CN109710955B - 基于lcd—递归定量分析的滚动轴承故障诊断及健康评估方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公布了基于LCD—递归定量分析的滚动轴承故障诊断及健康评估方法，首先利用LCD对滚动轴承监测的振动信号进行自适应分解，然后对分解的每条曲线进行相空间重构并绘制成为递归图，最终提取递归图中的递归率、确定性和层流性等作为故障特征，最后利用提取出来的递归定量特征进行滚动轴承的故障诊断与健康评估。
Description
技术领域
本发明涉及工业控制领域，具体地说涉及到基于LCD—递归定量分析的滚动轴承故障诊断及健康评估方法。
背景技术
随着科学技术的不断发展，我国现代工业生产水平不断提高，生产中使用的机械设备越来越朝着大型化、高速化、精密化、***化和高度自动化的方向发展。对于企业用户而言，确保这些机械设备长周期安全可靠运行，保障安全生产，能够带来巨大的经济效益和社会效益。然而，由于生产需要，当今国防与国民经济当中使用的各种机械设备长期运行在高速、高温、高压重载荷等恶劣工况下，设备当中的各个关键零部件在运行过程中会不可避免地出现疲劳失效，从而引发整个设备故障。故障一旦发生，不仅造成巨大的经济损失，甚至会导致灾难性的人员伤亡和环境污染。
轴承作为旋转机械当中的关键部件，其运行状态严重影响着整个机械设备的工作状况。据相关调查研究发现，由轴承引起的问题占了整个机器故障的40%以上，因此，对轴承等机械旋转部件进行故障诊断与健康评估的研究具有重要意义。
从机械旋转部件故障维护策略的发展来看，其监测维修策略从最初的故障后维修和周期预防性检修，发展到了现今基于设备状态的维修策略，并逐渐向智能预见性维护策略发展。其中，故障后维修由于只能在故障产生之后采取维修措施，无法避免故障带来的严重后果；周期预防性维修是不顾设备实际运行状态，定期地对设备进行停机检修，这种维护策略虽然可以有效避免故障的发生，但是会大大增加设备的停机时间，严重影响生产效率和经济效益；基于设备状态的维修策略（Condition-based Monitoring，CBM）则是在设备运行当中，不需停机拆卸设备，直接使用传感器采集设备的动态信号，利用现代信号处理技术提取信号特征从而了解设备的运行情况，诊断可能的故障情况。显然，这种维修策略相比之前的两种策略，更加符合企业用户的生产需求。目前，在人们对于维修策略智能化的要求日益提高的条件下，在基于状态的故障诊断算法飞速发展的基础上，机械部件的健康状态评估，也成为研究的热点。传统的故障诊断方法主要是针对已出现故障的机械信号的识别与分类，而健康评估方法则是评估机械部件的故障程度，指导后续的维修及保障工作的开展，因此，机械关键部件的健康评估研究对于降低停机时间、保证产品质量、提高生产效率同样有着极为重要的意义。
从传感器测得信号当中滤除噪声干扰并提取有效的故障特征是机械部件故障诊断与健康评估的基础。目前，机械故障特征提取方法主要分为时域方法、频域方法以及时频域方法三大类。信号的时域分析是指直接计算信号在时域当中的统计特征，将其用于评估与衡量部件当前的工作状态是否存在故障。常用的时域故障特征参数包括方差、均方根值、峰峰值、偏斜度指标、峭度指标等。时域分析方法计算简单，易于在线监测，但易受到噪声影响，多适用于故障较为严重、故障特征较为明显的信号。频域分析方法主要以快速傅里叶变换为理论基础，通过观察所获频谱的各个频率成分及其分布情况，对故障进行诊断分析。常用频域分析方法包括数字滤波方法、包络分析以及倒谱分析方法等。然而，傅里叶变换是对信号在整个时间段内的一种平均化的频率特征表示，它不能反映出信号在局部时间区域内的频域特征，因此一般适用于平稳信号的分析。针对傅里叶变换对非平稳信号持征提取上的不足，时频域分析方法应运而生。时频域分析是将时域信号映射到时间－频率（尺度）－幅值的三维空间当中，在该空间当中可以反映信号在不同局部时间段上的频率特征。短时傅里叶变换、Wigner-Ville分布、小波变换等时频域分析方法，均被广泛应用于机械故障信号的特征提取与诊断当中。总的来说，上述三类特征提取方法从本质上说均为线性信号处理方法，然而，现实中的机械***在实际运转中，部件之间不断变化的摩擦力、阻尼以及负载的存在使得其产生的振动信号往往呈现出明显的非线性特征，因此对非线性特征的提取就成为了非线性机械故障诊断领域的重要课题，而非线性信号处理方法则可以为机械部件的非线性特征提取提供一种有效的工具。
