CN109858147B - 一种基于可靠度理论的井壁失稳风险定量评价方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于可靠度理论的井壁失稳风险定量评价方法，它包括以下步骤：S1、根据所钻地层的基础数据；S2、根据步骤S1中所建立的输入参数不确定统计表；S3、建立井壁坍塌和井壁破裂失稳极限状态模型；S4、根据步骤S3中所述井壁失稳极限状态模型，分别求解基本随机变量限定下的井壁坍塌压力值和井壁破裂压力值；S5、给定井筒压力均值和变异系数，并采用蒙特卡罗模拟生成给定均值和变异系数下的井筒压力值；S6、统计计算结果以获取井壁坍塌和破裂失稳风险的定量评价结果。本发明的有益效果是：能够定量评价参数不确定性影响下的井壁失稳风险，能够为钻井技术人员和施工人员提供更加准确、有效的决策依据。

Description

一种基于可靠度理论的井壁失稳风险定量评价方法

技术领域

本发明涉及石油钻井中井壁稳定性评价的技术领域，一种基于可靠度理论的井壁失稳风险定量评价方法。

背景技术

目前，随着常规油气资源的枯竭，致密油气、煤层气、页岩油气、海洋深水油气等非常规油气资源逐渐受到重视。为了有效开发这类非常规油气资源，越来越多的定向井、水平井、大位移井等斜井被广泛采用。例如，采用大位移井开发滩海油气，可以避免建设海洋钻井平台；采用定向井开发海洋油气，可以减少所需钻井平台的数量；采用水平井开发致密油气、煤层气和页岩油气，不仅可以有效增大井筒与储层接触的排水面积，而且有利于分段压裂改造，最终提高油气采收率。但是，这类结构相对复杂的斜井钻井却面临着诸多挑战，如井壁失稳风险高、钻柱摩阻/扭矩高、井眼清洁困难、套管下入困难、套管偏心导致固井质量不佳、套管磨损严重等，这些都将导致钻井非生产时间、钻井周期和钻井成本增加。其中，井壁失稳问题是钻井工程关注的焦点问题之一，井壁失稳通常表现为井壁坍塌和井眼漏失，准确控制井筒压力高于坍塌压力并低于破裂压力，可以有效避免井壁失稳事故，还可以避免诱发产生的井喷、井漏、井塌、卡钻等井下复杂和事故。

目前，国内外学者针对井壁稳定问题开展了较为深入的研究，建立多种经验模型、解析模型和数值模拟方法，研究的焦点主要集中于本构模型和破坏准则。本构模型方面已经形成了线弹性解析解、塑性模型、弹塑性模型、孔隙弹性模型、孔隙热弹性模型、化学孔隙弹性模型、化学孔隙热弹性模型等多种模型，破坏准则方面已经形成了Mohr-Coulomb准则、Drucker-Prager准则、Mogi-Coulomb准则、修正Lade准则、修正Wiebols-Cook准则、Hoek-Brown准则等多种准则。然而，

由于深部地层地质条件的隐蔽性和不确定性，加之地球物理测井及其解释方法均存在一定误差，使得地层地质力学参数(地应力、孔隙压力)、岩石力学参数等呈现出较强的不确定性，进行井壁稳定分析时将难以确定准确的输入参数；若输入参数出现一定偏差，将导致井壁稳定分析结果出现偏差，甚至可能出现严重错误。国外学者的研究已经表明，输入参数具有极强的不确定性，并且对井壁稳定产生了非常显著的影响。可靠度理论是可靠性研究的最重要的基础理论之一，它主要是研究与解决各种可靠性问题的数学方法和数学模型，研究可靠性的定量规律。

中国专利中，公开号为CN105740583A中公开了一种适用于碳酸盐岩地层井壁稳定性测井评价方法，包括以下步骤：利用有效应力定理得到地层孔隙压力，利用测井资料建立地层坍塌预测模型，结合地层孔隙压力即可获取地层坍塌压力当量泥浆密度，从而得到泥浆密度安全范围，用实际钻井液密度值和泥浆密度安全范围比较，若在泥浆密度安全范围内，则井壁稳定，否则井壁不稳。然而，该技术方案只能解决了目前的传统评价方法适应性窄、不足以解决所有井壁失稳的问题。因此亟需一种根据靠性理论能够定量评价参数不确定性影响下的井壁失稳风险，能够为钻井技术人员和施工人员提供更加准确、有效的决策依据。

