CN109598175A - 一种基于多小波基函数和超正交前向回归的时频分析方法 - Google Patents

一种基于多小波基函数和超正交前向回归的时频分析方法 Download PDF

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Abstract

本发明提出了一种基于多小波基函数和超正交前向回归的非平稳信号时频分析方法。该方法首先建立参数随时间变化的时变自回归模型，然后用基函数扩展法辨识模型参数，即将时变参数表示为一组多小波基函数的线性加权组合，时变模型转化为时不变模型辨识问题；接着，采用超正交前向回归方法辨识稀疏模型结构，排除模型冗余项，并估计稀疏模型参数，其中交互信息准则作为模型项选择标准；最后，利用所估计参数反向求解自回归模型时变参数，并根据时变参数估计值和功率谱密度公式计算信号的时频特征。与现有时频分析方法对比，本发明能同时获得较高的时间分辨率和频率分辨率，准确提取非平稳信号的时频分布特征，为非平稳信号的辨识分析提供了新的思路与计算框架。

Description

一种基于多小波基函数和超正交前向回归的时频分析方法
技术领域
本发明提出一种基于多小波基函数及超正交前向回归的辨识算法，它为非平稳***的时频分析提供了新的解决思路，属于信号分析与处理领域。
背景技术
在传统的信号处理中，研究者大多通过傅里叶变换建立信号时域与频域之间变换的桥梁，揭示信号的频域特征。但是傅里叶变换在整体上将信号分解为不同频率分量，作为频率表征的功率谱无法提供信号具体时刻的频率分量情况。实际研究中许多信号如雷达信号、地震波、医学信号等都为非平稳信号，这类信号频率分量情况随时间变化，对信号进行单一时域或频域分析不能满足实际处理的需要。针对这类非平稳信号的分析问题，将时域和频域结合的时频分析方法受到研究者越来越广泛的关注。
时频分析采用时间-频率联合表示信号，将一维时间信号映射到二维的时频平面，全面反映观测信号的时频联合特征。目前时频分析方法主要有两类：非参数方法和参数方法。非参数方法如短时傅里叶变换是基于对信号时频联合分布的非参数表示，受不确定性原理的约束，该方法在时间分辨率和频率分辨率不能同时达到最优。时变参数建模法通过信号建模及参数估计分析非平稳信号，克服了非参数方法时频分辨率有限的问题，能够同时得到较高的时间与频率分辨率。
时变参数建模方法目前主要有三种思路：第一种思路是将信号划分成滑动的时间窗口，每个时间段当作平稳信号来处理，这类方法的缺点在于时变信号辨识结果与所选窗口尺度相关，并没有固定的标准来确定合适的窗口尺度；第二种思路是采用自适应算法，将模型中的相关的时变参数当成随机模型来处理，这类方法主要包括最小均方算法(theleast-mean squares,LMS)和递推最小二乘法(recursive least squares,RLS)等等，这类算法的优势在于计算量小，稳定度高，但在分析结构参数变化迅速的信号时无法准确抓取变化快速的特征，难以反映信号真实情况；第三种思路即采用基函数扩展法建立时变参数模型，将时变参数表示为一组已知基函数的线性加权组合，将时变问题转化为易于处理的时不变参数辨识问题，通过对时不变参数的辨识进而得到时变参数及结构。实际应用中，常常根据经验针对不同特性信号选择不同的基函数(Li Y,Wei H L,Billings S A,etal.Time-varying model identification for time–frequency feature extractionfrom EEG data[J].Journal of Neuroscience Methods,2011,196:151–158.)，每种基函数都有各自逼近特性，如傅里叶基函数和勒让德多项式可以有效辨识变化缓慢且平滑的时变参数，而小波基函数可以同时辨识平滑及变化剧烈的时变参数。本发明采用小波基函数进行时变参数辨识。
多小波基函数扩展法将时变问题转换为易于处理的时不变参数辨识问题，但同时使得模型结构确立变得更为复杂，扩展后的模型包含大量的冗余项，如何建立稀疏准确的模型结构是极具挑战性的问题。本发明引入超正交前向回归方法解决模型结构辨识问题，该方法不同于传统的正交前向回归方法，不仅分析数据本身的信息，同时结合数据点与点之间的弱导数的信息确立模型结构。信号中提取的更多信息能使其准确找到模型中的隐藏规律，得到正确稀疏的模型。
本发明结合多小波基函数及超正交前向回归方法提出一种新的参数时频分析方法。该方法可以准确逼近非平稳信号的快速变化，辨识稀疏模型结构，从而得到高分辨率的时频结果，为非平稳信号的分析提供了新的解决思路。
发明内容
本发明提供了一种基于时变参数模型的非平稳信号时频分析方法，采用多小波基函数逼近模型中的时变参数，将时变信号辨识问题转化为时不变参数估计问题，再利用超正交前向回归方法辨识扩展后时不变模型的稀疏结构，并估计相应的模型参数，最终根据功率谱公式得到时频分析结果。其中，多小波基函数具有多尺度和多分辨率特性，对变化快速和缓慢的时变参数都可以有效识别与跟踪，已广泛应用于具有多种动态特征的时变参数的辨识。超正交前向回归方法是一种***辨识算法，通过利用信号数据及其弱导数变化规律辨识模型结构，得到正确的稀疏模型。通过实验验证，本发明所提出的方法克服了传统方法时频分辨率有限的问题，能够得到分辨率高的时频分析结果，为非平稳信号的辨识提供了新的思路。
本发明提出的基于多小波基函数及超正交前向回归的时频分析方法具体包括如下步骤：
1.时变自回归模型：用信号自回归项作为***模型输入，构建非平稳信号对应的时变自回归模型；
2.多小波自回归模型：用多小波基函数对时变自回归模型的系数进行展开，得到多小波自回归模型；
3.模型结构辨识：利用超正交前向回归方法选择有意义的模型项，建立稀疏模型结构，并估计模型参数；
4.模型重构：通过反向求解得到时变参数，并重构时变自回归模型；
5.时频分析：利用时变自回归模型的功率谱公式得到信号时频分析结果。
其中，在所述步骤1中，利用FPE定阶准则确定模型阶数。
在所述步骤2中，利用多小波基函数对时变参数进行展开，可以将时变参数辨识转化为关于多项式的时不变参数辨识问题。
所述步骤3中，利用超正交前向回归方法可以大大减少模型参数数目，建立稀疏模型结构，避免模型的过度拟合。
本发明所提出的基于多小波基函数和超正交前向回归的时频分析方法的优点包括：
1.时频分辨率高，可准确辨识强噪声、非平稳的信号，准确提取其时频特征；
2.利用超正交前向回归方法得到稀疏模型结构，计算速度快，参数估计准确；
3.能根据信号灵活选择多小波基函数尺度，适应性好。