近年来，混沌时间序列分析已广泛应用于数学、物理、气象、信息科学、经济、生物等领域，对混沌时间序列分析的研究己成为非线性科学的前沿课题之一。混沌理论将确定性和随机性这两个传统上完全独立和相互矛盾的概念相互联系起来，认为被当作随机不规则的现象背后都存在着决定性的法则。随着Takens提出的使用延迟坐标法来重构非线性时间序列的相空间使得混沌动力***这样的理论抽象对象与实际工程中的测量时间序列联系起来。递归图是分析时间序列周期性、混沌性以及非平稳性的一个重要方法，用它可以揭示时间序列的内部结构，得出有关相似性、信息量和预测性，但是递归图只能定性分析时间序列的动力学特性，没有一个相对标准，其判断结果更多依赖研究者的主观经验，因此本文通过提取递归图中的一些定量特性来对非线性时间序列进行分析，从而可以更准确的对滚动轴承进行故障诊断与健康评估。
在对非线性时间序列进行相空间重构转化成为递归图之前，首先利用非线性信号自适应分解的方法将滚动轴承振动信号进行分离。局部特征尺度分解（LocalCharacteristic-scale Decomposition，LCD）可以将信号分解成若干个内禀尺度分量（Intrinsic Scale Components，ISCs），由于ISC包含信号局部特征，通过分析每个ISC来快速和精确的提取原始振动信号中的特征信息。LCD在减少端点效应、过包络、欠包络和迭代时间并且在计算精度上都要优于EMD和希尔伯特黄变换。因此本文采用LCD将原始信号分解，然后利用相空间重构的思想对分解的ISC分量转化为递归图之后提取定量特征进行递归定量分析从而对滚动轴承进行故障诊断与健康评估。
发明内容
本发明的目的是采用LCD原始信号分解，然后利用相空间重构的思想对分解的ISC分量转化为递归图之后提取定量特征进行递规定量分析从而对轴承进行故障诊断与健康评估。
为了实现上述目的，本发明的技术方案如下所述：
基于LCD-递归定量分析的滚动轴承故障诊断与健康评估方法，
S1：利用LCD对滚动轴承监测的振动信号进行自适应分解，
LCD依赖于其自身信号分解的，该过程可得到n个从高频到低频的ISCs，ISC分量必须满足以下两个条件：
()在整个数据集上，任何相邻的两个极值点的符号互不相同；
() 在整个数据集上，令所有的最大值点为，，其中是最大值点的数量。任意临近的最大（最小）值和由一条直线相连，该直线如下：
）（公式a）
为了保证ISC曲线的光滑性和对称性，和的比值为以常数：
（公式b）
，因此，，此时，和关于X轴对称；
基于ISC分量的定义，一个复杂的信号利用LCD方法可以被分解为多个ISC分量：
A： 假设信号的极值点是；
B： 利用公式（a）计算，通过公式（c）计算对应的：（c）;由于和的值从2到，因此需要将数据的边界进行延长，该延长方法可以有多种形式；和为延伸之后的两端的极值点，因此得到和；
C：所有的由三次样条曲线连接起来，该三次样条曲线则被定义为LCD的基线；原始信号和基线之间的差值被称为第一个ISC。. (公式d)，如果满足条件()和()，则作为第一个ISC；否则：
D：将视为原始信号重复以上步骤，得（公式e）,如果依旧不满足条件()和()，重复以上步骤次，直到满足ISC的条件，则为第一个ISC.；
E：将第一个从原始数据中分离出来，残差记作：（公式f）；
F： 将残差作为原始信号进行处理，重复以上步骤直到残差为常数或者为单调函数或者此函数极值点不超过三个；
G：原始信号被分解成为和残差，即为：（公式g）；其中，是第个ISC，为最终的残差；
原始的信号通过LCD被分解成若干个ISCs，前几个ISCs具有较高的频率和较大的能量，而最后几个ISCs则相对的比较稳定；
S2：对分解的每条曲线进行相空间重构并绘制成为递归图，递归图的构造原理如下：
H：对于采样时间间隔为的时间序列，采用Cao法及互信息法选择合适的嵌入维数及延迟时间重构时间序列，重构后的动力***为
（公式h）
I：计算重构后的相空间中第点和第点的距离
（公式i）
J：计算递归值
（公式j）
其中，为截止距离，可取固定值或随改变，使得半径为的球包含一定的邻域数,式中为Heaviside单位函数,（公式k）
K：采用一个以为横坐标，为纵坐标的坐标图绘制出，其中与分别为时间序列标号与，所得到的图为递归图；
进一步的方案是：Cao算法：根据式（公式l）计算相空间中的各点在各嵌入维数条件下的最邻近点的距离变化值,（公式l）,其中，为向量的范数，和分别为维空间的第个点和其最邻近点；和分别为维空间的第个点和其最邻近点，表示维空间和维空间的第个向量和它的最邻近点的的欧式距离,定义判别准则为:（公式m）,定义另一个判别准则为（公式n）,当时间序列固定不变时，存在嵌入维数，若当时，和停止变化或者变化波动较小，那么最小嵌入维数为；
