CN110457844B - 一种不均匀地层沉降引起埋地管道纵向力学响应的确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种不均匀地层沉降引起埋地管道纵向力学响应的确定方法，首先确定管道纵向弹性地基梁模型的弯曲刚度及地基弹性系数，接着将管道所处地层累计沉降值绘于坐标系中，并对曲线进行拟合，然后确定不均匀地层沉降引起埋地管道纵向力学响应的计算模型，接着依次确定悬空段与接地段分段处管道截面的弯矩和剪力，悬空段以及接地段管道任意截面的剪力、弯矩、转角和沉降表达式，最后对地层累计沉降项进行傅里叶余弦级数展开，利用地层沉降项的傅里叶级数展开式及相应的傅里叶系数，分别确定悬空段和接地段任意截面弯矩、剪力和沉降。本发明能够更准确确定不均匀地层沉降影响作用下埋地管道的纵向力学响应值，为管道纵向设计提供依据。

Description

一种不均匀地层沉降引起埋地管道纵向力学响应的确定方法

技术领域

本发明涉及建筑工程技术领域，特别是一种不均匀地层沉降引起埋地管道纵向力学响应的确定方法。

背景技术

埋地管道是输送天然气、原油等基础设施的重要组成部分，在社会生产和生活中发挥着举足轻重的作用，被称为“生命线工程”。地铁隧道施工、过量抽取地下水以及地下矿藏的开采等诱发的地层沉降问题越来越多，给埋地管道的长期安全运行构成严重威胁。

欧洲天然气管道事故数据组织(European Gas pipeline Incident data Group，EGIG)统计了1970-2010年间欧洲各国天然气管道事故，其中由于地表运动造成的天然气管道事故比例达到7.4％。地层沉降会使得埋地管道发生不均匀沉降变形，进而会发生局部应力集中现象，导致管道失效与破坏。地层沉降过程中埋地管道的力学响应，实质上是埋地管道与管周土体(管-土)相互作用的结果，目前分析管-土互相作用时通常将其简化成弹性地基上梁模型来计算。

然而研究表明管-土相互作用的特征与管道所处地层的累计沉降量有关，当埋地管道周围土体发生较大变形时，受管-土变形刚度影响，管道的下沉值小于管周土体，地层沉降区域管道会与周围土体脱离，即呈现局部悬空、局部接触现象，完全接触的弹性地基模型并不符合管周土体变形的实际情况，不能体现埋地管道的实际受力和变形情况。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的是提出一种不均匀地层沉降引起埋地管道纵向力学响应的确定方法，能够更准确确定不均匀地层沉降影响作用下埋地管道的纵向响应值，为管道纵向设计提供依据。

本发明采用以下方案实现：一种不均匀地层沉降引起埋地管道纵向力学响应的确定方法，具体包括以下步骤：

步骤S1：获取管道埋藏土层信息及管道结构设计信息，确定管道纵向弹性地基梁模型的弯曲刚度及地基弹性系数；包括：管道的埋深，管道的内、外直径，管道弹性模量，管道自重，管道上部土柱压力；土层的弹性模量、泊松比；

步骤S2：测出埋地管道下方地层的累计沉降值，建立沉降坐标系，将沉降值绘于坐标系中，并对曲线进行拟合；

步骤S3：将埋地管道分为非地层沉降影响区接地段、地层沉降影响接地区接地段、以及地层沉降影响区悬空段三部分，确定不均匀地层沉降引起埋地管道纵向力学响应的计算模型；

步骤S4：根据Winkler地基上半无限长弹性地基梁理论，确定地层沉降影响区内悬空段与接地段分段处管道截面的转角和沉降表达式；

步骤S5：利用中间悬空段连续梁微元的平衡方程，通过对方程两端依次进行一至三次积分，并联合分段处边界条件，确定悬空段剪力、弯矩、截面转角和沉降表达式；

步骤S6：根据埋地管道结构对称性以及分段处边界连续条件，确定埋地管道悬空段与接地段分段处截面弯矩和剪力表达式；

步骤S7：对地层累计沉降项进行傅里叶余弦级数展开，获取沉降项的傅里叶级数展开式及相应的傅里叶系数，确定分段处截面弯矩和悬空段沉降值；不断修正悬空段长度，直到接地段和悬空段分段处管道沉降近似等于地层累计沉降，从而确定悬空段长度t、分段处截面弯矩M_i和剪力Q_i；

