CN109270838A - 一种粒子群复形法求解生物反应器的补料优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于生物反应器的补料优技术领域，公开了一种粒子群复形法求解生物反应器的补料优化方法。本发明提出用粒子群复形法求解此类问题。此算法是在充分考虑粒子群算法与复形法的特性，保持复形法的迭代机理，同时加入粒子群算法基本思想，再结合几何分点、梯度与信赖域等的基础上提出的；以克服粒子群算法与复形法易陷局部极值的不足。性能测试的结果表明:该算法简便、可行、高效；最后将所提出的算法用于Park‑Ramirez生物反应器补料流率的动态优化，也取得了满意的效果。

Description

一种粒子群复形法求解生物反应器的补料优化方法

技术领域

本发明属于生物反应器的补料优技术领域，尤其涉及一种粒子群复形法求 解生物反应器的补料优化方法。

背景技术

过程***通常用较为复杂的非线性微分方程组描述，动态优化就是对方程 中的某个(或几个)操作变量实施控制，使过程的某个指标达到最优。典型的连续 过程动态优化问题可表述为:

式中:x、u分别称为状态和控制变量(或操作变量)。

当***的有关梯度很难或不可计算时，基于极大值原理的最速下降法、共 轭梯度等就不再适用，此时应采用无须梯度的算法；如遗传算法、蚁群算法等。 但遗传算法、蚁群算法等都是离散算法，用这两种算法求解连续问题必须对问 题进行离散化；这给问题的求解带来一定的不便性。而且求解此类问题也要求 算法具有强优化性能。由Kennedy等人提出粒子群(PSO)算法是一种有效的随机 连续全局优化算法，此算法比较适合求解以上的问题，但对于含有多个局部极 值的函数，该算法容易陷入到局部极值中。

综上所述，现有技术存在的问题是：粒子群算法与复形法易陷局部极值的 不足。

发明内容

针对现有技术存在的问题，本发明提供了一种粒子群复形法求解生物反应 器的补料优化方法。

本发明是这样实现的，一种粒子群复形法求解生物反应器的补料优化方法 包括以下步骤：

步骤一，随机给出k个初始点x₁，x₂，…，x_k，构成初始复形，将它们以目 标函数值的升序排列，选出最差的和最好的各l个点，常有l≥3；

第按第一最好点和第一最差点，第二最好点和第二最差点，以此类推，两 两配对作连线。将在两点的连线或其延长线上选出一点，作适当调整后取代差 点。记配对的好点、差点分别为x_r，x_f连线中点为x_m，计算比值λ如式(8)所示， 并设定信赖度参数δ，以反映连线内的点取代差点的信赖程度。

步骤二，如有λ>δ，此时连线内的点，其目标函数值偏小的可能性甚大， 应以较大的概率选取连线内的点为取代点，而选自延长线的概率较小；

第连线内的点表示为x_f+1(x_r-x_f)，延长线上的点表示为x_r+1(x_r-x_f)或 x_f+1(x_f-x_r)，前者靠近x_r一侧，后者靠近x_f一侧，其目标函数值偏小的可能性 更小。适当选取较差点可提高种群的多样性，有助于全局搜优。对选出的点， 还将利用PSO算法的群体智能进行调整，向整体最好点x₁移动，即按以下方式 计算得到x_p，用以取代x_f，其中β1、β2为选用概率，且有0.5<β1<1，0.2< β2<0.5，而1，2是(0，1)间的随机数。

以概率β1选取：

x_p＝x_f+φ₁(x_r-x_f)+φ₂(x₁-x_f) (9)

以概率β2选取：

x_p＝x_r十φ₁(x_r-x_f)十φ₂(x₁-x_f) (10)

以概率1-β1-β2选取：

x_p＝x_f+φ₁(x_f-x_r)+φ₂(x₁-x_f) (11)

步骤三，如有λ≤δ，此时连线内的点，其目标函数值偏大的可能性较大， 应以较大的概率选取延长线上的点为取代点，而选自的连线内的概率较小；

因此将以概率β1按式(10)计算，以概率β2按式(9)计算，以概率1-β1- β2按式(11)计算，从而得到取代点x_p。

步骤四，用新得到的l个点替换当前l个最差点，构成新的复形。转到步 骤一继续，直至满足终止条件。

进一步，所述复形法和粒子群算法：

设优化问题为：

min f(x)＝f(x₁，x₂，…，x_n)，x∈S＝{x＝(x₁，x₂…，x_n)|a_i≤x_i≤b_i，i＝1，2，…，n}(3)；

(1)复形法(MC)