进一步的方案是：互信息计算的递归算法，设有离散变量，，其状态数分别为，，则信息函数—熵定义为：（公式o），其中是变量在状态出现的概率，的联合熵定义为（公式p）；其中是变量在状态且变量在状态时出现的概率；互信息可以定义为（公式q）
设混沌时间序列，时间延迟为，嵌入维数为，重构相空间得（公式r）,其中，则***对变量的平均信息量为***的熵，（公式s）；记，考虑一个总的耦合***，假定已知为，则的不定性为：
（公式t）,其中，是条件概率;设在时刻时已知，则在时刻的平均不定性为：
（公式u）；
（公式v）
；其中，是孤立的的不定性，是已知的的不定性；所以的已知减少的不定性，互信息为
（公式w）;互信息不是变量或的函数，而是联合概率分布的函数；从概率分布的直方图中估计通常采用以下方法：设在，平面上点处的一个大小为的盒子，那么有（公式x）其中，，分别是盒子中点的数目和总点数；互信息为（公式y）；如果向量是一个延迟时间重构，则第一次达到最小值的时滞可作为相空间重构的时间延迟；
S3：递归定量的提取：
对于相空间重构后的个向量，根据（式-j）构建递归图后，递归率被定义为
（公式z）；设、分别表示递归图中45度方向和垂直方向直线的长度分布，分别定义为：（a1）
（a2）,式中：
——长度为的45度方向直线的条数；
——长度为的垂直方向直线的条数；
——长度为的45度方向或垂直方向直线的条数；
，——45度方向直线的最小长度（一般取2）和最大长度；
，——垂直方向直线的最小长度（一般取2）和最大长度；
因此，确定性DET和层流性LAM分别被定义为：
（a3）；（a4）
递归率描述了递归图中递归点的密度，反映了一个特定状态出现的概率；确定性描述了对角线结构的递归点数与所有递归点数的比例，反映了***的可预测性；层流性描述了递归图中垂直结构的递归点数量，反映了***的间歇性和层次性，这些递归图中提取的参数都是***动力学特征的反映，都可以作为特征参数用于滚动轴承的故障诊断与健康评估。
附图说明
附图1为本发明的流程图。
附图2为本发明滚动轴承数据采集试验台。
附图3为本发明具体实施方式中滚动轴承故障诊断数据描述。
附图4为本发明具体实施方式中滚动轴承健康评估数据描述。
附图5为本发明不同故障模式的滚动轴承振动数据LCD分解结果。
附图6为为本发明中具体实施方式相空间重构参数。
附图7本发明滚动轴承各故障模式下的递归图。
附图8为本发明不同故障模式的三维散点图。
附图9为本发明不同故障程度的滚动轴承振动数据LCD分解结果。
附图10为本发明不同故障程度下计算出来的各递归定量参数的平均值。
附图11为本发明滚动轴承各故障程度下的递归图。
附图12为本发明滚动轴承内环各故障程度的递归定量参数。
附图13为本发明滚动轴承内环各故障程度的递归率柱状图。
附图14为本发明滚动轴承内环各故障程度的确定性柱状图。
附图15滚动轴承内环各故障程度的层流性柱状图。
附图16滚动轴承用递归率评估出的健康度。
附图17滚动轴承用确定性评估出的健康度。
附图18滚动轴承用层流性评估出的健康度。
具体实施方式
下面结合具体实施方式和附图说明对本发明的技术方案做进一步详细的描述。
第一步：数据准备。
本发明以美国凯斯西储大学滚动轴承数据为例对所提方法进行验证。轴承实验装置如附图2所示，该试验台由一个2马力的电机（1hp=746W）,一个转矩传感器，一个功率计和电子控制设备组成。轴承故障采用电火花加工技术进行注入，所注入故障直径分别为0.007、0.014、0.021、0.028英寸。加速传感器通过使用磁性底座安放在电机壳体上，其所产生的振动信号由16通道DAT记录器进行采集，并且后期在MATLAB环境中处理。数字信号的采样频率为48000Hz，驱动端轴承故障数据采样频率为48000Hz。轴承外圈故障布置在3点钟、6点钟和12点钟方向。
故障诊断案例选取驱动端SKF轴承为研究对象，分别选取正常轴承、故障直径为0.021英寸的内环故障、滚动体故障和外环故障滚动轴承所采集的数据，具体数据组成如附图3所示，利用该数据来验证基于LCD-递归定量分析的滚动轴承故障诊断方法的可行性。
健康评估的案例选取驱动端轴承，以内环故障的轴承作为研究对象，以点蚀故障直径分别为0.007、0.014、0.021英寸的轴承分别作为不同的故障程度，具体数据组成如附图4所示。利用该数据，验证基于LCD-递归定量分析的滚动轴承健康评估方法的可行性。
第二步：基于LCD-递归定量分析的滚动轴承故障诊断
首先利用LCD对正常情况、内环故障、滚动体故障和外环故障等不同故障模式的滚动轴承进行自适应分解，分解层数为5层，分解后的各ISC分量数据如附图5所示。
