CN110789504A - 基于电磁制动迟滞补偿的非线性复合abs控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于电磁制动迟滞补偿的非线性复合ABS控制方法，包括建立车辆动力学数学模型、轮胎数学模型、电磁制动器数学模型、电子液压制动器数学模型和参考滑移率数学模型；根据电子液压制动器数学模型和电磁制动器数学模型设计执行模块1和执行模块2，根据车辆动力学数学模型、轮胎数学模型和参考滑移率数学模型计算模块1计算出所需的制动力矩，执行模块1提供所需制动力矩；计算模块2根据电子液压制动器计算出所需要的迟滞补偿制动力矩，执行模块2提供所需的迟滞补偿制动力矩。有益效果：不仅减少了力矩传感器的成本，能够有效提高汽车ABS的控制精度和响应速度，使滑移率迅速收敛到目标值，保证汽车的制动安全。

Description

基于电磁制动迟滞补偿的非线性复合ABS控制方法

技术领域

本发明涉及汽车防抱死制动***的控制方法，特别涉及一种基于电磁制动迟滞补偿的非线性复合ABS控制方法，属于汽车制动***领域。

背景技术

防抱死制动***(ABS)是车辆最基本的安全控制，通过机电液***自动控制制动器摩擦力的大小，使车轮不被抱死并保持在最佳滑移率附近。但是传统制动***受限于其结构和工作原理难以满足汽车电动化和智能化等对制动***提出的许多新的功能需求，难以实现人机制动解耦和快速精确的制动等。电子液压制动能够满足上述要求，在汽车未来制动***具有广阔的应用前景，纵观制动***技术发展历程，从ABS到ESC的推出，一般都是渐进功能式的叠加，这将导致功能冗余和处理器的浪费。因此，利用电子液压制动***实现ABS的控制具有十分重要的意义。

但是，电子液压制动***根据现有的最优控制技术进行ABS的控制，效果并不能实现较好的效果，甚至低于传统的ABS控制，最重要的一个原因之一就是电子液压制动***自身存在的迟滞特性将会影响到最优控制。由于执行器特性的原因，最优控制技术在ABS控制领域受到制约，因此，如何改善制动***执行器的响应特性，是各种先进的最优控制技术应用到 ABS的关键。

中国专利CN201410225506.2一种电动车辆的复合制动***及其复合制动方法，提出的复合制动方法，选择优先进行再生制动力矩，当再生制动力矩不足，用摩擦制动力矩进行补偿，尽管能够有效的回收能量，但忽略了两种制动***存在明显的响应差异，没有考虑两者之间的迟滞特性将会导致制动***的震荡。

中国专利CN201811349994.2一种电液复合制动***及其控制方法，是将实际液压制动力与理想液压制动力的差值叠加到电制动力矩的目标输入中，来补偿液压制动力由于滞后产生的差值。上述技术属于反馈控制，需要较高的传感器精度，且测量得到实际制动力矩需要一定时间，再经过差值反馈给电机控制器进行补偿。经测量计算带来的时滞影响，制约了制动***的响应特性的改善。

发明内容

发明目的：针对现有技术中存在不足，本发明提供了一种基于电磁制动迟滞补偿的非线性复合ABS控制方法。

本发明是通过利用电磁制动力矩补偿电子液压制动***制动力矩的迟滞特性，改善ABS 的响应特性，提高制动性能。通过积分反馈非线性最优控制器求解所需制动力矩，利用电子液压制动***进行制动力矩跟踪控制，利用电磁制动进行制动力矩的迟滞补偿。

技术方案：一种基于电磁制动迟滞补偿的非线性复合ABS控制方法，主要包含如下步骤：

步骤一、建立数学模型：分别建立车辆动力学数学模型、轮胎数学模型、电磁制动器数学模型、电子液压制动器数学模型和参考滑移率数学模型；

步骤二、根据电子液压制动器数学模型和电磁制动器数学模型设计执行模块1和执行模块2，根据车辆动力学数学模型、轮胎数学模型和参考滑移率数学模型设计计算模块1，计算模块1计算出所需的制动力矩，执行模块1提供所需制动力矩；计算模块2根据电子液压制动器一阶惯性常数和动态特性计算出所需要的迟滞补偿制动力矩，执行模块2提供所需的迟滞补偿制动力矩。

