CN109991852B - 具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电***控制方法 - Google Patents

具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电***控制方法 Download PDF

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CN109991852B CN201910316228.4A CN201910316228A CN109991852B CN 109991852 B CN109991852 B CN 109991852B CN 201910316228 A CN201910316228 A CN 201910316228A CN 109991852 B CN109991852 B CN 109991852B
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Abstract

本发明公开了一种具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电***控制方法，在考虑输入磁滞特性的情况下，建立该机电***的数学模型，考虑***不可测量变量、时变时滞项、不确定性、输出约束等，揭示该机电***的混沌振荡现象，通过Lyapunov‑Krasovskii函数构建补偿***状态中的时变时延，在backstepping的框架内提出了一种融合扩展状态观测器、切比雪夫神经网络、正切障碍函数和跟踪微分器的自适应稳定控制方案。本发明具有以下效果：加快求解速度，提高***瞬态和稳态性能，放宽物理传感器的限制，减少计算工作量，简化控制器设计，取消对基函数中心和宽度的要求，降低对精确模型的依赖，提高传统一阶低通滤波器的精度，克服微分项的***问题，保证输出约束条件不被违反。

Description

具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电***控制方法
技术领域
本发明涉及分数阶静电驱动微机电***，具体涉及一种具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电***控制方法。
背景技术
目前，静电驱动微机电***得到了快速发展。由于在滤波、阀门、电动微执行机构和探针显微镜等领域有着广阔的应用前景，研究静电驱动微机电***变得非常有意义，同时一些研究者也做了一些有益的探索。随着对***性能的要求越来越严格，其可持续发展面临着挑战。混沌振荡、输入磁滞、时滞、模型不确定性、不可测状态和输出约束等不利影响已成为一个棘手的问题，可能导致静电驱动微机电***性能的崩溃。
关于静电驱动微机电***的非线性动力学分析，已有大量文献报道。Batra等考虑vonKármán非线性和卡西米尔力，建立数学模型，进一步研究了预应力夹持椭圆静电驱动微板的振动和拉入失稳问题。Younis等分析了夹持式拱膜在直流静电力和交流谐波作用下的非线性动力学特性。Ouakad讨论了通过平面外静电边缘场电驱动的双夹持微梁的静态行为。但这些研究仅仅集中在整数阶静电驱动微机电***上，没有考虑电介质的分数阶行为。同时，静电驱动微机电***的混沌控制也存在一些零星的报道。Polo和Manuel推导了框架式悬挂陀螺仪的数学模型，提出了一种具有约束积分作用的PID控制器构成的反馈控制***。为了控制机电换能器的混沌和共振行为，Balthazar等提出了一种利用傅立叶级数的反馈控制方案。Song和Sun研究了快速终端滑模控制(FTSMC)问题，抑制具有***不确定性和外部干扰的静电驱动微机电***的混沌运动。这些工作集中在精确模型的整数阶静电驱动微机电***的稳定控制上，没有考虑***面临的恶劣条件影响。
由于物理传感器的限制，一些状态变量是不可测量的。作为一种有效的工具，扩展状态观测器被用来在有限时间内估计不可测量的状态变量信号。物理故障、安全要求和传感器饱和等导致的状态约束的存在是不可避免的。在不采取措施的情况下输出约束问题可以破坏***的稳定性。运动过程中存在的磁滞特性会影响***性能，限制控制精度的提高。然而，以往研究集中在一类整数阶非线性***上，忽略了***的分数阶行为和非线性动力学。对于无匹配条件的分数阶非线性***，自适应backstepping是一个很好的选择。然而，它因重复微分导致的项***问题被受到广泛诟病。针对这一问题，一种基于低阶滤波器的动态面控制方案被提出，以抑制整数阶***中导数函数项的激增。但是一阶滤波器的精度很差，因为它只有一个调节参数。
发明内容
本发明的目的在于，提供一种具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电***控制方法。在考虑输入磁滞特性的情况下，建立分数阶静电驱动微机电***的数学模型，考虑***不可测量变量、时变时滞项、不确定性、输出约束等，揭示分数阶静电驱动微机电***的混沌振荡现象，通过Lyapunov-Krasovskii函数构建补偿***状态中的时变时延，在backstepping的框架内提出了一种融合扩展状态观测器、切比雪夫神经网络、正切障碍函数和跟踪微分器的自适应稳定控制方案，加快了控制算法求解速度，提高闭环非线性***的瞬态和稳态等性能，扩展状态观测器放宽了对物理传感器的限制，具有单权重的切比雪夫神经网络减少了计算工作量，简化了控制器设计，切比雪夫神经网络取消了对基函数的中心和宽度的要求，降低了控制器设计对***精确模型的过度依赖，跟踪微分器提高了传统一阶低通滤波器的精度，克服了虚拟控制持续微分导致微分项的***问题，正切障碍李雅普诺夫函数保证输出约束条件不被违反。
本发明的技术方案：一种具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电***控制方法，包括下述步骤：
a、在分数阶静电驱动微机电***控制输入端增加具有磁滞特性的控制输入，建立分数阶静电驱动微机电***的数学模型：
Figure BDA0002033172450000021
其中
Figure BDA0002033172450000022
Figure BDA0002033172450000023
me,w和Fex分别表示谐振器的有效质量、阻尼系数和驱动力，k1和k3表示线性和立方机械刚度，C0表示平行板执行器的电容，VAC表示交流电压，VDC表示偏置电压，ω表示交流电压的频率，ω0表示固有频率，u表示具有磁滞特性的控制输入，x1和x2分别表示梁位移和速度，C和α表示分数微积分领域中Caputo定义和分数阶值；
输入磁滞特性表示为：
Figure BDA0002033172450000024
