CN110321598A - 一种j2项摄动条件下航天器相对运动解析求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种J2摄动条件下航天器相对运动解析求解方法，能够针对地球非球形J2项引力摄动条件下的航天器编队/集群进行相对运动的空间轨道演化任务，通过构建相对运动状态转移矩阵就能实现航天器编队/集群相对轨道运动状态的解析演化。其以航天器编队/集群成员的J2摄动绝对轨道动力学方程进行绝对轨道的演化，通过对成员之间的绝对轨道差分并进行了坐标变换获得以相对轨道状态作为变量的相对运动微分方程，通过泰勒级数展开方法对微分方程进行求解获得相对运动状态转移矩阵及解析解。

Description

一种J2项摄动条件下航天器相对运动解析求解方法

技术领域

本发明属于航天器编队相对运动动力学建模技术领域，具体涉及一种J2项摄动条件下的航天器相对运动解析求解方法。

背景技术

随着航天技术的发展，现代航天任务越来越趋向于多元化、复杂化，通过多个航天器编队飞行实现单个航天器难以实现的功能和应用，是航天工程领域的重要发展趋势。航天器编队飞行实现完成特定任务的前提是保持一定的几何构型，进行构型保持控制的前提是对编队相对运动动力学进行建模。

当前，现有航天器相对运动动力学模型是多样的，各种模型经常受到航天器之间使用范围、轨道偏心率、建模扰动力的类型以及积分所需计算工作量的多种约束和限制，而只能应用于特点的问题。往往难以直接判断某个动力学模型的优劣，只有在特定的任务场景下看该模型是否适用。

最早的相对运动动力学模型由Clohessy和Wiltshire提出的用于建立空间站或在轨道组装大型卫星的过程中的“Rendezvous”阶段的C-W方程。该模型以时间为独立自变量，描述了两个航天器的相对位置和速度的变化，适用于距离较近情况下的近圆轨道相对运动。随后，针对任意椭圆轨道上的相对运动的非线性问题，Tschauner和Hempel将其线性化，推导了以真近点角为自变量的线性化模型及其状态转移矩阵。

CW方程和TH方程均是以二体问题为基础的线性化模型，并未考虑摄动力的作用，其他学者在此基础上分别尝试在动力学模型中加入大气阻力摄动、地球非球形摄动和日月三体引力摄动等。由于在摄动影响下，航天器绝对轨道元素具有缓慢时变性质，一些作者引入另一种描述航天器相对运动的状态参数，称为相对轨道根数(ROE)，它是两个航天器六个轨道根数的线性或非线性组合。Gim和Alfriend开发的模型考虑了地球扁率的J2摄动和轨道偏心率，得到了基于ROE的状态转移矩阵。饶殷睿等在此基础上，考虑地球非球形引力、大气阻力及三体引力等摄动力的影响，为相对运动模型添加了相应的摄动项。

在航天器编队飞行的轨道控制和机动中，相对轨道根数描述不够直观，仍然需要转化为实时的相对位置和速度。Kechichian推导出一组非线性微分方程，描述追踪航天器相对于目标航天器参考坐标系的动力学，考虑了大椭圆轨道偏心率以及地球J2项摄动影响，后续Threon等进一步对方程进行简化，得到数值积分结果，但相关研究成果都没有得到J2项摄动条件下的相对运动解析解。

因此，现有技术中，通过相对轨道根数作为状态进行J2摄动下的动力学解析建模对航天器编队相对运动进行轨道演化或通过相对位置和速度作为状态进行J2项摄动下相对运动进行数值积分演化，缺少以相对位置和速度作为状态的J2项摄动相对运动解析求解方法。

发明内容

针对于上述现有技术的不足，本发明的目的在于提供一种J2项摄动条件下航天器相对运动解析求解方法，能够在不过多增加计算量的情况下通过该方法获得的状态转移矩阵，就能实现J2项摄动条件下航天器编队相对运动轨道的演化。

为达到上述目的，本发明采用的技术方案如下：

本发明的一种J2项摄动条件下航天器相对运动解析求解方法，包括步骤如下：

1)分别在惯性坐标系下建立两个航天器的包含J2项摄动的绝对轨道动力学方程；

2)对上述两个航天器J2项摄动下的绝对轨道动力学方程进行差分，得到惯性系下的航天器受摄相对运动动力学方程；

3)建立惯性坐标系i到轨道坐标系l(LVLH)的坐标变换矩阵；

4)利用建立的坐标变换矩阵对惯性系下的航天器受摄相对运动动力学方程进行坐标变换，得到轨道系下的受摄相对运动动力学方程；

5)以轨道系下的相对位置和速度为状态量，将已建立的轨道系下受摄相对运动动力学方程整理成向量线性微分方程形式；

6)求解向量线性微分方程，获得状态转移矩阵。

进一步，所述步骤1)中在考虑地球非球形J2项摄动条件下建立惯性坐标系下两个航天器的轨道动力学方程如下：

其中，r_t和v_t分别为航天器1惯性系下的相对位置和速度，r_c和v_c分别为航天器2惯性系下的相对位置和速度，g(r_t)和g(r_c)分别为航天器1和2的地球引力加速度：