所述车辆动力学数学模型为：

其中R为车轮半径，为车轮总惯性矩，为车辆纵向加速度，

为车轮角加速度，T_b为制动力矩，F_x为轮胎纵向力，I_t为轮胎等效转动惯量；

m_t为车辆的总质量的四分之一：

其中，m_vs为车辆簧载质量，m_w为车轮质量；

1/4车模型下的轮胎垂直载荷为：

其中l为轴距，h_cg为簧载质量质心的高度，F_L为制动传递的动荷载，公式(1)代入公式(4)求解非线性代数方程来计算F_z；

定义轮胎的滑移率λ：

其中，λ表示轮胎滑移率，v表示车辆纵向速度；

对公式(5)关于时间求导：

其中，表示

表示滑移率的导数，

将公式(1)和(2)代入公式(6)得

所述轮胎数学模型为：

采用非线性Dugoff轮胎模型:

其中

其中，C_i为轮胎纵向刚度，C_α为轮胎侧向刚度，u为路面摩擦系数，ε_r为路面附着系数，α为轮胎侧偏角。

所述电磁制动器数学模型为：

电磁制动器施加在制动盘上的制动力矩为 T_e＝2BI_ebL (11)

其中，

S＝ab；

因此，

式中，T_e为电磁制动力矩，B为穿过制动盘的磁感应强度，a为磁极截面宽度，b为磁极面长度，L为制动盘中心到磁极中心的距离，Ie为在制动盘上产生的电涡流有效值，i为在制动盘上产生的电涡流瞬时值，ρ′为制动盘电阻率，Δ_h为涡流在制动盘上的集肤深度，μ_r为相对磁导率，ω为制动盘转动角速度，μ₀为真空磁导率，N为铁芯上所扰线圈的匝数，I为电磁制动器通电电流强度，lg为气隙间距，ke为折算系数；

一阶惯性环节来表征电磁制动力矩迟滞特性，即

式中：K_bm为电磁制动力矩常数，T_m(s)和T_wm(s)分别为电磁制动的实际制动力矩和参考制动力矩，时间常数τ₂反映电子液压制动******惯性，s表示频域坐标轴的频率值。

所述电子液压制动器数学模型为：

同样采用一阶惯性环节来表征电子液压制动力矩的变化产生的时间延迟，即

式中：K_bh为电子液压制动力矩常数，T_h(s)和T_hw(s)分别为电子液压制动***实际制动力矩和参考制动力矩，时间常数τ₂反映电子液压制动******惯性；

所述参考滑移率数学模型：

其中λ_opt＝0.15表示最优滑移率，a＝20为时间常数。对方程两边求拉普拉斯逆变换，解一阶零初始条件微分方程，得

λ_d(t)＝λ_opt-λ_opte^-at (16)。

所述步骤二中计算模块1和执行模块1的设计包括以下步骤：

步骤2.1、用泰勒级数展开法预测下一个时间区间λ(t+h)的滑移率非线性响应：

用公式(1)、(7)构建制动工况下的非线性车辆***动力学状态方程，考虑轮胎滑移率作为***输出，写成状态空间形式

选取输出向量y₁为λ，即

y₁＝x₂ (19)

x＝[v λ]^T为***状态向量，y₁为***输出向量，T_b表示控制输入，非线性轮胎模型(8) 已合并到函数f₁和f₂中；

因此，定义新的状态变量x₃为：

控制***的目的为控制车轮滑移率x₂＝λ和其积分x₃＝∫λdt收敛于参考响应；将状态变量 y＝[x₂ x₃]^T作为***的输出，构建优化下一时刻跟踪错误的性能指标：

