CN109658362B - 基于Capped核范数的数据恢复方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了基于Capped核范数的数据恢复方法，包括以下步骤：S1，将输入的原始不完整的数据设置为三维张量的形式X；S2，定义张量X在三维层面上的capped核范数||X||θ：其中，θ为capped参数，σi(X)为张量奇异值，||X||*为张量的核范数；S3，最小化所述的capped核范数，直至X收敛；输出被还原张量。本发明通过三维张量的秩而补全张量中丢失的数据，具体通过定义张量在三维层面上的capped核范数，对该capped核范数迭代求解从而最小化，以此获得低秩张量，实现了快速、精准的对三维张量进行补全。

Description

基于Capped核范数的数据恢复方法
技术领域
本发明涉及一种基于Capped核范数的数据恢复方法，属于数据恢复技术领域。
背景技术
随着信息技术的不断发展，人们获取数据的规模越来越大。在众多采集的信息中，大部分信息是残缺不全的。比如低能耗的无线传感器获得的图像或者视频流数据可能会因带宽与能量限制而像素不全，大规模的用户信息可能会有细微处的残缺。因此造成了大部分情况下大规模的信息不具备直接使用的条件。
目前，三维张量补全中采取核范数、截断核范数的方法，未能很好的近似张量的秩，收敛率低，从而导致无法快速、精准的对三维张量进行补全。因此仍需进行改进。
发明内容
本发明的目的在于，提供一种基于Capped核范数的数据恢复方法，它可以实现快速、精准的对三维张量进行补全。
为解决上述技术问题，本发明采用如下的技术方案：基于Capped核范数的数据恢复方法，包括以下步骤：
S1，将输入的原始不完整的数据(如图片、视频流等数据)设置为三维张量的形式X；
S2，定义张量X在三维层面上的capped核范数(即盖帽核范数)||X||θ：其中，θ为capped参数(即盖帽参数)，σi(X)为张量奇异值，||X||*为张量的核范数；n1，n2分别为张量沿第一维、第二维上的长度；
S3，最小化所述的capped核范数，直至X收敛；输出被还原张量。
优选的，步骤S3中所述的最小化所述的capped核范数，包括以下步骤：首先，进行数据初始化：设置并初始化capped参数θ、拉格朗日乘子Λ、张量U、惩罚参数ρ(ρ通常可初始化为6.5e-3左右)、ρmax(惩罚参数的最大值上限一般可设置为1e10)以及更新步长参数μ(比如更新步长参数可初始化为1.25)；将拉格朗日乘子Λ初始化等于X；
其次，循环以下几个步骤，直至X收敛：
1)更新辅助张量S
其中，Dα(·)为奇异值阈值化函数，α表示奇异值阈值化的阈值参数(即收缩参数)；k表示当前的迭代次数(迭代多少次视需要而定)，k的初始值为0；
2)更新X
3)更新Λ
Λk+1＝Λk+ρk(Xk+1-Sk+1)
4)更新ρ
ρk+1＝min(ρk*μ，ρmax)；
当||Xk+1-Xk||2≤0.1时，则为收敛，迭代结束。
通过以上方法可以实现快速、精准的对三维张量进行补全，速度可相对于背景技术中的现有技术快三十秒，精度普遍高2点PSNR值。
优选的，所述的张量U通过以下方法确定：将输入数据即原始张量X进行奇异值分解；计算过程中，将每一个对角矩阵上的奇异值进行三值化：如果大于盖帽参数θ，则改为1；如果小于盖帽参数θ，改为0；如果等于盖帽参数θ，改为0.5；然后进行逆傅里叶变换，恢复为对角张量；再与左奇异张量、右奇异张量相乘，得到的张量除以capped参数θ，即为张量U。从而可以进一步提高对三维张量进行补全的精度。
前述的基于Capped核范数的数据恢复方法中，所述的将输入数据即原始张量X进行奇异值分解，即分解目标为X＝U*S*V*。
前述的基于Capped核范数的数据恢复方法中，具体通过以下方法将输入数据即原始张量X进行奇异值分解：