步骤S8：将悬空段长度t、分段处截面弯矩M_i和剪力Q_i回代悬空段沉降、弯矩和剪力表达式，确定悬空段截面沉降、弯矩和剪力；根据Winkler地基上半无限长弹性地基梁理论，确定地层沉降引起埋地管道接地段截面沉降、弯矩和剪力表达式；利用地层沉降项的傅里叶级数展开式及相应的傅里叶系数，确定接地段截面沉降、弯矩和剪力。

进一步地，步骤S1中，

所述管道纵向的弹性地基梁模型的弯曲刚度满足以下公式：

式中，E是管线的弹性模量，

D为管线外直径，d为管线内直径；

所述管道纵向弹性地基梁模型的地基弹性系数满足以下公式：

式中，E_s是地基弹性模量；μ是地基泊松比；η_a为系数，满足以下条件：H/D≤0.5时，η_a＝4-5μ；H/D＞0.5时，η_a＝1+D/H，式中H为管线轴线到地面的垂直距离。

进一步地，步骤S3中，将接地段视为Winkler地基上半无限长梁，将悬空段简化为两端约束的连续梁，则所述不均匀地层沉降引起埋地管道纵向力学响应的计算模型为：

式中，w(x)为管道沉降，q₁为弹性地基梁所受竖向土柱压力，q₂为弹性地基梁自重，t为弹性地基梁悬空段长度，k表示地基弹性系数，u(x)表示地层累计沉降，x表示管道水平坐标，s表示地基沉降区水平长度。

进一步地，步骤S4中，管道截面的转角满足下式：

管道截面的沉降满足下式：

式中，Q_i、M_i分别为分段处梁截面剪力、弯矩，其中i＝1时表示左侧，i＝2时表示右侧；

表示弹性地基梁特征系数，ψ₃(αx)＝e^-αx[cos(αx)-sin(αx)]，ψ₄(αx)＝e^{-α x}cos(αx)；q₁为弹性地基梁所受竖向土柱压力，q₂为弹性地基梁自重，t为弹性地基梁悬空段长度，k表示地基弹性系数，s表示地基沉降区水平长度，δ表示管道水平坐标变量，u(δ)表示接地段管道下方地层累计沉降。

进一步地，步骤S5中，悬空段剪力Q(x)、弯矩M(x)、截面转角θ(x)和沉降w(x)表达式分别如下：

式中，q₂为弹性地基梁自重，t为弹性地基梁悬空段长度，x表示管道水平坐标，δ表示管道水平坐标变量，Q₁表示分段处梁截面左侧的剪力，M₁表示分段处梁截面左侧的弯矩，EI表示弹性地基梁模型的弯曲刚度，θ₁表示分段处梁截面左侧的转角，w₁表示分段处梁截面的沉降。

进一步地，步骤S6中，分段处截面弯矩和剪力表达式分别满足以下公式：

式中，Q₁表示分段处梁截面左侧的剪力，Q₂表示分段处梁截面右侧的剪力，q₁为弹性地基梁所受竖向土柱压力，q₂为弹性地基梁自重，t为弹性地基梁悬空段长度，M₁表示分段处梁截面左侧的弯矩，M₂表示分段处梁截面右侧的弯矩，EI表示弹性地基梁模型的弯曲刚度，ψ₃(αx)＝e^-αx[cos(αx)-sin(αx)]，α表示弹性地基梁特征系数，k表示地基弹性系数。

进一步地，步骤S7中，地层沉降项u(x)傅里叶余弦级数展开式满足以下公式：

其中，

分段处截面弯矩满足以下公式：

其中，ψ₂(αx)＝e^-αx sin(αx)，

进一步地，步骤S8中，接地段截面沉降满足以下公式：

式中，ψ₁(αx)＝e^-αx[cos(αx)+sin(αx)]；

接地段截面弯矩满足以下公式：

接地段截面剪力满足以下公式：

与现有技术相比，本发明有以下有益效果：本发明采用考虑管道与周围土体局部脱离的弹性地基梁模型，能更好地反映管-土相互作用特性，从而更准确确定不均匀地层沉降影响作用下埋地管道的纵向内力值，为管道纵向设计提供依据。

