CN110580384B - 同时求解开关变换器多尺度状态变量的非线性建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种同时求解开关变换器多尺度状态变量的非线性建模方法，该方法是在建模过程中开关管和二极管用其机理模型等效，采用连续的非线性周期函数拟合描述器件通断特性的离散开关函数，得到描述开关变换器电路级和器件级状态变量的统一非线性连续数学模型；再利用非线性分析方法求解，能够同时获得开关变换器电路级和器件级状态变量稳态周期解的近似解析表达式，即能获得开关变换器多尺度状态变量的稳态周期解析解。本发明实现了开关变换器的器件级尺度与电路级尺度相结合的统一建模，通过采用连续的非线性周期函数拟合传统的描述器件通断特性的离散开关函数，实现了变换器的连续统一建模。

Description

同时求解开关变换器多尺度状态变量的非线性建模方法

技术领域

本发明涉及开关变换器的建模与分析的技术领域，尤其是指一种同时求解开关变换器多尺度状态变量的非线性建模方法。

背景技术

开关变换器是一种非线性时变***，求解其动态特性的解析解较为复杂，目前存在的非线性分析方法包括了状态空间平均法、电路平均法、广义状态空间平均法和等效小参量法等等。其中，状态空间平均法仅仅考虑了***在低频特性下的近似，而忽略了***的高频动态特性，因而不能用于分析变换器波形的纹波。在电路平均法中较为常用的三端开关器件模型法则需要知道变换器的直流稳态特性，具有一定的局限性。广义状态空间平均法的计算分析过程相对复杂。等效小参量法是一种将扰动法和谐波平衡法相结合的分析方法，其分析结果较为精确而且分析过程相对简单。

开关变换器中存在着不同时间尺度的状态变量，典型的有反映器件微观特性的器件级状态变量和反应变换器宏观特性的电路级状态变量；并且不同时间尺度的状态变量会相互影响。因此，为准确描述开关变换器的运行特性，有必要建立能同时描述变换器件级和电路级状态变量的数学模型。然而，现有开关变换器的建模方法通常仅针对电路级状态变量进行分析，对于开关器件则忽略其动态特性，仅采用离散的开关函数来描述其通断状态，因而所建立的数学模型不能反映器件级状态变量对电路工作的影响，导致分析结果对实际变换器参数设计的指导意义不大。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的缺点与不足，提出了一种同时求解开关变换器多尺度状态变量的非线性建模方法，能获得变换器的不同尺度状态变量稳态周期解析解。

为实现上述目的，本发明所提供的技术方案为：同时求解开关变换器多尺度状态变量的非线性建模方法，该方法是在建模过程中开关管和二极管用其机理模型等效，采用连续的非线性周期函数拟合描述器件通断特性的离散开关函数，得到描述开关变换器电路级和器件级状态变量的统一非线性连续数学模型；再利用非线性分析方法求解，能够同时获得开关变换器电路级和器件级状态变量稳态周期解的近似解析表达式，即能获得开关变换器多尺度状态变量的稳态周期解析解；其包括以下步骤：

S1、将开关器件场效应晶体管MOSFET用其简化的器件机理模型等效；将二极管器件用非线性电阻来等效，其中该非线性电阻的伏安特性用二极管的PN结电流方程描述；

S2、用连续非线性周期函数拟合开关器件门极驱动信号的离散开关函数；

S3、建立用微分方程描述的开关变换器的多尺度统一非线性数学模型；

S4、将步骤S2的非线性周期函数展开成傅里叶级数；

S5、获取开关变换器近似线性等效数学模型

利用非线性分析方法对步骤S3建立的非线性数学模型进行分解，得到其近似线性等效数学模型，该等效数学模型是由一系列线性方程组成的方程组，包含一个求解***状态变量主分量的方程和若干求解状态变量各阶修正量的方程；

S6、获取开关变换器多尺度状态变量稳态周期解的近似解析表达式

利用谐波平衡原理逐步求解步骤S5所述等效数学模型中的各个方程，获取开关变换器电路级和器件级状态变量的直流分量和各阶修正量，从而得到开关变换器多尺度状态变量稳态周期解的近似解析表达式。

