CN110597063B - 基于非线性扩张状态观测器的主动悬挂输出反馈控制方法 - Google Patents

基于非线性扩张状态观测器的主动悬挂输出反馈控制方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了基于非线性扩张状态观测器的主动悬挂输出反馈控制方法，属于车辆主动悬挂控制领域，包括以下步骤：步骤1，建立通用不确定非线性1/2车辆主动悬挂***模型；步骤2，分别设计垂向运动和俯仰运动非线性扩张状态观测器；步骤3，基于非线性扩张状态观测器所得到的不可测状态和不确定干扰估计设计输出反馈稳定控制器的控制率；步骤4，调节输出反馈稳定控制器的设计参数，直到达到预期的控制效果。本发明解决现有技术基于简化模型，对悬挂***的非线性和不确定性考虑不足导致控制器性能下降，以及现有控制方法忽略控制器所用信息的可获取性，难以应用于实际的问题，同时可提高控制器的收敛速度和控制精度，进一步提高悬挂***的性能。

Description

基于非线性扩张状态观测器的主动悬挂输出反馈控制方法
技术领域
本发明涉及车辆主动悬挂控制领域，尤其是一种基于非线性扩张状态观测器的主动悬挂输出反馈控制方法。
背景技术
悬挂***是车辆底盘的重要总成，起到隔离由不平路面引起的车体振动、支撑车身重量、帮助维持轮胎和地面的连续接触等作用。主动悬挂***因作动器的加入使其在改善车辆的乘坐舒适性、操纵稳定性和行驶安全性方面比被动悬挂和半主动悬挂有更大的潜力，因此成为近年来的研究热点。
作动器根据控制策略的指令来增加和耗散***中的能量，使悬挂***处于最佳减振状态，因此控制策略的选取是主动悬挂***设计的关键。但悬挂***本身是一个典型的不确定非线性***，如悬挂弹簧和减振器并不是简单的线性元件，悬挂结构与转向机构之间存在有耦合非线性关系；车辆的参数如负载、悬挂元件的刚度系数和阻尼系数会随环境的变化而变化，悬挂***随时会遭受来自外界的不确定的干扰，悬挂***中存在很多难建模动态。这些非线性和不确定因素给悬挂***控制器的设计带来了很大挑战。
在进行主动悬挂***控制器设计时，除了致力于理论研究还需考虑所设计控制器的实用性问题，特别是控制器所用信号是否方便获取。另外，控制器的稳定性收敛速度对悬挂***的性能提高也起到非常重要的作用。
首次提出扩张状态观测器理论的韩京清教授表示，针对实际的非线性***而言，非线性扩张状态观测器比线性扩张状态观测器有更好的观测性能。但由于非线性扩张状态观测器的稳定性证明比较困难，因此其应用也受到了很大的限制，其在主动悬挂控制领域的研究更是少之又少。
目前针对主动悬挂控制的研究，专利“一种汽车主动悬架***的多目标控制方法”，公开号为CN103434359B；专利“一种非线性主动悬架的抗饱和自适应控制”，公开号为CN108995495A；及辽宁工业大学的孙丽颖提出的“考虑输入约束的半主动悬架非线性自适应控制”等文献，均采用自适应控制方法处理悬挂***中的元件非线性和部分参数不确定性。但所建立的悬挂模型均为确定性模型，所设计的控制器对模型的依赖性较高。而我们知道实际中由于众多不确定因素的存在，我们无法捕捉所有的模型特点，因此基于确定性模型设计的控制器在应用时会存在与实际***模型不匹配的情况，从而影响控制效果。除此之外，所设计的控制器均基于全状态信息，其中有一些状态量在实际车辆中是不可测的，因此所设计的控制器难以应用于实际。
考虑悬挂***中存在的不可测状态和不确定干扰，山西大学的孙鑫河，燕山大学的程明星提出基于线性扩张状态观测器的控制方法。研究中建立1/4悬挂***简化模型，以悬挂动行程为输出对***进行降解处理，建立线性扩张状态观测器，进而设计控制率。所设计的控制器能够抵抗路面干扰，提高车辆的乘坐舒适性。但研究中所建立的1/4模型较为简化，并未考虑***中的非线性和不确定因素；另一方面，对1/4简化模型进行降阶处理步骤较为简单，但若想将控制器应用于实际，就要考虑1/2或整车悬挂***模型，模型阶数升高，降阶过程复杂程度大为提高，因此所提出的方法难以直接推广。
另外，常州工学院的白玉，北京化工大学的李亦超和吉林大学的王凯等提出基于非线性扩张状态观测器的控制方法，均获得了满意的悬架控制效果。但控制主要基于线性化的悬架模型，且研究中仅给出了控制器的设计步骤，并未对观测器的收敛性和闭环***的稳定性进行验证，设计过程不够严密。
进一步地，考虑控制器的实际应用问题，燕山大学的李荣提出一种动态输出反馈鲁棒干扰抑制控制器，但所提出的控制器基于线性简化模型，且对模型的依赖性较高。为了进一步提高悬挂***的性能，Kyungpook National University的Jagat Jyoti Rath等提出一种基于高阶终端滑膜的输出反馈主动悬架控制方法，对***非线性、模型不确定性及不确定干扰有较好的控制效果，但所设计的控制器较为复杂，难以在实际中推广应用，且控制器实现的是渐近稳定控制而不是有限时间稳定控制。
综上所述，现有的主动悬挂***控制方法在处理上述问题时主要存在以下不足之处：
一、所设计的模型较为简单，对主动悬挂***非线性和不确定性的考虑比较粗略。现有的主动悬挂控制研究中，大多将主动悬挂***模型进行简化，如将悬挂弹簧和减振器视作线性元件，忽略主动悬挂***中由参数不确定性、悬挂元件和悬挂结构的不确定非线性、不确定外界干扰和未建模动态等引起的不确定模型误差，建立线性化的理想模型。导致控制器设计所用模型与实际***之间存在较大差距，难以达到预期的控制效果，甚至造成闭环***的不稳定现象。
二、控制器基于全状态反馈信息，并未考虑所用状态的可测量性问题。目前存在的主动悬挂***控制方法大都属于全状态反馈方法，但在实际中，主动悬挂***的很多状态量在获取时需要很高的成本，甚至根本无法获取，这将导致所设计的控制器在实际应用时存在诸多困难。
三、并未考虑所设计控制器的稳定性收敛速度。现有的主动悬挂***研究，在控制器稳定性方面，一般只保证***的渐进稳定性，即当时间趋于无穷时，所控制的变量趋于零或收敛于有界范围。但对快速行驶的车辆来说，渐近稳定的控制器在实际应用时存在很大局限性。目前对有限时间稳定的控制方法研究较少，控制器在有限时间内收敛于稳定状态，将会大大缩短***的响应时间，进而提高主动悬挂***的控制性能。
四、目前存在的基于非线性扩张状态观测器的控制器设计在主动悬挂方面的应用较少，且忽略了观测器收敛性和控制器稳定性证明这一必要的技术难题。
发明内容
本发明需要解决的技术问题是提供一种基于非线性扩张状态观测器的主动悬挂输出反馈控制方法，解决现有技术基于简化模型，对悬挂***的非线性和不确定性考虑不足导致控制器性能下降，以及现有控制方法忽略控制器所用信息的可获取性，难以应用于实际的问题，同时提高控制器的收敛速度和控制精度，进一步提高悬挂***的性能。
为解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是：
基于非线性扩张状态观测器的主动悬挂输出反馈控制方法，包括以下步骤：