首先，对张量进行傅里叶变换得到变换后的张量；
其次，将变换后的张量，沿第三维，将组成其的二维矩阵，依次进行矩阵的奇异值分解小写字母为矩阵，u的列为左奇异向量，s为对角矩阵且对角线上为奇异值，v的列为右奇异向量；
再次，(因为)将由奇异值分解得到的矩阵，分别进行逆傅里叶变换，即得到的三个张量即为原张量的张量奇异值，即为分解结果X＝U*S*V*。
以上方法计算速度快，从而可以进一步提高三维张量补全的速度。
优选的，前述方法中，将capped参数θ初始化为0.01，惩罚参数ρ初始化为6.5e-3；更新步长参数μ初始化为1.25。从而可以使得三维张量补全的精度更高，速度更快。
优选的，通过以下方法进行张量的奇异值阈值化：将张量奇异值分解，得到的对角矩阵上的奇异值减去收缩参数；若差值为负数，则置0；用得到的矩阵代替原始的对角矩阵，最后再恢复为张量。
与现有技术相比，本发明通过三维张量的秩而补全张量中丢失的数据，具体通过定义张量在三维层面上的capped核范数，对该capped核范数迭代求解从而最小化，以此获得低秩张量，实现了快速、精准的对三维张量进行补全。本发明的方法可以应用于视频恢复、图像重建、推荐***中的高维张量丢失信息的恢复。另外发明人经研究发现：现有的capped核范数局限在二维矩阵上，由于没有在三维层面上进行定义，因而部分运算规则未能拓展到三维张量上，无法满足越来越高的快速、精准的对三维张量进行补全的需求。通过利用本发明的方法将输入数据即原始张量X进行奇异值分解以及进行张量的奇异值阈值化，并且对张量的盖帽核范数进行约束、最小化，从而最终实现了快速、精准的对三维张量进行补全。这也正是本发明的技术难点所在。
附图说明
图1是本发明的一种实施例的工作流程图；
图2为实验例中的初始图片示意图；
图3为实验例中的图片恢复结果示意图。
下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步的说明。
具体实施方式
本发明的实施例：基于Capped核范数的数据恢复方法，如图1所示，包括以下步骤：
S1，将输入的原始不完整的数据(如图片、视频流等数据)设置为三维张量的形式X；
S2，定义张量X在三维层面上的capped核范数(即盖帽核范数)||X||θ：其中，θ为capped参数(即盖帽参数，一般可设置θ为0.01，可以根据实践中效果而进行适当调整)，σi(X)为张量奇异值，||X||*为张量的核范数；n1，n2分别为张量沿第一维、第二维上的长度(matlab里的size函数，可以自动获得张量的n1和n2的值)；
S3，最小化所述的capped核范数，直至X收敛；输出被还原张量。
可选的，步骤S3中所述的最小化所述的capped核范数，包括以下步骤：首先，进行数据初始化：设置并初始化capped参数θ、拉格朗日乘子Λ、张量U、惩罚参数ρ(ρ通常可初始化为6.5e-3左右)、ρmax(惩罚参数的最大值上限一般可设置为1e10)以及更新步长参数μ(比如更新步长参数可初始化为1.25)；将拉格朗日乘子Λ初始化等于X；
其次，循环以下几个步骤，直至||Xk+1-Xk||2收敛：
1)更新辅助张量S
其中，Dα(·)为奇异值阈值化函数，α表示收缩参数(即奇异值阈值化的阈值参数)；k表示当前的迭代次数(迭代多少次视需要而定)，k的初始值为0；
2)更新X
3)更新Λ
Λk+1＝Λk+ρk(Xk+1-Sk+1)
4)更新ρ
当||Xk+1-Xk||2≤0.1时，则为收敛，迭代结束。
可选的，所述的张量U通过以下方法确定：将输入数据即原始张量X进行奇异值分解；计算过程中，将每一个对角矩阵上的奇异值进行三值化：如果大于盖帽参数θ，则改为1；如果小于盖帽参数θ，改为0；如果等于盖帽参数θ，改为0.5；然后进行逆傅里叶变换，恢复为对角张量；再与左奇异张量、右奇异张量相乘，得到的张量除以capped参数θ，即为张量U。