附图说明

图1为本发明实施例的地基沉陷曲线示意图。

图2为本发明实施例方法与传统方法在沉降上的对比示意图。

图3为本发明实施例方法与传统方法在截面弯矩上的对比示意图。

图4为本发明实施例方法与传统方法在剪力上的对比示意图。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明做进一步说明。

应该指出，以下详细说明都是示例性的，旨在对本申请提供进一步的说明。除非另有指明，本文使用的所有技术和科学术语具有与本申请所属技术领域的普通技术人员通常理解的相同含义。

需要注意的是，这里所使用的术语仅是为了描述具体实施方式，而非意图限制根据本申请的示例性实施方式。如在这里所使用的，除非上下文另外明确指出，否则单数形式也意图包括复数形式，此外，还应当理解的是，当在本说明书中使用术语“包含”和/或“包括”时，其指明存在特征、步骤、操作、器件、组件和/或它们的组合。

如图1所示，本实施例提供了一种不均匀地层沉降引起埋地管道纵向力学响应的确定方法，一段埋地管道穿越非沉陷区和沉陷区，沉陷区地层塌陷至埋地管道下方，造成管道与四周土局部分离，管道在自重作用下发生沉降变形。

本实施例具体包括以下步骤：

步骤S1：获取管道埋藏土层信息及管道结构设计信息，确定管道纵向弹性地基梁模型的弯曲刚度及地基弹性系数；包括：管道的埋深，管道的内、外直径，管道弹性模量，管道自重，管道上部土柱压力；土层的弹性模量、泊松比；

经调查，管道材料为混凝土，弹性模量为4.2×10⁷kPa，管道材料重度26.0kN/m³，管道外径8.4m，壁厚0.45m，埋深12m；埋地管道所处土层土体的泊松比0.35，弹性模量25MPa，重度18.5kN/m³。

步骤S2：测出埋地管道下方地层的累计沉降值，建立沉降坐标系，将沉降值绘于坐标系中，并对曲线进行拟合；

步骤S3：将埋地管道分为非地层沉降影响区接地段、地层沉降影响接地区接地段、以及地层沉降影响区悬空段三部分，确定不均匀地层沉降引起埋地管道纵向力学响应的计算模型；

步骤S4：根据Winkler地基上半无限长弹性地基梁理论，确定地层沉降影响区内悬空段与接地段分段处管道截面的转角和沉降表达式；

步骤S5：利用中间悬空段连续梁微元的平衡方程，通过对方程两端依次进行一至三次积分，并联合分段处边界条件，确定悬空段剪力、弯矩、截面转角和沉降表达式；

步骤S6：根据埋地管道结构对称性以及分段处边界连续条件，确定埋地管道悬空段与接地段分段处截面弯矩和剪力表达式；

步骤S7：对地层累计沉降项进行傅里叶余弦级数展开，获取沉降项的傅里叶级数展开式及相应的傅里叶系数，确定分段处截面弯矩和悬空段沉降值；不断修正悬空段长度，直到接地段和悬空段分段处管道沉降近似等于地层累计沉降，从而确定悬空段长度t、分段处截面弯矩M_i和剪力Q_i；

步骤S8：将悬空段长度t、分段处截面弯矩M_i和剪力Q_i回代悬空段沉降、弯矩和剪力表达式，确定悬空段截面沉降、弯矩和剪力；根据Winkler地基上半无限长弹性地基梁理论，确定地层沉降引起埋地管道接地段截面沉降、弯矩和剪力表达式；利用地层沉降项的傅里叶级数展开式及相应的傅里叶系数，采用matlab编制程序，确定接地段截面沉降、弯矩和剪力。

在本实施例中，步骤S1中，

所述管道纵向的弹性地基梁模型的弯曲刚度满足以下公式：

式中，E是管线的弹性模量，

D为管线外直径，d为管线内直径；

所述管道纵向弹性地基梁模型的地基弹性系数满足以下公式：

式中，E_s是地基弹性模量；μ是地基泊松比；η_a为系数，满足以下条件：H/D≤0.5时，η_a＝4-5μ；H/D＞0.5时，η_a＝1+D/H，式中H为管线轴线到地面的垂直距离。本实施例中，H/D＝12/8.4＝1.43＞0.5，则系数η_a＝1+D/H＝1+8.4/12＝1.7，管道所处地层地基弹性系数