复形法的基本思想：在解空间中随机地给定k个初始点x₁，x₂，…，x_k，称 为初始复形，也可称为初始种群。对k点按目标函数值以升序排列，不妨设升 序排列为f(x₁)，f(x₂)，…，f(x_k)，这时函数值最大的点x_k称为最差点，最小 的点x₁为最好点。将由以下步骤确定一个新点取代最差点。

求出除最差点外其余各点的中心

计算xk关于x0的α倍反射点

x_a＝x₀+α(x₀-x_k) (5)

检查x_α是否可行，若不可行，令α＝α2，再由式(5)计算x_α，一直到x_α可 行为止。

(2)若f(x_α)＜f(x_k)，即x_α优于x_k，则由x_α替代x_k；否则令α＝α2，再由式(5) 算得x_α，直至f(x_α)＜f(x_k)，并由xα替代x_k，以此形成新的复形。

若α值不断缩小至小于下限ε，而x_α仍未优于x_k，则舍去x_k，由余下的k-1 点构成新的复形。以此不断地循环计算。因为每一步都剔除最差点而引入一个 优于它的点，有理由相信通过一定量的计算最终将得到满意解。

(3)粒子群优化算法(PSO)

粒子群优化算法(PSO)是近年提出的全局优化算法。Kennedy和 Eberhart[3-4]从动物群体的觅食行为中受到启示，在群体搜寻最优目标时，每 个个体将参照当前群体中曾有的最优个体，和自身曾经达到的最优位置调整下 一步的搜寻，由此设计粒子群优化算法。记第i个粒子在第j代时的位置为x_i(j)， 它本身和全粒子群所搜索到的最优解分别为p_id和p_gd(j)，它的移动速度矢量为 v_i(j)，在第j+1代时第i个粒子将移至

v_i(j+1)＝ωφ₁v_i(j)+η₁φ₂(p_id(j)-x_i(j))+ η₂φ₃(p_gd(j)-x_i(j)) (6)

x_i(j+1)＝x_i(j)+v_i(j+1) (7)；

其中ω，η₁，η₂均为取值于[0，1]中的控制参数，对算法性能有重要 影响但很难确定适当的值，φ₁、φ₂、φ₃是[0，1]区间的随机数。基本PSO算 法的迭代算式如式(6)和式(7)所示。

进一步，所述粒子群算法数学分析：

对于粒子群算法，若算法只有一个粒子且不含ωφ₁v_i(j)，把式(6)代入式(7) 得：

x_i(j+1)＝x_i(j)+(η₁φ₁+η₂φ₂)(p_id(j)-x_i(j))；

从这个角度来看，粒子群算法是爬山算法的一种推广，每次都朝最优方向 前进；从整个算法来看，它可以看作以方向p_id(j)-x_i(j)与方向p_gd(j)-x_i(j)的加 权作为搜索方向；p_gd起引领作用，每个粒子在各自的某一范围内进行搜索；一般 初始粒子是均匀分布在整个搜索域内，所以对目标函数不是很高时一般能得到 问题的最优解。而当目标函数的维数比较高时，若算法一旦陷入局部极值，由 于各维变量之间的相互制约，并且若在几步中p_id(j)不变。例如第一步与第二步 不变，即p_id(1)＝p_id(2)，则：

x_i(2)＝x_i(1)+(η₁φ₁+η₂φ₂)(p_id(1)-x_i(1))

x_i(3)＝x_i(2)+(η₁φ₁+η₂φ₂)(p_id(1)- x_i(2))＝x_i(1)+k(p_id(1)-x_i(1))

其中k＝2(η₁φ₁+η₂φ₂)-(η₁φ₁+η₂φ₂)²，

可以看出，在p_id(j)不变的情况下，算法的搜索方向也是不变的，从而p_gd将很难有所改进，因此仅靠算法自身是很难跳出局部极值的。对含有ωφ₁v_i(j) 项，情况也类似。为此对高维优化函数，算法易陷局部极值，只有引入新的机 制，使之迅速跳出局部极值。最终才能获得更满意的解。