在步骤S1中，场效应晶体管MOSFET简化的器件机理模型包括一个门级输入电阻、一个压控电流源、第一极间电容、第二极间电容和一个导通电阻；所述门级输入电阻的一端与MOSFET的栅级连接，其另一端与第二极间电容的一端连接；所述压控电流源的一端分别与第一极间电容的一端、导通电阻的一端和MOSFET的漏级连接；所述压控电流源的另一端分别与第一极间电容的另一端、导通电阻的另一端和MOSFET的源级连接；所述第二极间电容的另一端与MOSFET的源级连接；其中，所述压控电流源的表达式为i_G＝g_mu_GS，式中，g_m是MOSFET器件的前向跨导，u_GS为MOSFET的门极驱动电压信号，u_GS＝s⁽¹⁾u_G，s⁽¹⁾是非线性的控制信号函数u_G是MOSFET的门级电压幅值。

在步骤S1中，所述二极管的PN结电流方程如下：

式中，i_D为二极管的电流，I_S为二极管的反向饱和电流，其值能够根据实际所选用二极管型号的参数手册查得；U_T为热力学电压，常温下U_T＝26mV；u_D为二极管的正向电压；将i_D进行泰勒展开能够得到二极管等效非线性电阻的伏安特性为：

式中，n表示f(u_D)的泰勒展开式的阶数，R_n(u_D)为f(u_D)的泰勒展开式的余项。

在步骤S2中，所述非线性周期函数为：

式中，k表征对开关函数的拟合程度，d为开关控制信号的占空比，T为开关信号的周期。

在步骤S3中，所述描述开关变换器的多尺度统一非线性数学模型为：

G₀(p)x+G₁f⁽¹⁾(x)+G₂f⁽²⁾(x)＝U (4)

式中，p表示微分算子

x＝[i_L u_C0 u_C1]^Tr表示开关变换器***的多尺度状态变量向量，上标Tr表示求矩阵的转置，i_L表示电感电流瞬时值，u_C0表示输出电容电压瞬时值，它们是描述开关变换器电路特性的状态变量，属于电路级尺度；u_C1表示场效应晶体管器件机理模型的第一极间电容C₁的电压瞬时值，能够描述开关器件的动态特性，属于器件级尺度的状态变量；G₀(p)、G₁、G₂分别为与开关变换器拓扑结构和电路参数相关的系数矩阵；f⁽¹⁾(x)＝(1-s⁽¹⁾)x＝s⁽²⁾x＝s⁽²⁾·[i_L u_C0 u_C1]^Tr是一个非线性矢量函数，其中s⁽¹⁾为步骤S2中所建立的非线性周期函数，s⁽²⁾＝(1-s⁽¹⁾)；f⁽²⁾(x)＝s⁽¹⁾e′也是一个非线性矢量函数，e′为一个与驱动信号有关的常向量；U为一个与变换器的输入电压有关的向量；

在步骤S4中，非线性周期函数s⁽¹⁾展开为式(5)所示的傅里叶级数：

其中，j为虚数单位，τ＝ωt，ω＝2πf，

f为开关频率，

为

的复共轭项，d为开关控制信号的占空比，T为开关信号的周期，n为函数展开的阶数；

非线性周期函数s⁽²⁾能够展开为式(6)所示的傅里叶级数：

其中，j为虚数单位，τ＝ωt，ω＝2πf，

f为开关频率，

为

的复共轭项；

在步骤S5中，获取开关变换器近似线性等效数学模型的过程如下：

根据非线性***等效小参量符号法的基本原理，对式(4)进行变换，得到开关变换器近似线性等效数学模型为：

式中，x₀、x₁、x₂、……、x_n分别为状态变量x的主振荡分量、一阶修正量、二阶修正量、……、n阶修正量；

分别为非线性矢量函数f⁽¹⁾(x)中与x₀、x₁、x₂、……、x_n具有相同频率成分的项；

为非线性矢量函数f⁽²⁾(x)中与x₀具有相同频率成分的项；

分别为非线性矢量函数f⁽¹⁾(x)中与x₁、x₂、……、x_n具有相同频率成分的项；

分别为非线性矢量函数f⁽²⁾(x)中与x₁、x₂、……、x_n具有相同频率成分的项；

式(7)中的第一个方程称为主振荡方程，用于确定状态变量的主振荡分量x₀；其余方程为称为修正量方程，用于确定状态变量的各阶修正量x_i；主振荡方程能够为线性或非线性方程，跟开关变换器主电路拓扑结构有关，而修正量方程均为线性方程，因此，式(7)为近似线性等效数学模型；