步骤1，建立通用不确定非线性1/2车辆主动悬挂***模型；
步骤2，分别设计垂向运动和俯仰运动非线性扩张状态观测器；
步骤3，基于非线性扩张状态观测器所得到的不可测状态和不确定干扰估计设计输出反馈稳定控制器的控制率；
步骤4，调节输出反馈稳定控制器的设计参数，直到达到预期的控制效果。
由于采用了上述技术方案，本发明取得的技术进步是：
本发明提供一种基于非线性扩张状态观测器的主动悬挂输出反馈控制方法，所述的控制方法考虑了悬挂***中存在的非线性和不确定性因素，建立一种通用的主动悬挂***模型，所建立的模型具有更广泛的应用范围，解决了现有主动悬挂控制技术设计模型较为简单，影响实际控制效果的问题。
本发明所提出的控制方法仅使用主动悬挂***的输出信息，不仅可以节省传感器的测量成本，还可减少额外的传感器所带来的测量噪声对控制器性能的影响。
本发明提出的是一种新型的非线性扩张状态观测器，并首次将此种类型的观测器应用于主动悬挂***。基于主动悬挂***输出信息所设计的非线性扩张状态观测器的估计误差可在有限时间内收敛，具有很好的观测效果。利用观测器所得的不可测状态和不确定干扰估计所设计的输出反馈稳定控制率，可使悬挂***状态在有限时间内趋于零，相较于大部分文献中的渐近收敛，具有更快的收敛速度，因此可很大程度地提高车辆的车身姿态稳定性和乘坐舒适性。
本发明基于几何齐次理论和Lyapunov稳定性理论以及赵志良的相关研究进行了大量的推导，***地证明了针对主动悬挂***所设计的非线性扩张状态观测器的收敛性以及基于此观测器所设计的控制率下的闭环***稳定性，解决了基于非线性扩张状态观测器设计的控制器稳定性证明困难这一技术难题。
按照控制器的设计要求调节控制器的设计参数，相应的仿真结果验证了所设计的控制器的有效性，达到了预期的设计目的。
附图说明
图1是本发明基于非线性扩张状态观测器的主动悬挂输出反馈控制方法流程图；
图2是本发明1/2车辆主动悬挂***模型图；
图3是本发明实施例一的坡起路面输入下的车身垂向位移响应曲线；
图4是本发明实施例一的坡起路面输入下的车身俯仰角响应曲线；
图5是本发明实施例一的坡起路面输入下的车身垂向加速度响应曲线；
图6是本发明实施例一的坡起路面输入下的车身俯仰角加速度响应曲线；
图7是本发明实施例二的随机路面输入下的车身垂向位移响应曲线；
图8是本发明实施例二的随机路面输入下的车身俯仰角响应曲线；
图9是本发明实施例二的随机路面输入下的车身垂向加速度响应曲线；
图10是本发明实施例二的随机路面输入下的车身俯仰角加速度响应曲线。
具体实施方式
下面结合实施例对本发明做进一步详细说明，且本发明技术方案不局限于以下所列举的具体实施方式，还包括各具体实施方式之间的任意组合。
具体实施方式一：
如图1所示，基于非线性扩张状态观测器的主动悬挂输出反馈控制方法按以下步骤实现：
步骤1，建立通用不确定非线性1/2车辆主动悬挂***模型；
步骤2，分别设计垂向运动和俯仰运动非线性扩张状态观测器；
步骤3，基于非线性扩张状态观测器所得到的不可测状态和不确定干扰估计设计输出反馈稳定控制器的控制率；
步骤4，调节输出反馈稳定控制器的设计参数，直到达到预期的控制效果。
本实施方式提出一种基于非线性扩张状态观测器的主动悬挂输出反馈控制方法，考虑到悬挂***中存在的复杂非线性以及众多不确定性因素，建立了一种通用的主动悬挂***模型。所建立的模型具有广泛的应用范围，解决了现有悬挂控制技术设计模型较为简单，影响实际控制效果的问题。
本实施方式提出的控制方法仅使用主动悬挂***的输出信息，不仅可以节省传感器的测量成本，还可减少额外的传感器所带来的测量噪声对控制器性能的影响。基于***输出信息所设计的非线性扩张状态观测器的估计误差可在有限时间内收敛，具有快速收敛性及很好的观测性能。利用非线性扩张状态观测器所得的不可测状态和不确定干扰估计所设计的输出反馈稳定控制率，可使悬挂***状态在有限时间内趋于零，且可保证整个闭环***的有限时间稳定性。所设计的控制器通过合理调整控制器的设计参数，可在车辆遭遇突然的路面干扰时很快调整车辆的垂向位移和俯仰角至平稳状态，同时提高车辆的乘坐舒适性。本实施方式所提供的控制器可保证在非线性、参数不确定性、不确定外界干扰及未建模动态存在时，车辆在不平路面行驶的悬挂性能，具有满意的控制效果。
具体实施方式二：
本实施方式与具体实施方式一不同的是：步骤一中所述的建立通用不确定非线性1/2车辆主动悬挂***模型具体为：
结合图2提供的1/2车辆主动悬挂***模型，根据牛顿第二定律，主动悬挂***动力学可表示为：
Figure BDA0002212759030000071
其中，M表示1/2车辆主动悬挂***簧载质量，I代表车身俯仰运动转动惯量，mu1表示前轮的簧下质量，mu2表示后轮的簧下质量，Fs1和Fd1分别表示前悬挂组件中的弹簧力和阻尼力，Fs2和Fd2分别表示后悬挂组件中的弹簧力和阻尼力，Ft1和Fb1分别表示前轮轮胎产生的弹性力和阻尼力，Ft2和Fb2分别表示后轮轮胎产生的弹性力和阻尼力，u1表示前悬挂作动器产生的主动控制力，u2表示后悬挂作动器产生的主动控制力，uz表示前、后悬挂作动器在垂向运动中产生的等效控制力，uφ表示前、后悬挂作动器在俯仰运动中产生的等效控制力矩，a和b分别表示前、后悬挂中心距车身质心的距离，ΔFz(t)表示车身垂向运动中由摩擦、干扰以及未建模动态等引起的模型误差项，ΔMφ(t)表示车身俯仰运动中由摩擦、干扰以及未建模动态的模型误差项。另外，zc和φ分别表示车身质心处的垂向位移和俯仰角，zu1和zu2分别表示前、后悬挂所对应的簧下质量位移。
所述的等效控制力、等效控制力矩与前、后悬挂作动器产生的主动控制力存在以下关系：
Figure BDA0002212759030000072
所述的前、后悬挂组件产生的弹簧力和阻尼力的表达式如下：
Figure BDA0002212759030000073
式(3)中，前、后悬挂组件产生的弹簧力和阻尼力均由线性部分和非线性部分组成，ks1和ks2分别表示前、后悬挂弹簧的线性项刚度系数，bs1和bs2分别表示前、后悬挂减振器的线性项阻尼系数。这里弹簧力的非线性部分
Figure BDA0002212759030000081
和阻尼力的非线性部分
Figure BDA0002212759030000082
和
Figure BDA0002212759030000083
并未用具体的表达式表示，其他研究中所用到的非线性部分的具体形式只要代进去，控制器仍然可用，并不局限于某一种表达式，因此所建立的悬挂***模型可以覆盖更广泛的应用场景。Δy1和Δy2分别表示前、后悬挂动行程，满足以下关系：
Figure BDA0002212759030000084
所述的前、后轮胎的弹性力和阻尼力的表达式如下：
Figure BDA0002212759030000085
其中，kt1和cb1分别表示前轮轮胎的等效刚度系数和等效阻尼系数，kt2和cb2分别表示后轮轮胎的等效刚度系数和等效阻尼系数，zo1和zo2分别表示前、后轮所对应的路面输入位移。