其中u0＝u0(v0)，v表示迟滞的输入信号，ρhc,chc和Bhc为常数，并且chc＞Bhc；b、构建自适应稳定控制器；考虑不可测量变量、时变时滞项、不确定性和输出约束，在backstepping框架下结合切比雪夫神经网络、跟踪微分器和扩展状态观测器，通过Lyapunov-Krasovskii函数得到控制器的算法步骤为，
步骤1:定义约束ζ1＝aγ-dγ,存在关系式|s1(t)|＜ζ1，其中ζ1表示正定常数,s1(t)表示误差，aγ＞0，选择第一个Lyapunov-Krasovskii函数
Figure BDA0002033172450000025
在分数微积分领域中，对V1微分可得：
Figure BDA0002033172450000026
其中
Figure BDA0002033172450000027
虚拟控制被选择为
Figure BDA0002033172450000028
其中c1＞0；
将(22)代入(21)将得到
Figure BDA0002033172450000029
步骤2:引入变量
Figure BDA00020331724500000210
其中
Figure BDA00020331724500000211
表示η2的估计值；
考虑第二个Lyapunov-Krasovskii函数
Figure BDA00020331724500000212
其中κ和γ2表示常数；
对V2分数阶微分导出
Figure BDA0002033172450000031
其中
Figure BDA0002033172450000032
Figure BDA0002033172450000033
调用假设2得到
Figure BDA0002033172450000034
存在
Figure BDA0002033172450000035
借助(19)、(27)和(28)，(26)可进一步推导
Figure BDA0002033172450000036
f2(·)属于高度复杂的项，***参数
Figure BDA0002033172450000037
易受到温度、干扰和重构滤波器的影响，运用切比雪夫神经网络估计不确定非线性项fcn(X)
fcn(X)＝Ψ*Tξ(X)+ε, (30)
其中ε表示神经网络近似误差，ξ(X)＝[1,T1(x1),…,Tn(x1),…,T1(xm),…,Tn(xm)]表示对于X＝[x1,…,xm]T∈Rm的切比雪夫多项式基函数，Ψ*表示最优权重向量，满足
Figure BDA0002033172450000038
其中Ti(xj),i＝1,…,n,j＝1,…,m表示切比雪夫多项式，n是切比雪夫多项式的阶次，ΩΨ和DX表示一组紧凑集的适当界限Ψ和X；此外，
Figure BDA0002033172450000039
是上限；
α2涉及正切障碍函数项，很难直接得到α2的分数阶导数，为了解决控制器中微分项的***问题，引入跟踪微分器将虚拟控制的导数估计为
Figure BDA00020331724500000310
其中φ(t)是跟踪微分器的输入信号，R和r表示设计参数；
利用(30)和(32)，(29)重写为
Figure BDA0002033172450000041
其中
Figure BDA0002033172450000042
|chc|的边界是
Figure BDA0002033172450000043
设计控制输入和更新律为
Figure BDA0002033172450000044
其中c2＞0,m2＞0,a2＞0；
把(34)代入(33)，得到
Figure BDA0002033172450000045
上述的具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电***控制方法，根据步骤a的数学模型，在控制器设计中采用正切障碍函数，正切障碍函数具有特点如下：
Figure BDA0002033172450000046
其中tan(·)表示正切函数，yoc表示输出约束；
代入步骤a的数学模型中，得到：
Figure BDA0002033172450000047
其中
Figure BDA0002033172450000051
是一个时变延迟项，aγ＞0,C和α表示分数微积分领域中Caputo定义和分数阶值。
上述的具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电***控制方法，分数导数中f(t)的Caputo定义表示为
Figure BDA0002033172450000052
其中
Figure BDA0002033172450000053
表示gamma函数，n和f(n)(t)表示整数和f(t)的n阶导数；
定理1:对于连续函数f1*(t)和
Figure BDA0002033172450000054
利用莱布尼兹分数阶微分规则推导出下列等式
Figure BDA0002033172450000055
其中
Figure BDA0002033172450000056
Figure BDA0002033172450000057
进一步推导
Figure BDA0002033172450000058
其中
Figure BDA0002033172450000059
如果函数
Figure BDA00020331724500000510
被定义为
Figure BDA00020331724500000511
即可被称为Mittag-Leffler函数，其中σ表示一组复数，
Figure BDA00020331724500000512
和δ是正常数；
对(11)进行拉普拉斯变换，得到
Figure BDA00020331724500000513
对于
Figure BDA00020331724500000514
和
Figure BDA00020331724500000515
下面的方程推导出来
Figure BDA00020331724500000516
当|σ|→∞,σ1≤|arg(σ)|≤π；
Figure BDA00020331724500000517
和
Figure BDA00020331724500000518
如果满足，则存在以下不等式
Figure BDA00020331724500000519
其中σ2≤|arg(σ)|≤π,和B,|σ|≥0。
上述的具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电***控制方法，分数阶扩展状态观测器设计为
Figure BDA0002033172450000061
其中bi,i＝1-3表示观测器参数；
观测值与实际值间的观测误差满足以下不等式
Figure BDA0002033172450000062
其中
Figure BDA0002033172450000063
是xi的估计值；
假设1:有一个未知的正函数q2j满足
Figure BDA0002033172450000064
其中两个坐标变换选取为
Figure BDA0002033172450000065
其中xd表示参考信号，α2是虚拟控制，
