，M表示粒子的维度，在本实施例中取M＝5；

步骤2.2，然后将粒子编码的纵向解固定为[x₁,x₂,…,x_M]＝[0,L₁,…,(M-1)L₁]，并将粒子的纵向解空间[-L₂,L₂]以间隔为L₃划分为

个离散值，即粒子的纵向解空间限定为

j表示粒子的维度标号；其中的L₂具体取值为轨迹偏移全局参考路径的偏移上限。本实施例中设置L₂＝6m，L₃＝0.2m。

步骤2.3，再将粒子的每相邻两个维度坐标点之间设定一条曲线段，则M-1条曲线段的总和得到与粒子对应的的寻优轨迹，粒子群对应为轨迹集。

本实施例中，每条曲线段均采用三次样条插值方法得到，第k条曲线段表示为

k＝1，2，…，M-1。在生成M-1条曲线段时，包括以下约束条件：

a，起点约束，起点坐标的函数值及一阶导数值均为0，即：

b，终点约束，终点坐标的函数值已知且一阶导数值为0，即

c，中间点约束，由于中间点处于相邻两条曲线段连接处，每个中间点在相邻两条曲线段上的函数值相同

一阶导数值相同

二阶导数值相同

步骤3，静态多目标设定及动态障碍物避让；

步骤3.1，静态多目标适应度函数设计：

根据每条寻优轨迹的长度、平滑度以及与静态障碍物关联的静态安全度指标，设计静态多目标适应度函数，表达式为：

f_{stastic_fitness}＝ω_df_{fit_distence}+ω_sf_{fit_smoothness}+ω_uf_{fit_security}；

上式中，f_{stastic_fitness}表示轨迹的静态多目标适应度，f_{fit_distence}表示长度，ω_d表示长度权重， f_{fit_smoothness}表示平滑度，ω_s表示平滑度权重，f_{fit_security}表示静态安全度，ω_u表示静态安全度权重，在本实施例中取ω_d＝4，ω_s＝400，ω_u＝2。

其中长度f_{fit_distence}，由于本实施例中所有粒子编码的纵向解均固定为 [x₁,x₂,…,x_M]＝[0,L₁,…,(M-1)L₁]，即粒子所表示的轨迹长度在纵向上是相等的，因此在设计适应度函数时可以考虑横向上的长度，即只对各曲线段的横向距离做累加，表示为：

(x_j,y_j)表示粒子的第j个维度的坐标，

平滑度f_{fit_smoothness}，由于每个维度为M的粒子所表示的轨迹分为M-1条曲线段，且曲率 (二阶导数)有正负之分，故本实施例将粒子所表示的轨迹平滑度设计为M-1条曲线段的曲率平方之和，表示为：

f_(j+1)表示轨迹在第j个维度坐标与第j+1个维度坐标之间的曲线段，f″_(j+1)表示曲线段f_(j+1)的曲率；

静态安全度f_{fit_security}，路径规划过程中要考虑障碍物的存在，设障碍物为几何半径为r 的中心圆，其位姿坐标为[x,y]，则静态安全度表示为：

f_{calculate_security}表示障碍物到轨迹中各曲线段的最短距离。若障碍物到轨迹的最短距离小于障碍物的几何半径，设置静态安全度为：f_{calculate_security}＝9999。

步骤3.2，提取最优轨迹候选集：

采用粒子群算法，并应用静态多目标适应度函数，从粒子群轨迹集中筛选出适应度最优的前K条寻优轨迹，构成最优轨迹候选集。

在设置粒子群的种群大小和粒子群算法的最高迭代次数后，并对粒子群的粒子位置按步骤2初始化编码后，则可以步骤3.1设计的静态多目标适应度函数作为粒子群算法的适应度函数，采用以下位置和速度更新公式对粒子群进行迭代更新：

V_i＝ωV_i+c₁r₁(P_best-X_i)+c₂r₂(G_best-X_i)，

X_i＝X_i+V_i，

其中V_i＝(v_i1,v_i2,...,v_iM)表示第i个粒子的速度，维数与粒子维数相同为M；c₁＝c₁＝0.5为学习因子，也称为加速常数，ω为惯性因子，r₁、r₂为[0,1]之间的随机数，P_best表示第i个粒子搜索到的最优位置称为个体极值，G_best表示当前粒子群搜索到的最优位置称为全局极值。由于速度更新公式中c₁、c₂、r₁、r₂及ω的设定，计算得到的粒子速度会出现小数，对该数做四舍五入，将速度整数化，符合粒子编码整数的形式。

