CN110133844B - 具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法 - Google Patents

具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法，包括以具有色散器件的自由曲面光学***的狭缝为物，构建一非色散球面光学***；在所述非色散球面光学***中的一个非色散球面上放置一色散器件，进而得到一色散球面光学***；将色散球面光学***构建为一色散自由曲面光学***；以及将特征光线与所述色散自由曲面光学***中自由曲面的的交点定义为该自由曲面上的特征数据点，采用迭代算法，保持色散自由曲面光学***中的每个自由曲面上的特征数据点的坐标不变，按照物像关系重新计算特征数据点的法向，然后用自由曲面上特征数据点的坐标和重新计算得到的法向拟合得到新的自由曲面，进而得到最终的具有色散器件的自由曲面光学***。

Description

具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法
技术领域
本发明涉及光学设计领域，尤其涉及一种具有色散器件的光学***的设计方法。
背景技术
光谱技术在生物医学、化学分析、地球遥感探测、宇宙探索等领域有着重要应用，其中的关键仪器是具有色散器件的光学***。具有色散器件的光学***具有更大的视场、更宽的光谱范围、更高的分辨率，能够推动相关应用领域学科的发展，是人们长期以来所不懈追求的目标。
自由曲面是指无法用球面或非球面系数来表示的非传统曲面，自由曲面是不具有对称性的复杂面形的光学曲面。自由曲面光学涵括了具有至少一个自由曲面的光学***的设计。近十几年来，自由曲面光学的快速发展不但为光学***的性能带来了全方位的提升，而且还实现了许多以往难以设计、或者从来没有过的光学***，为光学设计领域带来了革命性的突破。
然而，现有的具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法，一般是根据像差理论计算***的初始解，或者对已有的***进行多参数优化；自由曲面因为具有极高的自由度，加上已有的初始***匮乏，而且带有色散器件的光学***在设计时需要考虑不同波长的光，导致现有的具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法非常困难。
发明内容
综上所述，确有必要提供一种具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法，该设计方法采用直接设计方法可以简单、快速、高效地设计出具有色散器件的自由曲面光学***。
一种具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法，其包括以下步骤：
步骤S1，以具有色散器件的自由曲面光学***的狭缝为物，构建一个非色散球面光学***；
步骤S2，在所述非色散球面光学***中的一个非色散球面上放置一色散器件，进而得到一色散球面光学***；
步骤S3，将步骤S2中的色散球面光学***构建为一色散自由曲面光学***；以及
步骤S4，将特征光线与所述色散自由曲面光学***中自由曲面的的交点定义为该自由曲面上的特征数据点，采用迭代算法，保持步骤S3中色散自由曲面光学***中的每个自由曲面上的特征数据点的坐标不变，按照物像关系重新计算特征数据点的法向，然后用步骤S3中自由曲面上特征数据点的坐标和重新计算得到的法向拟合得到新的自由曲面，进而得到最终的具有色散器件的自由曲面光学***。
相较于现有技术，本发明提供的具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法采用直接设计方法，能够简单、快速、高效地设计具有色散器件的自由曲面光学***，而且采用该方法设计的具有色散器件的自由曲面光学***能够解决“视场-孔径-波长”问题。
附图说明
图1为本发明实施例提供的具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法的流程图。
图2为本发明实施例提供的构建非色散球面光学***的过程图。
图3为本发明提供的色散球面光学***中次镜放置光栅的示意图。
图4为本发明实施例提供的求解自由曲面II上的特征数据点P1的法向的示意图。