Figure BDA0002033172450000066
是s2(t)的估计值并且|xd|≤dγ；
假设2:当1≤i≤2,时变时滞项τ2(t)满足下列不等式
Figure BDA0002033172450000067
其中
Figure BDA0002033172450000068
和
Figure BDA0002033172450000069
表示已知常数。
有益效果：本发明的静电驱动微机电***，在考虑输入磁滞特性的情况下，建立分数阶静电驱动微机电***的数学模型，然后在考虑不可测量变量、时变时滞项、不确定性、输出约束等，在backstepping框架下结合切比雪夫神经网络、跟踪微分器和扩展状态观测器等，通过Lyapunov-Krasovskii函数得到控制器的算法。与现有技术相比，本发明具有如下优点：
1.在backstepping的框架内提出了一种融合扩展状态观测器、切比雪夫神经网络、正切障碍函数和跟踪微分器的自适应稳定控制方案，加快了控制算法求解速度，提高闭环非线性***的瞬态和稳态等性能。
2.在自适应稳定控制方案中扩展状态观测器放宽了对物理传感器的限制，无需获取速度传感器的信号，具有单权重的切比雪夫神经网络减少了计算工作量，简化了控制器设计，同时相比RBF神经网络取消了对基函数的中心和宽度的要求，降低了控制器设计对***精确模型的过度依赖。
3.跟踪微分器提高了传统一阶低通滤波器的精度，克服了虚拟控制持续微分导致微分项的***问题。正切障碍李雅普诺夫函数保证输出约束条件不被违反，同时通过Lyapunov-Krasovskii函数构建补偿***状态中的时变时延。
附图说明
图1是本发明的控制原理示意图；
图2是静电驱动微机电***的示意图；
图3是v(t)＝khcsin2.3t的输入磁滞特性图；
图4是不同VAC下的混沌吸引子运动轨迹图；
图5是最大Lyapunov指数；
图6是分数阶静电驱动微机电***的分岔图；
图7是不同交流电压下的跟踪性能；
图8是观测器x1和
Figure BDA00020331724500000610
间的观测性能；
图9是不同参数γ值的跟踪误差；
图10是本发明方案和神经网络动态面控制(NDSC)方案的跟踪误差比较结果；
图11是本发明方案和神经网络动态面控制(NDSC)方案的控制输入比较结果。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明作进一步的说明，但并不作为对本发明限制的依据。
实施例一种具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电***控制方法，包括下述步骤：
a、在分数阶静电驱动微机电***控制输入端增加具有磁滞特性的控制输入，建立分数阶静电驱动微机电***的数学模型：
Figure BDA0002033172450000071
其中
Figure BDA0002033172450000072
Figure BDA0002033172450000073
me,w和Fex分别表示谐振器的有效质量、阻尼系数和驱动力，k1和k3表示线性和立方机械刚度，C0表示平行板执行器的电容，VAC表示交流电压，VDC表示偏置电压，ω表示交流电压的频率，ω0表示固有频率，u表示具有磁滞特性的控制输入，x1和x2分别表示梁位移和速度，C和α表示分数微积分领域中Caputo定义和分数阶值；
输入磁滞特性表示为：
Figure BDA0002033172450000074
其中u0＝u0(v0)，v表示迟滞的输入信号，ρhc,chc和Bhc为常数，并且chc＞Bhc；
b、构建自适应稳定控制器；考虑不可测量变量、时变时滞项、不确定性和输出约束，在backstepping框架下结合切比雪夫神经网络、跟踪微分器和扩展状态观测器，通过Lyapunov-Krasovskii函数得到控制器的算法步骤为，
步骤1:定义约束ζ1＝aγ-dγ,存在关系式|s1(t)|＜ζ1，其中ζ1表示正定常数,s1(t)表示误差，aγ＞0，选择第一个Lyapunov-Krasovskii函数
Figure BDA0002033172450000075
在分数微积分领域中，对V1微分可得：
Figure BDA0002033172450000076
其中
Figure BDA0002033172450000077
虚拟控制被选择为
Figure BDA0002033172450000078
其中c1＞0；
将(22)代入(21)将得到
Figure BDA0002033172450000079
步骤2:引入变量
Figure BDA00020331724500000710
其中
Figure BDA0002033172450000081
表示η2的估计值；
考虑第二个Lyapunov-Krasovskii函数
Figure BDA0002033172450000082
其中κ和γ2表示常数；
对V2分数阶微分导出
Figure BDA0002033172450000083
其中
Figure BDA0002033172450000084
Figure BDA0002033172450000085
调用假设2得到
Figure BDA0002033172450000086
存在
Figure BDA0002033172450000087
借助(19)、(27)和(28)，(26)可进一步推导
Figure BDA0002033172450000088
f2(·)属于高度复杂的项，***参数
Figure BDA0002033172450000089
易受到温度、干扰和重构滤波器的影响，运用切比雪夫神经网络估计不确定非线性项fcn(X)
fcn(X)＝Ψ*Tξ(X)+ε, (30)
其中ε表示神经网络近似误差，ξ(X)＝[1,T1(x1),…,Tn(x1),…,T1(xm),…,Tn(xm)]表示对于X＝[x1,…,xm]T∈Rm的切比雪夫多项式基函数，Ψ*表示最优权重向量，满足
Figure BDA00020331724500000810
其中Ti(xj),i＝1,…,n,j＝1,…,m表示切比雪夫多项式，n是切比雪夫多项式的阶次，ΩΨ和DX表示一组紧凑集的适当界限Ψ和X；此外，
Figure BDA00020331724500000811
是上限；
α2涉及正切障碍函数项，很难直接得到α2的分数阶导数，为了解决控制器中微分项的***问题，引入跟踪微分器将虚拟控制的导数估计为
Figure BDA0002033172450000091
其中φ(t)是跟踪微分器的输入信号，R和r表示设计参数；
利用(30)和(32)，(29)重写为
Figure BDA0002033172450000092
其中
Figure BDA0002033172450000093
|chc|的边界是
Figure BDA0002033172450000094
设计控制输入和更新律为
Figure BDA0002033172450000095
其中c2＞0,m2＞0,a2＞0；