当达到最高迭代次数后，从粒子群的所有个体极值中选取适应度最小的前K个极值，该 K个极值粒子对应的轨迹即为适应度最优的前K条寻优轨迹。在本实施例中，取K＝5。

步骤3.3，动态障碍物避让：

由于本发明的路径规划的完成周期为毫秒级，尤其是本实施例中在采用粒子群算法进行粒子编码的时候，将粒子位置编码的纵向解固定、根据轨迹的偏移上限将横向解离散化为有限个数值，只需要设定较小粒子群种群数量及迭代周期即可完成粒子寻优，大大缩减了路径规划的完成周期。因此本实施例可假设动态障碍物在路径规划的毫秒时间内，其运动速度及方向基本不变，从而假设动态障碍物在路径规划时间内保持直线运动。

本实施例另外还假设存在以下情况：(1)轨迹与动态障碍物不存在碰撞点的适应度值大于轨迹与动态障碍物存在碰撞点的适应度值，即： f¹ _{nocollison_fitness}＝f¹ _{stastic_fitness}+0>+f² _{collison_fitness}＝f² _{stastic_fitness}+f² _{dynamic_fitness}；(2)动态障碍物避让只考虑减速避让，不考虑加速超车的情况。

因此，当最优轨迹候选集内的所有轨迹已完成静态障碍物避让后，即可根据动态障碍物及其与当前位置的关系，设计动态多目标适应度函数和车辆沿轨迹行驶的加速度约束关系，并将动态多目标适应度函数与静态安全性设计适应度函数结合得到综合适应度函数，在满足加速度约束关系的基础上从最优轨迹候选集中选择综合适应度最优的一条轨迹。

具体的动态障碍物避让规划方法为：

根据上述假设条件，动态障碍物保持匀速直线运动，生成一条轨迹线，与最优轨迹候选集中的轨迹的交叉点即为碰撞点。

首先，截取最优轨迹候选集中各轨迹的当前位置与碰撞点之间的路径，该路径弧长为L₅；而车辆沿轨迹从起点运行至碰撞点所需时间为v₀t＝L₂-r，v₀表示车辆沿轨迹行驶的初速度；

然后设定车辆加速度约束关系：车辆沿轨迹跟随动态障碍物的行驶距离为L₄，且满足

则加速度取值为

且加速度满足

v_limit表示车辆的限制速度。在本实施例中设定v₀＝30km/h，v_limit＝10km/h。

最后，针对最优轨迹候选集中的K条轨迹，引入动态多目标适应度函数，并综合考虑静态与动态多目标适应度函数，最终即可生成最优轨迹以及动态障碍物避让的加速度。其中动态多目标适应度函数为：

f_{dynamic_fitness}＝ω_dynamic(L₄-r)|a|；

式中，f_{dynamic_fitness}表示轨迹的动态多目标适应度，ω_dynamic表示动态适应度权重，取ω_dynamic＝0.25。

以上实施例为本申请的优选实施例，本领域的普通技术人员还可以在此基础上进行各种变换或改进，在不脱离本申请总的构思的前提下，这些变换或改进都应当属于本申请要求保护的范围之内。

Claims (9)

1.一种基于多目标动态粒子群优化的智能公交车辆路径规划方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，全局参考路径生成；

根据车载传感器实时获取车辆和道路信息，从道路信息提取道路规则线，生成符合道路规则线的全局参考路径；

步骤2，初始化粒子群及相应的轨迹；

基于道路规则线和全局参考路径，构建以前进方向为纵向X轴、垂直方向为横向Y轴的二维环境模型，在二维环境模型中初始化粒子群；

其中，每个粒子的位置编码规则为：每个维度对应二维环境模型中的一个坐标点，每相邻两个维度坐标点之间设定一条曲线段，则M-1条曲线段的总和得到与粒子对应的寻优轨迹，粒子群对应得到轨迹集；

步骤3，静态多目标设定及动态障碍物避让；

根据每条寻优轨迹的长度、平滑度以及与静态障碍物关联的静态安全度指标，设计静态多目标适应度函数；

采用粒子群算法，并应用静态多目标适应度函数，从粒子群轨迹集中筛选出适应度最优的前K条寻优轨迹，构成最优轨迹候选集；

根据动态障碍物及其与当前位置的关系，设计动态多目标适应度函数，并与静态安全性设计适应度函数结合得到综合适应度函数，从最优轨迹候选集中选择综合适应度最优的一条轨迹。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，每个粒子的每相邻两个维度坐标点之间设定的曲线，均采用三次样条插值方法得到。