发明内容

本发明的目的在于克服了现有技术的不足，提供了一种能够定量评价参数不确定性影响下的井壁失稳风险，能够为钻井技术人员和施工人员提供更加准确、有效的决策依据基于可靠度理论的井壁失稳风险定量评价方法。

本发明的目的通过以下技术方案来实现：一种基于可靠度理论的井壁失稳风险定量评价方法，它包括以下步骤：

S1、根据所钻地层的基础数据，构建输入参数不确定统计表，所述输入参数包括垂向应力、最大水平地应力、最小水平地应力、孔隙度、泊松比、内聚力、内摩擦角、井斜角、井斜方位角、Biot系数、渗透系数以及崩落宽度参数的均值和变异系数；

S2、根据步骤S1中所建立的输入参数不确定统计表，采用蒙特卡罗方法生成各个基本随机变量，所述基本随机变量包括垂向应力、最大水平地应力、最小水平地应力、孔隙度、泊松比、内聚力、内摩擦角以及Biot系数，所述基本随机变量根据实际情况选择均匀分布、三角分布、正态分布、对数正态分布、贝塔分布、耿贝尔分布、威布尔分布以及伽玛分布中任意一种分布函数；

S3、根据步骤S2中通过分布函数所生成的基本随机变量，建立井壁坍塌和井壁破裂失稳极限状态模型；

S4、根据步骤S3中所述井壁失稳极限状态模型，分别求解基本随机变量限定下的井壁坍塌压力值和井壁破裂压力值；

S5、给定井筒压力均值和变异系数，并采用蒙特卡罗模拟生成给定均值和变异系数下的井筒压力值；

S6、根据步骤S4和S5中得到的井壁坍塌压力值、井壁破裂压力值和井筒压力值，统计计算结果以获取井壁坍塌和破裂失稳风险的定量评价结果。

本发明具有以下优点：本发明克服了现有技术无法考虑参数不确定性影响的问题，常规井壁稳定分析方法并不能评价输入参数和施工参数不确定性可能导致的影响，而可靠性理论能够定量评价参数不确定性影响下的井壁失稳风险，能够为钻井技术人员和施工人员提供更加准确、有效的决策依据。

附图说明

图1为本发明的计算流程图；

图2为失稳概率与可靠度关系图；

图3a为斜井井壁坐标变换示意图；

图3b为井周失稳区域示意图；

图4为垂向应力模拟结果统计直方图；

图5为最大水平地应力模拟结果统计直方图；

图6为岩石内聚力模拟结果统计直方图；

图7为岩石内摩擦角模拟结果统计直方图；

图8为直井井壁坍塌与破裂概率密度函数及累计可靠度干涉图；

图9为斜井井壁坍塌与破裂概率密度函数及累计可靠度干涉图；

图10为水平井井壁坍塌与破裂概率密度函数及累计可靠度干涉图；

图11为三种井型结果对比图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步的描述，本发明的保护范围不局限于以下所述：

如图1所示，一种基于可靠度理论的井壁失稳风险定量评价方法，它包括以下步骤：

S1、根据所钻地层的基础数据，构建输入参数不确定统计表，所述输入参数包括垂向应力、最大水平地应力、最小水平地应力、孔隙度、泊松比、内聚力、内摩擦角、井斜角、井斜方位角、Biot系数、渗透系数以及崩落宽度参数的均值和变异系数；

S2、根据步骤S1中所建立的输入参数不确定统计表，采用蒙特卡罗方法生成各个基本随机变量，所述基本随机变量包括垂向应力、最大水平地应力、最小水平地应力、孔隙度、泊松比、内聚力、内摩擦角以及Biot系数，所述基本随机变量根据实际情况选择均匀分布、三角分布、正态分布、对数正态分布、贝塔分布、耿贝尔分布、威布尔分布以及伽玛分布中任意一种分布函数；