即：

w₁和w₂分别为轮胎滑移率和其积分的加权系数，为实现最高效的跟踪，控制输入T_b的加权项未包含在性能指标中；

在t时刻处的k阶泰勒级数近似为

一阶泰勒级数对x₂和x₃进行泰勒级数展开：

对参考滑移率的状态向量进行增广

步骤2.2以预测跟踪误差最小化为优化目标，计算当前控制T_b(t)：

通过将公式(24)-(27)带入到公式(22)得到以控制输入为变量的性能指标函数，根据最优理论，性能指标函数最优化的必要条件为

求得

其中，e₂和e₃为当前输出向量的跟踪误差:e₂＝x₂(t)-x_2d(t)；e₃＝x₃(t)-x_3d(t)；β为权重比:

式(29)是积分反馈的非线性控制***的输出控制。

所述步骤二中基计算模块2和执行模块2的设计方法为：

制动***将滑移率信号和车速信号发送给作为上层控制器的计算模块1，计算模块1求解得到制动力矩T_b，并将制动力矩T_b信号发送到执行模块1，执行模块1实现制动力矩T_b的跟踪控制；作为下层控制器的计算模块2通过采样制动力矩T_b信号，求解得到ABS制动***中液压制动力的变化率，采用一阶泰勒级数前馈补偿控制方法求解电子液压制动***迟滞补偿制动力T_c：

迟滞补偿控制器将补偿制动力T_c信号发送到执行模块2信号，底层执行模块2实现制动力矩T_c的跟踪控制；最后，将执行模块1产生的制动力矩T_h和执行模块2产生的制动力矩T_c相加得到迟滞补偿后的复合制动力矩T_bc作用于***：

有益效果：不仅减少了力矩传感器的成本，基于电磁制动迟滞补偿的积分反馈非线性最优复合ABS控制能够有效提高汽车ABS的控制精度和响应速度，使滑移率迅速收敛到目标值，保证汽车的制动安全。

附图说明

图1为本发明1/4车制动模型示意图；

图2为本发明控制原理图；

图3为滑移率和电子液压制动控制的滑移率对比图；

图4为电磁制动迟滞补偿的制动力矩。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例对本发明作进一步的说明，但本发明的保护范围并不限于此。

1、建立数学模型

1.1、建立车辆模型

本发明将1/4车模型作为研究对象，车辆制动模型见图1。此模型有纵向车速和轮速两个自由度。

车辆的动力学数学模型为:

其中R为车轮半径，为车轮总惯性矩，

为车辆纵向加速度，

为车轮角加速度，T_b为制动力矩，F_x为轮胎纵向力。

m_t为给出的四分之一车辆的总质量:

其中m_vs为车辆簧载质量，m_w为车轮质量。

作用在轮胎上的纵向力取决于轮胎的垂直载荷，而垂直载荷由两部分组成:一是由于车辆质量分布而产生的静态载荷，二是由于制动过程中产生的轮胎动载荷。因此，1/4车模型下的轮胎垂直载荷为:

其中l为轴距，h_cg为簧载质量质心的高度。F_L为制动传递的动荷载。在实际应用中，轮胎的垂直载荷是通过测量轮胎的纵向加速度a来计算的。但在仿真研究中，将(1)代入代入 (4)求解非线性代数方程来计算F_z。

定义轮胎的滑移率：

对公式(5)关于时间求导，得到滑移率关于时间的导数为：

将公式(1)和(5)代入公式(6)得

方程(1)和(7)构成状态空间运动形式的控制方程。车速v和车轮纵向滑移率λ为状态向量，制动力矩T_b为控制向量。在推导上述方程时，忽略了制动对车身俯仰和横摆的影响，仅考虑无转向时的直线制动工况。