较佳的，在本实施例中，步骤S2具体为，根据地层分层沉降测量监测结果，以管道纵向距离为横轴，以累计沉降值为纵轴建立直角坐标系，将隧道所处地层沉降监测值绘于该坐标系中，最大累计沉降量达270mm。

利用origin软件的余弦曲线拟合功能对地层沉降曲线进行拟合，其拟合函数式为

在本实施例中，步骤S3中，将接地段视为Winkler地基上半无限长梁，将悬空段简化为两端约束的连续梁，非地层沉降影响区接地段(|x|≥7.5)管道受自重和竖向土柱压力，地层沉降影响接地区接地段

管道受自重和地层沉降影响作用，地层沉降影响区悬空段

只受自重荷载，竖向土柱压力q₁＝γ_sH＝18.5×12＝222kPa，管道自重

根据梁理论，非地层沉降影响区接地段管道满足以下微分方程：

地层沉降影响接地区接地段管道满足以下微分方程：

地层沉降影响区悬空段满足以下微分方程：

则所述不均匀地层沉降引起埋地管道纵向力学响应的计算模型为：

式中，w(x)为管道沉降，q₁为弹性地基梁所受竖向土柱压力，q₂为弹性地基梁自重，t为弹性地基梁悬空段长度，k表示地基弹性系数，u(x)表示地层累计沉降，x表示管道水平坐标，s表示地基沉降区长度。

在本实施例中，步骤S4中，管道截面的转角满足下式：

管道截面的沉降满足下式：

式中，Q_i、M_i分别为分段处梁截面剪力、弯矩，其中i＝1时表示左侧，i＝2时表示右侧；

表示弹性地基梁特征系数，ψ₃(αx)＝e^-αx[cos(αx)-sin(αx)]，ψ₄(αx)＝e^{-α x}cos(αx)；q₁为弹性地基梁所受竖向土柱压力，q₂为弹性地基梁自重，t为弹性地基梁悬空段长度，k表示地基弹性系数，s表示地基沉降区长度，δ表示管道水平坐标变量，u(δ)表示接地段管道下方地层累计沉降。

具体的，悬空段与接地段分段处梁截面剪力Q_i、弯矩M_i(i＝1，为左侧；i＝2，为右侧)，半无限长弹性地基梁竖向土柱压力q₁，自重荷载q₂以及地层沉降共同作用下脱离区与接地区分段处梁截面转角和沉降表达式为：

在本实施例中，步骤S5中，对悬空段管道微元进行力学平衡分析，获得剪力计算公式：

对悬空段微分方程两端进行一次积分，有以下关系：

获得弯矩计算公式：

对悬空段微分方程两端进行二次积分，有以下关系：

获得转角计算式：

对悬空段微分方程两端进行三次积分，有以下关系：

获得沉降计算公式：

式中，q₂为弹性地基梁自重，t为弹性地基梁悬空段长度，x表示管道水平坐标，δ表示管道水平坐标变量，Q₁表示分段处梁截面左侧的剪力，M₁表示分段处梁截面左侧的弯矩，EI表示弹性地基梁模型的弯曲刚度，θ₁表示分段处梁截面左侧的转角，w₁表示分段处梁截面沉降。

在本实施例中，步骤S6中，根据结构对称性，可得以下关系式：Q₁＝-Q₂；根据悬空段竖向力平衡，可得以下关系式：

从而确定分段处截面剪力为

利用悬空段截面转角计算公式，可得以下关系式：

将θ₁、θ₂、Q₁代入上式，确定弯矩为：

式中，Q₁表示分段处梁截面左侧的剪力，Q₂表示分段处梁截面右侧的剪力，q₁为弹性地基梁所受竖向土柱压力，q₂为弹性地基梁自重，t为弹性地基梁悬空段长度，M₁表示分段处梁截面左侧的弯矩，M₂表示分段处梁截面右侧的弯矩，EI表示弹性地基梁模型的弯曲刚度，ψ₃(αx)＝e^-αx[cos(αx)-sin(αx)]，α表示弹性地基梁特征系数，k表示地基弹性系数。