S3、根据步骤S2中通过分布函数所生成的基本随机变量，建立井壁坍塌和井壁破裂失稳极限状态模型；

所述井壁失稳极限状态模型的推导步骤如下：

(1)可靠度理论

根据可靠度理论，可将影响井壁失稳的因素分为两类综合量，即载荷随机变量Q_k和抗力随机变量R_k，其中k可取C和F，分别代表井壁坍塌和井壁破裂两种情况。若令载荷随机变量Q_k和抗力随机变量R_k分别为：

其中，Q_k为载荷随机变量；R_k为抗力随机变量；k为坍塌失稳和破裂失稳的下标，可取C和F；X_Rki为载荷随机变量元素；X_Ski为抗力随机变量元素；i为随机变量元素个数的下标，i＝1,2,…,n；n为随机变量元素总数。

因此井壁失稳的功能函数可表示为：

Z_k＝g(Q_k,R_k)＝R_k-Q_k-----------------------------------(2)

其中，Z_k为功能函数；g为功能函数。

由于外载荷和井筒压力的不同，可能出现Z_k>0、Z_k＝0、Z_k<0三种情况。根据Z_k的大小，可以判断井筒压力是否满足稳定井壁的功能需求，因此可将式(2)称为功能函数，其极限平衡状态是进行可靠度评价的基础，且可表示为：

Z_k＝g(Q_k,R_k)＝0--------------------------------------------(3)

由于载荷随机变量Q_k和抗力随机变量R_k均受到基本随机变量影响，如地应力、孔隙压力、岩石强度、井筒压力等，此处假设井壁失稳的基本随机变量为(X_k1,X_k2,…,X_kn)，则其功能函数可进一步表示为：

Z_k＝g(X_k1,X_k2,…,X_kn)---------------------------------------(4)

其中，X_kn为基本随机变量元素；n为随机变量元素总数；

根据可靠度理论，可靠度指标可表示为：

其中，β_k为可靠度指标；μ(x)为随机变量x均值；σ(x)为随机变量x标准差。

通常情况下，将功能函数处于失稳状态下的概率称为失稳概率，若功能函数符合正态分布，则井壁坍塌和井壁破裂所对应的失稳概率和可靠度可表示为：

其中，P_fk为失稳概率；P_rk为可靠度；Φ为标准正态分布函数。

可靠度与失稳概率存在如下关系：

P_rk+P_fk＝1--------------------------(7)

图2为通过概率密度获得失稳概率与可靠度的示意图，图中压力小于0的蓝色区概率密度进行累计得到的面积即为失稳概率，而压力大于0的红色区概率密度进行累计得到的面积即为可靠度，累积概率曲线与压力为0的纵向坐标相交点即为失稳概率。因此，压力小于0的面积越大，则可靠度越低；压力小于0的面积越小，则可靠度越高。根据可靠度理论，通过计算失稳区域出现概率的大小，即可实现井壁失稳风险的定量评估。

(2)斜井井壁应力分布模型

将深部地层岩石视为均匀、连续、各向同性的弹性介质，如图3a，根据Bradley(1979)给出的井周应力弹性解，取径向距离r＝R可得井壁应力分布模型为：

其中：

其中，σ_r,σ_θ,σ_z,τ_θz为井壁应力分量，MPa；A,B,C,D,E,F,G,H,J为坐标变换系数，无因次；σ_v,σ_H,σ_h分别为垂向、最大和最小水平地应力，MPa；p_m为钻井液液柱压力，MPa；δ为渗透系数，当井壁不可渗透时δ＝0，当井壁渗透时δ＝1；θ为井周角，(°)；i为井斜角，(°)；α为井斜方位与最大水平地应力方位夹角，(°)；ν为泊松比；K₁为渗流效应系数，小数；φ为孔隙度，％；α_p为Biot系数；p_p为孔隙压力，MPa。

由于径向应力为一个主应力，而另外两个主应力则处于井壁θz切平面内，根据材料力学理论可求解出井壁三个主应力为：

其中，σ_i,σ_j,σ_k为井壁三个主应力，MPa。

对三个主应力大小进行排序，即可得到井壁最大、最小主应力，结合强度准则，可得到求解稳定井壁所需的坍塌压力和破裂压力非线性方程，求解该方程即可得到坍塌压力和破裂压力，进一步换算即可得到坍塌压力当量密度和破裂压力当量密度。