本发明的优点及积极效果为：本发明提出用粒子群复形法求解此类问题。 此算法是在充分考虑粒子群算法与复形法的特性，保持复形法的迭代机理，同 时加入粒子群算法基本思想，再结合几何分点、梯度与信赖域等的基础上提出 的；以克服粒子群算法与复形法易陷局部极值的不足。性能测试的结果表明：该 算法简便、可行、高效；最后将所提出的算法用于Park-Ramirez生物反应器补 料流率的动态优化，也取得了满意的效果。

附图说明

图1是本发明实施提供的粒子群复形法求解生物反应器的补料优化方法流 程图。

图2是本发明实施提供的由PSO与CPSO得到控制曲线的对比图。

图3是本发明实施提供的由CPSO得到控制曲线。

图4是本发明实施提供的由PSO得到控制曲线图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例， 对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以 解释本发明，并不用于限定本发明。

下面结合附图对本发明的应用原理作进一步描述。

如图1所示，本发明提供一种粒子群复形法求解生物反应器的补料优化方 法包括以下步骤：

步骤S101，随机给出k个初始点x₁，x₂，…，x_k，构成初始复形，将它们以 目标函数值的升序排列，选出最差的和最好的各l个点，常有l≥3；

第按第一最好点和第一最差点，第二最好点和第二最差点，以此类推，两 两配对作连线。将在两点的连线或其延长线上选出一点，作适当调整后取代差 点。记配对的好点、差点分别为x_r，x_f连线中点为x_m，计算比值λ如式(8)所示， 并设定信赖度参数δ，以反映连线内的点取代差点的信赖程度。

步骤S102，如有λ>δ，此时连线内的点，其目标函数值偏小的可能性甚大， 应以较大的概率选取连线内的点为取代点，而选自延长线的概率较小；

第连线内的点表示为x_f+1(x_r-x_f)，延长线上的点表示为x_r+1(x_r-x_f)或 x_f+1(x_f-x_r)，前者靠近x_r一侧，后者靠近x_f一侧，其目标函数值偏小的可能性 更小。适当选取较差点可提高种群的多样性，有助于全局搜优。对选出的点， 还将利用PSO算法的群体智能进行调整，向整体最好点x₁移动，即按以下方式 计算得到x_p，用以取代x_f，其中β1、β2为选用概率，且有0.5<β1<1，0.2< β2<0.5，而1，2是(0，1)间的随机数。

以概率β1选取：

x_p＝x_f+φ₁(x_r-x_f)+φ₂(x₁-x_f) (9)

以概率β2选取：

x_p＝x_r+φ₁(x_r-x_f)+φ₂(x₁-x_f) (10)

以概率1-β1-β2选取：

x_p＝x_f+φ₁(x_f-x_r)+φ₂(x₁-x_f) (11)

步骤S103，如有λ≤δ，此时连线内的点，其目标函数值偏大的可能性较 大，应以较大的概率选取延长线上的点为取代点，而选自的连线内的概率较小；

因此将以概率β1按式(10)计算，以概率β2按式(9)计算，以概率1-β1- β2按式(11)计算，从而得到取代点x_p。

步骤S104，用新得到的l个点替换当前l个最差点，构成新的复形。转到 步骤一继续，直至满足终止条件。

本发明提供的复形法和粒子群算法：

设优化问题为：

min f(x)＝f(x₁，x₂，…，x_n)，x∈S＝{x＝(x₁，x₂…，x_n)|a_i≤x_i≤b_i，i＝1，2，…，n}(3)；

(1)复形法(MC)

复形法的基本思想：在解空间中随机地给定k个初始点x₁，x₂，…，x_k，称 为初始复形，也可称为初始种群。对k点按目标函数值以升序排列，不妨设升 序排列为f(x₁)，f(x₂)，…，f(x_k)，这时函数值最大的点x_k称为最差点，最小 的点x₁为最好点。将由以下步骤确定一个新点取代最差点。

求出除最差点外其余各点的中心

计算xk关于x0的α倍反射点

x_α＝x₀+α(x₀-x_k) (5)

检查x_α是否可行，若不可行，令α＝α2，再由式(5)计算x_α，一直到x_α可 行为止。

(2)若f(x_α)＜f(x_k)，即x_α优于x_k，则由x_α替代x_k；否则令α＝α2，再由式(5) 算得x_α，直至f(x_α)＜f(x_k)，并由xα替代x_k，以此形成新的复形。

若α值不断缩小至小于下限ε，而x_α仍未优于x_k，则舍去x_k，由余下的k-1 点构成新的复形。以此不断地循环计算。因为每一步都剔除最差点而引入一个 优于它的点，有理由相信通过一定量的计算最终将得到满意解。