在本实施例中，步骤S7中，对地层沉降项u(x)进行傅里叶余弦级数展开，获取地层沉降项的傅里叶级数展开式为：

其中：a₀＝a₂＝0.27，a₁＝0，a_n＝0(n≥3)；

分段处截面弯矩满足以下公式：

其中，ψ₂(αx)＝e^-αx sin(αx)，

在本实施例中，步骤S8中，接地段截面沉降满足以下公式：

式中，ψ₁(αx)＝e^-αx[cos(αx)+sin(αx)]；

接地段截面弯矩满足以下公式：

接地段截面剪力满足以下公式：

其中，采用matlab编制程序，确定管道分段截面处弯矩和内力，如图2-4所示。

本实施例采用考虑管道与周围土体局部脱离的弹性地基梁模型，能更好地反映管-土相互作用特性，从而更准确确定不均匀地层沉降影响作用下埋地管道的纵向响应值，为管道纵向设计提供依据。

本申请是参照根据本申请实施例的方法、设备(***)、和计算机程序产品的流程图和/或方框图来描述的。应理解可由计算机程序指令实现流程图和/或方框图中的每一流程和/或方框、以及流程图和/或方框图中的流程和/或方框的结合。可提供这些计算机程序指令到通用计算机、专用计算机、嵌入式处理机或其他可编程数据处理设备的处理器以产生一个机器，使得通过计算机或其他可编程数据处理设备的处理器执行的指令产生用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的装置。

这些计算机程序指令也可存储在能引导计算机或其他可编程数据处理设备以特定方式工作的计算机可读存储器中，使得存储在该计算机可读存储器中的指令产生包括指令装置的制造品，该指令装置实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能。

这些计算机程序指令也可装载到计算机或其他可编程数据处理设备上，使得在计算机或其他可编程设备上执行一系列操作步骤以产生计算机实现的处理，从而在计算机或其他可编程设备上执行的指令提供用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的步骤。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非是对本发明作其它形式的限制，任何熟悉本专业的技术人员可能利用上述揭示的技术内容加以变更或改型为等同变化的等效实施例。但是凡是未脱离本发明技术方案内容,依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与改型，仍属于本发明技术方案的保护范围。

Claims (7)

1.一种不均匀地层沉降引起埋地管道纵向力学响应的确定方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤S1：确定管道纵向弹性地基梁模型的弯曲刚度及地基弹性系数；

步骤S2：测出埋地管道下方的地层累计沉降值，建立沉降坐标系，将累计沉降值绘于坐标系中，并对曲线进行拟合；

步骤S3：将埋地管道分为非地层沉降影响区接地段、地层沉降影响区接地段、以及地层沉降影响区悬空段三部分，确定不均匀地层沉降引起埋地管道纵向力学响应的计算模型；

步骤S4：确定地层沉降影响区内悬空段与接地段分段处管道截面的转角和沉降表达式；

步骤S5：利用中间悬空段连续梁微元的平衡方程，通过对方程两端依次进行一至三次积分，并联合分段处边界条件，确定悬空段剪力、弯矩、截面转角和沉降表达式；

步骤S6：根据埋地管道结构对称性以及分段处边界连续条件，确定埋地管道悬空段与接地段分段处截面弯矩和剪力表达式；

步骤S7：对地层累计沉降项u(x)进行傅里叶余弦级数展开，获取地层累计沉降项u(x)的傅里叶余弦级数展开式及相应的傅里叶系数，确定分段处截面弯矩和悬空段沉降值；不断修正悬空段长度，直到接地段和悬空段分段处管道沉降等于地层累计沉降，从而确定悬空段长度t、分段处截面弯矩M_i和剪力Q_i；

步骤S8：将悬空段长度t、分段处截面弯矩M_i和剪力Q_i分别回代至悬空段沉降、弯矩和剪力表达式，确定悬空段截面沉降、弯矩和剪力；根据Winkler地基上半无限长弹性地基梁理论，确定地层沉降引起埋地管道接地段截面沉降、弯矩和剪力表达式；利用地层累计沉降项u(x)的傅里叶余弦级数展开式及相应的傅里叶系数，确定接地段截面沉降、弯矩和剪力；