图5为本发明实施例提供的所述具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法的流程图。
具体实施方式
下面根据说明书附图并结合具体实施例对本发明的技术方案进一步详细表述。
请参阅图1，本发明提供一种具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法，包括以下步骤：
步骤一，以具有色散器件的自由曲面光学***的狭缝为物，构建一个非色散球面光学***。
步骤一具体包括以下分步骤：
S11：建立一初始***并选取特征光线，该初始***包括多个初始曲面，且该初始***中的各个初始曲面与待设计的具有色散器件的自由曲面光学***中的各个自由曲面一一对应，该初始***的数值孔径为NA1；
S12：假设所述非色散球面光学***的数值孔径为NA，NA1＜NA，在NA1到NA之间等间隔取n个值NA2，NA3，…，NAn，间隔为ΔNA；
S13：将非色散球面光学***中的一个非色散球面定义为非色散球面a，计算非色散球面a的球面半径；
S14：将非色散球面光学***中的另一个非色散球面定义为非色散球面b，保持所述非色散球面a以及非色散球面a对应的初始曲面之外的其它初始曲面不变，将数值孔径增大ΔNA变为NA2，增加特征光线的数量，计算该非色散球面b的球面半径；以此类推，直到获得非色散球面光学***中所有非色散球面的球面半径；以及
S15：重复步骤S13和S14，循环计算非色散球面光学***中每一个非色散球面的球面半径，直到非色散球面光学***的数值孔径增加到NA。
步骤S11中，所述多个初始曲面可以为平面、球面等。所述多个初始曲面的具***置根据待设计的的具有色散器件的光学***的实际需要进行选择。所述初始***中初始曲面的数量根据实际需要进行设计。本实施例中，所述初始***为一初始平面三反***，该初始平面三反***包括三个初始平面。
步骤S12中，优选的，所述NA1＜0.01NA。n的取值大于非色散球面光学***中非色散球面的个数。步骤S13中，选取特征光线的方法包括将视场的孔径分成N等份，并从每一等份中选取不同孔径位置的P条特征光线，这样一共选取了K＝M×N×P条对应不同视场不同孔径位置的特征光线。所述孔径可以为圆形、长方形、正方形、椭圆形或其他规则或不规则的形状。优选的，所述视场孔径为圆形孔径，将每个视场的圆形孔径等分成N个角度，间隔为
Figure BDA0001576374300000031
因此有
Figure BDA0001576374300000032
沿着每个角度的半径方向取P个不同的孔径位置，那么一共取K＝M×N×P条对应不同视场不同孔径位置的特征光线。
将特征光线与非色散球面的交点定义为该非色散球面上的特征数据点，每个特征数据点包括坐标和法向两个信息。当非色散球面光学***理想成像时，每条特征光线在经过整个非色散球面光学***后最终与像面相交于理想像点处，理想像点的坐标由非色散球面光学***的物像关系(焦距或放大率)确定。
所述计算非色散球面a的球面半径包括以下步骤：根据物像关系及斯涅尔定律逐点求解所述特征光线与非色散球面a上的多个交点，进而得到非色散球面a上的多个特征数据点；以及将该非色散球面a上的多个特征数据点进行曲面拟合，得到所述非色散球面a的方程式。
为了得到非色散球面a上的所有特征数据点Pi(i＝1，2…K)，将借助特征光线Ri(i＝1，2…K)与非色散球面a的前一个曲面及后一个曲面的交点。在求解每条特征光线Ri(i＝1，2…K)对应的非色散球面a上的特征数据点Pi(i＝1，2…K)时，将该特征光线Ri与前一个曲面的交点定义为该特征光线的起点Si，特征光线Ri与后一个曲面的交点定义为该特征光线的终点Ei。当待设计的***与特征光线确定后，该特征光线Ri的起点Si是确定的，且易于通过光线追迹即物像关系得到，特征光线的终点Ei可通过物像关系求解。在理想状态下，特征光线Ri从Si射出后，经过Pi，交于Ei，并最终交目标面于其理想目标点Ti，ideal。
所述非色散球面a上特征数据点Pi(i＝1，2…K)可以通过以下计算方法获得。
步骤a，取一第一条特征光线R1与所述非色散球面a对应的初始曲面的第一交点为特征数据点P1；
步骤b，在得到第i(1≤i≤K-1)个特征数据点Pi后，根据斯涅尔定律的矢量形式求解第i个特征数据点Pi处的单位法向量
Figure BDA0001576374300000041
进而求得Pi处的单位切向量
Figure BDA0001576374300000042