1.2、轮胎模型建立

车轮纵向力F_x被描述为轮胎纵向滑移率的函数。当纵向滑移量较小时，纵向力与滑移量呈线性关系，但随滑移率增加，在某处轮胎纵向力达到最大饱和值，滑移率再增加轮胎纵向力反而有所下降。轮胎力的饱和特性是引起车辆运动非线性特性的主要原因，同样也是造成车辆不安全的主要原因。

为了考虑轮胎力的饱和特性，本发明采用了基于摩擦椭圆思想的非线性Dugoff轮胎模型。在该模型中，轮胎纵向力为:

其中

其中，C_i为轮胎纵向刚度，C_α为轮胎侧向刚度，u为路面摩擦系数，ε_r为路面附着系数，α为轮胎侧偏角。

Dugoff轮胎模型描述了轮胎在制动和转向时的轮胎特性。因此，该模型考虑了轮胎纵向力和横向力的相互作用。根据模型中使用的摩擦椭圆概念，当施加制动力时，由于接触面积引起的附加滑移，侧向力逐渐减小。本发明仅考虑没有转向的直线制动工况，对轮胎施加纯纵向力。

1.3、电涡流制动器模型建立

电涡流制动器制动力矩T_e计算：电磁制动器施加在制动盘上的制动力矩为

T_e＝2BI_ebL (11)

其中，

S＝ab，S＝ab。

因此，

式中，T_e为电涡流制动力矩，B为穿过制动盘的磁感应强度，a为磁极截面宽度，b为磁极面长度，L为制动盘中心到磁极中心的距离，I_e为在制动盘上产生的电涡流有效值，i为在制动盘上产生的电涡流瞬时值，ρ′为制动盘电阻率，Δ_h为涡流在制动盘上的集肤深度，μ_r为相对磁导率，ω为制动盘转动角速度，μ₀为真空磁导率，N为铁芯上所扰线圈的匝数，I 为电磁制动器通电电流强度，lg为气隙间距，ke为折算系数，通常取1.5。

并用一阶惯性环节来表征电磁制动力矩的变化产生的时间延迟，即

式中：K_bm为电磁制动力矩常数，T_m(s)和T_wm(s)分别为电磁制动的实际制动力矩和参考制动力矩，时间常数τ₁反映电磁制动***惯性，即一阶***的惯性越小，其响应过程越快；反之惯性越大响应越慢。

1.4、电子液压制动***模型建立

电子液压制动***由于保留原有成熟可靠的液压制动***，作为线控制动***，实现与再生制动协调控制，既能够回收制动能量，又保证制动***的稳定性。同样采用一阶惯性环节来表征电子液压制动力矩的变化产生的时间延迟，即

式中：K_bh为电子液压制动力矩常数，T_h(s)和T_hw(s)分别为电子液压制动***实际制动力矩和参考制动力矩，时间常数τ₂反映电子液压制动******惯性。

1.5、参考滑移率模型的建立

基于Dugoff轮胎模型，为在参考模型中包含车轮滑移率的瞬态响应，避免较大跟踪误差和制动初期制动力矩突增，建立车轮滑移率的参考模型

其中λ_opt＝0.15表示最优滑移率，a＝20为时间常数。其实，式(15)假设期望滑移的阶跃响应为一阶***。对方程两边求拉普拉斯逆变换，解一阶零初始条件微分方程，得到

λ_d(t)＝λ_opt-λ_opte^-at (16)

式(16)描述了时域内的车轮滑移率参考模型，下节将设计积分反馈非线性控制器对参考滑移率进行跟踪。

2、电磁制动迟滞补偿的积分反馈非线性复合ABS控制

步骤2.1设计计算模块1

用(1)、(7)构建制动工况下的非线性车辆***动力学状态方程，考虑轮胎滑移率作为***输出，写成状态空间形式

y₁＝x₂ (19)

x＝[v λ]^T为***状态向量，y₁为***输出向量，T_b表示控制输入。非线性轮胎模(8) 已合并到函数f₁和f₂中。

本发明计算模块1的设计思路是基于一种优化的非线性控制律。首先，用泰勒级数展开法预测下一个时间区间λ(t+h)的滑移率非线性响应，预测周期h类似于预测控制中的预测时域；然后，在连续区间内以预测跟踪误差最小化为优化目标，找出当前控制T_b(t)；最后，为进一步提高滑移率控制器的鲁棒性，采用积分反馈技术，将滑移率的积分附加到状态方程中。