可选的，所述的将输入数据即原始张量X进行奇异值分解，即分解目标为X＝U*S*V*。
具体通过以下方法将输入数据即原始张量X进行奇异值分解：
首先，对张量进行傅里叶变换得到变换后的张量；
其次，将变换后的张量，沿第三维，将组成其的二维矩阵，依次进行矩阵的奇异值分解小写字母为矩阵，u的列为左奇异向量，s为对角矩阵且对角线上为奇异值，v的列为右奇异向量；
再次，(因为)将由奇异值分解得到的矩阵，分别进行逆傅里叶变换，即得到的三个张量即为原张量的张量奇异值，即为分解结果X＝U*S*V*。
可选的，通过以下方法进行张量的奇异值阈值化：将张量奇异值分解，得到的对角矩阵上的奇异值减去收缩参数；若差值为负数，则置0；用得到的矩阵代替原始的对角矩阵，最后再恢复为张量；
即进行以下处理：
其中，r为矩阵的秩，τ为收缩参数。
计算过程中，涉及到张量乘法，张量其中，张量的block circulant操作即：将张量的第三维上的矩阵以循环形式展开到平面张量的unfold操作：沿第三维竖直展开到平面上故fold(·)操作为/>
实验例：本发明的方案可以更好的近似张量的秩，且对其进行约束，适用于具有低秩特性的图像补全。具体包括以下步骤：
S1，首先(可采用matlab的imread()等技术)将待恢复图片(如图2所示)设置为三维张量的形式即X；
S2，定义张量X在三维层面上的capped核范数(即盖帽核范数)||X||θ：其中，θ为capped参数(即盖帽参数)，σi(X)为张量奇异值，||X||*为张量的核范数；n1，n2分别为张量沿第一维、第二维上的长度(matlab里的size函数，可以自动获得张量的n1和n2的值)；
S3，最小化所述的capped核范数，直至X收敛；输出被还原张量；具体包括以下步骤：
首先，进行数据初始化：设置并初始化capped参数θ、拉格朗日乘子Λ、张量U、惩罚参数ρ、ρmax以及更新步长参数μ，并将拉格朗日乘子Λ初始化等于X；将capped参数θ设置为0.01，ρ初始化为6.5e-3；μ初始化为1.25；ρmax设置为1e10，ρ不可大于ρmax；所述的张量U通过以下方法确定：将输入数据即原始张量X进行奇异值分解；计算过程中，将每一个对角矩阵上的奇异值进行三值化：如果大于盖帽参数θ，则改为1；如果小于盖帽参数θ，改为0；如果等于盖帽参数θ，改为0.5；然后进行逆傅里叶变换，恢复为对角张量；再与左奇异张量、右奇异张量相乘，得到的张量除以capped参数θ，即为张量U；设置最大迭代次数200，循环超过200次则结束迭代。令err＝||Xk+1-Xk||2，err≤0.1时结束迭代。
其次，循环以下几个步骤，直至||Xk+1-Xk||2收敛：
令k＝0；转到1)；
1)更新辅助张量S，并转到2)；
其中，Dα(·)为奇异值阈值化函数，α表示奇异值阈值化的阈值参数，即收缩参数；k表示当前的迭代次数，k的初始值为0；其中，通过以下方法进行张量的奇异值阈值化：将张量奇异值分解，得到的对角矩阵上的奇异值减去收缩参数；若差值为负数，则置0；用得到的矩阵代替原始的对角矩阵，最后再恢复为张量；
2)更新X并转到3)；
3)更新Λ并转到4)；
Λk+1＝Λk+ρk(Xk+1-Sk+1)
4)更新ρ并转到5)；
ρk+1＝min(ρk*μ，ρmax)；
5)判断||Xk+1-Xk||2的值是否收敛(||Xk+1-Xk||2≤0.1时为收敛)？若收敛，则迭代结束，导出图片；否则令k＝k+1,转到1)。
其中，所述的将输入数据即原始张量X进行奇异值分解，即分解目标为X＝U*S*V*。
具体通过以下方法将输入数据即原始张量X进行奇异值分解：
首先，对张量进行傅里叶变换得到变换后的张量；
其次，将变换后的张量，沿第三维，将组成其的二维矩阵，依次进行矩阵的奇异值分解小写字母为矩阵，u的列为左奇异向量，s为对角矩阵且对角线上为奇异值，v的列为右奇异向量；
