CN109581356A - 一种常值机动空间目标的约束滤波追踪方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种常值机动空间目标的约束滤波追踪方法，属于航天器导航制导与控制领域。本发明首先将空间目标的机动加速度作为状态变量的一部分，构造扩维卡尔曼滤波器；针对常值机动的空间目标，对机动加速度施加范数约束，通过使扩维目标函数最小化来获得最优估计；对扩维目标函数进行最小化可以通过分别对***状态及机动函数的性能指标进行最小化获得；最后，给出了局部范数约束的扩维卡尔曼滤波跟踪算法的流程，相比于无约束的扩维卡尔曼滤波，该算法可以有效提高对常值机动空间目标的跟踪精度。此外，按照该算法进行计算，可减少计算机的计算负荷，缓解星载计算机资源有限的问题。

Description

一种常值机动空间目标的约束滤波追踪方法

技术领域

本发明公开了一种常值机动空间目标的约束滤波追踪方法，属于航天器导航制导与控制领域。

背景技术

目标跟踪问题实际上就是目标状态的跟踪滤波问题，即根据传感器已获得的目标方位角和距离，对目标状态进行估计，它是军事和民用领域中的一个重要问题。早在上世纪五十年代，机动目标跟踪的基本概念已经形成，但直到七十年代卡尔曼滤波理论在、目标跟踪中成功应用以来，机动目标跟踪技术才进入快速发展阶段。目前在目标跟踪问题中广泛应用的算法为，在扩维卡尔曼滤波器的基础上，将其分解为两个并行降阶估计器，在未知机动是恒定的情况下，两个降阶估计器轮流工作并产生***状态和未知机动的最佳估计，同时该方法解决了扩维卡尔曼滤波器在滤波器维度增大时，计算负荷增大的问题，但是只有当航天器受到常值扰动时，扩维卡尔曼滤波才是有效的。如果机动是时变的，那么估计就会出现偏差，时变速率越大，估计偏差越大。显然，这种性能下降是模型和未知机动不匹配造成的。这种情况下，通常使用满足线性或非线性约束的约束卡尔曼滤波器来进行估计。通过对状态进行约束，可以减少由模型失配引起的估计偏差。范数保持是对***的整个或部分状态施加的典型非线性约束。

当前大多数绕地飞行的航天器都是有常值推进器推进的，在地球中心惯性坐标系内描述航天器运动时，推进器产生的加速度方向是时变的，但其大小是不变的。

发明内容

本发明的目的是提供一种常值机动空间目标的约束滤波追踪方法，该方法将具有两阶公式的扩维卡尔曼滤波器在范数约束的条件下推广到具有时变扰动的***，得出两阶公式的局部范数保持扩维卡尔曼滤波器，运用此滤波器来追踪具有常值机动的航天器时，具有更高的精度。

本发明的目的通过以下方案实现。

本发明公开的一种常值机动空间目标的约束滤波追踪方法，首先建立目标跟踪问题的数学模型；其次，建立具有两阶公式的扩维卡尔曼滤波器；然后，在扩维卡尔曼滤波器的基础上施加局部约束，重新构建估计器并最小化扩维目标函数来获得最优估计；最后，求出卡尔曼增益和后验协方差，完成预测和更新步骤，完成一次追踪过程，开始下一时刻的追踪。

本发明公开的一种常值机动空间目标的约束滤波追踪方法，包括如下步骤：

步骤一、建立目标问题模型。

在惯性系中，对地三轴稳定并推力大小恒定的航天器在轨道上的运动用离散时间状态空间方程表示：

x_k+1＝A_kx_k+G_kd_k+Γ_kw_k (1.a)

y_k＝C_kx_k+v_k (1.b)

其中x_k表示***状态变量，x_k∈Rⁿ，其中，y_k表示测量矢量，y_k∈R^p，过程噪声w_k和测量噪声v_k都是白噪声且w_k∈R^m、v_k∈R^m，过程噪声的协方差矩阵为Q_k，Q_k∈R^m×m，测量噪声的协方差矩阵为R_k，R_k∈R^p×p，并且Q_k＞0，R_k＞0。矩阵A_k表示***矩阵，G_k是机动矢量系数矩阵，Γ_k是噪声系数矩阵，C_k表示输出矩阵；d_k表示常值机动矢量，d_k∈R^m；下角标k表示k时刻***的各个参数，同理下角标k+1表示k+1时刻***对应的参数。由于航天器相对惯性坐标系做姿态运动，因此常值机动矢量的方向是变化的，则描述为：

d_k+1＝(I+δ_k)d_k (2)