步骤c，仅过所述第i(1≤i≤K-1)个特征数据点Pi做一第一切平面并与其余K-i条特征光线相交，得到K-i个第二交点，从该K-i个第二交点中选取出与所述第i个特征数据点Pi距离最短的第二交点Qi+1，并将其对应的特征光线及与所述第i个特征数据点Pi的最短距离分别定义为Ri+1和D；
步骤d，过特征数据点Pi(1≤i≤K-1)之前已求得的i-1个第一特征数据点分别做一第二切平面，得到i-1个第二切平面，该i-1个第二切平面与所述特征光线Ri+1相交得到i-1个第三交点，在每一第二切平面上每一第三交点与其所对应的特征数据点Pi形成一交点对，在所述交点对中，选出交点对中距离最短的一对，并将距离最短的交点对的第三交点和最短距离分别定义为Q(i+1)′和Di＇；
步骤e，比较Di与Di′，如果Di≤Di′，则把Qi+1取为下一个特征数据点Pi+1，反之，则把Q(i+1)′取为下一个特征数据点Pi+1；以及
步骤f，重复步骤b到e，直到计算得到非色散球面a上的所有特征数据点Pi(i＝1，2…K)。
步骤b中，每个特征数据点Pi处的单位法向量
Figure BDA0001576374300000051
可以根据斯涅尔(Snell)定律的矢量形式求解。当待求的自由曲面Ω为折射面时，则每个特征数据点Pi(i＝1，2…K)处的单位法向量
Figure BDA0001576374300000052
满足：
Figure BDA0001576374300000053
其中，
Figure BDA0001576374300000054
分别是沿着特征光线入射与出射方向的单位矢量，n，n′分别为非色散球面a前后两种介质的折射率。
类似的，当非色散球面a为反射面时，则每个特征数据点Pi(i＝1，2…K)处的单位法向量
Figure BDA0001576374300000055
满足：
Figure BDA0001576374300000061
由于，所述特征数据点Pi(i＝1，2…K)处的单位法向量
Figure BDA0001576374300000062
与所述特征数据点Pi(i＝1，2…K)处的切平面垂直。故，可以得到特征数据点Pi(i＝1，2…K)处的切平面。
所述将该非色散球面a上的多个特征数据点进行曲面拟合，得到所述非色散球面a的方程式采用最小二乘法来进行拟合。
所述特征数据点的坐标为(xi，yi，zi)，对应的法向量为(ui，vi，-1)。设非色散球面a的球心为(A，B，C)，球面半径为r，非色散球面a的方程为：
(xi-A)2+(yi-B)2+(zi-C)2＝r2 (1)。
将球面的方程(1)分别对x和y进行求导得到x轴和y轴方向的法向矢量ui和vi表达式。
Figure BDA0001576374300000063
Figure BDA0001576374300000064
将式(1)、(2)、(3)改写成矩阵的形式，并进行矩阵的行列变换，分别对应得到通过坐标值和法向值求解圆心坐标的表达式(4)、(5)、(6)。
Figure BDA0001576374300000065
Figure BDA0001576374300000066
Figure BDA0001576374300000071
球面上光线的偏折方向与其法向量(u，v，-1)密切相关，因此，在拟合过程中应该同时考虑特征数据点坐标误差和法向误差的影响。根据以上分析，将坐标计算和法向计算进行线性加权来求解球心(A，B，C)和半径r。
式(4)+ω×式(5)+ω×式(6) (7)，
式(1)+ω×式(2)+ω×式(3) (8)，
其中，ω为法向计算的权重值。通过公式(7)可以求得非色散球面a的球心(A，B，C)的值，通过公式(8)可以求得非色散球面a的球面半径r的值。
得到所述非色散球面a后，可进一步改变该非色散球面a的半径得到非色散球面a′，进而改变该非色散球面a的光焦度，优选的，ra’＝Ga×ra，εa＝0.5～1.5，ra为非色散球面a的半径，ra’为非色散球面a′的半径。以此类推，所述非色散球面光学***中的每个非色散球面求解之后，均改变该非色散球面的半径得到一个新的非色散球面，进而改变该非色散球面的光焦度。
步骤S14中非色散球面b上多个特征数据点的求解方法与步骤S13中非色散球面a上多个特征数据点的求解方法相同，将非色散球面b上多个特征数据点进行曲面拟合的方法与步骤S13中将非色散球面a上多个特征数据点进行曲面拟合的方法也相同。