在步骤S6中，获取变换器状态变量稳态周期解的具体步骤如下：

S61、设开关变换器的主振荡分量为：

x₀＝a₀₀ (8)

式中，a₀₀是状态变量的直流分量；

一阶修正量为：

x₁＝a₁₁e^jτ+c.c (9)

式中，c.c表示复共轭项；a₁₁是一阶修正量的1次谐波振幅幅值；

二阶修正量为：

x₂＝a₀₂+a₂₂e^j2τ+a₃₂e^j3τ+c.c (10)

式中，a₀₂是二阶修正量的直流分量，a₂₂是二阶修正量的2次谐波振幅幅值，a₃₂是二阶修正量的3次谐波振幅幅值；

S62、将上述式(8)～(10)分别代入非线性矢量函数f⁽¹⁾(x)和f⁽²⁾(x)，得到：

S63、将上述式(8)～(16)分别代入式(7)相应方程中，得到：

式中，G₀(0)为上述系数矩阵G₀(p)中令p＝0时得到的矩阵，G₀(jω)为上述系数矩阵G₀(p)中令p＝jω时得到的矩阵，G₀(j2ω)为上述系数矩阵G₀(p)中令p＝j2ω时得到的矩阵，G₀(j3ω)为上述系数矩阵G₀(p)中令p＝j3ω时得到的矩阵；

S64、根据上述结果，得到由指数函数或三角函数形式表达的变换器多尺度状态变量x的稳态周期解的近似表达式为：

x≈x₀+x₁+x₂

＝a₀₀+a₀₂+a₁₁e^jτ+a₂₂e^j2τ+a₃₂e^j3τ+c.c

＝a₀₀+a₀₂+2Re(a₁₁)cosτ-2Im(a₁₁)sinτ+2Re(a₂₂)cos2τ

-2Im(a₂₂)sin2τ+2Re(a₃₂)cos3τ-2Im(a₃₂)sin3τ (16)

式中，函数Re(·)和Im(·)分别表示求复数的实部和虚部。

本发明与现有技术相比，具有如下优点与有益效果：

1、在开关变换器的建模过程中，电路的开关管和二极管用其机理模型等效，建立了能同时描述变换器件级和电路级状态变量的数学模型，能反映器件级状态变量对电路工作的影响，实现了开关变换器的器件级尺度与电路级尺度相结合的统一建模。

2、通过采用连续的非线性周期函数拟合传统的描述器件通断特性的离散开关函数，实现了变换器的连续统一建模。

附图说明

图1为一种Boost开关变换器的电路模型。

图2为场效应晶体管(MOSFET)简化的器件机理模型。

图3为考虑器件模型的Boost开关变换器的多尺度同一模型原理图。

图4为开关拟合函数的函数图像。

图5a为本发明方法与数值计算方法的电感L电流i_L的波形对比图。

图5b为本发明方法与数值计算方法的电容C₀电压u_C0的波形对比图。

图5c为本发明方法与数值计算方法的电容C₁电压u_C1的波形对比图。

具体实施方式

为进一步阐述本发明的内容和特点，以下结合附图对本发明的具体实施方案进行具体说明，但本发明的实施不限于此。

本实施例所提供的同时求解开关变换器多尺度状态变量的非线性建模方法，包括以下步骤：

S1、将开关器件场效应晶体管(MOSFET)用其简化的器件机理模型等效。

如图2所示，所述场效应晶体管(MOSFET)简化的器件机理模型包括一个门级输入电阻R_G，一个压控电流源i_G，第一极间电容C₁，第二极间电容C₂和一个导通电阻R_d。所述门级输入电阻R_G的一端与MOSFET的栅级连接；所述门级输入电阻R_G的另一端与第二极间电容C₂的一端连接；所述压控电流源i_G的一端分别与第一极间电容C₁的一端、导通电阻R_d的一端和MOSFET的漏级连接；所述压控电流源i_G的另一端分别与第一极间电容C₁的另一端、导通电阻R_d的另一端和MOSFET的源级连接；所述第二极间电容C₂的另一端与MOSFET的源级连接；其中压控电流源i_G的表达式为i_G＝g_mu_GS，式中，g_m是MOSFET器件的前向跨导，u_GS为MOSFET的门极驱动电压信号，u_GS＝s⁽¹⁾u_G，s⁽¹⁾是非线性的控制信号函数u_G是MOSFET的门级电压幅值。；