其中，δ_k∈R^m×m是未知的时变矩阵，航天器对地三轴稳定，姿态变化缓慢，于是有

δ_k≈0 (3)

常值机动矢量满足范数约束

||d_k||＝ρ其中ρ＞0 (4)

系数矩阵G_k和Γ_k具有相同的秩

rank[G_k]＝rank[Γ_k]＝m (5)

(A_k,C_k)具有能观测性，(A_k,G_k)和(A_k,Γ_k)具有能控性。

步骤二、建立无约束扩维卡尔曼滤波器。

A.对步骤一建立的目标问题模型，即公式(1.a)(1.b)，进行扩维，得到扩维***，即公式(7.a)(7.b)；

扩维卡尔曼滤波(ASKF)将未知机动作为状态的一部分，扩维后状态量表示为

其中X_k表示扩维状态变量，X_k∈R^n×m，因此，公式(1.a)(1.b)表示为：

其中上标横杠表示扩维符号，表示扩维后的***矩阵，表示扩维后的噪声系数矩阵，表示扩维后的输出矩阵，而有

于是和表示为

进而得到

B.建立无约束扩维卡尔曼滤波器(UASKF)；

初始机动是高斯随机变量，常值机动的无约束估计由下式确定常值机动初值与其无约束估计值的协方差为

状态变量和常值机动变量的互协方差为

基于步骤二得到的扩维***，即公式(7.a)(7.b)，令δ_k＝0，则无约束扩维卡尔曼滤波器表示为：

其中，是状态变量的一步预测，是先验状态协方差，是后验协方差，是卡尔曼增益矩阵，η_k+1表示残差矢量，表示后验估计值：

表示一步预测测量，此时无约束估计器(10)能够稳定工作并且产生最优结果。

无约束的先验估计误差和后验估计误差定义为

将式(7.a)(7.b)和式(10.a)代入式(11)中，前验估计误差表示为：

将式(10.e)和式(10.f)代入到式(12)中，后验估计误差表示为：

将式(13)代入式(14)，得到：

将后验估计误差和卡尔曼增益矩阵分解为：

根据后验估计误差的分解和卡尔曼增益矩阵的分解，将式(15)重写为：

求式(17)的数学期望，于是有：

在式中，δ_k+1d_k+1表示：

当时间趋于无穷时k→∞，式(19)表示为：

由式(21)不等于0可以看出，常值机动的方向变化使状态估计出现了偏差。

步骤三、在步骤二中建立的无约束扩维卡尔曼滤波器，即(10.a)(10.b)(10.c)(10.d)(10.e)(10.f)(10.g)，中施加局部约束，建立局部约束扩维卡尔曼滤波器，进而减小估计偏差，提高追踪精度。

A、确定性能指数施加机动范数约束，减少因式(3)近似而带来的负面影响，重建扩维卡尔曼滤波器(10.a)(10.b)(10.c)(10.d)(10.e)(10.f)(10.g)。将扩维后验协方差矩阵定义为：

其中局部协方差定义为

表示状态变量后验协方差，表示常值机动后验协方差，均表示状态变量和常值机动的后验互协方差。

另外，考虑式(4)中的范数约束条件，归一化机动估计：

在满足式(26)约束的条件下，将式(10.e)分解为

于是有

将式(28)代入式(26)中，有

因此，考虑到范数约束，通过最小化扩维目标函数J_k+1来获得最优估计：

其中

tr{}表示矩阵的迹。为方便起见，将局部性能指数定义为：

其中表示与***状态变量有关的局部性能指数，表示与常值机动有关的局部性能指数，标量λ_k+1表示拉格朗日乘数。显然，和互相独立，且仅取决于 仅取决于因此，J_k+1的最小化等价于分别对和进行最小化，于是有

B、对施加约束后的扩维状态量的估计通过最小化可以得到施加约束后的扩维状态量的最优估计值。

约束扩维卡尔曼滤波器的预测部分为：

其中是约束常值机动估计，是施加约束后常值机动误差的协方差，是施加约束后常值机动与状态变量间的互协方差。

约束扩维卡尔曼滤波器的修正部分如下：

其中Θ_k+1为

C、对常值机动施加范数约束后的估计通过最小化性能指标来构造机动的局部估计。基于无约束扩维卡尔曼滤波器(10)

