CN110286595B - 一类受饱和非线性输入影响的分数阶***自适应控制方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一类受饱和非线性输入影响的分数阶***自适应控制方法，具体包括以下几个步骤：建立描述一类物理对象或过程的分数阶***数学模型，根据分数阶微积分理论进行分数阶滑模面设计；确定分数阶数学模型中未知参数的自适应更新律；根据分数阶稳定理论和饱和非线性输入特性设计受控***自适应控制器；寻找合适的Lyapunov函数验证滑模趋近阶段的有限时间到达性。本发明能够实现一类受输入非线性影响下的分数阶***自适应控制，当***出现上界未知的未建模动态和外界干扰时，在所设计控制器的作用下可以保证状态轨迹在有限时间内到达滑模面，通过滑模态作用，最终实现受控***状态轨迹收敛到零，未知参数实现自适应辨识，达到控制目的。
Description
技术领域
本发明属于分数阶***镇定控制技术领域，具体是受饱和非线性输入影响的一类具有特殊结构的分数阶***自适应控制方法。
背景技术
分数阶***由于分数阶微积分算子的独特性特别适合描述对时间有依赖性、具有记忆特性、与历史相关的物理变换过程，如，粘弹性材料的记忆特性、流变力学的粘滞特性、航天器受动静态载荷作用过程等，而实际***中具有这样性质或动态特性的对象随处可见。陀螺仪在航天器等机械设备中运用较多，对陀螺仪进行数学建模的精度直接影响所设计控制器的控制性能，直接决定机械设备的运行性能是否满足期望要求。Genesio-Tesi***和Arneodo***等被广泛应用于电路的设计中，其建模精度直接决定电路是否正常运行，采用分数阶微积分理论对以上***进行数学建模，可形成一类具有特定结构的分数阶***模型，可以显著提高***建模精度，改善控制性能。在复杂的工业***生产和控制中，输入经常会受到非线性影响，饱和非线性是常见之一，输入非线性会给***性能带来严重影响，甚至会破坏***稳定性。
发明内容
为解决上述问题，本发明公开了一类具有特殊结构的分数阶***自适应控制方法，可以有效克服饱和非线性给***带来的影响，同时考虑上界未知的未建模动态和外界干扰的作用，在所设计控制器的控制下，全部未知参数可以被顺利识别，状态轨迹最终收敛到平衡状态，填补了分数阶***受饱和非线性输入影响下稳定控制上的空白。
为达到上述目的，本发明的技术方案如下：
一类具有特殊结构的分数阶***自适应控制方法，包括以下步骤：
针对类似陀螺仪、Genesio-Tesi***和Arneodo***、微机电谐振器***，建立一类具有特殊结构的分数阶***数学模型，同时考虑饱和非线性输入、未建模动态、外界干扰影响，得到统一分数阶状态方程描述如下：
上式中α∈(0,1)，Dα表示分数阶算子，x＝[x1,x2,...,xn]T为***状态矢量，F(x)为行阵，其元素为x的非线性函数，β为***未知参数构成的列向量，f(x)为***非线性部分，Δf(x,t)和d(t)分别为***未建模动态和所受到的外界干扰，其上界未知，Sat(u(t))为饱和非线性输入，u(t)为要设计的鲁棒自适应控制器，Sat(u(t))特性方程为：
其中，uH和uh为正实数，uL和ul为负实数，θ为饱和函数线性部分的斜率。
根据特定结构的分数阶***数学模型和分数阶稳定理论，设计如下形式分数阶滑模面：
上式中，ci＞0要使得友矩阵A的所有特征值辐角满足|arg(eig A)|＞απ/2，友矩阵A的形式如下：
对式(3)求时间一阶导数，可得
当状态轨迹在规定时间内到达滑模面后，可得到滑模态方程，即
基于所设计的滑模变量和分数阶稳定理论，确定以下未知参数自适应辨识律：
***未知参数向量辨识：
未建模动态和外界干扰未知上界辨识：
η＞0为自适应增益，其值大小决定参数辨识速率。
饱和非线性函数不确定项未知上界辨识：
ρ＞0为自适应增益，其值大小决定参数辨识速率。
综合以上未知参数自适应律和饱和非线性函数特性，设计如下形式的自适应控制器
接下来为验证所提出控制方案的合理有效性，分两部分进行稳定性证明。
针对滑模态状态方程描述：
由于***矩阵A的特征值辐角满足|arg(eig A)|＞απ/2，符合分数阶线性***稳定理论，因此，式(11)所描述的滑模态***是渐近稳定的，其状态轨迹最终可收敛到平衡位置。