把(34)代入(33)，得到
Figure BDA0002033172450000096
根据步骤a的数学模型，在控制器设计中采用正切障碍函数，正切障碍函数具有特点如下：
Figure BDA0002033172450000097
其中tan(·)表示正切函数，yoc表示输出约束；
代入步骤a的数学模型中，得到：
Figure BDA0002033172450000101
其中
Figure BDA0002033172450000102
是一个时变延迟项，aγ＞0,C和α表示分数微积分领域中Caputo定义和分数阶值。
分数导数中f(t)的Caputo定义表示为
Figure BDA0002033172450000103
其中
Figure BDA0002033172450000104
表示gamma函数，n和f(n)(t)表示整数和f(t)的n阶导数；
定理1:对于连续函数f1 *(t)和
Figure BDA0002033172450000105
利用莱布尼兹分数阶微分规则推导出下列等式
Figure BDA0002033172450000106
其中
Figure BDA0002033172450000107
Figure BDA0002033172450000108
进一步推导
Figure BDA0002033172450000109
其中
Figure BDA00020331724500001010
如果函数
Figure BDA00020331724500001011
被定义为
Figure BDA00020331724500001012
即可被称为Mittag-Leffler函数，其中σ表示一组复数，
Figure BDA00020331724500001013
和δ是正常数；
对(11)进行拉普拉斯变换，得到
Figure BDA00020331724500001014
对于
Figure BDA00020331724500001015
和
Figure BDA00020331724500001016
下面的方程推导出来
Figure BDA0002033172450000111
当|σ|→∞,σ1≤|arg(σ)|≤π；
Figure BDA0002033172450000112
和
Figure BDA0002033172450000113
如果满足，则存在以下不等式
Figure BDA0002033172450000114
其中σ2≤|arg(σ)|≤π,和B,|σ|≥0。
分数阶扩展状态观测器设计为
Figure BDA0002033172450000115
其中bi,i＝1-3表示观测器参数；
观测值与实际值间的观测误差满足以下不等式
Figure BDA0002033172450000116
其中
Figure BDA0002033172450000117
是xi的估计值；
假设1:有一个未知的正函数q2j满足
Figure BDA0002033172450000118
其中两个坐标变换选取为
Figure BDA0002033172450000119
其中xd表示参考信号，α2是虚拟控制，
Figure BDA00020331724500001110
是s2(t)的估计值并且|xd|≤dγ；
假设2:当1≤i≤2,时变时滞项
Figure BDA00020331724500001111
满足下列不等式
Figure BDA00020331724500001112
其中
Figure BDA00020331724500001113
和
Figure BDA00020331724500001114
表示已知常数。
以下是本发明控制方法的详细推导说明：
图1为本发明的控制原理图，图2为静电驱动微机电***的示意图，其中采用具有单自由度的静电驱动微机电***。静电驱动微机电***由直流电(DC)、交流电(AC)、超静态梁谐振器和集成运算放大器组成。上电极通过振幅为VAC、频率为ω的交流电压产生静电驱动。谐振器电极位于平行间隙为d的上下电极间，在直流电压VDC处偏置，以获得谐振器运动产生的电容电流。底部电极获得包括运动电流和寄生电流在内的电容电流的读数。建立如下所示的具有阻尼和三次机械非线性的机械谐振器动力学***方程：
Figure BDA00020331724500001115
其中me,w和Fex分别表示谐振器的有效质量、阻尼系数和驱动力，
Figure BDA00020331724500001116
和
Figure BDA00020331724500001117
分别表示x与梁位移相关的速度和加速度，k1和k3表示线性和立方机械刚度。
扩展驱动力Fex((1)的右侧)的表达式，得出
Figure BDA00020331724500001118
其中C0表示平行板执行器的电容，VAC表示交流电压，VDC表示偏置电压，ω表示交流电压的频率。
双固支梁的基本共振频率明显高于单固支梁。交流电压使***具有驱动力。在直流电压下，发生静电激发。通过一系列变换，得出静电驱动微机电***的数学模型为
Figure BDA0002033172450000121
其中
Figure BDA0002033172450000122
ω0表示固有频率，u表示具有磁滞特性的控制输入。
磁滞特性成为影响静电驱动微机电***性能和精度的主要因素之一。在控制设计中忽略这一特性，可能导致不准确的结果，或进一步导致不可逆转的瘫痪。因此，有必要考虑这一特性。输入磁滞特性表示为
Figure BDA0002033172450000123
其中v表示迟滞的输入信号，ρhc,chc和Bhc都是常数，并且chc＞Bhc。
得到一个显式解
Figure BDA0002033172450000124
其中u0＝u0(v0)。
定理1:chc的符号直接决定磁滞特性的方向，chc决定磁滞特性的振幅。相应的图形结果如图3所示。
物理约束对静电驱动微机电***在环境条件下会产生一定的负面影响。忽略输出约束，可能会发生安全和危险方面的不利结果。鉴于此，在控制器设计中采用了正切障碍函数。正切障碍函数具有特点
Figure BDA0002033172450000125
其中tan(·)表示正切函数，yoc表示输出约束。
考虑到电介质的分数阶行为、***的时变延迟和动力学特性，将(5)和(6)代入(3)得到
Figure BDA0002033172450000126
其中
Figure BDA0002033172450000127
是一个时变延迟项，aγ＞0,C和α表示分数微积分领域中Caputo定义和分数阶值的符号。
2.2混沌运动分析
为了揭示其机理，降低控制器设计的难度，分析分数阶静电驱动微机电***的复杂动力学行为。图4显示了不同VAC下的混沌吸引子。图4(a)结果表明，当VAC＝0.007时，***会发生瞬态混沌行为和规则运动。图4(b)结果表明，增加VAC到0.045，吸引子从左向右移动，发生较长的瞬态运动。图3的最后一幅图显示了同宿轨道的出现，相关振荡的振幅大于图3(a)-(b).