(3)粒子群优化算法(PSO)

粒子群优化算法(PSO)是近年提出的全局优化算法。Kennedy和Eberhart从 动物群体的觅食行为中受到启示，在群体搜寻最优目标时，每个个体将参照当 前群体中曾有的最优个体，和自身曾经达到的最优位置调整下一步的搜寻，由 此设计粒子群优化算法。记第i个粒子在第j代时的位置为x_i(j)，它本身和全 粒子群所搜索到的最优解分别为p_id和p_gd(j)，它的移动速度矢量为v_i(j)，在第 j+1代时第i个粒子将移至

v_i(j+1)＝ωφ₁v_i(j)+η₁φ₂(p_id(j)-x_i(j))+ η₂φ₃(p_gd(j)-x_i(j)) (6)

x_i(j+1)＝x_i(j)+v_i(j+1) (7)；

其中ω，η₁，η₂均为取值于[0，1]中的控制参数，对算法性能有重要 影响但很难确定适当的值，φ₁、φ₂、φ₃是[0，1]区间的随机数。基本PSO算 法的迭代算式如式(6)和式(7)所示。

本发明提供的粒子群算法数学分析：

对于粒子群算法，若算法只有一个粒子且不含ωφ₁v_i(j)，把式(6)代入式(7) 得：

x_i(j+1)＝x_i(j)+(η₁φ₁+η₂φ₂)(p_id(j)-x_i(j))；

从这个角度来看，粒子群算法是爬山算法的一种推广，每次都朝最优方向 前进；从整个算法来看，它可以看作以方向p_id(j)-x_i(j)与方向p_gd(j)-x_i(j)的加 权作为搜索方向；p_gd起引领作用，每个粒子在各自的某一范围内进行搜索；一般 初始粒子是均匀分布在整个搜索域内，所以对目标函数不是很高时一般能得到 问题的最优解。而当目标函数的维数比较高时，若算法一旦陷入局部极值，由 于各维变量之间的相互制约，并且若在几步中p_id(j)不变。例如第一步与第二步 不变，即p_id(1)＝p_id(2)，则：

x_i(2)＝x_i(1)+(η₁φ₁+η₂φ₂)(p_id(1)-x_i(1))

x_i(3)＝x_i(2)+(η₁φ₁+η₂φ₂)(p_id(1)- x_i(2))＝x_i(1)+k(p_id(1)-x_i(1))

其中k＝2(η₁φ₁+η₂φ₂)-(η₁φ₁+η₂φ₂)²，

可以看出，在pid(j)不变的情况下，算法的搜索方向也是不变的，从而pgd 将很难有所改进，因此仅靠算法自身是很难跳出局部极值的。对含有ωφ₁v_i(j) 项，情况也类似。为此对高维优化函数，算法易陷局部极值，只有引入新的机 制，使之迅速跳出局部极值。最终才能获得更满意的解。

1、算法的性能测试

以文献的实例测试粒子群复形法，该例如式(12)所示。文献应用极小值原理 求得最优控制变量的理论解。对应的目标最优值为19.2910。

分别应用PSO与CPSO进行求解，其参数设置为：c₁＝0.3，c₂＝0.45，ω＝0.25， δ＝0.85，β₁＝0.625，β₂＝0.225，1＝100。u的可行域范围取为[-6，2]，对可行 域进行10等份，用阶梯曲线近似u，用Runge-Kutta方法计算状态变量，用梯形 法计算目标函数值J(u)，两种算法都运行10次，迭代次数为100，粒子数都为 200，所的目标函数的最优值和平均值分别为19.5121与18.6626，控制曲线如图 2(a)、(b)所示。另进行20等分，其它和上面一样，所得的目标函数最优值的平 均值分别为20.1127与18.9261，控制曲线如图2(c)、(d)所示。从控制曲线与最 优值都可看出CPSO优于PSO，CPSO最后的最优值与理论值有差异，这是因为 用梯形法计算积分所引起的差异，分的等份越多则越准确。这种方法完全避免 用遗传算法由于等份分得多而带来离散与编码的困难与繁杂。

2、用于Park-Ramirez生物反应器补料的优化

2.1Park-Ramirez生物反应器优化模型

利用酵母菌在生物反应器中生产内源蛋白质时，为维持菌体正常的生理代 谢需要补充营养剂。反应器为流加式的，Park和Ramirez在考虑主体细胞生长、 基因表达、压榨多肽酶的分泌等因素下，对问题加以模型化，故称Park-Ramirez 生物反应器[6]。内源蛋白质的生产过程的优化模型可表示为:

maxJ＝z₁(t_f)z₅(t_f)