因此，定义新的状态变量x₃为:

控制***的目的为控制车轮滑移率x₂＝λ和其积分x₃＝∫λdt收敛于参考响应。将状态变量 y＝[x₂ x₃]^T作为***的输出，构建优化下一时刻跟踪错误的性能指标:

即：

w₁和w₂分别为轮胎滑移率和其积分的加权系数，为实现最高效的跟踪，控制输入T_b的加权项未包含在性能指标中。

在t时刻处的k阶泰勒级数近似为

泰勒级数预测的关键问题在于阶数的选择，阶数越高近似程度越高，但控制***能量将会增加，而较低的阶数导致预测的误差增大。因此，控制阶数被认为是一个设计参数，在性能和输入能量需求之间做出妥协。泰勒级数预测的充分条件为不低于预测向量的阶数，一阶泰勒级数对于x₂的展开是充分的，而对于x₃的展开至少需要二阶泰勒级数。

上式用到了公式(19)中

的关系。

同理，可对参考滑移率的状态向量进行增广

因此，通过将公式(24)-(27)带入到(22)得到以控制输入为变量的性能指标函数，根据最优理论，性能指标函数最优化的必要条件为

求得

其中，e₂和e₃为当前输出向量的跟踪误差:e₂＝x₂(t)-x_2d(t)；e₃＝x₃(t)-x_3d(t)；β为权重比:

式(29)是积分反馈的非线性控制***的输出控制。

步骤2.2设计计算模块2

迟滞特性将会影响控制***的性能，所以必须对其进行补偿，才能实现稳定精密的控制。迟滞补偿控制器的思路为通过积分反馈非线性控制器求解所需制动力矩，利用电子液压制动***进行制动力矩跟踪控制，利用电磁制动进行制动力矩的迟滞补偿。

迟滞补偿控制器的原理图如图2所示，制动***将滑移率信号和车速信号发送给计算模块1，该上层控制器计算模块1求解得到目标制动力矩T_b，并将目标制动力矩T_b信号发送到执行模块1，执行模块1实现目标制动力矩T_b的跟踪控制。但是由于执行模块1存在明显的迟滞特性，无法实现跟踪高频信号的跟踪控制。计算模块2通过采样执行模块1的信号，求解得到ABS制动***中液压制动力的变化率，采用一阶泰勒级数前馈补偿控制方法求解电子液压制动***迟滞补偿制动力Tc。

计算模块1将补偿制动力T_c信号发送到执行模块2，底层执行模块2实现制动力矩T_c的跟踪控制。最后，将执行模块1产生的制动力矩T_h和执行模块2产生的制动力矩T_c相加得到迟滞补偿后的复合制动力矩T_bc，并作用于制动***。

其中，计算模块2迟滞补偿控制器利用微分概念，假设时间常数τ为无穷小，电子液压制动力矩下一时刻的一阶惯性迟滞环节补偿量等于迟滞惯性力的斜率与时间常数τ之积，因此τ时刻之后经补偿的电子液压制动力矩为

液压制动力矩的一阶惯性环节为自身固有特性，在力的跟踪控制时只能实现T_h部分，自身无法实现

的迟滞补偿。但电磁制动具有响应速度快的特点，响应速度达到毫秒级别，能够对液压制动力的迟滞特性进行有效补偿。因此液压制动力矩补偿量通过电磁制动T_c来完成，即

实施例：

为验证上述控制方法的有效性，本节分别对高附着系数路面的ABS制动工况进行仿真，对采用基于电磁制动迟滞补偿的积分反馈非线性复合制动与电子液压制动ABS控制策略进行对比分析。实际应用时所需的参数：u为路面摩擦系数选为0.8，R＝0.326m，v＝30m/s， C_i＝30000，C_α＝50000N/rad，m_w＝40kg,I_t＝1.7kgm²，m_vs＝415kg，a＝20，h＝0.01，β＝20，τ₁＝150ms，τ₂＝5ms，ε_r＝0.015s/m，h_cg＝0.5m。