S2、将二极管器件用非线性电阻来等效，其中该非线性电阻的伏安特性用二极管的PN结电流方程描述。

所述二极管的PN结电流方程如下：

式中，i_D为二极管的电流，I_S为二极管的反向饱和电流，其值可以根据实际所选用二极管型号的参数手册查得；U_T为热力学电压，常温下U_T＝26mV；u_D为二极管的正向电压。将i_D进行泰勒展开可以得到二极管等效非线性电阻的伏安特性为：

式中，n表示f(u_D)的泰勒展开式的阶数，R_n(u_D)为f(u_D)的泰勒展开式的余项。

S3、用连续非线性周期函数拟合开关器件门极驱动信号的离散开关函数

式中，k表征对开关函数的拟合程度，d为开关控制信号的占空比，T为开关信号的周期。

S4、建立用微分方程描述的开关变换器的多尺度统一非线性数学模型

G₀(p)x+G₁f⁽¹⁾(x)+G₂f⁽²⁾(x)＝U (4)

式中，p表示微分算子

x＝[i_L u_C0 u_C1]^Tr表示开关变换器***的多尺度状态变量向量，上标Tr表示求矩阵的转置，i_L表示电感电流瞬时值，u_C0表示输出电容电压瞬时值，它们是描述开关变换器电路特性的状态变量，属于电路级尺度；u_C1表示场效应晶体管器件机理模型的第一极间电容C₁的电压瞬时值，可以描述开关器件的动态特性，属于器件级尺度的状态变量；G₀(p)、G₁、G₂分别为与开关变换器拓扑结构和电路参数相关的系数矩阵；f⁽¹⁾(x)＝(1-s⁽¹⁾)x＝s⁽²⁾x＝s⁽²⁾·[i_L u_C0 u_C1]^Tr是一个非线性矢量函数，其中s⁽¹⁾为步骤S3中所建立的非线性周期函数，s⁽²⁾＝(1-s⁽¹⁾)；f⁽²⁾(x)＝s⁽¹⁾e′也是一个非线性矢量函数，e′为一个与驱动信号有关的常向量；U为一个与变换器的输入电压有关的向量。

S5、将S3所述非线性周期函数展开成傅里叶级数

其中，j为虚数单位，τ＝ωt，ω＝2πf，

f为开关频率，

为

的复共轭项；

类似的，所述的非线性周期函数s⁽²⁾可以展开为式(6)所示的傅里叶级数：

其中，j为虚数单位，τ＝ωt，ω＝2πf，

f为开关频率，

为

的复共轭项；

S6、获取开关变换器近似线性等效数学模型

利用非线性分析方法对S4所述非线性数学模型进行分解，得到其近似线性等效数学模型；该等效数学模型是由一系列线性方程组成的方程组，包含一个求解***状态变量主分量的方程，和若干求解状态变量各阶修正量的方程。

根据非线性***等效小参量符号法的基本原理，对式(4)进行变换，得到开关变换器近似线性等效数学模型如下：

式中，x₀、x₁、x₂、……、x_n分别为状态变量x的主振荡分量、一阶修正量、二阶修正量、……、n阶修正量；

分别为非线性矢量函数f⁽¹⁾(x)中与x₀、x₁、x₂、……、x_n具有相同频率成分的项；

为非线性矢量函数f⁽²⁾(x)中与x₀具有相同频率成分的项；

分别为非线性矢量函数f⁽¹⁾(x)中与x₁、x₂、……、x_n具有相同频率成分的项；

分别为非线性矢量函数f⁽²⁾(x)中与x₁、x₂、……、x_n具有相同频率成分的项。

式(7)中的第一个方程称为主振荡方程，用于确定状态变量的主振荡分量x₀；其余方程为称为修正量方程，用于确定状态变量的各阶修正量x_i。主振荡方程可以为线性或非线性方程，跟开关变换器主电路拓扑结构有关，而修正量方程均为线性方程，因此，式(7)为近似线性等效数学模型。