其中

状态变量z₁为内源蛋白质密度(gL^-1)，z₂为所有蛋白质的密度(gL^-1)、z₃为 培养细胞密度(gL^-1)、z₄为底物密度(gL^-1)，z₅为滞留量体积(L)，控制变量u为营 养剂补料葡萄糖流率(Lh^-1)。通过控制[0，t_f]全程的补料流率u，使最终目标产物 的产量J＝z₁(t_f)z₅(t_f)达到最大。

2.2动态优化的粒子群解法

粒子群算法求解动态优化问题时，将控制时段[t₁，t₂]划分为m段，在每个 分段内，所有控制变量和状态变量都保持不变，控制变量在各分段的取值组成 序列u₀，u₁，…，u_m-1，于是动态控制问题变换为m维的最优化问题。对此，应 用各种粒子群算法求解的步骤为:

第1步:初始化一组个体，构成一定规模的初始群体，每个个体都为随机产 生的一控制变量序列u₀，u₁，…，u_m-1。

第2步:将每个个体的控制变量序列施加于受控对象，求得相应的状态轨迹， 进而按目标函数计算群体中各个体的性能指标，包括数值求解微分方程组。

第3步:判断是否满足终止条件，若满足，即终止计算，输出最优结果；否则 执行下一步。

第4步:按粒子群算法的各个步骤计算下一代群体，返回第2步，继续运行。

2.3CPSO算法求解Park-Ramirez生物反应器优化应用CPSO求解此动态优 化问题时，将控制时段[0，15]划分成20段，每分段为45min，将用Runge-Kutta 法求解微分方程，计算状态变量和J。为作比较，也用PSO求解。两种算法都 运行10次，CP-SO所得结果中最优为32.4534，最差为32.4241，PSO所得结果 中最优为32.0025，最差为31.5979；它们所得的某次最佳补料策略分别示于图3、 4。比较两种算法可见CPSO的结果明显优于PSO，且波动小，更稳定。另外， 文献[7]采用迭代动态规划所得结果中最优为32.47，最差结果为32.31，文献[8] 采用Restrictedsecond-orderinformation法所得结果中最优为32.480，最差为32.388；它们对时段划分较多，文献[15]划分为150段，时段划分多将使控制操作 复杂困难。考虑到问题实际，本文只对区间进行20等份。可见利用CPSO求解 此问题是有效的，而且比较稳定。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发 明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明 的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种粒子群复形法求解生物反应器的补料优化方法，其特征在于，所述粒子群复形法求解生物反应器的补料优化方法包括以下步骤：

步骤一，随机给出k个初始点x₁，x₂，…，x_k，构成初始复形，将它们以目标函数值的升序排列，选出最差的和最好的各l个点，常有l≥3；

第按第一最好点和第一最差点，第二最好点和第二最差点，以此类推，两两配对作连线；将在两点的连线或其延长线上选出一点，作适当调整后取代差点；记配对的好点、差点分别为x_r，x_f连线中点为x_m，计算比值λ如式(8)所示，并设定信赖度参数δ，以反映连线内的点取代差点的信赖程度：

步骤二，如有λ>δ，此时连线内的点，其目标函数值偏小的可能性甚大，应以较大的概率选取连线内的点为取代点，选自延长线的概率较小；第连线内的点表示为x_f+1(x_r-x_f)，延长线上的点表示为x_r+1(x_r-x_f)或x_f+1(x_f-x_r)，前者靠近x_r一侧，后者靠近x_f一侧，其目标函数值偏小的可能性更小；适当选取较差点可提高种群的多样性，有助于全局搜优；对选出的点，还将利用PSO算法的群体智能进行调整，向整体最好点x₁移动，即按以下方式计算得到x_p，用以取代x_f，其中β1、β2为选用概率，且有0.5<β1<1，0.2<β2<0.5，而1，2是(0，1)间的随机数：

以概率β1选取：

x_p＝x_f+φ₁(x_r-x_f)+φ₂(x₁-x_f) (9)

以概率β2选取：

x_p＝x_r+φ₁(x_r-x_f)+φ₂(x₁-x_f) (10)

以概率1-β1-β2选取：

x_p＝x_f+φ₁(x_f-x_r)+φ₂(x₁-x_f) (11)