(3)岩石破坏准则

对于井壁剪切破坏，井壁稳定分析最常用的准则是Mohr-Coulomb准则，考虑有效应力后可表示为：

其中，σ₁,σ₂,σ₃—分别为最大、中间和最小主应力，MPa；c—内聚力，MPa；

—内摩擦角，(°)。

对于拉张破坏发生的条件，主要取决于地层岩石抗张强度，拉张破坏准则可表示为：σ₃-α_pp_p+S_t＝0--------------------------------------------------(12)

其中，S_t为岩石抗张强度，MPa。

(4)井壁坍塌失稳极限状态模型

维持井壁稳定所需的最小井筒压力可定义为坍塌压力，在通常情况下，井壁径向应力将是最小主应力(σ₃＝σ_i)，且由式(10)可知σ_j>σ_k。因此，将σ₁＝σ_j和σ₃＝σ_i带入式(11)可得坍塌压力非线性方程：

其中，p_C为坍塌压力，MPa；f_C为坍塌压力函数；

函数f_C的物理意义明确：地层岩石抵抗井壁剪切应力的能力。若f_C<0，将发生剪切破坏；若f_C＝0，则处于极限平衡；若f_C>0，则不会发生剪切破坏。通常，为了求解式(13)，需要确定应力集中最严重的临界点，如图3b所示，即为图中的最高应力A点，其对应的井周角θ＝θ_max。但是，考虑到实际井眼允许一定程度的崩落，此处采用Zoback(2007)所提出的崩落宽度模型，如图3b所示，崩落宽度为2ω，此时的井壁失稳临界点为B点，其对应的井周角为：

θ＝θ_max±ω-------------------------------------------------(14)

其中，θ_max为井壁应力集中最高点对应的井周角，(°)；ω为崩落宽度参数，(°)。

将θ＝θ_max±ω带入式(9)后，并按式(13)求解井壁坍塌压力，即可得到允许一定程度的崩落宽度(2ω)情况下的坍塌压力。

当井筒压力低于坍塌压力，即发生井壁坍塌失稳，则井周地层应力集中导致是导致井壁坍塌失稳的载荷，而井筒压力为支撑井壁稳定的抗力。考虑到影响井壁坍塌的因素包括地应力、孔隙压力、地层岩石力学参数、井眼轨迹、崩落宽度等，于是井壁坍塌的载荷随机变量Q_C和抗力随机变量R_C可分别表示为：

因此，井壁坍塌失稳极限状态所对应的可靠度指标、失稳概率和可靠度分别为：

(5)井壁破裂失稳极限状态模型

防止井壁被压裂的最高井筒压力可定义为破裂压力。由式(10)可知，σ_i和σ_j大于零，只有σ_k可能出现负值。因此，将σ₃＝σ_k带入式(12)可得破裂压力非线性方程：

f_F(p_F)＝σ_k-α_pp_p+S_t＝0-------------------------------------------(18)

其中，p_F为破裂压力，MPa；f_F为破裂压力函数。

函数f_F的物理意义明确：地层岩石抵抗井壁拉张应力的能力。若f_F<0，将发生拉张破坏；若f_F＝0，则处于极限平衡；若f_F>0，则不会发生拉张破坏。

类似地，当井筒压力高于破裂压力，即发生井壁破裂失稳，则井筒压力变为导致井壁破裂的载荷，而井周地层环境变为抵抗井壁破裂的抗力。考虑到影响井壁破裂的因素包括地应力、孔隙压力、地层岩石力学参数、井眼轨迹等，于是井壁破裂的载荷随机变量Q_F和抗力随机变量R_F可分别表示为：