接下来证明被控***可以在有限时间内到达滑模面并沿着滑模面收敛到原点，为证明结论，选择如下形式的Lyapunov函数：
其中，
为参数估计误差，对V2(t)求一阶导数，
并根据未知参数自适应辨识律(7)，(8)，(9)可得
结合自适应控制器(10)，上式进一步变换为
定义
则
故V2(t)≥V21(t)，根据已有研究结果证明，存在常数σ＞0，使得
根据式(14)，可得
求解可得
因此，当初始时间t0＝0，可得***状态可以在有限时间内到达滑模面，根据式(16)可得到达时间为
以上结论证明了被控状态轨迹可以在有限时间tr内收敛到滑模面上，以滑模态方程描述的行为继续运动，直至到达原点平衡状态，通过对整个控制阶段两部分稳定性分别进行分析，从而验证所提出控制方案的有效性和可行性。
本发明的有益效果是：
(1)本发明提出的一类受饱和非线性输入影响的分数阶***自适应控制方法，可以有效克服复杂工业生产和控制中饱和非线性输入给***稳定性带来的严重影响，提高***稳定性能。
(2)本发明提出的分数阶***的自适应控制方法，可以针对一类具有特殊结构的分数阶***进行自适应控制，结合分数阶滑模面和分数阶微积分理论，提出未知参数自适应估计律，可大大提高未知参数辨识和***抗干扰效果。
(3)本发明提出的一类分数阶***的自适应控制方法，结合滑模控制技术，设计适当形式的分数阶滑模面，可以保证***状态轨迹在有限时间内到达滑模面，通过调整控制器参数可以调节到达时间tr，保证***性能满足期望要求。
附图说明
图1为本发明提出的一类分数阶***自适应控制方法的流程图。
图2为分数阶***在根平面上的稳定区域。
图3为饱和非线性输入函数的结构图。
图4为分数阶Arneodo***奇异吸引子。
图5为分数阶Arneodo***未引入控制器前的状态轨迹曲线图。
图6为激活控制器后受控分数阶Arneodo***的状态估计曲线图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施方式，进一步阐明本发明，应理解下述具体实施方式仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围。
如图1所示,一类受饱和非线性输入影响的分数阶***自适应控制方法，主要包括以下步骤：
针对实际物理对象或过程具有历史记忆性的特点，采用分数阶微积分理论进行***数学建模具有精度高的优点，特别对若干具有共同特性的***，采用一类特定结构的分数阶链式状态方程可实现***的精准描述；
利用***状态变量和分数阶***稳定理论，建立适当形式的分数阶滑模面，对滑模面求一阶导数，可求得分数阶滑模态；
根据***结构和分数阶滑模面变量，建立***未知参数的自适应更新律的数学表达式；
结合饱和非线性函数的特性和未知参数自适应辨识律，设计适当形式的自适应控制器；
针对趋近阶段和滑模阶段，采用分数阶***稳定理论和Lyapunov稳定理论分别验证其稳定性，从而证明所提出控制方案的合理性和有效性。
所述的一类受饱和非线性输入影响的分数阶***模型为
基于分数阶***稳定理论和滑模控制技术，设计适当形式的分数阶滑模面
对上式求一阶导数，得到分数阶滑模态方程为
基于***结构和分数阶滑模面变量，构建如下形式未知参数自适应辨识律
***未知参数向量辨识：
未建模动态和外界干扰未知上界辨识：
η＞0为自适应增益，其值大小决定参数辨识速率。
饱和非线性函数不确定项未知上界辨识：
ρ＞0为自适应增益，其值大小决定参数辨识速率。
根据建立的滑模面和未知参数自适应估计律，确定合适形式的自适应控制器
所述的一类分数阶***的自适应控制算法，还包括验证趋近阶段和滑模阶段的收敛性。针对滑模态(3)，由于选择的滑模参数ci满足|arg(eig A)|＞απ/2，符合图2所示的分数阶稳定区域，因此滑模态是渐近稳定的，滑模态***轨迹最终可收敛到零。
针对趋近阶段，可选择如下形式的Lyapunov函数证明其稳定性
其中，
为参数估计误差，对V2(t)求一阶导数，
并根据未知参数自适应辨识律(4)，(5)，(6)可得
结合自适应控制器(7)，上式进一步变换为
定义
则
故V2(t)≥V21(t)，根据已有研究结果证明，存在常数σ＞0，使得
根据式(10)，可得
求解可得
因此，当初始时间t0＝0，可得***状态可以在有限时间内到达滑模面，根据式(12)可得到达时间为
根据以上两阶段稳定性证明，可以判定所提出控制方案是有效可行的。