请参阅图2，本实施例中，首先，在数值孔径为NA1，按照所述步骤S13中的计算方法得到三镜的球面半径；保持主镜初始平面与三镜的球面半径不变，将数值孔径增大ΔNA变为NA2，按照所述步骤S13中的计算方法计算得到主镜的球面半径，保持三镜的球面半径与主镜的球面半径不变，按照所述步骤S13中的计算方法计算得到次镜的球面半径；重复上述步骤，在每一步中，按照三镜-主镜-次镜的顺序循环计算其中一个镜面的球面半径，同时非色散球面光学***的数值孔径以ΔNA为间距逐渐增大为NA4，NA5，...直到达到NA。
步骤二，在所述非色散球面光学***的一个非色散球面上放置一色散器件，进而构建一色散球面光学***，该色散球面光学***中的色散球面与所述非色散球面光学***中的球面的形状相同。
请参阅图3，本实施例中，所述色散器件为一光栅，该光栅设置于所述次镜表面上且由光学表面与一系列平行平面的相交面定义。计算该光栅的栅距，即可得到初步满足色散要求的色散球面光学***。以光栅面上的一个点为起点，G为光栅面的法向量，N为光学表面的法向量，d是相邻的光栅面之间的距离(栅距)。本实施例中，仅考虑G和d。
栅距d由光谱的规格和非色散球面光学***的形状决定。将次镜与像面之间的焦距定义为f，中心视场的主光线在次镜上的入射角定义为θi，f和θi可以通过光线追迹得到。光谱像高hspec可以通过公式hspec＝f′·tanθw以及hspec＝2p·(λ1-λ2)/rw得到，其中，θw是光谱带宽角，rw是光谱分辨率，p是像素间距，λ1和λ2分别是光谱内的最大波长和最小波长。由此可以得到公式：
tanθw＝2p·(λ1-λ2)/(rw·f′). (9)。
对于中心视场的主光线，λ1和λ2满足公式mλ1＝d(sinθi-sinθ1)和mλ2＝d(sinθi-sinθ2)，其中，θ1和θ2分别是在λ1和λ2处的衍射角，m是衍射级数。公式9中θw＝|θ1-θ2|，将θ1和θ2的值代入即可得到栅距d。
本实施例中，通过计算光栅的栅距，可以得到初步满足色散要求的成像光谱仪球面***。
步骤三，将步骤二中的色散球面光学***构建为一色散自由曲面光学***。
所述色散自由曲面光学***中每个自由曲面上的特征数据点的计算方法与步骤二中所述非色散球面a上的特征数据点的计算方法基本相同。
特征光线经过色散器件发生色散后，各波长的特征光线最终应该与像面相交于理想像点处，因此其传播路径不仅需要满足费马原理，而且还要满足色散器件的衍射规律。
将自由曲面光学***中放置所述色散器件的自由曲面定义为自由曲面I，与自由曲面I相邻的前一个自由曲面定义为自由曲面II，与自由曲面I相邻的后一个自由曲面定义为自由曲面III。在逐个计算自由曲面II上特征数据点的坐标和法向的过程中，需要求解出自由曲面II上的特征数据点的特征光线的传播方向，进而求解自由曲面II上的特征数据点的法向。
请参阅图4，设自由曲面II上的特征数据点P1的坐标为(x1，y1，z1)，下面计算该特征数据点P1的法向
Figure BDA0001576374300000091
因而需要求解出离开P1点的特征光线的传播方向。设P1所对应的特征光线和次镜的交点为P2(x1，y1，z1)。经过光栅后特征光线发生了色散，考虑N个不同波长λ1，λ2，…，λw，…，λN的光线，设该N个不同波长λ1，λ2，…，λw，…，λN的光线和自由曲面III的交点分别为P3w(x3w，y3w，z3w)，在像面上的理想像点为Tw(xtw，ytw，ztw)，其中w＝1，2，…，N。
设介质折射率为1，则从P1到Tw，w＝1，2，...，N各波长光线的光程函数之和为：
Figure BDA0001576374300000092
其中L1、L2w和L3w分别表示P1P2之间、P2P3w之间和P3wTw之间的光程，即
Figure BDA0001576374300000093
我们根据一般化的光栅的光线追迹方程和费马原理，给出在带有光栅的光路中，满足衍射光栅色散规律的多波长特征光线的光路追迹公式：
Figure BDA0001576374300000101
其中gx和gy是生成光栅的切截面法向
Figure BDA0001576374300000102
的x分量和y分量，m是光栅的衍射级次，L由式子(10)和式子(11)给出。求解式子(12)即可得出特征光线和自由曲面I的交点坐标(x2，y2，z2)，从而得到P1点出射光线的方向向量，进而可以计算出该点的法向
Figure BDA0001576374300000103