具体实施方式三：
本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：步骤二中所述的分别设计垂向运动和俯仰运动非线性扩张状态观测器具体包括以下两个部分：
(一)分别设计垂向、俯仰运动非线性扩张状态观测器
定义主动悬挂***状态变量x1＝zc，
Figure BDA0002212759030000086
x4＝φ，
Figure BDA0002212759030000087
主动悬挂***的输出为y1＝x1＝zc，y2＝x4＝φ。本发明所设计的观测器仅使用主动悬挂***的输出信号，所述的输出信号可以利用陀螺仪等惯性元件很容易便可测得。
Figure BDA0002212759030000091
Figure BDA0002212759030000092
其中
Figure BDA0002212759030000093
实际环境中簧载质量会随乘客数量和货物重量发生变化，悬挂元件的线性刚度系数和线性阻尼系数会随元件的磨损和老化而改变，因此参数M，I，ksf，ksr，bsf，bsr均是不确定的，这些参数将在标称值上下进行波动。将某次测量所得的M0，I0，ksf0，ksr0，bsf0，bsr0作为以上参数的标称值，控制器设计仅基于以上确定的标称值便可应对实际过程中的参数变化情况。
fz(x,t)表示在垂向运动中由参数不确定性、悬挂元件的不确定非线性、不确定外界干扰以及未建模动态等引起模型误差项，其导数用hz(x,t)表示。fφ(x,t)表示在俯仰运动中由参数不确定性、悬挂元件的不确定非线性、不确定外界干扰以及未建模动态等引起模型误差项，其导数用hφ(x,t)表示。
主动悬挂***需满足以下假设条件：
假设1：假设fz(x,t)和fφ(x,t)及其导数均是有界的，且存在正常数M1和M2
Figure BDA0002212759030000094
假设2：
Figure BDA0002212759030000101
相对x2满足Lipschitz条件，
Figure BDA0002212759030000102
相对x5满足Lipschitz条件，且存在正常数
Figure BDA0002212759030000103
满足
Figure BDA0002212759030000104
将公式(6)和公式(7)中的fz(x,t)和fφ(x,t)分别视作扩张状态量x3和x6，构建如下形式的垂向运动和俯仰运动非线性扩张状态观测器：
Figure BDA0002212759030000105
Figure BDA0002212759030000106
其中ρ和r分别为非线性扩张状态观测器的设计参数，函数
Figure BDA0002212759030000109
θiz＝iθz-(i-1)，θiφ＝iθφ-(i-1)，i＝1,2,3。设计参数θz和θφ满足0＜θz,θφ＜1。设计参数α1，α2，α3和β1，β2，β3满足Ξz和Ξφ为Hurwitz矩阵，其中：
Figure BDA0002212759030000107
(二)证明所设计的扩张状态观测器的有限时间稳定性
针对主动悬挂***垂向动力学(6)及其非线性扩张状态观测器(11)，定义误差变量
Figure BDA0002212759030000108
则垂向运动估计误差动力学为
Figure BDA0002212759030000111
其中，
Figure BDA0002212759030000112
Θz(x,t)＝[0 0 hz(x,t)]T。
根据有限时间稳定性理论，若Ξz为Hurwitz矩阵，
Figure BDA0002212759030000113
Figure BDA0002212759030000114
则Fθz(ω)是有限时间稳定的，其相对于权重
Figure BDA0002212759030000115
的自由度为χz＝θz-1。且存在一个正定的、径向无界的Lyapunov函数Vθz(ω)是相对于权重
Figure BDA0002212759030000116
的γz次齐次函数，γz＞1，其沿向量Fθz(ω)的Lie导数是负定的。进一步地，
Figure BDA0002212759030000117
和
Figure BDA0002212759030000118
分别是相对于权重
Figure BDA0002212759030000119
的γz-ui次和γz+χz次齐次函数，且存在正常数
Figure BDA00022127590300001110
满足以下关系：
Figure BDA00022127590300001111
于是对于垂向运动估计误差动力学(13)，存在Lyapunov函数Vθz(η(t))满足以上定理，对其求导可得
Figure BDA00022127590300001112
根据公式(14)可得，若
Figure BDA0002212759030000121
则
Figure BDA0002212759030000122
若
Figure BDA0002212759030000123
则
Figure BDA0002212759030000124
定义集合Ωz＝{η(t)|Vθz(η(t))≤Vθz(η(0))}，显然η(0)∈Ωz。当η(t)从Ωz出发，对任意的ρ＞ρ1 *
Figure BDA0002212759030000125
不等式(16)和(17)显然满足，则
Figure BDA0002212759030000126
对不等式(19)的两端分别积分可得
Figure BDA0002212759030000127
所以η(t)将一直待在集合Ωz中，同时从公式(19)可以看出，Vθz(η(t))是严格递减的函数，因此η(t)将会随着时间t的增加渐近收敛于一个足够小的有界范围。
进一步地，根据误差变量ηi，公式(14)和公式(20)可得，当ρ＞ρ1 *时
Figure BDA0002212759030000128
这意味着当设计参数ρ足够大时，垂向运动扩张状态观测器的观测误差将会在有限时间内快速收敛到零，使观测器具有很好的观测性能。
采用相似的步骤证明俯仰运动扩张状态观测器的有限时间稳定性，针对主动悬挂***俯仰动力学(7)及其非线性扩张状态观测器(12)，定义误差变量
Figure BDA0002212759030000131
则俯仰运动估计误差动力学为
Figure BDA0002212759030000132
其中，
Figure BDA0002212759030000133
Θφ(x,t)＝[0 0 hφ(x,t)]T。
同样的，根据有限时间稳定性理论，若Ξφ为Hurwitz矩阵，
Figure BDA0002212759030000134
Figure BDA0002212759030000135
则Fθφ(υ)是有限时间稳定的，其相对于权重
Figure BDA0002212759030000136
的自由度为χφ＝θφ-1。且存在一个正定的、径向无界的Lyapunov函数Vθφ(υ)是相对于权重