考虑到

对矩阵的迹的最小化等于对协方差的最小化，然后将式(38)代入式(33)中，对式(33)取和λ_k+1的偏导数，然后令偏导数等于零，则最小化的一阶条件表示为

展开式(39)和式(40)

由式(58)可知，det(Θ+λ_k+1η_k+1η_k+1 ^T)≠0，则式(41)中的

而(Θ+λ_k+1η_k+1η_k+1 ^T)有

把式(44)代入(43)得到

此外，将式(45)代入(42)中，得到关于λ_k+1的二阶方程

方程中b和c的值表示为

根据韦达定理对式(46)进行求解，即可得到拉格朗日乘数λ_k+1

其中表示成

式(49)表明，拉格朗日乘数有两个可能的解，且不能为0。接下来，要证明，当λ_k+1的符号为正时有最小值，λ_k+1的符号为负时，有最大值。由于增益矩阵是列矢量，则通过再次对式(39)进行微分能够获得与常值机动有关的局部性能指数的海森矩阵：

式(51)显示，海森矩阵是对角矩阵，根据式(49)

根据式(50)，式(52)改写为

根据式(35.g)，将式(52)写为：

其中r是标量测量噪声的协方差，根据式(53)和式(54)，可知，当λ_k+1的值为正数时，海森矩阵是正定的，与常值机动有关的局部性能指数有最小值，反之，λ_k+1是负数时，有最大值。

为了证明当λ_k+1的符号为正时，矩阵Θ+λ_kη_k+1η_k+1 ^T是正定的，把Θ+λ_kη_k+1η_k+1 ^T重写为

在左右两边同时乘上η_k+1有

根据式(50)，在式(56)左右两边同时乘以有

因为Θ_k+1是正定的，则最终，式(56)可以化简为

则式(58)表明，矩阵Θ+λ_kη_k+1η_k+1 ^T是正定的，同时有det(Θ+λ_k+1η_k+1η_k+1 ^T)＞0

D、施加约束后的卡尔曼增益矩阵和施加约束后的后验协方差矩阵最小性能指标的最优拉格朗日乘数表示为：

然后将式(55)代入式(45)中得：

其中是与常值机动相关的局部约束卡尔曼增益矩阵，并且

根据卡尔曼滤波算法，并校正一步预测可以得到约束常值机动估计：

其中是常值机动估计的一步预测，是约束常值机动估计。显然，约束常值机动估计被归一化以满足式(26)中的约束，则说明满足了范数约束。同时，局部约束卡尔曼增益通过约束条件将约束常值机动估计投影旋转到m维欧几里得表面。

除此之外，还有

其中表示为

将式(65)代入式(64)中有

因为测量噪声总是与和不相关，因此，忽略与和相关项，则式(66)表示为：

最终，得出

步骤四、追踪过程

表1.

有益效果

本发明公开的一种常值机动空间目标的约束滤波追踪方法，将具有两阶公式的扩维卡尔曼滤波器在范数约束的条件下推广到具有时变扰动的***，得出两阶公式的局部范数保持扩维卡尔曼滤波器，运用此滤波器来追踪具有常值机动的航天器时，具有更高的追踪精度。

附图说明

图1是实施例1的机动的无约束估计结果，(a)为对x轴方向上的轨道机动估计；(b)为x轴方向上的机动估计误差；(c)为对y轴方向上的轨道机动估计；(d)为y轴方向上的机动估计误差；

图2是实施例1的机动在施加范数约束后的估计结果，(a)为对x轴方向上的轨道机动估计；(b)为x轴方向上的机动估计误差；(c)为对y轴方向上的轨道机动估计；(d)为y轴方向上的机动估计误差；

图3是实施例1的航天器在对常值机动施加范数约束前后，对机动值的估计结果比较；

图4是实施例1的航天器位置和速度的无约束估计结果，(a)为对x轴方向上的位置估计误差；(b)为x轴方向上的速度估计误差；(c)为对y轴方向上的位置估计误差；(d)为y轴方向上的速度估计误差；

图5是实施例1的航天器位置和速度在施加范数约束后的估计结果，(a)为对x轴方向上的位置估计误差；(b)为x轴方向上的速度估计误差；(c)为对y轴方向上的位置估计误差；(d)为y轴方向上的速度估计误差；