步骤S8中，接地段截面沉降满足以下公式：

式中，ψ₁(αx)＝e^-αx[cos(αx)+sin(αx)]；

接地段截面弯矩满足以下公式：

接地段截面剪力满足以下公式：

式中，ψ₃(αx)＝e^-αx[cos(αx)-sin(αx)]，ψ₄(αx)＝e^-αxcos(αx)；q₁为弹性地基梁所受竖向土柱压力，q₂为弹性地基梁自重，t为弹性地基梁悬空段长度，x表示管道水平坐标，δ表示管道水平坐标变量，Q₁表示分段处梁截面左侧的剪力，M₁表示分段处梁截面左侧的弯矩，EI表示弹性地基梁模型的弯曲刚度，θ₁表示分段处梁截面左侧的转角，w₁表示分段处梁截面的沉降，k表示地基弹性系数，α表示弹性地基梁特征系数，

s表示地基沉降区水平长度，u(δ)表示接地段管道下方地层累计沉降。

2.根据权利要求1所述的一种不均匀地层沉降引起埋地管道纵向力学响应的确定方法，其特征在于，步骤S1中，

所述管道纵向弹性地基梁模型的弯曲刚度满足以下公式：

式中，E是管线的弹性模量，

D为管线外直径，d′为管线内直径；

所述管道纵向弹性地基梁模型的地基弹性系数满足以下公式：

式中，E_s是地基弹性模量；μ是地基泊松比；η_a为系数，满足以下条件：H/D≤0.5时，η_a＝4-5μ；H/D＞0.5时，η_a＝1+D/H，式中H为管线轴线到地面的垂直距离。

3.根据权利要求1所述的一种不均匀地层沉降引起埋地管道纵向力学响应的确定方法，其特征在于，步骤S3中，将接地段视为Winkler地基上半无限长梁，将悬空段简化为两端约束的连续梁，则所述不均匀地层沉降引起埋地管道纵向力学响应的计算模型为：

式中，w(x)为管道沉降，q₁为弹性地基梁所受竖向土柱压力，q₂为弹性地基梁自重，t为弹性地基梁悬空段长度，k表示地基弹性系数，x表示管道水平坐标。

4.根据权利要求1所述的一种不均匀地层沉降引起埋地管道纵向力学响应的确定方法，其特征在于，步骤S4中，管道截面的转角满足下式：

管道截面的沉降满足下式：

式中，Q_i、M_i分别为分段处梁截面剪力、弯矩，其中i＝1时表示左侧，i＝2时表示右侧；

表示弹性地基梁特征系数，ψ₃(αx)＝e^-αx[cos(αx)-sin(αx)]，ψ₄(αx)＝e^-αxcos(αx)；q₁为弹性地基梁所受竖向土柱压力，q₂为弹性地基梁自重，t为弹性地基梁悬空段长度，k表示地基弹性系数，s表示地基沉降区水平长度。

5.根据权利要求1所述的一种不均匀地层沉降引起埋地管道纵向力学响应的确定方法，其特征在于，步骤S5中，悬空段剪力Q′(x)、弯矩M′(x)、截面转角θ′(x)和沉降w′(x)表达式分别如下：

6.根据权利要求1所述的一种不均匀地层沉降引起埋地管道纵向力学响应的确定方法，其特征在于，步骤S6中，分段处截面弯矩和剪力表达式分别满足以下公式：

式中，Q₁表示分段处梁截面左侧的剪力，Q₂表示分段处梁截面右侧的剪力，q₁为弹性地基梁所受竖向土柱压力，q₂为弹性地基梁自重，t为弹性地基梁悬空段长度，M₁表示分段处梁截面左侧的弯矩，M₂表示分段处梁截面右侧的弯矩，EI表示弹性地基梁模型的弯曲刚度，ψ₃(αx)＝e^-αx[cos(αx)-sin(αx)]，k表示地基弹性系数。

7.根据权利要求1所述的一种不均匀地层沉降引起埋地管道纵向力学响应的确定方法，其特征在于，步骤S7中，地层累计沉降项u(x)傅里叶余弦级数展开式满足以下公式：

其中，

分段处梁截面左侧的弯矩满足以下公式：

其中，ψ₂(αx)＝e^-αxsin(αx)，

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