图5中绘制的最大Lyapunov指数为正值。很明显，分数阶静电驱动微机电***的状态被称为“混沌振荡”。图6为分数阶静电驱动微机电***在参数值范围内的分岔图。在开始时，***运动是周期性的，并产生一个平衡点。当A增加到0.022，***出现混沌振荡，并失稳。在第三阶段，***运动跳出混沌状态，进入稳定状态。当A等于0.092，***运动变为倍周期分岔，***运动几乎立刻就陷入了混沌振荡。当A达到0.143，分岔发生了。在没有有效措施的情况下，混沌振荡会导致静电驱动微机电***的性能恶化。
2.3数学基础
定义1：分数导数中f(t)的Caputo定义表示为
Figure BDA0002033172450000131
其中
Figure BDA0002033172450000132
表示gamma函数，n和f(n)(t)表示整数和f(t)的n阶导数。
定理1:对于连续函数f1 *(t)和
Figure BDA0002033172450000133
利用莱布尼兹分数阶微分规则推导出下列等式
Figure BDA0002033172450000134
其中
Figure BDA0002033172450000135
进一步推导
Figure BDA0002033172450000136
其中
Figure BDA0002033172450000137
如果函数
Figure BDA0002033172450000138
被定义为
Figure BDA0002033172450000139
那它就被称为Mittag-Leffler函数，其中σ表示一组复数，
Figure BDA00020331724500001310
和δ是正常数。
对(11)进行拉普拉斯变换，得到
Figure BDA00020331724500001311
对于
Figure BDA00020331724500001312
和
Figure BDA00020331724500001313
下面的方程推导出来
Figure BDA00020331724500001314
当|σ|→∞,σ1≤|arg(σ)|≤π.
Figure BDA00020331724500001315
和
Figure BDA00020331724500001316
如果满足，则存在以下不等式
Figure BDA0002033172450000141
其中σ2≤|arg(σ)|≤π,和B,|σ|≥0.
自适应稳定控制器的设计
3.1观测器设计
为了获得不可测量变量的信息，将分数阶扩展状态观测器设计为
Figure BDA0002033172450000142
其中bi,i＝1-3表示观测器参数。
观测值与实际值间的观测误差满足以下不等式
Figure BDA0002033172450000143
其中
Figure BDA0002033172450000144
是xi的估计值。
假设1:有一个未知的正函数q2j满足
Figure BDA0002033172450000145
其中两个坐标变换选取为
Figure BDA0002033172450000146
其中xd表示参考信号，α2是虚拟控制，
Figure BDA0002033172450000147
是s2(t)的估计值并且|xd|≤dγ。
假设2:当1≤i≤2,时变时滞项
Figure BDA0002033172450000148
满足下列不等式
Figure BDA0002033172450000149
其中
Figure BDA00020331724500001410
和
Figure BDA00020331724500001411
表示已知常数。
3.2控制器设计
步骤1:定义约束ζ1＝aγ-dγ,存在关系式|s1(t)|＜ζ1，其中ζ1表示正定常数。选择第一个Lyapunov-Krasovskii函数
Figure BDA00020331724500001412
在分数微积分领域中，对V1微分可得：
Figure BDA00020331724500001413
其中
Figure BDA00020331724500001414
虚拟控制被选择为
Figure BDA00020331724500001415
其中c1＞0.
将(22)代入(21)将得到
Figure BDA00020331724500001416
步骤2:引入变量
Figure BDA0002033172450000151
其中
Figure BDA0002033172450000152
表示η2的估计值。
考虑第二个Lyapunov-Krasovskii函数
Figure BDA0002033172450000153
其中κ和γ2表示常数。
对V2分数阶微分导出
Figure BDA0002033172450000154
其中
Figure BDA0002033172450000155
Figure BDA0002033172450000156
调用假设2得到
Figure BDA0002033172450000157
存在
Figure BDA0002033172450000158
借助(19)、(27)和(28)，(26)可进一步推导
Figure BDA0002033172450000159
注意f2(·)属于高度复杂的项。***参数
Figure BDA00020331724500001510
易受到温度、干扰和重构滤波器的影响。因此，很难实现精确建模和精确测量。同时，分数阶静电驱动微机电***的混沌振荡对参数扰动非常敏感。此外，具有磁滞特性的控制输入含有复杂的非线性项，这使得传统的控制方法难以完成控制器的设计。
众所周知，切比雪夫神经网络可以以任何小的误差逼近非线性连续函数的能力。为解决上述问题，运用切比雪夫神经网络估计不确定非线性项fcn(X)
fcn(X)＝Ψ*Tξ(X)+ε, (30)
其中ε表示神经网络近似误差，ξ(X)＝[1,T1(x1),…,Tn(x1),…,T1(xm),…,Tn(xm)]表示对于X＝[x1,…,xm]T∈Rm的切比雪夫多项式基函数，Ψ*表示最优权重向量，满足
Figure BDA0002033172450000161
其中Ti(xj),i＝1,…,n,j＝1,…,m表示切比雪夫多项式，n是切比雪夫多项式的阶次，ΩΨ和DX表示一组紧凑集的适当界限Ψ和X。此外，
Figure BDA0002033172450000162
是上限。
α2涉及正切障碍函数项，很难直接得到α2的分数阶导数。为了解决控制器中微分项的***问题，引入跟踪微分器将虚拟控制的导数估计为
Figure BDA0002033172450000163
其中φ(t)是跟踪微分器的输入信号，R和r表示设计参数。
利用(30)和(32)，(29)重写为
Figure BDA0002033172450000164
其中
Figure BDA0002033172450000165
chc|的边界是
Figure BDA0002033172450000166
设计控制输入和更新律为
Figure BDA0002033172450000167
其中c2＞0,m2＞0,a2＞0.