其中，μ是地球引力常数，R_eq是地球平均半径，n＝[0,0,1]^T是惯性系下地球自转轴方向的单位向量，和分别是r_t和r_c的单位向量，J₂＝0.00108263是地球非球形摄动系数，|| ||表示求模值运算。

进一步，所述步骤2)中得到惯性系下的航天器受摄相对运动动力学方程如下：

其中，r和v分别为惯性系下两航天器之间的相对位置和速度。

进一步，所述步骤3)中建立的惯性坐标系到轨道坐标系(LVLH)坐标变换矩阵如下：

其中，表示i系到l系的坐标变换矩阵，T表示矩阵转置运算。

进一步，所述步骤4)中建立的轨道系下的受摄相对运动动力学方程如下：

其中，上标l表示轨道坐标系l下的投影，Ω_×是航天器2的轨道角速度ω的叉乘矩阵，表示g(r)在r_c处的偏导数；

其中，I_3×3表示3×3的单位矩阵。

进一步，所述步骤5)中以轨道系下的相对位置和速度为状态量，即x(t)＝[r^l,v^l]^T，将轨道系下的受摄相对运动动力学方程整理成线性微分方程的形式如下：

其中，F(t)是***矩阵，形式如下：

进一步，所述步骤6)具体包括：依据线性***理论对公式(8)进行求解，结果如下：

x(t)＝Φ(t)x(0) (10)

其中，x(0)＝[r₀ ^l,v₀ ^l]^T是给定的初始相对位置和速度，Φ(t)是t时刻对应的状态转移矩阵，具体形式如下：

Φ(t)＝e^t·F(t) (11)。

其中，e是自然常数。

本发明的有益效果：

本发明能够针对地球非球形J2项引力摄动条件下的航天器编队/集群进行相对运动的空间轨道演化任务，通过构建相对运动状态转移矩阵就能实现航天器编队/集群相对轨道运动状态的解析演化。其以航天器编队/集群成员的J2摄动绝对轨道动力学方程进行绝对轨道的演化，通过对成员之间的绝对轨道差分并进行了坐标变换获得以相对轨道状态作为变量的相对运动微分方程，通过泰勒级数展开方法对微分方程进行求解获得相对运动状态转移矩阵及解析解。

附图说明

图1是本发明建模方法示意图；

图2a是X轴方向相对位置估计误差曲线图；

图2b是Y轴方向相对位置估计误差曲线图；

图2c是Z轴方向相对位置估计误差曲线图；

图3a是X轴方向相对速度估计误差曲线图；

图3b是Y轴方向相对速度估计误差曲线图；

图3c是Z轴方向相对速度估计误差曲线图。

具体实施方式

为了便于本领域技术人员的理解，下面结合实施例与附图对本发明作进一步的说明，实施方式提及的内容并非对本发明的限定。

本发明一种J2项摄动条件下航天器相对运动解析求解方法，针对现有技术中通过相对轨道根数作为状态进行J2摄动下的动力学解析建模对航天器编队相对运动进行轨道演化或通过相对位置和速度作为状态进行J2项摄动下相对运动进行数值积分演化，缺少以相对位置和速度作为状态的J2项摄动相对运动解析求解方法的问题。本发明的方法通过对航天器之间的绝对轨道差分并进行了坐标变换获得以相对轨道状态作为变量的相对运动微分方程，通过泰勒级数展开方法对微分方程进行求解获得相对运动状态转移矩阵及解析解，能够适用于航天器编队/集群的相对运动飞行任务的轨道解析演化。

参照图1，具体说明如下：

1、在考虑地球非球形J2项摄动条件下建立惯性坐标系下两个航天器的轨道动力学方程如下：

其中，r_t和v_t分别为航天器1惯性系下的相对位置和速度，r_c和v_c分别为航天器2惯性系下的相对位置和速度，g(r_t)和g(r_c)分别为航天器1和2的地球引力加速度。

2、对两个航天器J2项摄动下的绝对轨道动力学方程进行差分，得到惯性系下的航天器受摄相对运动动力学方程：

其中，r和v分别为惯性系下两航天器之间的相对位置和速度。

3、建立的惯性坐标系到轨道坐标系(LVLH)坐标变换矩阵如下：

其中，表示i系到l系的坐标变换矩阵，T表示矩阵转置运算。

4、建立的轨道系下的受摄相对运动动力学方程如下：

其中，上标l表示轨道坐标系l下的投影，Ω_×是航天器2的轨道角速度ω的叉乘矩阵，表示g(r)在r_c处的偏导数。

5、以轨道系下的相对位置和速度为状态量，即x(t)＝[r^l,v^l]^T，将轨道系下的受摄相对运动动力学方程整理成线性微分方程的形式如下：

其中，F(t)是***矩阵。

6、依据线性***理论对公式(5)进行求解，结果如下：

x(t)＝Φ(t)x(0) (6)