本实施例中，所述自由曲面I为次镜，自由曲面II为主镜，自由曲面III为三镜。
对于其它色散器件如棱镜、衍射光学器件等，只要给出其一般化的光线追迹方程，就能得到相应的类似于式子(12)的多波长特征光线的光路追迹公式，从而可以用本方法计算相应的光学***。
所述自由曲面I上特征数据点的计算方法中第i个特征数据点Pi处的单位法向量
Figure BDA0001576374300000104
有多个，因为特征数据点的法向决定了发生色散后多个波长的特征光线的出射方向，所以需要计算一个最佳法向量，能够同时使得各个波长的特征光线最终分别射向其理想像点。
可以采用优化算法求解所述最佳法向量，该优化方法包括以下步骤：
设已经求得了自由曲面I上的特征数据点P2的坐标，计算该特征数据点P2的法向
Figure BDA0001576374300000105
考虑波长为λw的光线(w＝1，2，...，N)，它们最终应该传播到理想像点Tw处，通过费马原理可以分别单独地计算出从色散器件到与每个波长的光线传播方向的矢量
Figure BDA0001576374300000111
根据衍射公式[U.W.Ludwig]，法向
Figure BDA0001576374300000112
应该满足
Figure BDA0001576374300000113
设
Figure BDA0001576374300000114
和坐标系g的x轴、y轴夹角分别为α、β，则
Figure BDA0001576374300000115
将
Figure BDA0001576374300000116
代入到式子(13)中并取平方和，得到关于α，β评价函数Γ为
Figure BDA0001576374300000117
当光学***完美成像时应该满足Γ＝0，用优化方法求解使Γ最小化时α，β的值，即求得了最佳法向
Figure BDA0001576374300000118
的方向矢量，从而完成了当前特征数据点的坐标和法向的计算。
将色散自由曲面光学***中的每个自由曲面上的特征数据点进行曲面拟合得到自由曲面，进而得到所述色散自由曲面光学***。
步骤四，采用一种迭代算法，保持步骤三中色散自由曲面***中的每个自由曲面上特征数据点的坐标不变，只是按照物像关系重新计算特征数据点的法向，然后用步骤三中自由曲面上特征数据点的坐标和重新计算得到的法向拟合得到新的自由曲面，进而得到最终的具有色散器件的自由曲面光学***。
使用具有色散器件的自由曲面光学***中各视场、各孔径、各波长的特征光线与像面的实际交点和理想像点之间位置坐标的RMS(均方根)偏差σRMS来衡量迭代的效果。
Figure BDA0001576374300000121
其中N是考虑的波长的总数，M是每个波长的不同视场不同孔径的特征光线的数量，σwk是第w个波长第k根光线和像面的交点与它所对应的理想像点之间的距离。
迭代可以一直进行直到σRMS达到要求或收敛于某一个值。迭代输出的***通常已经满足设计要求，也具有较好的像质。
所述具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法可进一步包括对步骤四中得到的具有色散器件的自由曲面光学***进行优化的步骤。具体地，将步骤四中得到的具有色散器件的自由曲面光学***作为后续优化的初始***。可以理解，该对步骤四中得到的具有色散器件的自由曲面光学***进行优化的步骤并不是必须的，可以根据实际需要设计。
所述具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法中待求的自由曲面的求解顺序不限，可以根据实际需要进行调换。
请参阅图5，为所述具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法的设计流程。
本发明提供的具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法从非色散***拓展到了带有色散器件的自由曲面光学***，可以快速、高效地设计成像光谱仪或是带有其它色散器件(如DOE，棱镜等)的自由曲面光学***。作为一种光学***的直接设计方法，可以发挥逐点法一直以来的优势，能够快速、高效地设计新结构、高性能的光学***，为像差分析、***设计等其他应用提供良好的结构。而且，采用该方法设计的具有色散器件的自由曲面光学***能够解决“视场-孔径-波长”问题，采用该方法设计的具有色散器件的自由曲面光学***使所有视场、所有孔径与所有波长的光线都能够满足各自的物像关系。