把(34)代入(33)，得到
Figure BDA0002033172450000168
3.3稳定性分析
定理1：对于具有输入磁滞、时滞、建模不确定性、输出约束和混沌振荡的静电驱动微机电***(7)，自适应稳定控制方案(34)可以保证闭环***的所有信号一致最终有界，同时通过选择参数，误差收敛到零附近的一个紧集，并且完全抑制不利影响。
证明：定义整个Lyapunov-Krasovskii函数
Figure BDA0002033172450000171
Figure BDA0002033172450000172
可以进一步转换为
Figure BDA0002033172450000173
然后在分数微积分中微分V，得到
Figure BDA0002033172450000174
其中
Figure BDA0002033172450000175
(37)的拉普拉斯变换表示为
Figure BDA0002033172450000176
其中V(s)表示V(t)的拉普拉斯变换.
基于(12)和(38)，得到
|V(t)|≤|V(0)|Eα,1(-κβtα)+υβtαEα,1+α(-κβtα). (39)
对于(14)，有一个正常数Bβ满足
Figure BDA0002033172450000177
那么下列等式成立
Figure BDA0002033172450000178
对于任意Λ＞0，不等式可以推导出来
Figure BDA0002033172450000179
在(39)和(13)的帮助下，有
Figure BDA00020331724500001710
对于t2＞t，它有
Figure BDA00020331724500001711
调整后的参数满足
Figure BDA00020331724500001712
后，由(39)、(42)和(44)得出：
|V(t)|≤Λ.(45)
此外，
Figure BDA00020331724500001713
成立。s1(0)∈(-ζ1,ζ1)等于yoc(0)∈(-ζ1+xd(0),ζ1+xd(0))。基于dγ+xd≥0和-dγ+xd≤0这一事实，它很容易得到|yoc|＜aγ。最终得出，输出约束没有被违反。实验结果分析
迟滞特性的参数选择为αhc＝1,chc＝3，和Bhc＝0.345。参考信号采用xd＝0.11sin(2.3t)。时间延迟项
Figure BDA00020331724500001714
为0.2+0.1sin(t)。自适应稳定控制器的参数选择为：c1＝9，c2＝9，γ2＝1,m2＝10，和a2＝5。扩展状态观测器的参数选择为b0＝b1＝9和b2＝7。跟踪微分器参数设置为R＝4和r＝3。另外，
Figure BDA0002033172450000181
等于0.01。
图7(a)-(c)表明，在不同交流电压下，蓝色实线(代表参考信号)与红色虚线(代表实际信号)重合。图7(d)-(f)结果表明，参考信号与实际信号间的误差小于0.001。很明显，x1在磁滞特性和时间延迟的情况下能精确跟踪时变信号xd，同时***的混沌运动得到了抑制。
图8揭示了分数阶扩展状态观测器的性能。扩展状态观测器能实现对输出信号精确估计。图9证明了在不同情况下，当γ发生变化时，静电驱动微机电***具有稳定的跟踪性能。很明显，分数阶静电驱动微机电***的五条跟踪误差曲线保持相当一致。这表示所提出的方法对于解决参数变化而导致***性能稳定问题具有很大的作用。
为了显示所提方案的优越性，对静电驱动微机电***执行了一个比较任务，忽略了输入磁滞、时间延迟和输出约束。基于神经网络动态面控制(NDSC)方案，给出其相应的具有自适应律的控制器
Figure BDA0002033172450000182
Figure BDA0002033172450000183
通过一阶滤波器，得到α2
Figure BDA0002033172450000184
其中
Figure BDA0002033172450000185
***参数与前面描述的保持一致。控制器参数设置为ka1＝ka2＝6，γa2＝10，ma2＝1.6，
Figure BDA0002033172450000186
然后，给出了跟踪误差和控制输入的比较结果在图10-11。通过曲线相比，所提方案具有较高的跟踪精度和较小的控制输入。因此，应用所提方案，分数阶静电驱动微机电***具有更好的性能。

Claims (3)

1.一种具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电***控制方法，其特征在于：包括下述步骤：
a、在分数阶静电驱动微机电***控制输入端增加具有磁滞特性的控制输入，建立分数阶静电驱动微机电***的数学模型：
Figure FDA0003424387140000011
其中
Figure FDA0003424387140000012
Figure FDA0003424387140000013
me,w和Fex分别表示谐振器的有效质量、阻尼系数和驱动力，k1和k3表示线性和立方机械刚度，C0表示平行板执行器的电容，VAC表示交流电压，VDC表示偏置电压，ω表示交流电压的频率，ω0表示固有频率，u表示具有磁滞特性的控制输入，x1和x2分别表示梁位移和速度，C和α表示分数微积分领域中Caputo定义和分数阶值，aγ＞0表示正常数；
输入磁滞特性表示为：
Figure FDA0003424387140000014
其中u0＝u0(v0)，v表示迟滞的输入信号，ρhc,chc和Bhc为常数，并且chc＞Bhc；
b、构建自适应稳定控制器；考虑不可测量变量、时变时滞项、不确定性和输出约束，在backstepping框架下结合切比雪夫神经网络、跟踪微分器和扩展状态观测器，通过Lyapunov-Krasovskii函数得到控制器的算法步骤为，
步骤1:定义约束ζ1＝aγ-dγ,存在关系式|s1(t)|＜ζ1，其中ζ1表示正定常数,s1(t)表示误差，aγ＞0，选择第一个Lyapunov-Krasovskii函数
Figure FDA0003424387140000015
在分数微积分领域中，对V1微分可得：
Figure FDA0003424387140000021
其中
Figure FDA0003424387140000022
Figure FDA0003424387140000023
表示s2(t)的估计值；xd表示参考信号；
Figure FDA0003424387140000024
其中
Figure FDA0003424387140000025
表示x2的估计值；
虚拟控制被选择为
Figure FDA0003424387140000026
其中c1＞0，c1表示正常数；
将(22)代入(21)将得到
Figure FDA0003424387140000027
步骤2:引入变量
Figure FDA0003424387140000028
其中
Figure FDA0003424387140000029
表示η2的估计值；