图6是实施例1中，x轴方向和y轴方向上性能指数的变化情况。

具体实施方式

下面结合附图与实施例对本发明进行说明，同时，为了说明本发明追踪具有更高的精度，将与无约束估计情况下进行比较。

实施例1

在轨道上运行的航天器三轴稳定，且具有常值推力发动机。在轨道机动过程中，发动机总是产生沿轨道方向的加速度。为了简单计算，令航天器运动在圆轨道上，轨道加速度未知，并由Ω表示，则常值推力加速度可以在地心惯性坐标系中表示为：

其中T表示推力值，表示初始相位，M表示航天器的质量。显然可以看出，航天器推力加速度的大小为常数，但方向时刻改变。做以下规定：1)真实的轨道动力学只有扰动过程噪声；2)航天器能正常、准确地进行姿态控制；3)地面站可连续稳定的追踪航天器。

用约束后滤波器和无约束滤波器分别追踪该航天器，评价约束后滤波器和无约束滤波器的性能指数为

其中表示无约束估计误差，表示约束估计误差。用平均均方根误差的比率表示相对精度。当μ(k)大于100％时，其表明约束估计的精确度高，反之无约束估计的精确度高。

A.动力学方程及观测量

1)动力学方程运用二体模型来描述航天器轨道运动。当航天器收到未知扰动时，该运动可以用线性摄动加速度来表示：

其中μ_e表示地球引力系数，r＝[x,y,z]^T表示航天器在轨道中的位置矢量，v＝[v_x,v_y,v_z]^T表示航天器的速度矢量，w表示航天器的扰动过程噪声。式(71)中的所有矢量均表示在地心惯性坐标系中。用状态向量x来表示航天器的位置矢量和速度矢量，则式(71)可以写成步骤一中状态方程形式：

其中

其中D＝F＝[0 I]^T，D是输入矩阵，F是噪声矩阵。将式(73)在临近状态进行泰勒展开有：

根据式(73)和式(74)可以对轨道方程进行离散化，则：

x_k+1＝Φ_k+1,kx_k+B_kd_k+G_kw_k (75)

其中Φ_k+1,k是状态转移矩阵：

Φ(k+1,k)Φ(k+1,k)^T＝I_6×6 (77)

其中Δt是时间更新的间隔。

2)观测量

航天器被地基相控阵雷达以时间离散的方式追踪。相控阵雷达固定在地球表面，并随地球一起转动，测量航天器在可测范围内的角度和距离，非线性测量模型表示为：

z_k＝h(x_SEZ(k))+υ_k (78)

其中是测量向量，其包括距离，距离变化率，方位角，高程和测量不确定度。x_SEZ(k)是表示在当地东-南天顶坐标系(SEZ)中的位置矢量：

除此之外，还有

矢量r_SEZ(k)＝[x_SEZ(k) y_SEZ(k) z_SEZ(k)]^T可以通过将矢量r从地心惯性坐标系(ECI)变换到地心地固坐标系(ECEF)中得到，最后变换到东-南天顶坐标系(SEZ)中有：

其中T_ECEF→SEZ是从ECEF坐标系到SEZ坐标系的旋转变换矩阵，T_ECI→ECEF是从ECI坐标系到ECEF坐标系的旋转变换矩阵，表示雷达在ECEF坐标系中的位置。同样的，速度也能进行类似的坐标变换：