S7、获取变换器***的多尺度状态变量稳态周期解的近似解析表达式

利用谐波平衡原理逐步求解S6所述等效模型中的各个方程，获取开关变换器***电路级和器件级状态变量的直流分量和各阶修正量，从而得到变换器***多尺度状态变量稳态周期解的近似解析表达式。

S71、设开关变换器的主振荡分量为：

x₀＝a₀₀ (8)

式中a₀₀是x₀的直流分量；

一阶修正量为：

x₁＝a₁₁e^jτ+c.c (9)

式中c.c表示复共轭项；a₁₁是一阶修正量的1次谐波振幅幅值；

二阶修正量为：

x₂＝a₀₂+a₂₂e^j2τ+a₃₂e^j3τ+c.c (10)

式中a₀₂是二阶修正量的直流分量，a₂₂是二阶修正量的2次谐波振幅幅值，a₃₂是二阶修正量的3次谐波振幅幅值；

S72、将上述式(8)～(10)分别代入非线性函数f⁽¹⁾(x)和f⁽²⁾(x)，得到：

S73、将上述式(8)～(16)分别代入式(7)相应方程中，可得到：

式中，G₀(0)为上述系数矩阵G₀(p)中令p＝0时得到的矩阵，G₀(jω)为上述系数矩阵G₀(p)中令p＝jω时得到的矩阵，G₀(j2ω)为上述系数矩阵G₀(p)中令p＝j2ω时得到的矩阵，G₀(j3ω)为上述系数矩阵G₀(p)中令p＝j3ω时得到的矩阵；S74、根据上述结果，可以得到由指数函数或三角函数形式表达的变换器多尺度状态变量x的稳态周期解的近似表达式如下：

式中，函数Re(·)和Im(·)分别表示求复数的实部和虚部。

下面结合附图1、2、3、4、5a、5b、5c对本实施例上述方法进行具体说明。

图1为Boost开关变换器的原理图，其中，S_T表示场效应晶体管(MOSFET)开关器件，S_D表示二极管器件，V_S表示直流电源，R表示负载电阻，C₀表示电容，L表示电感；

图2为简化的场效应晶体管器件模型，其中，R_G表示门极电阻，C₁表示第一极间电容，C₂表示第二极间电容，i_G表示压控电流源，R_d表示导通电阻；

图3为考虑器件模型的Boost开关变换器的多尺度同一模型原理图，其电路参数为开关频率fs＝25kHz，电感L＝330μH，电容C₀＝10μF，输入直流电压V_S＝10V，负载电阻R＝20Ω，MOSFET的正向跨导g_m＝1S，MOSFET的第一极间电容C₁＝1000pF，MOSFET的导通电阻R_d＝0.15Ω，MOSFET的驱动信号u_G＝1V，开关信号的占空比d＝0.5；

图4为所述的连续的开关拟合函数的函数图像，此处k＝1000；

根据本发明方法的上述步骤求Boost开关变换器的主振荡分量和一阶、二阶修正量，最后相加即可得到变换器的多尺度状态变量稳态周期解析解的表达式如下：

将本发明方法与基于龙格库塔法的数值计算方法在稳态时计算所得的状态变量的纹波波形进行比较，得到的波形结果分别如图5a、5b、5c中所示，数值算法参数和本发明方法使用的符号分析法计算所采用的参数一致。图中虚线所示为本发明所提出方法的计算结果的波形，实线所示为数值算法仿真计算的结果的波形。

从图中可见两条波形曲线拟合程度很高，说明本发明所提出的方法是有效的。采用连续的开关拟合函数代替分段开关函数实现了变换器的连续统一建模，通过变换器多尺度状态变量的稳态周期解析解表达式可以清楚地看出变换器不同尺度的变量的变化，可以看出器件级尺度的变量变化对于变换器的影响。

以上所述实施例只为本发明之较佳实施例，并非以此限制本发明的实施范围，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.同时求解开关变换器多尺度状态变量的非线性建模方法，其特征在于：该方法是在建模过程中开关管和二极管用其机理模型等效，采用连续的非线性周期函数拟合描述器件通断特性的离散开关函数，得到描述开关变换器电路级和器件级状态变量的统一非线性连续数学模型；再利用非线性分析方法求解，能够同时获得开关变换器电路级和器件级状态变量稳态周期解的近似解析表达式，即能获得开关变换器多尺度状态变量的稳态周期解析解；其包括以下步骤：