考虑第二个Lyapunov-Krasovskii函数
Figure FDA00034243871400000210
其中κ和γ2表示常数，
Figure FDA00034243871400000211
表示已知常数，τ2表示时变时滞项；q2j表示假设中所设的未知整函数；
对V2分数阶微分导出
Figure FDA00034243871400000212
h2(X(t-τ2(t)))表示一个时变延迟项；
其中
Figure FDA0003424387140000031
调用假设2得到
Figure FDA0003424387140000032
存在
Figure FDA0003424387140000033
借助(19)、(27)和(28)，(26)可进一步推导
Figure FDA0003424387140000034
f2(·)属于高度复杂的项，***参数γ,
Figure FDA0003424387140000035
ρ,β,m易受到温度、干扰和重构滤波器的影响，运用切比雪夫神经网络估计不确定非线性项fcn(X)
fcn(X)＝Ψ*Tξ(X)+ε, (30)
其中ε表示神经网络近似误差，ξ(X)＝[1,T1(x1),…,Tn(x1),…,T1(xm),…,Tn(xm)]表示对于X＝[x1,…,xm]T∈Rm的切比雪夫多项式基函数，Ψ*表示最优权重向量，满足
Figure FDA0003424387140000036
其中Ti(xj),i＝1,…,n,j＝1,…,m表示切比雪夫多项式，n是切比雪夫多项式的阶次，ΩΨ和DX表示一组紧凑集的适当界限Ψ和X；此外，
Figure FDA0003424387140000037
是上限；
α2涉及正切障碍函数项，很难直接得到α2的分数阶导数，为了解决控制器中微分项的***问题，引入跟踪微分器将虚拟控制的导数估计为
Figure FDA0003424387140000038
其中φ(t)是跟踪微分器的输入信号，R和r表示设计参数；
利用(30)和(32)，(29)重写为
Figure FDA0003424387140000041
其中
Figure FDA0003424387140000042
|chc|的边界是
Figure FDA0003424387140000043
ξ2表示切比雪夫神经网络中对于x2的基函数；
Figure FDA0003424387140000044
表示x2的估计值；
设计控制输入和更新律为
Figure FDA0003424387140000045
其中c2＞0,m2＞0,a2＞0，均表示正常数；
把(34)代入(33)，得到
Figure FDA0003424387140000046
分数阶扩展状态观测器设计为
Figure FDA0003424387140000047
其中bi,i＝1-3表示观测器参数；
观测值与实际值间的观测误差满足以下不等式
Figure FDA0003424387140000051
其中
Figure FDA0003424387140000052
是xi的估计值；
假设1:有一个未知的正函数q2j满足
Figure FDA0003424387140000053
其中两个坐标变换选取为
Figure FDA0003424387140000054
其中xd表示参考信号，α2是虚拟控制，
Figure FDA0003424387140000055
是s2(t)的估计值并且|xd|≤dγ；
假设2:当1≤i≤2,时变时滞项τ2(t)满足下列不等式
0≤τ2(t)≤τu,
Figure FDA0003424387140000056
其中τu和
Figure FDA0003424387140000057
表示已知常数。
2.根据权利要求1所述的具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电***控制方法，其特征在于：根据步骤a的数学模型，在控制器设计中采用正切障碍函数，正切障碍函数具有特点如下：
Figure FDA0003424387140000058
其中tan(·)表示正切函数，yoc表示输出约束；
代入步骤a的数学模型中，得到：
Figure FDA0003424387140000059
其中
Figure FDA00034243871400000510
是一个时变延迟项，aγ＞0,C和α表示分数微积分领域中Caputo定义和分数阶值。
3.根据权利要求2所述的具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电***控制方法，其特征在于：分数导数中f(t)的Caputo定义表示为
Figure FDA0003424387140000061
其中
Figure FDA0003424387140000062
表示gamma函数，n和f(n)(t)表示整数和f(t)的n阶导数；
定理1:对于连续函数f1 *(t)和
Figure FDA0003424387140000063
利用莱布尼兹分数阶微分规则推导出下列
Figure FDA0003424387140000064
Figure FDA0003424387140000065
其中
Figure FDA0003424387140000066
Figure FDA0003424387140000067
进一步推导
Figure FDA0003424387140000068
其中
Figure FDA0003424387140000069
如果函数
Figure FDA00034243871400000610
被定义为
Figure FDA00034243871400000611
即可被称为Mittag-Leffler函数，其中σ表示一组复数，
Figure FDA00034243871400000612
和δ是正常数；
对(11)进行拉普拉斯变换，得到
Figure FDA00034243871400000613
对于
Figure FDA00034243871400000614
和
Figure FDA00034243871400000615
下面的方程推导出来
Figure FDA00034243871400000616
当|σ|→∞,σ1≤|arg(σ)|≤π；
Figure FDA0003424387140000071
和
Figure FDA0003424387140000072
如果满足，则存在以下不等式
Figure FDA0003424387140000073
其中σ2≤|arg(σ)|≤π,和B,|σ|≥0，B表示正常数。
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Families Citing this family (8)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN110262253B (zh) * 2019-07-12 2023-01-31 淮阴工学院 分数阶混沌机电换能器***的自适应backstepping最优控制方法