于是有

其中

把式(83)代入到式(80)中，测量值则可用x(k)来表示，把测量值在估计状态附近线性化有：

其中表示状态的估计值，是状态的一步预测，H_k+1是测量值的雅各比矩阵，它可以按如下计算方式得到：

3)数值结果

首先考虑赤道轨道上的航天器，轨道偏心率和高度分别为0和600km，航天器质量为1000kg，并且恒定大小20N的推进器固定在航天器上。在模拟过程中，推进器始终在x-y平面内产生正弦机动加速度。模拟仿真的初始条件规定如下：初始轨道状态x₀＝[6978000m0m 0m 0m/s 7557.9m/s 0m/s]，初始机动d₀＝[0m/s² 0m/s² 0m/s²]，初始状态的协方差为未知机动加速度的协方差过程噪声的协方差设定为Q＝10^-12×I_3×3，测量噪声为R＝diag([40000 400 7.62×10^-9 7.62×10^-9])。根据表1的整理过程和给定的初始条件，即可成功构建滤波器，滤波器的工作频率为1Hz，仿真时长为初始圆轨道的一个周期，两个方向的无约束机动估计如图1所示，其中虚线表示实际的运动，而实线表示估计结果。从左图可以看出，无约束估计器由于初始误差而遭受剧烈振荡，在初始振荡之后，估计的机动跟随真实的机动，但具有显著的时间延迟，这可以通过以下事实来解释：无约束估计器总是假设机动加速度是恒定的，因此无约束估计器不能及时响应机动的变化。右图显示了机动的机动估计误差，结果表明在整个模拟过程中两个方向的误差都会释放出来，最大误差都大于0.005m/s²。

图2显示的结果值得关注。与图1中的结果相比，它清楚地表明，一旦将规范约束应用于机动估计，无约束估计被归一化以保持机动的幅度，并且约束估计机动的变化更敏感。结果表明开始时的剧烈震荡受到了显著的抑制，此外，估计的时间延迟以及估计误差都减小了。

图3显示了估计的机动加速度的大小。在无约束估计的情况下，估计的机动在前100秒内剧烈振荡，但是当估计值达到相对稳定的阶段时，估计的幅度在大多数时间内小于0.02。但是对于约束估计，因为我们选择参数K_T＝0.975，机动加速度的大小被投射到[0.0195,0.02]的范围内，这使得估计的机动加速度更接近真实的加速度。

轨道位置和速度的估计误差在图4和图5中表示，其中实线表示估计误差，而虚线表示σ边界。由于机动加速度估计的时间延迟，受约束和无约束的情况的估计误差都受到初始振动的影响，如图中所示。在达到相对稳定的阶段后，无约束估计器大致达到沿两个方向的30m(σ)精度，而约束估计器的精度达到约20m(σ)，并且在将约束估计器运用到速度估计后，估计得到的速度的精确度也提高了。对机动的范数约束，如每个图中右边的图所示。结果清楚地表明，在将常值范数约束纳入未知机动加速度后，估计精度得到了提高。

图6示出了约束估计量相对于无约束估计量的估计性能。可以看出，在模拟开始时，沿两个方向的估计性能指数急剧振荡，这主要是由两个估计器的初始收敛引起的，但是在大约10s之后，性能总是大于1，然后大于1.2在大约1500s之后，最终它分别在x和y方向上达到1.5和1.4的最大值。基于图5中的结果，可以确认约束估计器比无约束估计器具有更好的性能。

综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种常值机动空间目标的约束滤波追踪方法，包括如下步骤：

步骤一：建立目标问题模型。

在惯性系中，考虑一个对地三轴稳定并推力大小恒定的航天器在轨道上运动，其运动可用离散时间状态空间方程表示

x_k+1＝A_kx_k+G_kd_k+Γ_kw_k (1.a)

y_k＝C_kx_k+v_k (1.b)

其中x_k∈Rⁿ表示***状态，d_k∈R^m表示常值机动矢量。由于航天器相对惯性坐标系做姿态运动，因此机动矢量的方向是变化的，可以描述为

d_k+1＝(I+δ_k)d_k (2)

其中δ_k∈R^m×m是一个未知的时变矩阵，因为航天器的姿态变化缓慢，于是有

δ_k≈0 (3)

但机动矢量满足范数约束

||d_k||＝ρ其中ρ＞0 (4)

并且y_k∈R^p表示测量矢量，过程噪声w_k∈R^m和测量噪声v_k∈R^m都是白噪声，其协方差矩阵分别为Q_k∈R^m×m，R_k∈R^p×p，并且Q_k＞0，R_k＞0。矩阵A_k，G_k，Γ_k和C_k具有合适的维度

rank[G_k]＝rank[Γ_k]＝m (5)

并且(A_k,C_k)是能观测的，(A_k,G_k)和(A_k,Γ_k)是可控的。

步骤二：建立无约束扩维卡尔曼滤波器。

A.扩维***

扩维卡尔曼滤波(ASKF)将未知机动作为状态的一部分，扩维后状态量表示为

其中X_k∈R^n+m表示扩维状态矢量，因此，***(1)可表示为

其中上标横杠表示扩维符号，有

于是和可以表示为

进而可以得到

B.建立无约束扩维卡尔曼滤波(UASKF)