另外，本领域技术人员还可在本发明精神内作其它变化，当然这些依据本发明精神所作的变化，都应包含在本发明所要求保护的范围内。

Claims (10)

1.一种具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法，其包括以下步骤：
步骤S1，以具有色散器件的自由曲面光学***的狭缝为物，构建一个非色散球面光学***；
步骤S2，在所述非色散球面光学***中的一个非色散球面上放置一色散器件，进而得到一色散球面光学***；
步骤S3，将步骤S2中的色散球面光学***构建为一色散自由曲面光学***；以及
步骤S4，将特征光线与所述色散自由曲面光学***中自由曲面的的交点定义为该自由曲面上的特征数据点，采用迭代算法，保持步骤S3中色散自由曲面光学***中的每个自由曲面上的特征数据点的坐标不变，按照物像关系重新计算特征数据点的法向，然后用步骤S3中自由曲面上特征数据点的坐标和重新计算得到的法向拟合得到新的自由曲面，进而得到最终的具有色散器件的自由曲面光学***。
2.如权利要求1所述的具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法，其特征在于，步骤S1中所述构建一个非色散球面光学***包括以下步骤：
S11：建立一初始***并选取特征光线，该初始***包括多个初始曲面，且该初始***中的各个初始曲面与待设计的具有色散器件的自由曲面光学***中的各个自由曲面一一对应，该初始***的数值孔径为NA1；
S12：假设所述非色散球面光学***的数值孔径为NA，NA1＜NA，在NA1到NA之间等间隔取n个值NA2，NA3，…，NAn，间隔为ΔNA；
S13：将非色散球面光学***中的一个非色散球面定义为非色散球面a，计算非色散球面a的球面半径；
S14：将非色散球面光学***中的另一个非色散球面定义为非色散球面b，保持所述非色散球面a以及非色散球面a对应的初始曲面之外的其它初始曲面不变，将数值孔径增大ΔNA变为NA2，增加特征光线的数量，计算该非色散球面b的球面半径；以此类推，直到获得非色散球面光学***中所有非色散球面的球面半径；以及
S15：重复步骤S13和S14，循环计算非色散球面光学***中每一个非色散球面的球面半径，直到非色散球面光学***的数值孔径增加到NA。
3.如权利要求2所述的具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法，其特征在于，步骤S12中，所述NA1＜0.01NA。
4.如权利要求2所述的具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法，其特征在于，将特征光线与非色散球面的交点定义为该非色散球面的特征数据点，所述计算非色散球面a的球面半径包括以下步骤：根据物像关系及斯涅尔定律逐点求解所述特征光线与非色散球面a上的多个交点，进而得到非色散球面a上的多个特征数据点；以及将该非色散球面a上的多个特征数据点进行曲面拟合，得到所述非色散球面a的方程式。
5.如权利要求4所述的具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法，其特征在于，所述将该非色散球面a上的多个特征数据点进行曲面拟合包括以下步骤：
所述特征数据点的坐标为(xi，yi，zi)，对应的法向量为(ui，vi，-1)，设球心为(A，B，C)，半径为r，球面的方程为：
(xi-A)2+(yi-B)2+(zi-C)2＝r2 (1)；
将球面的方程(1)分别对x和y进行求导得到x轴和y轴方向的法向矢量ui表达式(2)和vi表达式(3)：
Figure FDA0001576374290000021
Figure FDA0001576374290000023
将式(1)、式(2)、式(3)均改写成矩阵的形式，并进行矩阵的行列变换，分别对应得到通过坐标值，x轴方向法向值以及y轴方向法向值求解圆心坐标的表达式(4)、(5)、(6)：
Figure FDA0001576374290000022
Figure FDA0001576374290000031
Figure FDA0001576374290000032
以及
所述球心(A，B，C)的值以及球面半径r的值分别通过式(7)和式(8)得到，
式(4)+ω×式(5)+ω×式(6) (7)，