Figure BDA0002212759030000137
的γφ次齐次函数，γφ＞1，其沿向量Fθφ(υ)的Lie导数是负定的。进一步地，
Figure BDA0002212759030000138
和LFθφVθφ(υ)分别是相对于权重
Figure BDA0002212759030000139
的γφ-νi次和γφ+χφ次齐次函数，存在正常数
Figure BDA00022127590300001310
满足以下关系：
Figure BDA00022127590300001311
于是对于俯仰运动估计误差动力学(22)，存在Lyapunov函数Vθφ(ε(t))满足以上定理，对其求导可得
Figure BDA0002212759030000141
根据公式(23)可得，若r＞r1 *
Figure BDA0002212759030000142
则有
Figure BDA0002212759030000143
对不等式(26)的两端分别积分可得
Figure BDA0002212759030000144
同时从公式(26)可以看出，Vθφ(ε(t))是严格递减的函数，ε(t)将会随着时间t的增加渐近收敛于一个足够小的有界范围。
进一步地，根据误差变量εi，公式(23)和公式(27)可得，当r＞r1 *时
Figure BDA0002212759030000145
这意味着当设计参数r足够大时，俯仰运动扩张状态观测器的观测误差将会在有限时间内快速收敛到零，从而保证俯仰运动非线性扩张状态观测器的观测性能。
具体实施方式四：
本实施方式与具体实施方式一至三不同的是：步骤三中所述的基于非线性扩张状态观测器所得到的不可测状态和不确定干扰估计设计输出反馈稳定控制器的控制率具体包括以下四个部分：
(一)设计垂向运动输出反馈稳定控制率，并进行垂向运动闭环稳定性验证
若设计垂向运动输出反馈稳定控制率使1/2车辆主动悬挂***的垂向运动状态可在有限时间内收敛到零，保证主动悬挂的垂向运动性能。为此针对1/2车辆主动悬挂***垂向动力学构建辅助***，令ξi＝ρ2-ixi,i＝1,2，设计如下形式的垂向运动等效控制力
Figure BDA0002212759030000151
其中控制参数a1，a2满足
Figure BDA0002212759030000152
为Hurwitz矩阵，垂向运动辅助***动力学可表示为
Figure BDA0002212759030000153
其中Bξ＝[0 1]T。
任何控制***控制器的设计都必须保证稳定性的要求，否则所设计的控制器就没有任何意义可言。下面证明在控制率uz下的垂向运动闭环有限时间稳定性，选择与垂向运动非线性扩张状态观测器的估计误差和垂向运动状态有关的Lyapunov函数
Vz(η(t),ξ(t))＝Vθz(η(t))+VLz(ξ(t)) (31)
其中VLz(ξ(t))＝ξ(t)ΤPzξ(t)，Pz是Lyapunov方程
Figure BDA0002212759030000154
的正定解。对Vz(η(t),ξ(t))求导可得
Figure BDA0002212759030000161
其中
Figure BDA0002212759030000162
根据公式(14)可进一步得
Figure BDA0002212759030000163
若ρ＞ρ2 *
Figure BDA0002212759030000164
则
Figure BDA0002212759030000165
可以看到
Figure BDA0002212759030000166
是负定的，但Vθz(η(t))和VLz(ξ(t))均为正定函数，因此根据LaSalle不变性理论，可以得到当t→∞时，
Figure BDA0002212759030000167
和xi均渐近趋于零，进而得出控制率uz可保证垂向动力学的闭环渐进稳定性。
接下来证明所设计的控制率可保证垂向运动状态的有限时间收敛性。
根据(21)可知，存在正常数Γz，tz和ρ＞ρ1 *满足
Figure BDA0002212759030000171
进而可以得到
Figure BDA0002212759030000172
进一步有
Figure BDA0002212759030000173
其中
Figure BDA0002212759030000174
求解上面的微分方程可得
Figure BDA0002212759030000175
结合垂向运动辅助***可得
Figure BDA0002212759030000176
从上式可以看出，当ρ足够大时，存在常数
Figure BDA0002212759030000177
对任意的
Figure BDA0002212759030000178
状态变量xi,i＝1,2将会趋于零，即垂向运动状态将在有限时间内收敛于零，从而获得满意的垂向位移和垂向加速度性能。
(二)设计俯仰运动输出反馈稳定控制率，并进行俯仰运动闭环稳定性验证
设计俯仰运动输出反馈稳定控制率使1/2车辆主动悬挂***的俯仰运动状态在有限时间内收敛于零，则可保证主动悬挂的俯仰运动性能。为此针对1/2车辆主动悬挂***俯仰动力学构建辅助***，令ζi-3＝r5-ixi,i＝4,5
Figure BDA0002212759030000181
其中设计参数b1，b2满足
Figure BDA0002212759030000182
为Hurwitz矩阵，俯仰运动辅助***动力学可表示为
Figure BDA0002212759030000183
其中Bζ＝[0 1]T。
下面证明在控制率uφ下的俯仰运动闭环有限时间稳定性，选择与俯仰运动非线性扩张状态观测器的估计误差和俯仰运动状态有关的Lyapunov函数
Vφ(ε(t),ζ(t))＝Vθφ(ε(t))+VLφ(ζ(t)) (43)
其中VLφ(ζ(t))＝ζ(t)ΤPφζ(t)，Pφ是Lyapunov方程
Figure BDA0002212759030000184
的正定解。对Vφ(ε(t),ζ(t))求导可得
Figure BDA0002212759030000185
其中
Figure BDA0002212759030000186
根据公式(23)可进一步得
Figure BDA0002212759030000191
若r＞r2 *
Figure BDA0002212759030000192
则
Figure BDA0002212759030000193
可以看到
Figure BDA0002212759030000194
是负定的，但Vθφ(ε(t))和VLφ(ζ(t))均为正定函数，因此根据LaSalle不变性理论，可以得到当t→∞时，
Figure BDA0002212759030000195
和xi均渐近趋于零，进而得出控制率uφ可保证俯仰动力学的闭环渐进稳定性。
接下来证明所设计的控制率可保证俯仰运动状态的有限时间收敛性。
根据公式(28)可知，存在正常数Γφ，tφ和r＞r1 *满足
Figure BDA0002212759030000196
进而可以得到