之后，利用相空间重构的方式将每个LCD分解后的ISC分量转化成为递归图，在转化递归图时，每次选取ISC分量长度为1000个数据点，之后每次向后滑移100个数据点来形成多个递归图。在相空间重构过程中，选用CAO算法和互信息法计算相空间重构的嵌入维数和延迟时间，具体结果如附图6所示，将每种故障模式下的ISC分量的第0-1000个数据点转化成的递归图表示出来，如附图7所示，递归图中横轴、纵轴坐标均代表重构相空间中向量的个数。
在将滚动轴承振动数据LCD分解后的ISC分量转化成为递归图之后，利用（公式-25）、（公式-a1）和（公式-a2）计算递归图的递归率、确定性和层流性。
将计算出来的递归定量特征绘制在三维散点图中，如附图8所示，从图中可以看出，不故障模式的数据具有很好的可分性，同一故障模式的递归定量特征具有很好的聚集性，因此验证了本方法可以很好地对滚动轴承进行故障诊断。
第三步：基于LCD-递归定量分析的滚动轴承不同故障程度的诊断
首先利用LCD对正常情况、内环故障程度1、故障程度2和故障程度3等不同故障程度的滚动轴承进行自适应分解，分解层数为5层，分解后的各ISC分量数据如图9所示。
之后，利用相空间重构的方法将每个LCD分解后的ISC分量转化成为递归图，在转化递归图时，每次选取ISC分量长度为1000个数据点，之后每次向后滑移100个数据点来形成多个递归图。在相空间重构过程中，选用CAO算法和互信息法计算相空间重构的嵌入维数和延迟时间，具体结构如附图10所示。将每种故障模式下的ISC分量的第0-1000个数据点转化成为递归图表示出来，如附图11所示。
从图11中可以看出，随着轴承故障程度的增加，递归图中递归点的密度及水平垂直线的结构均有所变化。为了定量描述递归图，将LCD分解后的ISC分量转化成为递归图之后，利用（公式-y）、（公式-a2）、（公式-a3）和（公式-a4）计算递归图中的递归率RR、确定性DET和层流性LAM三个递归定量分析特征参数，将每种故障程度下计算出来的各递归定量参数的平均值列于附图12中，为了更加直观的看出滚动轴承故障程度与递归定量特征之间的关系。将附图12中的三种递归定量参数绘制在图13-图15中，从图中可以看出随着故障程度的增加，递归图的递归率是逐渐增大的，而递归图的确定性和层流性两个指标是逐渐减小的，为了更方便的表达滚动轴承的健康状态，将三个指标分别归一化为CV值并绘制在柱状图中，如图16—图18所示，从CV图中可以看出，随着故障程度的增加，递归定量特征参数均可以评估出滚动轴承的健康度在下降，且确定性和层流性评估的更接近。通过以上试验可以证明本发明的方法可以很好的对滚动轴承进行健康评估。
Claims (3)
1.基于LCD-递归定量分析的滚动轴承故障诊断与健康评估方法，含有如下步骤，其特征是：
S1：利用LCD对滚动轴承监测的振动信号进行自适应分解，
LCD依赖于其自身信号分解，该过程可得到n个从高频到低频的ISCs，ISC分量必须满足以下两个条件：
()在整个数据集上，任何相邻的两个极值点的符号互不相同；
() 在整个数据集上，令所有的最大值点为，，其中是最大值点的数量；任意临近的最大（最小）值和由一条直线相连，该直线如下：
）（公式a）
为了保证ISC曲线的光滑性和对称性，和的比值为常数：
（公式b）
，因此，，此时，和关于X轴对称；
基于ISC分量的定义，一个复杂的信号利用LCD方法可以被分解为多个ISC分量：
A： 假设信号的极值点是；
B： 利用公式a计算，通过公式c计算对应的：（公式c）;由于和的值从2到，因此需要将数据的边界进行延长，该延长方法可以有多种形式；和为延伸之后的两端的极值点，因此得到和；
C：所有的由三次样条曲线连接起来，该三次样条曲线则被定义为LCD的基线；原始信号和基线之间的差值被称为第一个ISC. (公式d)，如果满足条件()和()，则作为第一个ISC；否则：
D：将视为原始信号重复以上步骤，得（公式e）,如果依旧不满足条件()和()，重复以上步骤次，直到满足ISC的条件，则为第一个ISC.；
E：将第一个从原始数据中分离出来，残差记作：（公式f）；
F： 将残差作为原始信号进行处理，重复以上步骤直到残差为常数或者为单调函数或者此函数极值点不超过三个；
G：原始信号被分解成为和残差，即为：（公式g）；其中，是第个ISC，为最终的残差；
原始的信号通过LCD被分解成若干个ISCs，前几个ISCs具有较高的频率和较大的能量，而最后几个ISCs则相对的比较稳定；
S2：对分解的每条曲线进行相空间重构并绘制成为递归图，递归图的构造原理如下：
H：对于采样时间间隔为的时间序列，采用Cao法及互信息法选择合适的嵌入维数及延迟时间重构时间序列，重构后的动力***为
（公式h）
I：计算重构后的相空间中第点和第点的距离
