CN109756335B - 一种阶为梅森素数的有限域乘法群的公钥加密解密方法 - Google Patents

一种阶为梅森素数的有限域乘法群的公钥加密解密方法 Download PDF

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Abstract

本发明是一种基于有限域
Figure RE-360946DEST_PATH_IMAGE001
乘法群的公钥加密方法，其中p为素数且使得
Figure RE-534438DEST_PATH_IMAGE003
为梅森素数。有限域
Figure RE-482803DEST_PATH_IMAGE001
同构与多项式域
Figure RE-637709DEST_PATH_IMAGE004
，其中
Figure RE-733841DEST_PATH_IMAGE005
为p次本原多项式。有限域
Figure RE-117549DEST_PATH_IMAGE001
乘法群
Figure RE-936732DEST_PATH_IMAGE006
的阶为梅森素数
Figure RE-826321DEST_PATH_IMAGE007
，故任一非单位元的元素a的阶为
Figure RE-347433DEST_PATH_IMAGE003
,在公钥密码***中，接收方B公开随机元素a,本原多项式q做为***参数,随机数看k1为私钥，公开公钥g（其中
Figure RE-597148DEST_PATH_IMAGE008
）.加密方A生成随机数k2，进行模幂运算
Figure RE-769373DEST_PATH_IMAGE009
，加密明文m进行模乘运算
Figure RE-16814DEST_PATH_IMAGE010
，生成密文
Figure RE-775954DEST_PATH_IMAGE011
.解密方接受密文，使用私钥k1解密
Figure RE-829361DEST_PATH_IMAGE012
得明文m本发明可应用于对称密码，公钥密码和数字签名等方面。

Description

一种阶为梅森素数的有限域乘法群的公钥加密解密方法
技术领域
本发明关于公钥加密解密的技术，是利用阶为梅森素数的有限域乘法群的公钥加密解密方法。
背景技术
在整个密码学史上，1976年Whitfield Diffie 和Martin Hellman 发明的密钥交换或称为DH密钥交换方法奠定了公钥密码体制的基础,它的提出被认为是密码学上的一个里程碑。公钥密码特色是其加密解密算法中用到两把钥匙，一把为私钥用来解密；另一把为公钥用来加密。公钥和私钥不同但是有其相关性。如果只知道加密算法与公钥，无法求出解密私钥。
公钥加密解密***基本步骤如下。
解密方B产生私钥和公钥，公钥公开，用于加密方A加密数据；私钥私有，
用于解密。
加密方A用公钥和加密算法对明文加密形成密文，把密文发送给解密方B 。
解密方B接收到加密方发送的密文，用其私钥将密文解密。其他任意没有私钥的人无法对密文解密。
公钥加密解密***要满足一下条件：(a).私钥公钥的产生，加密解密的运算在计算上快速可行 (b).其他任何人只知道公钥和密文，要求出私钥或原有明文信息在计算上不可行。
目前主要有两大类型的公钥密码***是安全实用的.(a)基于大整数因子分解问题的RSA 体制，(b)基于离散对数问题的ElGamal公钥密码体制和椭圆曲线公钥密码体制.由于分解大整数的能力日益增强，为保证RSA 体制的安全性要增加秘钥位长，一般建议使用1024 bits位长，增大位长所导致的巨大的计算复杂度带来了实现上的难度.而基于离散对数问题的公钥密码在目前技术下512 bits 位长就能够保证其安全性, 椭圆曲线上的离散对数的计算要比有限域上的离散对数的计算更困难,目前技术下只需要160bits 位长即可保证其安全性。
发明内容
本发明提供一种基于有限域
Figure 873866DEST_PATH_IMAGE001
乘法群的公钥加密解密方法，其中p为素数,且 使得
Figure 458431DEST_PATH_IMAGE002
为梅森素数。该方法的安全参数大小由素数p决定，秘钥空间为
Figure 298211DEST_PATH_IMAGE003
，改变了传 统ElGamal算法安全参数
Figure 185396DEST_PATH_IMAGE004
对大素数p的唯一依赖性;与传统的ElGamal算法相比，本发 明大大降低了大素数p的长度要求，并且本发明对模平方，高次模幂和模乘运算提供一种有 效的快速算法，使加密和解密运算量极大的降低。本发明在实现过程中可以通过简单的异 或和移位运算来完成对数据的加密和解密, 整个过程中不需要构建任何的大整数运算结 构, 因而容易软硬件实现.不仅可对大量数据进行加密和解密，也可以进行数字签名,可替 代各类应用RSA和ElGamal加密解密的方法和标准。
附图说明
图1 本发明加密过程流程图。
图2 本发明解密过程流程图。
图3 本发明加密解密过程方框图。
图4 梅森素数及部分mod2本原不可约多项式图。
具体实施方式
取p=5，本原不可约多项式
Figure 477837DEST_PATH_IMAGE005
，
数组形式
Figure 866093DEST_PATH_IMAGE006
。
随机选择
Figure 560379DEST_PATH_IMAGE007
。
Figure 867733DEST_PATH_IMAGE008
；
Figure 913049DEST_PATH_IMAGE009
同理
Figure 839417DEST_PATH_IMAGE010
Figure 388210DEST_PATH_IMAGE011
Figure 882776DEST_PATH_IMAGE012
取
Figure 149809DEST_PATH_IMAGE013
。
随机取私钥
Figure 879868DEST_PATH_IMAGE014
。
则
Figure 283168DEST_PATH_IMAGE015
Figure 197903DEST_PATH_IMAGE016
。
取
Figure 952232DEST_PATH_IMAGE017
随机取
Figure 220402DEST_PATH_IMAGE018
。
Figure 743788DEST_PATH_IMAGE019
Figure 580157DEST_PATH_IMAGE020
Figure 556203DEST_PATH_IMAGE021
Figure 628064DEST_PATH_IMAGE022
取
Figure 927327DEST_PATH_IMAGE024
取明文
Figure 262494DEST_PATH_IMAGE025
，
加密
Figure 991415DEST_PATH_IMAGE026
。
解密
Figure 601388DEST_PATH_IMAGE027
，
Figure 99366DEST_PATH_IMAGE028
,
Figure 11958DEST_PATH_IMAGE029
Figure 228176DEST_PATH_IMAGE030
即得d=m。