图3为基于电磁制动迟滞补偿的积分反馈非线性复合ABS控制的滑移率和电子液压制动控制的滑移率对比图。通过对比发现，基于电磁制动迟滞补偿的积分反馈非线性复合ABS控制的滑移率能够更快的收敛到目标值，能够有效提高电动汽车ABS的控制精度和响应速度。

图4为电磁制动迟滞补偿的制动力矩。充分利用电磁制动力矩的响应特性来改善制动***的响应特性。

所述实施例为本发明的优选的实施方式，但本发明并不限于上述实施方式，在不背离本发明的实质内容的情况下，本领域技术人员能够做出的任何显而易见的改进、替换或变型均属于本发明的保护范围。

Claims (8)

1.一种基于电磁制动迟滞补偿的非线性复合ABS控制方法，其特征在于，主要包含如下步骤：

步骤一、建立数学模型：分别建立车辆数学模型、轮胎数学模型、电磁制动器数学模型、电子液压制动器数学模型和参考滑移率数学模型；

步骤二、根据电子液压制动器数学模型和电磁制动器数学模型设计执行模块1和执行模块2，根据车辆数学模型、轮胎数学模型和参考滑移率数学模型设计计算模块1，计算模块1计算出所需的制动力矩，执行模块1提供所需制动力矩；计算模块2根据电子液压制动器一阶惯性常数和动态特性计算出所需要的迟滞补偿制动力矩，执行模块2提供所需的迟滞补偿制动力矩。

2.根据权利要求1所述的基于电磁制动迟滞补偿的非线性复合ABS控制方法，其特征在于：所述车辆数学模型为：

其中R为车轮半径，为车轮总惯性矩，

为车辆纵向加速度，为车轮角加速度，T_b为制动力矩，F_x为轮胎纵向力，I_t为轮胎等效转动惯量；

m_t为车辆的总质量的四分之一：

其中，m_vs为车辆簧载质量，m_w为车轮质量；

1/4车模型下的轮胎垂直载荷为：

其中l为轴距，h_cg为簧载质量质心的高度，F_L为制动传递的动荷载，公式(1)代入公式(4)求解非线性代数方程来计算F_z；

定义轮胎的滑移率λ：

其中，λ表示轮胎滑移率，v表示车辆纵向速度；

对公式(5)关于时间求导：

其中，表示

表示滑移率的导数，

将公式(1)和(2)代入公式(6)得

3.根据权利要求2所述的基于电磁制动迟滞补偿的非线性复合ABS控制方法，其特征在于，所述轮胎数学模型为：

采用非线性Dugoff轮胎模型:

其中

其中，C_i为轮胎纵向刚度，C_α为轮胎侧向刚度，u为路面摩擦系数，ε_r为路面附着系数，α为轮胎侧偏角。

4.根据权利要求3所述的基于电磁制动迟滞补偿的非线性复合ABS控制方法，其特征在于，所述电磁制动器数学模型为：

电磁制动器施加在制动盘上的制动力矩为

T_e＝2BI_ebL (11)

其中，

S＝ab；

因此，

式中，T_e为电磁制动力矩，B为穿过制动盘的磁感应强度，a为磁极截面宽度，b为磁极面长度，L为制动盘中心到磁极中心的距离，Ie为在制动盘上产生的电涡流有效值，i为在制动盘上产生的电涡流瞬时值，ρ′为制动盘电阻率，Δ_h为涡流在制动盘上的集肤深度，μ_r为相对磁导率，ω为制动盘转动角速度，μ₀为真空磁导率，N为铁芯上所扰线圈的匝数，I为电磁制动器通电电流强度，lg为气隙间距，ke为折算系数；