Figure BDA0002212759030000201
进一步有
Figure BDA0002212759030000202
其中
Figure BDA0002212759030000203
求解上面的微分方程可得
Figure BDA0002212759030000204
结合俯仰运动辅助***可得
Figure BDA0002212759030000205
从上式可以看出，当r足够大时，存在常数
Figure BDA0002212759030000206
对任意的
Figure BDA0002212759030000207
状态变量xi,i＝4,5将会趋于零，即俯仰运动状态将在有限时间内收敛于零，从而获得满意的俯仰角和俯仰角加速度性能。
(三)对垂向运动和俯仰运动稳定控制率进行解耦，得到单个悬挂作动器的主动控制力
根据公式(2)，公式(29)和公式(41)可以对悬挂作动器的输入力进行解耦，得到前悬挂作动器主动控制力u1和后悬挂作动器主动控制力u2，具体的
Figure BDA0002212759030000208
(四)确保主动悬挂***的零动态稳定性
进一步地，从公式(1)可以看出，1/2车辆悬挂***是一个八阶***，而上述控制率设计过程针对的是与簧载质量动力学有关的四阶***，因此还需考虑与非簧载质量相关的***零动态稳定性。
令***输出y1和y2恒等于0，则
Figure BDA0002212759030000211
根据公式(53)可以解得u1和u2，代入公式(1)中的前、后轮胎簧下质量动力学中，可以得到***的零动态动力学。定义
Figure BDA0002212759030000212
有
Figure BDA0002212759030000213
其中
Figure BDA0002212759030000214
Figure BDA0002212759030000215
显然矩阵A是Hurwitz矩阵，因此存在一个正定对称矩阵P满足ATP+PA＝-Q。
选择一个Lyapunov函数
Figure BDA0002212759030000216
对其求导可得
Figure BDA0002212759030000221
其中τ1和τ2为正实数，必存在合适的正实数σ1，σ2满足
Figure BDA0002212759030000222
τ1zo Τzo+τ2wΤw＜σ2
则
Figure BDA0002212759030000223
两边积分可得
Figure BDA0002212759030000224
从公式(57)可以看出Lyapunov函数V是有界的，其表明xi(i＝7,8,9,10)是有界稳定的，因此所设计的控制器保证了主动悬挂***零动态稳定性。结合Lyapunov函数Vz和Vφ可以看出所设计的控制器可保证整个主动悬挂***的闭环稳定性。
具体实施方式五：
本实施方式与具体实施方式一至四不同的是：步骤四中所述的调节输出反馈稳定控制器的设计参数，直到达到预期的控制效果具体为：
调节垂向运动非线性扩张状态观测器设计参数α1，α2，α3和俯仰运动非线性扩张状态观测器设计参数β1，β2，β3，使矩阵Ξz和Ξφ为Hurwitz矩阵。调节垂向运动控制率增益系数a1，a2和俯仰运动控制率增益系数b1，b2，使矩阵Aξ和Aζ为Hurwitz矩阵。同时调节控制器设计参数ρ和r满足ρ＞max{ρ1 *,ρ2 *}，r＞max{r1 *,r2 *}，保证整个非线性扩张状态观测器的估计误差、***状态及其整个闭环***的有限时间收敛性。在满足上述条件的基础上调节控制器的设计参数，直到达到预期的控制效果。
采用以下实施例验证本发明的有益效果：
在实施例中，假设前、后悬挂弹簧和减振器的非线性模型如下：
Figure BDA0002212759030000231
其中Fs1和Fd1可表示为如下线性项和非线性项之和的形式，
Figure BDA0002212759030000232
仿真验证采用如下参数，簧载质量M＝1200kg，车身俯仰运动转动惯量I＝600kgm2，前轮簧下质量mu1＝100kg，后轮簧下质量mu2＝100kg，前、后悬挂弹簧的线性刚度系数ks1＝ks2＝1500N/m，前、后悬挂弹簧的非线性刚度系数ks1n＝ks2n＝1000N/m3，前、后悬挂减振器在伸长时的阻尼系数be1＝be2＝1500Ns/m，前、后悬挂减振器在收缩时的阻尼系数bc1＝bc2＝1200Ns/m，前轮轮胎刚度系数kt1＝200000N/m，后轮轮胎刚度系数kt2＝150000N/m，前轮减振器的阻尼系数cb1＝1500Ns/m，后轮减振器的阻尼系数cb2＝2000Ns/m，前悬挂中心距车身质心的距离为a＝1.2m，后悬挂中心距车身质心的距离为b＝1.5m。
实施例一：
本实施例采用公式(58)所述的弹簧和减振器非线性模型及悬挂***参数，路面输入采用坡起路面，坡起路面可以视作平整路面上的突然扰动输入，它是一种短时间大幅度的离散振动输入。选取如下形式的坡起路面输入函数：
Figure BDA0002212759030000233
这里h＝3cm表示坡起路面输入的凸起高度，车辆的行驶速度为V＝20m/s。后轮路面输入位移为前轮路面输入在时间上的延时，延时时间为
Figure BDA0002212759030000241
控制器所用悬挂参数为M0＝1100kg，I0＝550kgm2，ks10＝16000N/m，ks20＝1400N/m，be10＝be20＝1600Ns/m，bc10＝bc20＝1100Ns/m，可以看出悬挂***的实际参数和控制所用的悬挂参数相比有一定的波动。控制器的设计参数α1＝α2＝β1＝β2＝3，α3＝β3＝1，
Figure BDA0002212759030000242
a1＝a2＝-20，b1＝b2＝-20，ρ＝17，r＝20。
仿真结果如图3～图6所示，从图中可以看出在坡起路面输入下，主动悬挂***的垂向位移、俯仰角、垂向加速度和俯仰角加速度的大小明显低于被动悬挂***，曲线仅有微小波动。这表明本发明所设计的基于非线性扩张状态观测器的主动悬挂输出反馈稳定控制器可大幅度提高车辆的车身稳定性和乘坐舒适性。同时从图中可以看到，主动悬挂***在遭遇突然的路面冲击时，可在很短时间内调整至稳定状态，证明了所设计的控制器具有很快的收敛速度。
实施例二：
本实施例仍采用公式(58)所述的弹簧和减振器非线性模型及悬挂***参数，路面模型采用接近实际路面的随机路面输入，路面等级为C级。随机路面模型通过滤波方法产生，表达式为
Figure BDA0002212759030000243
其中n0＝0.1为空间参考频率，Gq＝256×10-6为路面等级系数，车辆的行驶速度V＝20m/s，后轮路面输入位移为前轮路面输入在时间上的延时，不确定模型动态dz＝dφ＝sin(4πt)。
控制器所用悬挂参数为M0＝1100kg，I0＝550kgm2，ks10＝16000N/m，ks20＝1400N/m，be10＝be20＝1600Ns/m，bc10＝bc20＝1100Ns/m，可以看出悬挂***的实际参数和控制所用的悬挂参数相比有一定的波动。控制器的设计参数α1＝α2＝β1＝β2＝3，α3＝β3＝1，