因此，井壁破裂失稳极限状态所对应的可靠度指标、失稳概率和可靠度分别为：

S4、根据步骤S3中所述井壁失稳极限状态模型，分别求解基本随机变量限定下的井壁坍塌压力值和井壁破裂压力值；

S5、给定井筒压力均值和变异系数，并采用Monte-Carlo模拟生成给定均值和变异系数下的井筒压力值；

S6、根据步骤S4和S5中得到的井壁坍塌压力值、井壁破裂压力值和井筒压力值，统计计算结果以获取井壁坍塌和破裂失稳风险的定量评价结果。

具体实施例

以四川盆地某油田CW-101X井须家河组地层为例进行分析，须家河组地层埋深2500～3500m，根据所钻须家河组地层的测井和实钻资料，该地层垂向应力52.10-69.52MPa，最大水平地应力42.55～59.47MPa(N37.86°E)，最小水平地应力35.63～49.68MPa，孔隙压力26.95～33.24，岩石内聚力12.15～18.63MPa，岩石内摩擦角33.54～36.67°，岩石抗张强度3.47～5.63MPa，岩石泊松比0.23～0.27，孔隙度0.05～0.16，经过统计分析，构建了输入参数不确定统计表，所述输入参数包括垂向应力、最大水平地应力、最小水平地应力、孔隙度、泊松比、内聚力、内摩擦角、井斜角、井斜方位角、Biot系数、渗透系数以及崩落宽度参数的均值和变异系数统计如下表所示：

No.	随机变量	均值	标准差	变异系数	P10	P90
							1	垂向应力/MPa	57.82	2.89	0.05	53.22	62.42
2	水平最大地应力/MPa	50.05	10.01	0.20	34.12	65.98
							3	水平最小地应力/MPa	41.63	2.08	0.05	38.32	44.94
4	水平最大地应力方位/(°)	37.86	7.57	0.20	25.81	49.91
							5	孔隙压力/MPa	29.50	8.85	0.30	15.42	43.58
6	内聚力/MPa	16.47	6.59	0.40	5.98	26.96
							7	内摩擦角/(°)	34.67	6.93	0.20	23.64	45.70
8	抗张强度/MPa	3.85	1.54	0.40	1.40	6.30
							9	泊松比	0.25	0.05	0.20	0.17	0.33
10	孔隙度	0.10	0.02	0.20	0.07	0.13

其中：P10和P90分别对应的是置信度90％时置信度区间上、下限

根据步骤S1中所建立的输入参数不确定统计表，采用Monte-Carlo方法生成各个基本随机变量。通常情况下，井壁稳定分析涉及的地质力学参数和岩石力学参数是不确定的，可靠度理论中描述参数不确定性的数学方法包括均匀分布、三角分布、正态分布、对数正态分布、Beta分布、Gumbel分布、Weibull分布、Gamma分布等多种，最常用的主要是正态分布、对数正态分布、Weibull分布。此处假设须家河组地层的地质力学参数和岩石力学参数基本满足正态分布，根据测井解释结果给定各参数的均值，参考现场各种测试方法计算相关参数可能的误差范围设定各参数的变异系数和标准差。采用Monte-Carlo方法模拟对输入参数进行随机取样模拟，随机取样模拟样本数量10000个，部分参数模拟的统计结果和正态分布拟合曲线如图4～7所示。从图中可看出，各参数的不确定分布规律满足正态分布规律；变异系数越高，则样本数据的不确定性越强；反之亦然。比如，岩石内聚力的变异系数达到0.40，对应90％置信度下的置信区间为5.98～26.96MPa；垂向应力的变异系数为0.05，对应90％置信度下的置信区间为53.22～62.42MPa；相比之下，变异系数越低，则其置信区间为变化幅度越低，即样本数据越集中、不确定性越弱。由此可见，这种比较强烈的参数不确定性势必会对井壁稳定性产生显著影响。

进一步，根据步骤S2中所生成的基本随机变量，建立井壁坍塌和井壁破裂失稳极限状态模型；根据步骤S3中所述井壁失稳极限状态模型，分别求解基本随机变量限定下的井壁坍塌压力值和井壁破裂压力值；给定井筒压力均值和变异系数，并采用Monte-Carlo模拟生成给定均值和变异系数下的井筒压力值；根据步骤S4和S5中得到的井壁坍塌压力值、井壁破裂压力值和井筒压力值，评估井壁坍塌和破裂失稳的风险，并对计算结果进行统计获取井壁坍塌和破裂失稳风险的定量评价结果。为了揭示不同井型下井壁失稳的综合风险，分析了直井、斜井(方位45°、井斜45°)和水平井(方位45°、井斜90°)三类典型井型下的井壁坍塌和破裂失稳风险，结果如图8～11所示，图中分别给出了三类典型井型下井壁坍塌与破裂概率密度函数及累计可靠度干涉图如图8～10所示和三类典型井型可靠度对比图如图11所示。