其中，x(0)＝[r₀ ^l,v₀ ^l]^T是给定的初始相对位置和速度，Φ(t)是t时刻对应的状态转移矩阵，具体形式如下：Φ(t)＝e^t·F(t)，其中e是自然常数。

本发明方法的实例：结合图2a到图3c说明本发明的实例验证，设定如下计算条件和技术参数：

1)卫星A在惯性坐标系下的初始轨道参数为：

[5023.5585km,5023.5585km,0km,-1.8109km/s,1.8109km/s,7.0411km/s]；

2)卫星B在惯性坐标系下的初始轨道参数为：

[5023.4575km,5023.6791km,0.4700km,-1.8108km/s,1.8104km/s,7.0413km/s]；

3)仿真时间27000秒；

4)状态更新周期为10秒；

基于本发明的相对运动解析方法与上述设置的计算条件和技术参数，采用Mathematics软件进行仿真验证。如图2a到图3c所示分别是两个航天器之间相对位置和速度演化误差曲线，由图中曲线可知，三轴相对位置演化误差均在1m以内，相对速度误差均在0.001m/s以内，相对轨道演化精度很高。

因此，采用本发明方法，能在笛卡尔坐标系下实现J2项摄动相对轨道运动解析建模和求解，实现航天器相对运动的精确轨道演化。

本发明具体应用途径很多，以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以作出若干改进，这些改进也应视为本发明的保护范围。

Claims (7)

1.一种J2项摄动条件下航天器相对运动解析求解方法，其特征在于，包括步骤如下：

1)分别在惯性坐标系下建立两个航天器的包含J2项摄动的绝对轨道动力学方程；

2)对上述两个航天器J2项摄动下的绝对轨道动力学方程进行差分，得到惯性系下的航天器受摄相对运动动力学方程；

3)建立惯性坐标系i到轨道坐标系l的坐标变换矩阵；

4)利用建立的坐标变换矩阵对惯性系下的航天器受摄相对运动动力学方程进行坐标变换，得到轨道系下的受摄相对运动动力学方程；

5)以轨道系下的相对位置和速度为状态量，将已建立的轨道系下受摄相对运动动力学方程整理成向量线性微分方程形式；

6)求解向量线性微分方程，获得状态转移矩阵。

2.根据权利要求1所述的J2项摄动条件下航天器相对运动解析求解方法，其特征在于，所述步骤1)中在考虑地球非球形J2项摄动条件下建立惯性坐标系下两个航天器的轨道动力学方程如下：

其中，r_t和v_t分别为航天器1惯性系下的相对位置和速度，r_c和v_c分别为航天器2惯性系下的相对位置和速度，g(r_t)和g(r_c)分别为航天器1和2的地球引力加速度：

其中，μ是地球引力常数，R_eq是地球平均半径，n＝[0,0,1]^T是惯性系下地球自转轴方向的单位向量，和分别是r_t和r_c的单位向量，J₂＝0.00108263是地球非球形摄动系数，||||表示求模值运算。

3.根据权利要求1所述的J2项摄动条件下航天器相对运动解析求解方法，其特征在于，所述步骤2)中得到惯性系下的航天器受摄相对运动动力学方程如下：

其中，r和v分别为惯性系下两航天器之间的相对位置和速度。

4.根据权利要求1所述的J2项摄动条件下航天器相对运动解析求解方法，其特征在于，所述步骤3)中建立的惯性坐标系到轨道坐标系坐标变换矩阵如下：

其中，表示i系到l系的坐标变换矩阵，T表示矩阵转置运算。

5.根据权利要求1所述的J2项摄动条件下航天器相对运动解析求解方法，其特征在于，所述步骤4)中建立的轨道系下的受摄相对运动动力学方程如下：

其中，上标l表示轨道坐标系l下的投影，Ω_×是航天器2的轨道角速度ω的叉乘矩阵，表示g(r)在r_c处的偏导数；

其中，I_3×3表示3×3的单位矩阵。

6.根据权利要求1所述的J2项摄动条件下航天器相对运动解析求解方法，其特征在于，所述步骤5)中以轨道系下的相对位置和速度为状态量，即x(t)＝[r^l,v^l]^T，将轨道系下的受摄相对运动动力学方程整理成线性微分方程的形式如下：

其中，F(t)是***矩阵，形式如下：

7.根据权利要求6所述的J2项摄动条件下航天器相对运动解析求解方法，其特征在于，所述步骤6)具体包括：依据线性***理论对公式(8)进行求解，结果如下：

x(t)＝Φ(t)x(0) (10)

其中，是给定的初始相对位置和速度，Φ(t)是t时刻对应的状态转移矩阵，具体形式如下：

Φ(t)＝e^t·F(t) (11)。

其中，e是自然常数。