CN110501906B (zh) * 2019-08-30 2022-12-30 贵州大学 互耦分数阶混沌机电换能器加速自适应模糊控制方法
CN110794678B (zh) * 2019-11-05 2021-07-30 燕山大学 一种磁滞非线性受限下的四通道遥操作力反馈控制方法
CN112099345B (zh) * 2020-08-03 2022-06-03 广州大学 一种基于输入磁滞的模糊跟踪控制方法、***及介质
CN112965383B (zh) * 2021-02-09 2022-08-09 重庆航天职业技术学院 单向耦合分数阶自持机电地震仪***的自适应神经网络最优定时同步控制方法
CN113114156B (zh) * 2021-04-15 2022-08-02 贵州大学 Mems谐振器自适应混沌控制电路及方法
CN113204193B (zh) * 2021-05-06 2022-10-25 北京航空航天大学 飞行器故障容错控制方法、装置和电子设备
CN114660946B (zh) * 2022-05-09 2023-06-16 电子科技大学 一种时滞成型过程***的模糊自适应动态面控制方法

Citations (11)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
WO1999008267A1 (en) * 1997-08-07 1999-02-18 Seagate Technology, Inc. Disc drive with robust track following servo controller
CN1710383A (zh) * 2005-06-17 2005-12-21 东南大学 调谐式微机电陀螺
WO2013182901A1 (en) * 2012-06-07 2013-12-12 Actiwave Ab Non-linear control of loudspeakers
CN104460321A (zh) * 2014-12-15 2015-03-25 南京理工大学 一种含磁滞补偿的液压马达预设性能跟踪控制方法
CN105159069A (zh) * 2015-08-03 2015-12-16 北京理工大学 一种压电陶瓷作动器的位移控制方法
CN107479377A (zh) * 2017-08-03 2017-12-15 淮阴工学院 分数阶弧形微机电***的自适应同步控制方法
CN108227504A (zh) * 2018-01-25 2018-06-29 河海大学常州校区 微陀螺分数阶自适应模糊神经反演终端滑模控制方法
CN108614419A (zh) * 2018-03-28 2018-10-02 贵州大学 一种弧形微机电***的自适应神经网络控制方法
CN108775370A (zh) * 2018-06-15 2018-11-09 南京林业大学 一种磁流变阻尼器的磁滞补偿控制方法
CN109613826A (zh) * 2018-12-17 2019-04-12 重庆航天职业技术学院 一种分数阶拱形mems谐振器的反振荡自适应控制方法
CN109634116A (zh) * 2018-09-04 2019-04-16 贵州大学 一种分数阶机械式离心调速器***的加速自适应稳定方法

Family Cites Families (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN108390606B (zh) * 2018-03-28 2020-08-11 淮阴工学院 一种基于动态面的永磁同步电机自适应滑模控制方法

Patent Citations (11)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
WO1999008267A1 (en) * 1997-08-07 1999-02-18 Seagate Technology, Inc. Disc drive with robust track following servo controller
CN1710383A (zh) * 2005-06-17 2005-12-21 东南大学 调谐式微机电陀螺
WO2013182901A1 (en) * 2012-06-07 2013-12-12 Actiwave Ab Non-linear control of loudspeakers
CN104460321A (zh) * 2014-12-15 2015-03-25 南京理工大学 一种含磁滞补偿的液压马达预设性能跟踪控制方法
CN105159069A (zh) * 2015-08-03 2015-12-16 北京理工大学 一种压电陶瓷作动器的位移控制方法
CN107479377A (zh) * 2017-08-03 2017-12-15 淮阴工学院 分数阶弧形微机电***的自适应同步控制方法
CN108227504A (zh) * 2018-01-25 2018-06-29 河海大学常州校区 微陀螺分数阶自适应模糊神经反演终端滑模控制方法
CN108614419A (zh) * 2018-03-28 2018-10-02 贵州大学 一种弧形微机电***的自适应神经网络控制方法
CN108775370A (zh) * 2018-06-15 2018-11-09 南京林业大学 一种磁流变阻尼器的磁滞补偿控制方法
CN109634116A (zh) * 2018-09-04 2019-04-16 贵州大学 一种分数阶机械式离心调速器***的加速自适应稳定方法
CN109613826A (zh) * 2018-12-17 2019-04-12 重庆航天职业技术学院 一种分数阶拱形mems谐振器的反振荡自适应控制方法

Non-Patent Citations (3)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
Adaptive Synchronization of the Fractional-Order;Shaohua Luo，Shaobo Li等;《IEEE》;20180501;第18卷(第9期);3524-3532 *
Chaos Analysis-Based Adaptive Backstepping;Shaohua Luo and Yongduan Song;《IEEE》;20161031;第63卷(第10期);6217-6225 *
Chaotic Behavior and Adaptive Control of the;Shaohua Luo，Shaobo Li,;《IEEE》;20180901;第18卷(第17期);6986-6995 *

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