Figure BDA0002212759030000251
a1＝a2＝-20，b1＝b2＝-20，ρ＝20，r＝22。
仿真结果如图7～图10所示，从图中可以看出，本发明所提出的基于非线性扩张状态观测器的主动悬挂输出反馈控制方法在非线性和不确定参数及不确定干扰存在的情况下，仍然具有平滑的垂向位移和俯仰角响应。同时车辆的垂向加速度和俯仰角加速度远低于被动悬挂***。这表明本发明所提出的输出反馈稳定控制器具有很好的隔离振动和抗不确定干扰能力，可以很大程度地稳定车身姿态并提高车辆的乘坐舒适性。
本发明还可有其它多种实施例，在不违背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术人员可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。

Claims (1)

1.基于非线性扩张状态观测器的主动悬挂输出反馈控制方法，其特征在于包括以下步骤：
步骤1，建立通用不确定非线性1/2车辆主动悬挂***模型；
步骤2，分别设计垂向运动和俯仰运动非线性扩张状态观测器；
步骤3，基于非线性扩张状态观测器所得到的不可测状态和不确定干扰估计设计输出反馈稳定控制器的控制率；
步骤4，调节输出反馈稳定控制器的设计参数，直到达到预期的控制效果；
所述建立通用不确定非线性1/2车辆主动悬挂***模型的步骤具体包括：
首先，根据牛顿第二定律，建立1/2车辆主动悬挂***动力学模型：
Figure FDA0002945899710000011
上式中，M表示1/2车辆主动悬挂***簧载质量，I代表车身俯仰运动转动惯量，mu1表示前轮的簧下质量，mu2表示后轮的簧下质量，Fs1和Fd1分别表示前悬挂组件中的弹簧力和阻尼力，Fs2和Fd2分别表示后悬挂组件中的弹簧力和阻尼力，Ft1和Fb1分别表示前轮轮胎产生的弹性力和阻尼力，Ft2和Fb2分别表示后轮轮胎产生的弹性力和阻尼力，u1表示前悬挂作动器产生的主动控制力，u2表示后悬挂作动器产生的主动控制力，uz表示前、后悬挂作动器在垂向运动中产生的等效控制力，uφ表示前、后悬挂作动器在俯仰运动中产生的等效控制力矩，a和b分别表示前、后悬挂中心距车身质心的距离，ΔFz(t)表示车身垂向运动中由摩擦、干扰以及未建模动态等引起的模型误差项，ΔMφ(t)表示车身俯仰运动中由摩擦、干扰以及未建模动态等引起的模型误差项；另外，zc和φ分别表示车身质心处的垂向位移和俯仰角，zu1和zu2分别表示前、后悬挂所对应的簧下质量位移；
所述的等效控制力、等效控制力矩与前、后悬挂作动器产生的主动控制力存在以下关系：
Figure FDA0002945899710000021
所述的前、后悬挂组件产生的弹簧力和阻尼力的表达式如下：
Figure FDA0002945899710000022
式(3)中，前、后悬挂组件产生的弹簧力和阻尼力均由线性部分和非线性部分组成，ks1和ks2分别表示前、后悬挂弹簧的线性项刚度系数，bs1和bs2分别表示前、后悬挂减振器的线性项阻尼系数；Δy1和Δy2分别表示前、后悬挂动行程，满足以下关系：
Figure FDA0002945899710000023
所述的前、后轮胎的弹性力和阻尼力的表达式如下：
Figure FDA0002945899710000024
其中，kt1和cb1分别表示前轮轮胎的等效刚度系数和等效阻尼系数，kt2和cb2分别表示后轮轮胎的等效刚度系数和等效阻尼系数，zo1和zo2分别表示前、后轮所对应的路面输入位移；
所述分别设计垂向运动和俯仰运动非线性扩张状态观测器的步骤具体包括：
步骤2.1，设计垂向、俯仰运动非线性扩张状态观测器；
步骤2.2，证明所设计的非线性扩张状态观测器的有限时间收敛性；
步骤2.1的具体步骤包括：
首先，定义主动悬挂***状态变量x1＝zc，
Figure FDA0002945899710000031
x4＝φ，
Figure FDA0002945899710000032
使主动悬挂***的输出为y1＝x1＝zc，y2＝x4＝φ，设计观测器仅使用主动悬挂***的输出信号，所述的输出信号利用惯性元件测得；
Figure FDA0002945899710000033
Figure FDA0002945899710000034
其中
Figure FDA0002945899710000035
其中M0，I0，ks10，ks20，bs10，bs20分别表示M，I，ks1，ks2，bs1，bs2的标称值，实际环境中簧载质量随乘客数量和货物重量发生变化，悬挂元件的线性刚度系数和线性阻尼系数随元件的磨损和老化而改变，因此参数M，I，ks1，ks2，bs1，bs2均是不确定的，这些参数将在标称值上下进行波动；fz(x,t)表示在垂向运动中由参数不确定性、悬挂元件的不确定非线性、不确定外界干扰以及未建模动态等引起模型误差项，其导数用hz(x,t)表示；fφ(x,t)表示在俯仰运动中由参数不确定性、悬挂元件的不确定非线性、不确定外界干扰以及未建模动态等引起模型误差项，其导数用hφ(x,t)表示；
其次，主动悬挂***需满足以下假设条件：
假设1：假设fz(x,t)和fφ(x,t)及其导数均是有界的，且存在正常数
Figure FDA0002945899710000049
和
Figure FDA00029458997100000410
Figure FDA0002945899710000041
假设2：
Figure FDA0002945899710000042
相对x2满足Lipschitz条件，
Figure FDA0002945899710000043
相对x5满足Lipschitz条件，且存在正常数
Figure FDA0002945899710000044
满足
Figure FDA0002945899710000045
然后，将公式(6)和公式(7)中的fz(x,t)和fφ(x,t)分别视作扩张状态量x3和x6，构建如下形式的垂向运动和俯仰运动非线性扩张状态观测器：
Figure FDA0002945899710000046
Figure FDA0002945899710000047
其中ρ和r分别为非线性扩张状态观测器的设计参数，函数
Figure FDA0002945899710000048
θiz＝iθz-(i-1)，θiφ＝iθφ-(i-1)，i＝1,2,3，设计参数θz和θφ满足0＜θz,θφ＜1，设计参数α1，α2，α3和β1，β2，β3满足Ξz和Ξφ为Hurwitz矩阵，其中：
Figure FDA0002945899710000051
步骤2.2的具体步骤包括：
(一)针对主动悬挂***垂向动力学(6)及其非线性扩张状态观测器(11)，定义误差变量
Figure FDA0002945899710000052
则垂向运动估计误差动力学为
Figure FDA0002945899710000053