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，在生成M-1条样条曲线时，包括以下约束条件：

a，起点约束，起点坐标的函数值及一阶导数值均为0；

b，终点约束，终点坐标的函数值已知且一阶导数值为0；

c，中间点约束，每个中间点在相邻两条曲线段上的函数值相同、一阶导数值相同、二阶导数值相同。

4.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述静态多目标适应度函数的表达式具体为：

f_{stastic_fitness}＝ω_df_{fit_distence}+ω_sf_{fit_smoothness}+ω_uf_{fit_security}；

上式中，f_{stastic_fitness}表示轨迹的静态多目标适应度，f_{fit_distence}表示轨迹长度，ω_d表示长度权重，f_{fit_smoothness}表示平滑度，ω_s表示平滑度权重，f_{fit_security}表示静态安全度，ω_u表示静态安全度权重，且有：

上式中，f_{calculate_security}表示障碍物到轨迹中各曲线段的最短距离，f_(j+1)表示轨迹在第j个维度坐标与第j+1个维度坐标之间的曲线段，f″_(j+1)表示曲线段f_(j+1)的曲率，(x_j,y_j)表示粒子的第j个维度的坐标，且粒子的M个维度的横坐标依次等间距分布，间距为L₁；

若障碍物到轨迹的最短距离小于障碍物的几何半径，设置静态安全度为：f_{calculate_security}＝9999。

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，ω_d＝4，ω_s＝400，ω_u＝2。

6.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，动态多目标适应度函数的设计规则为：

f_{dynamic_fitness}＝ω_dynamic(L₄-r)|a|，

式中，f_{dynamic_fitness}表示轨迹的动态多目标适应度，ω_dynamic表示动态适应度权重，a表示车辆沿轨迹行驶的加速度，L₄表示车辆沿轨迹跟随环境车辆的行驶距离，L₅表示车辆在轨迹当前位置与动态碰撞物的碰撞点之间的路径弧长，v₀表示车辆沿轨迹行驶的初速度，v_limit表示车辆的限制速度。

7.根据权利要求6所述的方法，其特征在于，所述动态碰撞物保持匀速直线运动，轨迹在避让动态障碍物时只考虑减速避让，且最优轨迹候选集中的轨迹在做动态障碍物避让时存在以下情况：轨迹与动态障碍物不存在碰撞点的适应度值大于轨迹与动态障碍物存在碰撞点的适应度值，即：f¹ _{nocollison_fitness}＝f¹ _{stastic_fitness}+0>+f² _{collison_fitness}＝f² _{stastic_fitness}+f² _{dynamic_fitness}。

8.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤1的具体过程为：

步骤1.1，获取车辆和道路信息，从中提取道路规则线；

利用定位装置获取车辆的当前定位和状态信息，利用雷达获取道路边沿数据并提取道路边沿的几何描述，利用摄像头获取车道线数据并提取车道线的几何描述；

步骤1.2，全局参考路径生成；

若步骤1.1提取的道路规则线中包括车道线的几何描述，则全局参考路径为平行于车道线、且相对于中央车道线右侧的几何描述左移半个车道得到；

若步骤1.1提取的道路信息中不包括车道线的几何描述、但包括道路边沿的几何描述，则全局参考路径为平行于道路边沿、且相对于右侧道路边沿左移半个车道得到；

若步骤1.1提取的道路信息中不包括车道线的几何描述、且不包括道路边沿的几何描述，则检测传感器是否发生故障，并在传感器正常情况下重新执行步骤1。

9.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，在二维环境模型中初始化粒子群的方法为：

将粒子的位置初始编码为二维环境模型中M维坐标点集合：X_i＝([x₁,y₁],[x₂,y₂]，…，[x_M,y_M])，i表示粒子群中的粒子标号，M表示粒子的维度；

其中，粒子编码的纵向解固定为[x₁,x₂,…,x_M]＝[0,L₁,…,(M-1)L₁]，

将粒子的横向解空间[-L₂,L₂]以间隔为L₃划分为

个离散值，即粒子的横向解空间为

j表示粒子的维度标号；

再将粒子的每相邻两个维度坐标点之间设定一条曲线段，则M-1条的曲线段的总和得到与粒子对应的寻优轨迹，粒子群对应为轨迹集。

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