一阶惯性环节来表征电磁制动力矩迟滞特性，即

式中：K_bm为电磁制动力矩常数，T_m(s)和T_wm(s)分别为电磁制动的实际制动力矩和参考制动力矩，时间常数τ₂反映电子液压制动******惯性，s表示频域坐标轴的频率值。

5.根据权利要求4所述的基于电磁制动迟滞补偿的非线性复合ABS控制方法，其特征在于，所述电子液压制动器数学模型为：

同样采用一阶惯性环节来表征电子液压制动力矩的变化产生的时间延迟，即

式中：K_bh为电子液压制动力矩常数，T_h(s)和T_hw(s)分别为电子液压制动***实际制动力矩和参考制动力矩，时间常数τ₂反映电子液压制动******惯性。

6.根据权利要求5所述的基于电磁制动迟滞补偿的非线性复合ABS控制方法，其特征在于，所述参考滑移率数学模型：

其中λ_opt＝0.15表示最优滑移率，a＝20为时间常数。对方程两边求拉普拉斯逆变换，解一阶零初始条件微分方程，得

λ_d(t)＝λ_opt-λ_opte^-at(16)。

7.根据权利要求6所述的基于电磁制动迟滞补偿的非线性复合ABS控制方法，其特征在于，所述步骤二中计算模块1和执行模块1的设计包括以下步骤：

用泰勒级数展开法预测下一个时间区间λ(t+h)的滑移率非线性响应：

用公式(1)、(7)构建制动工况下的非线性车辆***动力学状态方程，考虑轮胎滑移率作为***输出，写成状态空间形式

选取输出向量y₁为λ，即

y₁＝x₂(19)

x＝[v λ]^T为***状态向量，y₁为***输出向量，T_b表示控制输入，非线性轮胎模型(8)已合并到函数f₁和f₂中；

因此，定义新的状态变量x₃为：

控制***的目的为控制车轮滑移率x₂＝λ和其积分x₃＝∫λdt收敛于参考响应；将状态变量y＝[x₂ x₃]^T作为***的输出，构建优化下一时刻跟踪错误的性能指标：

即：

w₁和w₂分别为轮胎滑移率和其积分的加权系数，为实现最高效的跟踪，控制输入T_b的加权项未包含在性能指标中；

在t时刻处的k阶泰勒级数近似为

一阶泰勒级数对x₂和x₃进行泰勒级数展开：

对参考滑移率的状态向量进行增广

以预测跟踪误差最小化为优化目标，计算当前控制T_b(t)：

通过将公式(24)-(27)带入到公式(22)得到以控制输入为变量的性能指标函数，根据最优理论，性能指标函数最优化的必要条件为

求得

其中，e₂和e₃为当前输出向量的跟踪误差:e₂＝x₂(t)-x_2d(t)；e₃＝x₃(t)-x_3d(t)；β为权重比:

式(29)是积分反馈的非线性控制***的输出控制。

8.根据权利要求7所述的基于电磁制动迟滞补偿的非线性复合ABS控制方法，其特征在于，所述步骤二中计算模块2和执行模块2的设计方法为：

制动***将滑移率信号和车速信号发送给作为上层控制器的计算模块1，计算模块1求解得到制动力矩T_b，并将制动力矩T_b信号发送到执行模块1，执行模块1实现制动力矩T_b的跟踪控制；作为下层控制器的计算模块2通过采样制动力矩T_b信号，求解得到ABS制动***中液压制动力的变化率，采用一阶泰勒级数前馈补偿控制方法求解电子液压制动***迟滞补偿制动力T_c：

迟滞补偿控制器将补偿制动力T_c信号发送到执行模块2信号，底层执行模块2实现制动力矩T_c的跟踪控制；最后，将执行模块1产生的制动力矩T_h和执行模块2产生的制动力矩T_c相加得到迟滞补偿后的复合制动力矩T_bc作用于***：

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