其中，
Figure FDA0002945899710000054
Θz(x,t)＝[0 0 hz(x,t)]T；
根据有限时间稳定性理论，若Ξz为Hurwitz矩阵，
Figure FDA0002945899710000055
Figure FDA0002945899710000056
则Fθz(ω)是有限时间稳定的，其相对于权重
Figure FDA0002945899710000057
的自由度为χz＝θz-1；且存在一个正定的、径向无界的Lyapunov函数Vθz(ω)是相对于权重
Figure FDA0002945899710000058
的γz次齐次函数，γz＞1，其沿向量Fθz(ω)的Lie导数是负定的；进一步地，
Figure FDA0002945899710000059
和
Figure FDA00029458997100000512
分别是相对于权重
Figure FDA00029458997100000510
的γz-ui次和γz+χz次齐次函数，存在正常数
Figure FDA00029458997100000511
满足以下关系：
Figure FDA0002945899710000061
对于垂向运动估计误差动力学(13)，存在Lyapunov函数Vθz(η(t))满足以上定理，对其求导可得
Figure FDA0002945899710000062
根据公式(14)可得，若
Figure FDA0002945899710000063
则
Figure FDA0002945899710000064
若
Figure FDA0002945899710000065
则
Figure FDA0002945899710000066
定义集合Ωz＝{η(t)|Vθz(η(t))≤Vθz(η(0))}，得到η(0)∈Ωz；当η(t)从Ωz出发，对任意的ρ＞ρ1 *
Figure FDA0002945899710000067
不等式(16)和(17)显然满足，则
Figure FDA0002945899710000068
对不等式(19)的两端分别积分可得
Figure FDA0002945899710000071
得到η(t)将一直待在集合Ωz中，同时从公式(19)可以看出，Vθz(η(t))是严格递减的函数，因此η(t)将会随着时间t的增加渐近收敛于一个足够小的有界范围；
进一步地，根据误差变量ηi，公式(14)和公式(20)可得，当ρ＞ρ1 *时
Figure FDA0002945899710000072
当设计参数ρ足够大时，垂向运动扩张状态观测器的观测误差将会在有限时间内快速收敛到零，确保观测器具有很好的观测性能；
(二)针对主动悬挂***俯仰动力学(7)及其非线性扩张状态观测器(12)，定义误差变量
Figure FDA0002945899710000073
则俯仰运动估计误差动力学为
Figure FDA0002945899710000074
其中，
Figure FDA0002945899710000075
Θφ(x,t)＝[0 0 hφ(x,t)]T；
根据有限时间稳定性理论，若Ξφ为Hurwitz矩阵，
Figure FDA0002945899710000076
Figure FDA0002945899710000077
则Fθφ(υ)是有限时间稳定的，其相对于权重
Figure FDA0002945899710000078
的自由度为χφ＝θφ-1；且存在一个正定的、径向无界的Lyapunov函数Vθφ(υ)是相对于权重
Figure FDA0002945899710000079
的γφ次齐次函数，γφ＞1，其沿向量Fθφ(υ)的Lie导数是负定的；进一步地，
Figure FDA0002945899710000081
和
Figure FDA0002945899710000082
分别是相对于权重
Figure FDA0002945899710000083
的γφ-νi次和γφ+χφ次齐次函数，存在正常数
Figure FDA0002945899710000084
满足以下关系：
Figure FDA0002945899710000085
然后对于俯仰运动估计误差动力学(22)，存在Lyapunov函数Vθφ(ε(t))满足以上定理，对其求导可得
Figure FDA0002945899710000086
根据公式(23)可得，若r＞r1 *
Figure FDA0002945899710000087
则有
Figure FDA0002945899710000088
对不等式(26)的两端分别积分可得
Figure FDA0002945899710000089
同时从公式(26)可以看出，Vθφ(ε(t))是严格递减的函数，ε(t)将会随着时间t的增加渐近收敛于一个足够小的有界范围；
进一步地，根据误差变量εi，公式(23)和公式(27)可得，当r＞r1 *时
Figure FDA0002945899710000091
当设计参数r足够大时，俯仰运动扩张状态观测器的观测误差将会在有限时间内快速收敛到零，保证俯仰运动非线性扩张状态观测器的观测性能；
所述基于非线性扩张状态观测器所得到的不可测状态和不确定干扰估计设计输出反馈稳定控制器的控制率的步骤具体包括：
步骤3.1，设计垂向运动输出反馈稳定控制率，并进行垂向运动闭环有限时间稳定性验证；
步骤3.2，设计俯仰运动输出反馈稳定控制率，并进行俯仰运动闭环有限时间稳定性验证；
步骤3.3，对垂向运动和俯仰运动输出反馈稳定控制率进行解耦，得到单个悬挂作动器的主动控制力；
步骤3.4，确保主动悬挂***的零动态稳定性；
其中，步骤3.1的具体过程在于：
设计垂向运动输出反馈稳定控制率使1/2车辆主动悬挂***的垂向运动状态在有限时间内收敛到零，保证主动悬挂的垂向运动性能；为此针对1/2车辆主动悬挂***垂向动力学构建辅助***，令ξi＝ρ2-ixi,i＝1,2，设计如下形式的垂向运动等效控制力
Figure FDA0002945899710000092
其中控制参数a1，a2满足
Figure FDA0002945899710000093
为Hurwitz矩阵，垂向运动辅助***动力学可表示为
Figure FDA0002945899710000094
其中Bξ＝[0 1]T；
验证在控制率uz下的垂向运动闭环有限时间稳定性：
选择与垂向运动非线性扩张状态观测器的估计误差和垂向运动状态有关的Lyapunov函数
Vz(η(t),ξ(t))＝Vθz(η(t))+VLz(ξ(t)) (31)
其中VLz(ξ(t))＝ξ(t)ΤPzξ(t)，Pz是Lyapunov方程
Figure FDA0002945899710000101
的正定解，对Vz(η(t),ξ(t))求导可得
Figure FDA0002945899710000102
其中
Figure FDA0002945899710000103
根据公式(14)可进一步得
Figure FDA0002945899710000104
若ρ＞ρ2 *