Claims (1)

1.一种基于伽罗瓦域乘法单群的公钥加密解密计算方法,其特征在于其步骤包括：步骤一、伽罗瓦域（即有限域）
Figure DEST_PATH_IMAGE001
中，
Figure 874188DEST_PATH_IMAGE002
取素数，且使
Figure DEST_PATH_IMAGE003
为梅森素数，
Figure 868293DEST_PATH_IMAGE004
为
Figure DEST_PATH_IMAGE005
次不可约多项式，则伽罗瓦域
Figure 648031DEST_PATH_IMAGE006
中乘法群
Figure DEST_PATH_IMAGE007
是有限循环单群，群的阶为
Figure 105557DEST_PATH_IMAGE008
，任一非单位元元素
Figure DEST_PATH_IMAGE009
是
Figure 982246DEST_PATH_IMAGE010
的生成元，则
Figure DEST_PATH_IMAGE011
，
Figure 867025DEST_PATH_IMAGE012
公开，步骤二、解密方B公钥
Figure DEST_PATH_IMAGE013
公开，其中
Figure 196375DEST_PATH_IMAGE014
为其私钥，随机选择，且满足
Figure DEST_PATH_IMAGE015
，明文
Figure 457592DEST_PATH_IMAGE016
转化为
Figure DEST_PATH_IMAGE017
域中元素，步骤三、加密方A：
Figure 188788DEST_PATH_IMAGE018
，其中
Figure DEST_PATH_IMAGE019
随机选择，且满足
Figure 244469DEST_PATH_IMAGE020
，
Figure DEST_PATH_IMAGE021
，密文
Figure 64045DEST_PATH_IMAGE022
通过公共信道发送给解密方B，步骤四、解密方B解密：
Figure DEST_PATH_IMAGE023
。
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