再次，(因为)将由奇异值分解得到的矩阵，分别进行逆傅里叶变换，即得到的三个张量即为原张量的张量奇异值，即为分解结果X＝U*S*V*。
采用本发明的方法进行三维张量补全的最终精度和耗时与θ参数、ρ、μ有关，根据实践效果，可在本实验例的参数大小的上下进行调整。
与现有技术相比，最先进的基于截断核范数的三维张量补全方法，其精度为27，耗时为40s。而在本实验例中，通过利用本发明的基于盖帽核范数的迭代方法，应用于图片上PSNR值(PSNR是描述图片质量的值，可以理解为精度)可达到28.3，比当前最先进的基于截断核范数的方法精度高1个点；而迭代时间为13.1s，耗时为当前最先进的基于截断核范数的方法的32.5％。

Claims (6)

1.基于Capped核范数的数据恢复方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1，采用matlab中的imread()函数将待恢复图片设置为三维张量的形式即X；
S2，定义张量X在三维层面上的capped核范数‖X‖θ： 其中，θ为capped参数，σi(X)为张量奇异值，‖X‖*为张量的核范数；n1，n2分别为张量沿第一维、第二维上的长度；
S3，最小化所述的capped核范数，直至X收敛；输出被还原张量，将所述被还原张量转换为图片，即实现了待恢复图片的恢复；其中，所述的最小化所述的capped核范数，包括以下步骤：
首先，进行数据初始化：设置并初始化capped参数θ、拉格朗日乘子Λ、张量U、惩罚参数ρ、ρmax以及更新步长参数μ；将拉格朗日乘子Λ初始化等于X；其次，循环以下几个步骤，直至X收敛：
1)更新辅助张量S
其中，Dα(·)为奇异值阈值化函数，α表示收缩参数；k表示当前的迭代次数，k的初始值为0；
2)更新X
3)更新Λ
Λk+1＝Λk+ρk(Xk+1-Sk+1)
4)更新ρ
ρk+1＝min(ρk*μ，ρmax)；
当||Xk+1-Xk||2≤0.1时，则X收敛，迭代结束。
2.根据权利要求1所述的基于Capped核范数的数据恢复方法，其特征在于，所述的张量U通过以下方法确定：将输入数据即原始张量X进行奇异值分解；计算过程中，将每一个对角矩阵上的奇异值进行三值化：如果大于盖帽参数θ，则改为1；如果小于盖帽参数θ，改为0；如果等于盖帽参数θ，改为0.5；然后进行逆傅里叶变换，恢复为对角张量；再与左奇异张量、右奇异张量相乘，得到的张量除以capped参数θ，即为张量U。
3.根据权利要求2所述的基于Capped核范数的数据恢复方法，其特征在于，所述的将输入数据即原始张量X进行奇异值分解，即分解目标为X＝U*S*V*。
4.根据权利要求3所述的基于Capped核范数的数据恢复方法，其特征在于，具体通过以下方法将输入数据即原始张量X进行奇异值分解：
首先，对张量进行傅里叶变换得到变换后的张量；
其次，将变换后的张量，沿第三维，将组成其的二维矩阵，依次进行矩阵的奇异值分解小写字母为矩阵，u的列为左奇异向量，s为对角矩阵且对角线上为奇异值，v的列为右奇异向量；
再次，将由奇异值分解得到的矩阵，分别进行逆傅里叶变换，即得到的三个张量即为原张量的张量奇异值，即为分解结果X＝U*S*V*。
5.根据权利要求1所述的基于Capped核范数的数据恢复方法，其特征在于，将capped参数θ初始化为0.01，惩罚参数ρ初始化为6.5e-3；更新步长参数μ初始化为1.25。
6.根据权利要求1所述的基于Capped核范数的数据恢复方法，其特征在于，通过以下方法进行张量的奇异值阈值化：将张量奇异值分解，得到的对角矩阵上的奇异值减去收缩参数；若差值为负数，则置0；用得到的矩阵代替原始的对角矩阵，最后再恢复为张量。
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