(1)在井壁坍塌和破裂概率密度函数干涉图，井壁坍塌概率密度与井壁破裂概率密度的重叠部分称为干涉区，干涉区是可能同时出现坍塌和破裂失稳的区域：干涉区域面积越大，则成功钻进的可靠度越低；干涉区域面积越小，则成功钻进的可靠度越高。

(2)井壁坍塌和破裂失稳累计可靠度干涉图中，坍塌可靠度曲线左侧为坍塌失稳风险区，破裂可靠度曲线右侧为破裂失稳风险区，同时避免井壁坍塌和破裂失稳的区域(即井壁坍塌可靠度曲线与井壁破裂可靠度曲线下部所包含的区域)代表能够成功钻进的安全区域。

(3)对于三类典型井型，可靠度95％情况下直井、斜井和水平井的安全窗口分别为1.19～1.98g/cm³、1.36～2.18g/cm³和1.47～2.19g/cm³，说明在该方向无论钻进直井、斜井或是水平井，均有窗口较宽且可靠的安全密度窗口；若将井壁稳定可靠度降低至90％或者更低，则对应的安全窗口将会更宽，但井壁失稳的风险也会显著的增加；相比较而言，若采用相同井筒压力，直井的坍塌失稳风险更低，斜井次之，水平井的风险更高，这与采用均值计算得到的坍塌压力分布趋势一致。

(4)基于可靠性理论得到的井壁失稳风险评价结果与常规井壁稳定性分析结果在整体趋势上仍然是一致的，但是，常规井壁稳定分析方法并不能评价输入参数和施工参数不确定性可能导致的影响，而可靠性理论能够定量评价参数不确定性影响下的井壁失稳风险，可以为钻井技术人员和施工人员提供更加准确、有效的决策依据。

综上所述，该方法克服了现有技术无法考虑参数不确定性影响的问题，常规井壁稳定分析方法并不能评价输入参数和施工参数不确定性可能导致的影响，而可靠性理论能够定量评价参数不确定性影响下的井壁失稳风险，能够为钻井技术人员和施工人员提供更加准确、有效的决策依据。

Claims (1)

1.一种基于可靠度理论的井壁失稳风险定量评价方法，其特征在于：它包括以下步骤：

S1、根据所钻地层的基础数据，构建输入参数不确定统计表，所述输入参数包括垂向应力、最大水平地应力、最小水平地应力、孔隙度、泊松比、内聚力、内摩擦角、井斜角、井斜方位角、Biot系数、渗透系数以及崩落宽度参数的均值和变异系数；

S2、根据步骤S1中所建立的输入参数不确定统计表，采用蒙特卡罗方法生成各个基本随机变量，所述基本随机变量包括垂向应力、最大水平地应力、最小水平地应力、孔隙度、泊松比、内聚力、内摩擦角以及Biot系数，所述基本随机变量根据实际情况选择均匀分布、三角分布、正态分布、对数正态分布、贝塔分布、耿贝尔分布、威布尔分布以及伽玛分布中任意一种分布函数；

S3、根据步骤S2中通过分布函数所生成的基本随机变量，建立井壁坍塌和井壁破裂失稳极限状态模型；

S4、根据步骤S3中所述井壁失稳极限状态模型，分别求解基本随机变量限定下的井壁坍塌压力值和井壁破裂压力值；

S5、给定井筒压力均值和变异系数，并采用蒙特卡罗模拟生成给定均值和变异系数下的井筒压力值；

S6、根据步骤S4和S5中得到的井壁坍塌压力值、井壁破裂压力值和井筒压力值，统计计算结果以获取井壁坍塌和破裂失稳风险的定量评价结果；

所述井壁失稳极限状态模型的构建步骤如下：

(1)可靠度理论

根据可靠度理论，可将影响井壁失稳的因素分为两类综合量，即载荷随机变量Q_k和抗力随机变量R_k，其中k可取C和F，分别代表井壁坍塌和井壁破裂两种情况；若令载荷随机变量Q_k和抗力随机变量R_k分别为：