S1、将开关器件场效应晶体管MOSFET用其简化的器件机理模型等效；将二极管器件用非线性电阻来等效，其中该非线性电阻的伏安特性用二极管的PN结电流方程描述；

S2、用连续非线性周期函数拟合开关器件门极驱动信号的离散开关函数；

S3、建立用微分方程描述的开关变换器的多尺度统一非线性数学模型；

S4、将步骤S2的非线性周期函数展开成傅里叶级数；

S5、获取开关变换器近似线性等效数学模型；

利用非线性分析方法对步骤S3建立的非线性数学模型进行分解，得到其近似线性等效数学模型，该等效数学模型是由一系列线性方程组成的方程组，包含一个求解***状态变量主分量的方程和若干求解状态变量各阶修正量的方程；

S6、获取开关变换器多尺度状态变量稳态周期解的近似解析表达式；

利用谐波平衡原理逐步求解步骤S5所述等效数学模型中的各个方程，获取开关变换器电路级和器件级状态变量的直流分量和各阶修正量，从而得到开关变换器多尺度状态变量稳态周期解的近似解析表达式。

2.根据权利要求1所述的同时求解开关变换器多尺度状态变量的非线性建模方法，其特征在于：在步骤S1中，场效应晶体管MOSFET简化的器件机理模型包括一个门级输入电阻R_G、一个压控电流源i_G、第一极间电容C₁、第二极间电容C₂和一个导通电阻R_d；所述门级输入电阻R_G的一端与MOSFET的栅级连接，其另一端与第二极间电容C₂的一端连接；所述压控电流源i_G的一端分别与第一极间电容C₁的一端、导通电阻R_d的一端和MOSFET的漏级连接；所述压控电流源i_G的另一端分别与第一极间电容C₁的另一端、导通电阻R_d的另一端和MOSFET的源级连接；所述第二极间电容C₂的另一端与MOSFET的源级连接；其中，所述压控电流源i_G的表达式为i_G＝g_mu_GS，式中，g_m是MOSFET的前向跨导，u_GS为MOSFET的门极驱动电压信号，u_GS＝s⁽¹⁾u_G，s₍₁₎是非线性的控制信号函数，u_G是MOSFET的门级电压幅值。

3.根据权利要求1所述的同时求解开关变换器多尺度状态变量的非线性建模方法，其特征在于：在步骤S1中，所述二极管的PN结电流方程如下：

式中，i_D为二极管的电流，I_S为二极管的反向饱和电流，其值能够根据实际所选用二极管型号的参数手册查得；U_T为热力学电压，常温下U_T＝26mV；u_D为二极管的正向电压；将i_D进行泰勒展开能够得到二极管等效非线性电阻的伏安特性为：

式中，n表示f(u_D)的泰勒展开式的阶数，R_n(u_D)为f(u_D)的泰勒展开式的余项。

4.根据权利要求1所述的同时求解开关变换器多尺度状态变量的非线性建模方法，其特征在于：在步骤S2中，所述非线性周期函数为：

式中，k表征对开关函数的拟合程度，d为开关控制信号的占空比，T为开关信号的周期。

5.根据权利要求1所述的同时求解开关变换器多尺度状态变量的非线性建模方法，其特征在于：在步骤S3中，所述描述开关变换器的多尺度统一非线性数学模型为：

G₀(p)x+G₁f⁽¹⁾(x)+G₂f⁽²⁾(x)＝U (4)

式中，p表示微分算子

x＝[i_L u_C0 u_C1]^Tr表示开关变换器***的多尺度状态变量向量，上标Tr表示求矩阵的转置，i_L表示电感电流瞬时值，u_C0表示输出电容电压瞬时值，它们是描述开关变换器电路特性的状态变量，属于电路级尺度；u_C1表示场效应晶体管器件机理模型的第一极间电容C₁的电压瞬时值，能够描述开关器件的动态特性，属于器件级尺度的状态变量；G₀(p)、G₁、G₂分别为与开关变换器拓扑结构和电路参数相关的系数矩阵；f⁽¹⁾(x)＝(1-s⁽¹⁾)x＝s⁽²⁾x＝s⁽²⁾·[i_L u_C0 u_C1]^Tr是一个非线性矢量函数，其中s⁽¹⁾为步骤S2中所建立的非线性周期函数，s⁽²⁾＝(1-s⁽¹⁾)；f⁽²⁾(x)＝s⁽¹⁾e′也是一个非线性矢量函数，e′为一个与驱动信号有关的常向量；U为一个与变换器的输入电压有关的向量；