（公式i）
J：计算递归值
（公式j）
其中，为截止距离，可取固定值或随改变，使得半径为的球包含一定的邻域数,式中为Heaviside单位函数,（公式k）
K：采用一个以为横坐标，为纵坐标的坐标图绘制出，其中与分别为时间序列标号与，所得到的图为递归图；
S3：递归定量的提取：
对于相空间重构后的个向量，根据（式-j）构建递归图后，递归率被定义为
（z）；设、分别表示递归图中45度方向和垂直方向直线的长度分布，分别定义为：（a1）
（a2）,式中：
——长度为的45度方向直线的条数；
——长度为的垂直方向直线的条数；
——长度为的45度方向或垂直方向直线的条数；
，——45度方向直线的最小长度（一般取2）和最大长度；
，——垂直方向直线的最小长度（一般取2）和最大长度；
因此，确定性DET和层流性LAM分别被定义为：
（a3）；（a4）
递归率描述了递归图中递归点的密度，反映了一个特定状态出现的概率；确定性描述了对角线结构的递归点数与所有递归点数的比例，反映了***的可预测性；层流性描述了递归图中垂直结构的递归点数量，反映了***的间歇性和层次性，这些递归图中提取的参数都是***动力学特征的反映，都可以作为特征参数用于滚动轴承的故障诊断与健康评估。
2.根据权利要求1所述的基于LCD-递归定量分析的滚动轴承故障诊断与健康评估方法，其特征是：Cao算法：根据式（公式l）计算相空间中的各点在各嵌入维数条件下的最邻近点的距离变化值, （公式l）,其中，为向量的范数，和分别为维空间的第个点和其最邻近点；和分别为维空间的第个点和其最邻近点，表示维空间和维空间的第个向量和它的最邻近点的的欧式距离,定义判别准则为: （公式m）,定义另一个判别准则为（公式n）,当时间序列固定不变时，存在嵌入维数，若当时，和停止变化或者变化波动较小，那么最小嵌入维数为。
3.根据权利要求1所述的基于LCD-递归定量分析的滚动轴承故障诊断与健康评估方法，其特征是：互信息计算的递归算法，设有离散变量，，其状态数分别为，，则信息函数—熵定义为：（公式o），其中是变量在状态出现的概率，，的联合熵定义为（公式p）；其中是变量在状态且变量在状态时出现的概率；互信息可以定义为（公式q）；
设混沌时间序列，时间延迟为，嵌入维数为，重构相空间得（公式r）,其中，则***对变量s的平均信息量为***的熵，（公式s）；记，考虑一个总的耦合***，假定已知为，则的不定性为：
<math display = 'block'><mrow><mi>H</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>Q</mi><msub><menclose notation='left'><mi>s</mi></menclose><mi>i</mi></msub><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mo>−</mo><mrow><munder><mo>∑</mo><mi>j</mi></munder><mrow><msub><mi>P</mi><mrow><mi>q</mi><menclose notation='left'><mi>s</mi></menclose></mrow></msub><mo stretchy='false'>(</mo><msub><mi>q</mi><mi>j</mi></msub><menclose notation='left'><msub><mi>s</mi><mi>i</mi></msub></menclose><mo stretchy='false'>)</mo><log/><mfenced open = '[' close = ']'><mrow><msub><mi>P</mi><mrow><mi>q</mi><menclose notation='left'><mi>s</mi></menclose></mrow></msub><mo stretchy='false'>(</mo><msub><mi>q</mi><mi>j</mi></msub><menclose notation='left'><msub><mi>s</mi><mi>i</mi></msub></menclose><mo stretchy='false'>)</mo></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>−</mo><mrow><munder><mo>∑</mo><mi>i</mi></munder><mrow><mfenced