Figure FDA0002945899710000105
则
Figure FDA0002945899710000111
可以看到
Figure FDA0002945899710000112
是负定的，但Vθz(η(t))和VLz(ξ(t))均为正定函数，因此根据LaSalle不变性理论，可以得到当t→∞时，
Figure FDA0002945899710000113
和xi均渐近趋于零，进而得出控制率uz可保证垂向动力学的闭环渐进稳定性；
验证所设计的控制率可保证垂向运动状态的有限时间收敛性：
根据(21)可知，存在正常数Γz，tz和ρ＞ρ1 *满足
Figure FDA0002945899710000114
进而可以得到
Figure FDA0002945899710000115
进一步有
Figure FDA0002945899710000116
其中
Figure FDA0002945899710000117
求解上面的微分方程可得
Figure FDA0002945899710000118
结合垂向运动辅助***可得
Figure FDA0002945899710000121
从上式可得，当ρ足够大时，存在常数
Figure FDA0002945899710000122
对任意的
Figure FDA0002945899710000123
状态变量xi,i＝1,2将会趋于零，即垂向运动状态将在有限时间内收敛于零，从而获得满意的垂向位移和垂向加速度性能；
步骤3.2的具体过程在于：
设计俯仰运动输出反馈稳定控制率使1/2车辆主动悬挂***的俯仰运动状态在有限时间内收敛于零，保证主动悬挂的俯仰运动性能；为此针对1/2车辆主动悬挂***俯仰动力学构建辅助***，令ζi-3＝r5-ixi,i＝4,5
Figure FDA0002945899710000124
其中设计参数b1，b2满足
Figure FDA0002945899710000125
为Hurwitz矩阵，俯仰运动辅助***动力学可表示为
Figure FDA0002945899710000126
其中Bζ＝[0 1]T；
验证在控制率uφ下的俯仰运动闭环有限时间稳定性：
选择与俯仰运动非线性扩张状态观测器的估计误差和俯仰运动状态有关的Lyapunov函数
Vφ(ε(t),ζ(t))＝Vθφ(ε(t))+VLφ(ζ(t)) (43)
其中VLφ(ζ(t))＝ζ(t)ΤPφζ(t)，Pφ是Lyapunov方程
Figure FDA0002945899710000127
的正定解，对Vφ(ε(t),ζ(t))求导可得
Figure FDA0002945899710000131
其中
Figure FDA0002945899710000132
根据公式(23)可进一步得
Figure FDA0002945899710000133
若r＞r2 *
Figure FDA0002945899710000134
则
Figure FDA0002945899710000135
可以看到
Figure FDA0002945899710000136
是负定的，但Vθφ(ε(t))和VLφ(ζ(t))均为正定函数，因此根据LaSalle不变性理论，可以得到当t→∞时，
Figure FDA0002945899710000137
和xi均渐近趋于零，进而得出控制率uφ可保证俯仰动力学的闭环渐进稳定性；
验证所设计的控制率可保证俯仰运动状态的有限时间收敛性：
根据公式(28)可知，存在正常数Γφ，tφ和r＞r1 *满足
Figure FDA0002945899710000141
进而可以得到
Figure FDA0002945899710000142
进一步有
Figure FDA0002945899710000143
其中
Figure FDA0002945899710000144
求解上面的微分方程可得
Figure FDA0002945899710000145
结合俯仰运动辅助***可得
Figure FDA0002945899710000146
从上式可得，当r足够大时，存在常数
Figure FDA0002945899710000147
对任意的
Figure FDA0002945899710000148
状态变量xi,i＝4,5将会趋于零，即俯仰运动状态将在有限时间内收敛于零，从而获得满意的俯仰角和俯仰角加速度性能；
步骤3.3的具体过程在于：
根据公式(2)，公式(29)和公式(41)可以对悬挂作动器的输入力进行解耦，得到前悬挂作动器主动控制力u1和后悬挂作动器主动控制力u2，具体的
Figure FDA0002945899710000151
步骤3.4的具体过程在于：
令***输出y1和y2恒等于0，则
Figure FDA0002945899710000152
根据公式(53)可以解得u1和u2，代入公式(1)中的前、后轮胎簧下质量动力学中，得到***的零动态动力学，定义
Figure FDA0002945899710000153
有
Figure FDA0002945899710000154
其中
Figure FDA0002945899710000155
Figure FDA0002945899710000156
显然矩阵A是Hurwitz矩阵，因此存在一个正定对称矩阵P满足
Figure FDA0002945899710000158
选择一个Lyapunov函数
Figure FDA0002945899710000157
对其求导可得
Figure FDA0002945899710000161
其中τ1和τ2为正实数，必存在合适的正实数σ1，σ2满足
Figure FDA0002945899710000162
τ1zo Τzo+τ2wΤw＜σ2
则
Figure FDA0002945899710000163
两边积分可得
Figure FDA0002945899710000164
从公式(57)可以看出，Lyapunov函数V是有界的，即xi(i＝7,8,9,10)是有界稳定的，因此所设计的控制器保证了主动悬挂***零动态稳定性，结合Lyapunov函数Vz和Vφ可得，所设计的控制器可保证整个主动悬挂***的闭环稳定性；
所述调节输出反馈稳定控制器的设计参数，直到达到预期的控制效果的步骤具体包括：
调节垂向运动非线性扩张状态观测器设计参数α1，α2，α3和俯仰运动非线性扩张状态观测器设计参数β1，β2，β3，使矩阵Ξz和Ξφ为Hurwitz矩阵；调节垂向运动控制率增益系数a1，a2和俯仰运动控制率增益系数b1，b2，使矩阵Aξ和Aζ为Hurwitz矩阵；同时调节控制器设计参数ρ和r满足ρ＞max{ρ1 *,ρ2 *}，r＞max{r1 *,r2 *}，保证整个非线性扩张状态观测器的估计误差、***状态及其整个闭环***的有限时间稳定性，在满足上述条件的基础上调节控制器的设计参数，直到达到预期的控制效果。
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