附图说明
图1为根据本发明提出的时频分析方法的流程示意图。
图2为所构建的非平稳信号示意图。
图3显示了本发明提出的时频分析方法与现有时频分析方法对所构建的非平稳信号的时频分析结果对比；其中图3(a)为短时傅里叶法的时频分析结果，图3(b)为基于递推最小二乘的参数时频分析方法，图3(c)为本发明方法的时频分析结果。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步的详细说明。
本发明目的在于提供一种新的基于多小波基函数和超正交前向回归的参数辨识方法，以解决非平稳信号的时频分析问题，能够同时得到较高的时间与频率分辨率。
图1展示了根据本发明实施案例方法的流程图，包括：
首先用信号自回归项作为模型输入，建立非平稳信号对应的时变自回归模型(步骤1)；接着，用多小波基函数对自回归模型的时变参数进行展开，得到多小波自回归模型(步骤2)；再利用超正交前向回归方法选择有意义的模型项，建立稀疏模型结构，并估计所对应的模型参数(步骤3)；然后通过反向求解得到时变自回归模型中的时变参数，并根据功率谱公式求得时频分析结果(步骤4-5)。
下面具体介绍根据本发明所提供的基于多小波基函数和超正交前向回归的时频分析方法，其具体步骤包括：
1.时变自回归模型：用信号自回归项作为***模型输入，构建非平稳信号对应的时变自回归模型。
时变自回归模型是一种特殊的参数模型，因为其模型参数是随时间变化的。一个p阶时变参数模型如下所示：
式中y(t)表示***输出，即所要辨识的非平稳信号，ai(t)(i＝1,2,…,p)为时变参数，p为模型阶次，e(t)是均值为0，方差为σ2的高斯白噪声。
为确定正确的模型阶数p，本发明采用最终预测误差(FPE)定阶准则选择模型阶数。FPE表达式如下：
式中，N为数据长度，p为模型阶数，为预测误差。
2.多小波自回归模型：用多小波基函数对时变自回归模型的系数进行展开，得到多小波自回归模型。
小波基函数的特性在于可以准确跟踪变化快速及缓慢的时变参数，具有很强的适应性，常被用于时变参数的估计中。小波函数ψ(x)是一组在区间(-∞,+∞)内积分为0的函数，通过伸缩和平移，可以得到一组在勒贝格空间L2(R)内平方可积的小波基函数：
φl,j(x)＝2j/2ψ(2jx-l),j,l∈Z. (3)
其中，j称为尺度因子(伸缩因子)，主要可用来调整此小波函数的尺度大小，l被称为平移因子，可用来调整小波函数的具***置。根据小波理论，可将时变自回归模型(1)中的时变参数表示为一组多小波基函数的线性加权组合，如下式所示：
式中，r为小波阶数，为基函数的时不变权系数，为小波基函数。M为基函数的维数。将上式代入式(1)得：
式(5)即多小波自回归模型。可以看出，通过多小波基函数扩展的方法，将原本的时变参数辨识问题转化为确定性回归选择与参数估计问题。其中，未知的时变参数已经表示为多小波基函数的线性加权组合。
3.模型结构辨识：利用超正交前向回归方法选择有意义的模型项，建立稀疏模型结构，并估计模型参数。
模型结构选择是***辨识过程中的重要步骤，其目的在于将有意义的模型项从冗余的模型项集合中选择出来，得到一个稀疏有效的模型。从多小波自回归模型(5)中可以看出，当选择的小波基函数较多时，模型的候选项存在大量的冗余项，会导致模型过度拟合或出现病态情况。因此，确立稀疏准确的模型结构至关重要，本发明采用超正交前向回归算法对模型结构进行辨识。
超正交前向回归算法在索伯列夫空间Hm([0,T])定义损失函数标准：
其中为多小波扩展项，为其所对应的时不变参数，Dl表示l阶弱导数。其中(6)中的第一部分即常规的最小二乘标准，衡量两个信号数据点之间的类似程度，它注重***整体上的差异；第二部分不同于传统的损失函数标准，它衡量了信号数据弱导数之前的关系，更注重***细节差异。因此，超最小二乘标准是一种更为苛刻的范数标准，能辨识出模型中内在信息。在模型的辨识过程中，模型的输出项及输入自回归项都是定义在勒贝格空间上随时间变化的函数，模型辨识的过程即是在寻找一个使损失函数(6)达到最小值的最优解的过程。
根据超最小二乘标准(6)，可以将所要辨识的多小波自回归模型(5)转化为一个新的超最小二乘问题:
其中为有n0阶连续弱导数的测试函数，上标(m)表示m阶弱导数，T为时间序列数据点的数目。
模型(7)为待辨识的超最小二乘问题，这里采用交互信息标准(mutualinformation,MI)结合正交最小二乘算法选择合适的模型项。交互信息可以被看做是一个随机变量所包含的另一个随机变的信息量的多少，给定任意两个离散变量x∈χ与y∈Υ以及它们所分别对应的边际概率函数p(x)，p(y)，联合概率函数p(x,y)。那么MI可描述为下式：
当y为超最小二乘问题(7)中的输出值，x为模型中的扩展项，那么I(x,y)则可以用来衡量两者的相干性，从而作为标准来挑选合适的项。模型项的数目由赤池信息量准则(Akaike information criterion,AIC)确定。
4.模型重构：通过反向求解得到时变参数，并重构时变自回归模型。
根据估计出的时不变展开系数利用公式(4)、(5)可以得到估计出的自回归模型的时变参数，并得到最终所建立的时变自回归模型。
5.时频分析。辨识出时变参数模型的时变参数后，根据功率谱公式对信号进行时频分析。功率谱计算公式如下：
式中，fs为采样频率，为时变参数的估计值，为观测误差的方差。
求出信号的时频分布图，即得到信号的时频分布特征。
本发明所提出的基于多小波基函数与超正交前向回归的时频分析方法与现有的主流分析方法进行了实验对比。构建非平稳仿真时间序列：
其中ξ＝0.5，υ＝0.25，这个非平稳信号包含四个频率分量：fθ＝6Hz，fα＝12Hz，fβ＝25Hz，fγ＝40Hz，采样频率为100，噪声为均值为0，方差为0.16的正态分布序列。所产生的时间序列如图2所示。
图3展示了三种时频分析方法所得到的结果：(a)短时傅里叶变换(STFT)；(b)基于递推最小二乘的参数时频分析(RLS)；(c)所提出的基于多小波基函数与超正交前向回归的时频分析方法。由图可知STFT算法受不确定性原理的约束，时频分辨率较低；RLS算法容易受噪声的影响，无法跟踪上信号的快速变化，使得频谱波动较大，频率分辨率低；所提时频分析方法可以快速跟踪信号变化，稳定性高，所得时频分布结果明显由于之前两种传统算法。
以上对本发明所提供的基于切比雪夫多项式展开的时变神经动力学***辨识方法进行了详细的说明，但显然本发明的范围并不局限于此。在不脱离所附权利要求书所限定的保护范围的情况下，对上述实施例的各种改变都在本发明的范围之内。