其中，Q_k为载荷随机变量；R_k为抗力随机变量；k为坍塌失稳和破裂失稳的下标，可取C和F；X_Rki为载荷随机变量元素；X_Ski为抗力随机变量元素；i为随机变量元素个数的下标，i＝1,2,…,n；n为随机变量元素总数；

因此井壁失稳的功能函数可表示为：

Z_k＝g(Q_k，R_k)＝R_k-Q_k

其中，Z_k为功能函数；g为功能函数；

根据可靠度理论，通过计算失稳区域出现概率的大小，即可实现井壁失稳风险的定量评估；

(2)斜井井壁应力分布模型

将深部地层岩石视为均匀、连续、各向同性的弹性介质，根据Bradley给出的井周应力弹性解，取径向距离r＝R可得井壁应力分布模型；径向应力为一个主应力，而另外两个主应力则处于井壁θz切平面内，根据材料力学理论可求解出井壁三个主应力为：

其中，σ_i,σ_j,σ_k为井壁三个主应力，MPa；σ_r，σ_θθ，σ_zz，τ_θz为井壁应力分量，MPa；p_m为钻井液液柱压力，MPa；δ为渗透系数，当井壁不可渗透时δ＝0，当井壁渗透时δ＝1；θ为井周角，°；i为井斜角，°；φ为孔隙度，％；p_p为孔隙压力，MPa；

对三个主应力大小进行排序，即可得到井壁最大、最小主应力，结合强度准则，可得到求解稳定井壁所需的坍塌压力和破裂压力非线性方程，求解该方程即可得到坍塌压力和破裂压力，进一步换算即可得到坍塌压力当量密度和破裂压力当量密度；

(3)岩石破坏准则

对于井壁剪切破坏，井壁稳定分析最常用的准则是Mohr-Coulomb准则，考虑有效应力后可表示为：

其中，σ₁,σ₂,σ₃—分别为最大、中间和最小主应力，MPa；c—内聚力，MPa；

—内摩擦角，°；α_p为Biot系数；p_p为孔隙压力，MPa；

对于拉张破坏发生的条件，主要取决于地层岩石抗张强度，拉张破坏准则可表示为：

σ₃-α_pp_p+S_t＝0

其中，S_t为岩石抗张强度，MPa；

(4)井壁坍塌失稳极限状态模型

维持井壁稳定所需的最小井筒压力可定义为坍塌压力，井壁径向应力将是最小主应力，即σ₃＝σ_i，且由主应力公式可知σ_j>σ_k，因此，将σ₁＝σ_j和σ₃＝σ_i带入有效应力方程可得坍塌压力非线性方程：

其中，p_C为坍塌压力，MPa；f_C为坍塌压力函数；

(5)井壁破裂失稳极限状态模型

防止井壁被压裂的最高井筒压力可定义为破裂压力；将σ₃＝σ_k带入拉张破坏准则公式可得破裂压力非线性方程：f_F(p_F)＝σ_k-α_pp_p+S_t＝0

其中，p_F为破裂压力，MPa；f_F为破裂压力函数；

当井筒压力高于破裂压力，即发生井壁破裂失稳，则井筒压力变为导致井壁破裂的载荷，而井周地层环境变为抵抗井壁破裂的抗力；井壁破裂的载荷随机变量Q_F和抗力随机变量R_F可分别表示为：

其中，σ_v,σ_H,σ_h分别为垂向、最大和最小水平地应力，MPa；p_m为钻井液液柱压力，MPa；δ为渗透系数，当井壁不可渗透时δ＝0，当井壁渗透时δ＝1；i为井斜角，°；α为井斜方位与最大水平地应力方位夹角，°；v为泊松比；φ为孔隙度，％；c—内聚力，MPa；

—内摩擦角，°；α_p为Biot系数；p_p为孔隙压力，MPa；

井壁破裂失稳极限状态所对应的可靠度指标、失稳概率和可靠度分别为：

其中，β_F、P_fF、P_rF分别为井壁破裂失稳极限状态所对应的可靠度指标、失稳概率和可靠度；Φ为标准正态分布函数；μ为随机变量均值；σ为随机变量标准差；Z_F表示井壁破裂的功能函数。

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