CN109190328B - 一种混合有限-复变差分的多参数结构动响应灵敏度分析方法 - Google Patents

一种混合有限-复变差分的多参数结构动响应灵敏度分析方法 Download PDF

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Abstract

本发明提供了一种混合有限‑复变差分的多参数结构动响应灵敏度分析方法，本方法针对具有多参数的结构动力学优化设计问题，将设计参数从实数域向复数域扩展，再通过对两个不同设计参数分别进行实部摄动和虚部摄动，对结构进行动力学分析，提取分析结果的实部和虚部响应，同时获得两个设计参数的动响应灵敏度，实现多参数的结构动响应灵敏度分析，为工程应用提供一种快速的、有效的多参数结构动响应灵敏度分析方法。

Description

一种混合有限-复变差分的多参数结构动响应灵敏度分析 方法
技术领域
本发明属于结构的动力学优化设计领域，尤其涉及一种混合有限-复变差分的多参数结构动响应灵敏度分析方法。
背景技术
结构参数的动响应灵敏度分析作为基于梯度分析的结构动力学优化设计中的重要环节，表征了结构设计参数对输出响应的影响程度和影响规律。可以利用结构的输出响应构造优化目标，在根据结构动响应的灵敏度分析结果，实现结构动力学优化设计。
现有方法可分为理论解析法、有限差分法和复变差分法、半解析法。其中有限差分法和复变差分法理论简单，易于应用。但针对多参数的结构动响应灵敏度分析时，需要针对每个参数进行摄动而增加重分析的计算耗时，分析效率低下。如何在一次分析中实现多个参数的灵敏度分析，减少计算次数，提高灵敏度分析效率和结构动力学优化效率，已成为亟待解决的实际工程问题。
发明内容
发明目的：针对以上问题，本发明提出一种混合有限-复变差分的多参数结构动响应灵敏度分析方法，通过同时构造优化参数的实部摄动和虚部摄动，对具有多个优化参数的结构同时进行灵敏度分析，能够有效提高多参数的结构动响应灵敏度分析效率。
技术方案：为实现本发明的目的，本发明所采用的技术方案是：一种混合有限-复变差分的结构动响应灵敏度分析方法，该方法包括以下步骤：
(1)对工程结构进行有限元建模，得到结构动力学控制方程，利用时域积分的数值分析方法，对该方程进行求解得到参数摄动前的动响应；
(2)对不同优化参数同时构造有限差分和复变差分摄动量，再将摄动后的参数带入结构动力学控制方程进行动响应求解；
(3)提取参数摄动后的结构动响应数据中的实部和虚部，同时计算不同参数的动响应灵敏度，并构建结构动响应灵敏度时程曲线。
进一步的，步骤(1)中，对工程结构进行有限元建模，得到结构的动力学控制方程，利用时域积分的数值分析方法，对该方程进行求解得到参数摄动前的结构动响应，具体步骤如下：
(1.1)对工程结构进行有限元建模，得到结构的动力学控制方程：
Figure BDA0001881269530000021
其中，M表示有限元模型的质量矩阵，C表示有限元模型的阻尼矩阵，K表示有限元模型的刚度矩阵，F(t)表示有限元模型所受到的外部激励向量，x(p,t)表示结构的位移响应向量，
Figure BDA0001881269530000022
表示结构的速度响应向量，
Figure BDA0001881269530000023
表示结构的加速度响应向量，p表示设计参数向量；
(1.2)利用时域积分的数值分析方法，对该动力学控制方程进行求解，得到参数摄动前的结构动响应，即位移响应、速度响应或加速度响应。
进一步的，步骤(2)中，对不同优化参数分别构造实部摄动量和虚部摄动量，再求解摄动后的结构动力学控制方程，具体步骤如下：
(2.1)对不同优化参数分别构造有限差分和复变差分摄动量：
Figure BDA0001881269530000024
其中，h，v分别表示实部摄动系数和虚部摄动系数，p1和p2为设计参数向量p中的分量，表示其中的两个不同参数，
Figure BDA0001881269530000025
表示参数p1的实部摄动量，即有限差分摄动量，
Figure BDA0001881269530000026
表示参数p2的虚部摄动量，即复变差分摄动量，上标Real和Imag分别表示实部和虚部的含义，摄动后的参数分别是：
Figure BDA0001881269530000027
其中，
Figure BDA0001881269530000028
和
Figure BDA0001881269530000029
分别表示进行有限差分摄动和复变差分摄动后的优化参数，i表示虚数单位，i2＝-1，得到摄动后的参数向量
Figure BDA00018812695300000210
(2.2)摄动后的参数会导致有限元结构中质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵发生变化，得到摄动后的结构动力学控制方程：
Figure BDA00018812695300000211
其中，
Figure BDA00018812695300000212
表示摄动后的结构质量矩阵，
Figure BDA00018812695300000213
表示摄动后的结构阻尼矩阵，
Figure BDA00018812695300000214
表示摄动后的结构刚度矩阵，利用时域积分的数值分析方法，对动力学控制方程(4)进行求解，得到参数摄动后的结构动响应：
Figure BDA00018812695300000215
进一步，在步骤(3)中，提取摄动后的结构动响应数据中的实部和虚部结果，分别计算对应参数的动响应灵敏度，方法如下：
(3.1)基于(2.2)得到的结构动响应，将其按照泰勒级数展开：
Figure BDA0001881269530000031
Figure BDA0001881269530000032