在步骤S4中，非线性周期函数s⁽¹⁾展开为式(5)所示的傅里叶级数：

其中，j为虚数单位，τ＝ωt，ω＝2πf，

f为开关频率，

为

的复共轭项，d为开关控制信号的占空比，T为开关信号的周期，n为函数展开的阶数；

非线性周期函数s⁽²⁾能够展开为式(6)所示的傅里叶级数：

其中，j为虚数单位，τ＝ωt，ω＝2πf，

f为开关频率，

为

的复共轭项；

在步骤S5中，获取开关变换器近似线性等效数学模型的过程如下：

根据非线性***等效小参量符号法的基本原理，对式(4)进行变换，得到开关变换器近似线性等效数学模型为：

式中，x₀、x₁、x₂、……、x_n分别为状态变量x的主振荡分量、一阶修正量、二阶修正量、……、n阶修正量；

分别为非线性矢量函数f⁽¹⁾(x)中与x₀、x₁、x₂、……、x_n具有相同频率成分的项；

为非线性矢量函数f⁽²⁾(x)中与x₀具有相同频率成分的项；

分别为非线性矢量函数f⁽¹⁾(x)中与x₁、x₂、……、x_n具有相同频率成分的项；

分别为非线性矢量函数f⁽²⁾(x)中与x₁、x₂、……、x_n具有相同频率成分的项；

式(7)中的第一个方程称为主振荡方程，用于确定状态变量的主振荡分量x₀；其余方程为称为修正量方程，用于确定状态变量的各阶修正量x_i；主振荡方程能够为线性或非线性方程，跟开关变换器主电路拓扑结构有关，而修正量方程均为线性方程，因此，式(7)为近似线性等效数学模型；

在步骤S6中，获取变换器状态变量稳态周期解的具体步骤如下：

S61、设开关变换器的主振荡分量为：

x₀＝a₀₀ (8)

式中，a₀₀是状态变量的直流分量；

一阶修正量为：

x₁＝a₁₁e^jτ+c.c (9)

式中，c.c表示复共轭项；a₁₁是一阶修正量的1次谐波振幅幅值；

二阶修正量为：

x₂＝a₀₂+a₂₂e^j2τ+a₃₂e^j3τ+c.c (10)

式中，a₀₂是二阶修正量的直流分量，a₂₂是二阶修正量的2次谐波振幅幅值，a₃₂是二阶修正量的3次谐波振幅幅值；

S62、将上述式(8)～(10)分别代入非线性矢量函数f⁽¹⁾(x)和f⁽²⁾(x)，得到：

S63、将上述式(8)～(16)分别代入式(7)相应方程中，得到：

式中，G₀(0)为上述系数矩阵G₀(p)中令p＝0时得到的矩阵，G₀(jω)为上述系数矩阵G₀(p)中令p＝jω时得到的矩阵，G₀(j2ω)为上述系数矩阵G₀(p)中令p＝j2ω时得到的矩阵，G₀(j3ω)为上述系数矩阵G₀(p)中令p＝j3ω时得到的矩阵；

S64、根据上述结果，得到由指数函数或三角函数形式表达的变换器多尺度状态变量x的稳态周期解的近似表达式为：

x≈x₀+x₁+x₂

＝a₀₀+a₀₂+a₁₁e^jτ+a₂₂e^j2τ+a₃₂e^j3τ+c.c

＝a₀₀+a₀₂+2Re(a₁₁)cosτ-2Im(a₁₁)sinτ+2Re(a₂₂)cos2τ-2Im(a₂₂)sin2τ+2Re(a₃₂)cos3τ-2Im(a₃₂)sin3τ (16)

式中，函数Re(·)和Im(·)分别表示求复数的实部和虚部。

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