open = '[' close = ']'><apply><divide/><csymbol><msub><mi>P</mi><mi>sq</mi></msub><mo stretchy='false'>(</mo><msub><mi>s</mi><mi>i</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy='false'>)</mo></csymbol><csymbol><msub><mi>P</mi><mi>s</mi></msub><mo stretchy='false'>(</mo><msub><mi>s</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy='false'>)</mo></csymbol></apply></mfenced><mo>×</mo><log/><mfenced open = '[' close = ']'><apply><divide/><csymbol><msub><mi>P</mi><mi>sq</mi></msub><mo stretchy='false'>(</mo><msub><mi>s</mi><mi>i</mi></msub><mo>,</mo><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy='false'>)</mo></csymbol><csymbol><msub><mi>P</mi><mi>s</mi></msub><mo stretchy='false'>(</mo><msub><mi>s</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy='false'>)</mo></csymbol></apply></mfenced></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow>（公式t）,其中，是条件概率;设在时刻时已知，则在时刻的平均不定性为
（公式u）；
（公式v）；其中，是孤立的的不定性，是已知的的不定性；所以的已知减少的不定性，互信息为
（公式w）;
互信息不是变量或的函数，而是联合概率分布的函数；从概率分布的直方图中估计通常采用以下方法：设在，平面上点处的一个大小为的盒子，那么有
（公式x）其中，，分别是盒子中点的数目和总点数；互信息为<math display = 'block'><mrow><msub><mi>I</mi><mi>n</mi></msub><mo stretchy='false'>(</mo><msub><mi>X</mi><mn>0</mn></msub><mo>,</mo><msub><mi>X</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><mo>⋅</mo><mo>⋅</mo><mo>⋅</mo><mo>,</mo><msub><mi>X</mi><mi>n</mi></msub><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mrow><munder><mo>∑</mo><mi>j</mi></munder><mrow><mfenced open = '[' close = ']'><mrow><mi>H</mi><mo stretchy='false'>(</mo><msub><mi>X</mi><mi>j</mi></msub><mo stretchy='false'>)</mo><mo>−</mo><mi>H</mi><mo stretchy='false'>(</mo><msub><mi>X</mi><mn>0</mn></msub><mo>,</mo><msub><mi>X</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><mo>⋅</mo><mo>⋅</mo><mo>⋅</mo><mo>,</mo><msub><mi>X</mi><mi>n</mi></msub><mo stretchy='false'>)</mo></mrow></mfenced></mrow></mrow></mrow>（公式y）；如果向量是一个延迟时间重构，则第一次达到最小值的时滞可作为相空间重构的时间延迟。
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