图2所示为分数阶***在根平面上的稳定区域，只要***矩阵的根落在灰色阴影稳定区域，则分数阶***就是渐近稳定的。
图3所示为本发明中所提到的饱和非线性函数的结构示意图。
图4-6所示为本发明实例所涉及的吸引子和控制器激活前后的状态轨迹时间响应，在本发明的实施例中，选择分数阶Arneodo***为被控对象，其中，F(x)＝[x1,x2,x3]，β＝[-5.5,-3.5,-1]T，
未建模动态Δf(x,t)＝0.025cos(2πx3)，外界干扰d(t)＝-0.01sin(3t)，分数阶阶次α＝0.97，滑模面系数设定为c1＝c2＝c3＝60，未知参数估计值的初始值为
饱和非线性函数为
状态轨迹时间响应曲线显示本发明提出的控制方案可以有效实现一类受饱和非线性输入影响的分数阶***自适应镇定控制。
本发明方案所公开的技术手段不仅限于上述实施方式所公开的技术手段，还包括由以上技术特征任意组合所组成的技术方案。
Claims (1)
1.一类受饱和非线性输入影响的分数阶***自适应控制方法，其特征在于，包含以下几个步骤：
①根据一类物理对象或过程建立分数阶***数学模型；
所述的一类物理对象或过程，是陀螺仪***、Genesio-Tesi***、Arneodo***、微机电谐振器***，采用分数阶微分方程链式结构数学模型进行统一描述，对于这一类***考虑饱和非线性输入影响，则受控***数学描述具体如下：
上式(1)中α∈(0,1)，Dα表示分数阶微积分算子，x＝[x1,x2,...,xn]T为***状态矢量，F(x)为行阵，其元素为x的非线性函数，β为***未知参数构成的列向量，f(x,t)为***非线性部分，Δf(x,t)和d(t)分别为***未建模动态和所受到的外界干扰，其上界未知，Sat(u(t))为饱和非线性输入，u(t)为要设计的鲁棒自适应控制器，Sat(u(t))特性方程为
其中，uH和uh为正实数，uL和ul为负实数，θ为饱和函数线性段斜率；
②根据分数阶微积分理论进行分数阶滑模面设计；
设计分数阶滑模面
其中，ci的选择要满足一定的条件，即ci＞0且使得友矩阵A的特征值辐角满足|arg(eigA)|＞απ/2，友矩阵A具有如下形式
到达滑模面后，有：
si(t)＝0，对分数阶滑模面求一阶导数可得
基于上式(5)可得滑模态方程为
即
③确定分数阶数学模型中未知参数的自适应更新律；
所述步骤③中未知参数自适应更新律设计，其特征包含以下几个方面
***未知参数向量自适应辨识律为：
步骤①的受控***(1)中未建模动态和外界扰动项上界未知|Δf(x)+d(t)|≤γ，其自适应辨识律为：
η＞0为自适应增益，其值大小决定参数辨识速率；
饱和函数Sat(u(t))＝u(t)+Δu(t)，其中Δu(t)有界且上界未知|Δu(t)|≤μ，其自适应更新律为：
ρ＞0为自适应增益，其值大小决定参数辨识速率；
④根据分数阶稳定理论和饱和非线性输入特性设计受控***自适应控制器；
所述步骤④，确定***自适应控制器u(t)：
⑤验证***稳定性和滑模趋近阶段的有限时间到达性
所述步骤⑤，验证受控***的稳定性和滑模趋近阶段有限时间到达性；
根据所设计的滑模面，当***状态轨迹到达滑模面后，***的行为由滑模态确定，滑模态方程由(7)所示，因为所设计的滑模面参数ci保证友矩阵A的特征值辐角满足|arg(eigA)|＞απ/2，根据分数阶线性***稳定理论易知，所涉及的分数阶滑模面(3)是切实可行的，滑模态(7)是渐近稳定的；
接下来，选择合适的Lyapunov函数验证滑模趋近阶段的有限时间达到性，选择Lyapunov函数如下所示：
其中，
为Δu(t)未知上界估计误差，对V2(t)求一阶导数，并根据未知参数自适应辨识律(8)，(9)，(10)可得
结合自适应控制器(11)，上式进一步变换为
定义
则
故V2(t)≥V21(t)，根据已有研究结果证明，存在常数σ＞0，使得
根据式(14)，可得
求解可得
因此，当初始时间t0＝0，可得***状态在有限时间内到达滑模面，根据式(16)可得到达时间为
因此，综合上述分析，滑模趋近阶段和滑模态都是稳定的，故所提出的控制方案是合理有效的，在所设计控制器的作用下，状态轨迹收敛到零，全部未知参数都能顺利被识别。
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