Claims (3)

1.基于多小波基函数和超正交前向回归的时频分析方法，其特征在于包括：
步骤1.时变自回归模型：用信号自回归项作为***模型输入，构建非平稳信号对应的时变自回归模型；
步骤2.多小波自回归模型：用多小波基函数对时变自回归模型的系数进行展开，得到多小波自回归模型；
步骤3.模型结构辨识：利用超正交前向回归方法选择有意义的模型项，建立稀疏模型结构，并估计模型参数；
步骤4.模型重构：通过反向求解得到时变参数，并重构时变自回归模型；
步骤5.时频分析：利用时变自回归模型的功率谱公式得到信号时频分析结果。
2.如权利要求1所述的基于多小波基函数和超正交前向回归的时频分析方法，其特征在于：
所述步骤2包括：利用多小波基函数对时变自回归模型的系数进行展开，建立多小波自回归模型。与时间相关的时变参数{ai(t),(i＝1,2,…,p)}转化为与多项式相关的时不变的展开系数
3.如权利要求1所述的基于多小波基函数和超正交前向回归的时频分析方法，其特征在于：
所述步骤3包括：利用超正交前向回归方法建立稀疏模型结构，即从冗余的模型扩展项中选择有意义的若干项建立模型。所述超正交前向回归方法选用交互信息(mutualinformation,MI)准则作为模型结构选择标准。
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