步骤三，如有λ≤δ，此时连线内的点，其目标函数值偏大的可能性较大，应以较大的概率选取延长线上的点为取代点，而选自的连线内的概率较小；

因此将以概率β1按式(10)计算，以概率β2按式(9)计算，以概率1-β1-β2按式(11)计算，从而得到取代点x_p；

步骤四，用新得到的1个点替换当前1个最差点，构成新的复形。转到步骤一继续，直至满足终止条件。

2.如权利要求1所述的粒子群复形法求解生物反应器的补料优化方法，其特征在于，所述复形法和粒子群算法：

设优化问题为：

min f(x)＝f(x₁，x₂，…，x_n)，x∈S＝x＝(x₁，x₂，…，x_n)|a_i≤x_l≤b_i，i＝1，2，…，n}(3)；

(1)复形法，在解空间中随机地给定k个初始点x₁，x₂，…，x_k，称为初始复形，也可称为初始种群；对k点按目标函数值以升序排列，不妨设升序排列为f(x₁)，f(x₂)，…，f(x_k)，这时函数值最大的点x_k称为最差点，最小的点x₁为最好点。将由以下步骤确定一个新点取代最差点；

求出除最差点外其余各点的中心

计算xk关于x0的α倍反射点

x_α＝x₀+α(x₀-x_k) (5)

检查x_α是否可行，若不可行，令α＝α2，再由式(5)计算x_α，一直到x，可行为止；

(2)若f(x_α)＜f(x_k)，即x_α优于x_k，则由x_α替代x_k；否则令α＝α2，再由式(5)算得x_α，直至f(x_α)＜f(x_k)，并由xα替代x_k，以此形成新的复形；

若α值不断缩小至小于下限ε，而x_α仍未优于x_k，则舍去x_k，由余下的k-1点构成新的复形；以此不断地循环计算；因为每一步都剔除最差点而引入一个优于它的点，有理由相信通过一定量的计算最终将得到满意解；

(3)粒子群优化算法(PSO)

粒子群优化算法(PSO)是近年提出的全局优化算法，第i个粒子在第j代时的位置为x_i(j)，它本身和全粒子群所搜索到的最优解分别为p_id和p_gd(j)，它的移动速度矢量为v_i(j)，在第j+1代时第i个粒子将移至：

v_i(j+1)＝ωφ₁v_i(j)+η₁φ₂(p_id(j)-x_i(j))+η₂φ₃(p_gd(j)-x_i(j)) (6)

x_i(j+1)＝x_i(j)+v_i(j+1) (7)；

其中ω，η₁，η₂均为取值于[0，1]中的控制参数，对算法性能有重要影响但很难确定适当的值，φ₁、φ₂、φ₃是[0，1]区间的随机数；基本PSO算法的迭代算式如式(6)和式(7)所示。

3.如权利要求1所述的粒子群复形法求解生物反应器的补料优化方法，其特征在于，所述粒子群算法数学分析：

对于粒子群算法，若算法只有一个粒子且不含ωφ₁v_i(j)，把式(6)代入式(7)得：

x_i(j+1)＝x_i(j)+(η₁φ₁+η₂φ₂)(p_id(j)-x_i(j))；

从这个角度来看，粒子群算法是爬山算法的一种推广，每次都朝最优方向前进；从整个算法来看，它可以看作以方向p_id(j)-x_i(j)与方向p_gd(j)-x_i(j)的加权作为搜索方向；p_gd起引领作用，每个粒子在各自的某一范围内进行搜索；一般初始粒子是均匀分布在整个搜索域内，所以对目标函数不是很高时一般能得到问题的最优解。而当目标函数的维数比较高时，若算法一旦陷入局部极值，由于各维变量之间的相互制约，并且若在几步中p_id(j)不变；例如第一步与第二步不变，即p_id(1)＝p_id(2)，则：

x_i(2)＝x_i(1)+(η₁φ₁+η₂φ₂)(p_id(1)-x_i(1))

x_i(3)＝x_i(2)+(η₁φ₁+η₂φ₂)(p_id(1)-x_i(2))＝x_i(1)+k(p_id(1)-x_i(1))

其中k＝2(η₁φ₁+η₂φ₂)-(η₁φ₁+η₂φ₂)²，

在p_id(j)不变的情况下，算法的搜索方向也是不变的，从而p_gd将很难有所改进，因此仅靠算法自身是很难跳出局部极值的。