式(1)+ω×式(2)+ω×式(3) (8)，
其中，ω为法向计算的权重值。
6.如权利要求2所述的具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法，其特征在于，得到所述非色散球面a后，可进一步改变该非色散球面a的半径得到非色散球面a′，进而改变该非色散球面a的光焦度，ra’＝εa×ra，εa＝0.5～1.5，ra为非色散球面a的半径，ra’为非色散球面a′的半径。
7.如权利要求1所述的具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法，其特征在于，步骤S2中，所述色散器件为光栅，通过计算该光栅的栅距，可以得到所述色散球面光学***。
8.如权利要求1所述的具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法，其特征在于，所述色散器件为光栅，将所述色散自由曲面光学***中放置所述光栅的自由曲面定义为自由曲面I，与自由曲面I相邻的前一个自由曲面定义为自由曲面II；与自由曲面I相邻的后一个自由曲面定义为自由曲面III，在逐个计算自由曲面II上特征数据点的坐标和法向的过程中，求解自由曲面II上的特征数据点的法向包括以下步骤：
设自由曲面II上的特征数据点P1的坐标为(x1，y1，z1)，设P1所对应的特征光线和自由曲面I的交点为P2(x1，y1，z1)，经过光栅后特征光线发生了色散，得到N个不同波长λ1，λ2，…，λw，…，λN的光线，设该N个不同波长λ1，λ2，…，λw，…，λN的光线和自由曲面III的交点分别为P3w(x3w，y3w，z3w)，在像面的理想像点为Tw(xtw，ytw，ztw)，其中w＝1，2，…，N；
设介质折射率为1，则从P1到Tw，w＝1，2，...，N各波长光线的光程函数之和为：
Figure FDA0001576374290000041
其中，L1、L2w和L3w分别表示P1P2之间、P2P3w之间和P3wTw之间的光程，
Figure FDA0001576374290000042
根据光栅的光线追迹方程和费马原理，得到满足衍射光栅色散规律的多波长特征光线的光路追迹公式：
Figure FDA0001576374290000043
其中，gx和gy是生成光栅的切截面法向
Figure FDA0001576374290000044
的x分量和y分量，m是光栅的衍射级次，L由式子(9)和式子(10)给出，求解式子(11)得出特征光线和自由曲面I的交点坐标(x2，y2，z2)，从而得到P1点出射光线的方向向量，进而计算出该特征数据点P1的法向
Figure FDA0001576374290000045
9.如权利要求1所述的具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法，其特征在于，将所述色散自由曲面光学***中放置所述色散器件的自由曲面定义为自由曲面I，在计算所述自由曲面I时，所述自由曲面I上特征数据点Pi处的单位法向量
Figure FDA0001576374290000051
有多个，需要计算一个最佳法向量。
10.如权利要求9所述的具有色散器件的自由曲面光学***的设计方法，其特征在于，采用优化算法求解所述最佳法向量，该优化方法包括以下步骤：
设已经求得自由曲面I上的特征数据点P2的坐标；
通过费马原理分别单独地计算出从色散器件到与每个波长的光线传播方向的矢量
Figure FDA0001576374290000052
根据衍射公式，法向
Figure FDA0001576374290000053
满足
Figure FDA0001576374290000054
设
Figure FDA0001576374290000055
和坐标系
Figure FDA0001576374290000056
的x轴、y轴夹角分别为α、β，则
Figure FDA0001576374290000057
将
Figure FDA0001576374290000058
代入到(12)中并取平方和，得到关于α，β评价函数Γ为
Figure FDA0001576374290000059
用优化方法求解使Γ最小化时α，β的值，即求得了最佳法向
Figure FDA00015763742900000510
的方向矢量。
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