假设初始机动是高斯随机变量，无约束估计由下式确定

互协方差为

基于扩维***(7)，假设机动时不变的并且令δ_k＝0，那么无约束扩维卡尔曼滤波器可以表示为

其中，是一步预测，是先验状态协方差，是后验协方差，是卡尔曼增益矩阵，η_k+1表示残差矢量

注意到如果δ_k＝0，那么无约束估计器(10)能够稳定工作并且产生最优结果。

无约束的先验和后验估计误差定义为

将式(7)和式(10.a)代入式(11)中，可以得出

同样的，将式(10.e)和式(10.f)代入到式(12)中，后验估计误差可以表示为

进一步，将式(13)代入式(14)并得到

将后验估计误差和增益矩阵分解为

根据式(16)，式(15)可以重写为

考虑到式(17)和式(18)，于是有

当时间趋于无穷时k→∞于是我们有

显然，状态估计是有偏的，这主要是由于机动的变化引起的。

步骤三：在无约束扩维卡尔曼滤波器中施加局部约束。

施加机动范数约束，减少因式(3)近似而带来的负面影响，重建估计器(10)。

将扩维后验协方差矩阵定义为

其中局部协方差定义为

另外，考虑满足式(4)中约束的归一化机动估计

将式(10.e)分解为

于是有

将式(28)代入式(16)中，有

因此，考虑到范数约束，可以通过最小化扩维目标函数来获得最优估计：

式(30)的右侧满足

其中tr{}表示矩阵的迹。为方便起见，将局部性能指数定义为

其中标量λ_k+1表示拉格朗日乘数。显然，由于和分别仅取决于和因此，J_k+1的最小化可以分别对和进行最小化，于是有

A.对***状态施加局部约束后的估计

通过最小化基于传统的卡尔曼滤波器示例构造局部估计器并不困难。省去赘述，我们直接表示估算如下：

预测部分为

修正部分如下

其中Θ_k+1为

B.对机动施加局部约束后的估计

对的最小化

通过最小化性能指标来构造机动的局部估计。基于估计器(10)

考虑到

对迹的最小化等于对协方差的最小化，然后将式(38)代入式(33)中，对式(33)取和λ_k+1的偏导数，然后将其等于零，于是最小化的一阶条件可以表示为

展开式(39)和式(40)

从式(41)，由于det(Θ+λ_k+1η_k+1η_k+1 ^T)≠0(在式(58)中证明)，其符合

而对于等式的后半部分

把式(44)代入(43)得到

此外，将式(45)代入(42)中，得到关于λ_k+1的二阶方程

方程中b和c的值可以表示为

通过对式(46)使用韦达定理

其中可以表示成

式(49)表明对于最优拉格朗日乘数有两种可能的解，为了确定最小化的符号，应该检查二阶条件。

在式(49)中，符号为正时性能指数将最小化，而在选择负号时最大化。当增益是列矢量时，可以通过再次对式(39)进行微分来获得性能指标的海森矩阵。

式(51)显示，海森矩阵是对角矩阵，根据式(49)

根据式(50)，式(52)可以改写为

回顾式(35)，可以得出

其中r是标量测量噪声的协方差，更进一步，根据式(53)和式(54)，当选择正号时，海森矩阵是正定的，并且出现最小性能指数。相反的，就会出现最大性能指标。

C.协方差矩阵的更新

最小性能指标的最优拉格朗日乘数可以表示为

然后将式(55)代入式(45)中得

其中是与扰动相关的局部卡尔曼增益矩阵，并且

根据卡尔曼滤波算法，约束机动估计可以通过将一步预测校正为如下形式

其中是无约束估计。显然，约束估计被归一化以满足式(26)中的约束，并且，局部约束卡尔曼增益将估计值投影到由约束条件跨越的m维欧几里德表面，而不是无约束条件方向。

除此之外，还有

其中可以表示为

将式(61)代入式(60)中有

因为测量噪声总是与和不相关，因此，式(66)可以通过略去与和相关项来重新表述

最终，可以得出

2.根据权利要求1所述的一种常值机动空间目标的约束滤波追踪方法，其特征在于：如步骤三所示，在扩维卡尔曼滤波器的基础上，对机动施加范数约束，从而减少因δ_k≈0近似而带来的负面影响，于是可以重新构建估计器，进而完成算法的更新和迭代。