Figure BDA0001881269530000033
其中，
Figure BDA0001881269530000034
和
Figure BDA0001881269530000035
分别表示响应(*)对参数p的一阶偏导数和二阶偏导数，i表示虚数单位，i2＝-1，on表示n阶项；
(3.2)忽略式(15)-(17)中的二阶项和n阶项，提取结构动响应数据中的实部和虚部结果，得到对应参数的动响应灵敏度：
Figure BDA0001881269530000036
Figure BDA0001881269530000037
Figure BDA0001881269530000038
其中，Re(*)和
Figure BDA0001881269530000039
分别表示对响应(*)取其实部部分和虚部部分，
Figure BDA00018812695300000310
和
Figure BDA00018812695300000311
分别表示结构位移响应对参数p1和参数p2的灵敏度，
Figure BDA00018812695300000312
和
Figure BDA00018812695300000313
分别表示结构速度响应对参数p1和参数p2的灵敏度，
Figure BDA00018812695300000314
和
Figure BDA00018812695300000315
分别表示结构加速度响应对参数p1和参数p2的灵敏度，上标d、v、a分别表示位移、速度和加速度。
有益效果：与现有技术相比，本发明的技术方案具有以下有益技术效果：
本发明提供了一种混合有限-复变差分的多参数灵敏度分析方法，通过将设计参数从实数域向复数域进行扩展，同时构造不同参数的实部摄动量和虚部摄动量，实现了在一次分析中对多个参数的结构动响应灵敏度分析，该方法针对设计参数数量较多时具有提高分析效率的有益效果。
附图说明
图1为本发明的结构有限元分析模型图；
图2为本发明计算得到的A点加速度响应关于参数c1的灵敏度分析比较结果图；
图3为本发明计算得到的A点加速度响应关于参数k1的灵敏度分析比较结果图。
具体实施方式
如图1所示，一种混合有限-复变差分的多参数结构动响应灵敏度分析方法，包括如下步骤：
(1)对如图1所示结构进行有限元建模，得到结构的动力学控制方程，对该方程进行求解得到参数摄动前的结构的动响应；
(2)根据结构动力学优化要求，对不同优化参数分别构造实部摄动量和虚部摄动量，再将摄动后的参数带入结构动力学控制方程进行动响应求解；
(3)提取摄动后的结构动响应数据中的实部和虚部结果，分别计算所对应参数的结构动响应灵敏度时程曲线。
一种混合有限-复变差分的多参数结构动响应灵敏度分析方法，采用含有弹性支承的悬臂梁结构来验证，如图1所示，结构的参数分别为：悬臂梁结构的长度l＝0.2m，横截面为圆形，其截面半径为r＝0.005m，采用铝材，其材料弹性模量E＝70GPa，密度ρ＝2.7×103kg/m3，泊松比μ＝0.3。并且上述参数可以根据不同的设计需要设置不同的值。
设计参数为五个弹性支承的刚度系数和阻尼系数，共10个设计参数，组成的设计参数向量p＝{c1,k1,c2,k2,c3,k3,c4,k4,c5,k5}，设计参数的具体取值如表1所列：
表1弹性支承的设计参数取值
Figure BDA0001881269530000041
Figure BDA0001881269530000051
具体操作如下：
(1.1)对结构进行有限元建模，划分为10个梁单元，如图1所示，根据结构和支承的材料、几何参数得到质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，最终得到的结构动力学控制方程为：
Figure BDA0001881269530000052
其中，M表示有限元模型的质量矩阵，K表示有限元模型的刚度矩阵，C表示有限元模型的阻尼矩阵，本算例中选取比例阻尼：C＝αM+βK，其中α＝β＝0.0001。F(t)表示有限元模型所受到的外部激励向量，本算例中在A点的竖直方向施加10sin(20t)的外部激励，如图1所示。x(p,t)表示结构的位移响应向量，
Figure BDA0001881269530000053
表示结构的速度响应向量，
Figure BDA0001881269530000054
表示结构的加速度响应向量，p表示设计参数向量。
(1.2)对该方程进行求解得到参数摄动前的结构的响应，结构动响应的计算截止时间为0.01s。
(2)根据结构动力学优化要求，对不同优化参数分别构造实部摄动量和虚部摄动量，再将摄动后的参数带入结构动力学控制方程进行动响应求解；
(2.1)对不同优化参数分别构造实部摄动量和虚部摄动量：
Figure BDA0001881269530000055
其中，h，v分别表示实部摄动系数和虚部摄动系数，本算例中选取h＝v＝10-3，k1和c1为结构设计参数向量中的分量，表示其中的两个不同参数，
Figure BDA0001881269530000056
和
Figure BDA0001881269530000057
分别表示参数c1的实部摄动量，参数k1的虚部摄动量，上标Real和Imag分别为实部和虚部的含义。摄动后的参数分别是：
Figure BDA0001881269530000058
其中，
Figure BDA0001881269530000061
和
Figure BDA0001881269530000062
分别表示进行实部摄动和虚部摄动后的优化参数，i表示虚数单位，i2＝-1。摄动后的设计参数向量
Figure BDA0001881269530000063
其中
Figure BDA0001881269530000064
为实数，
Figure BDA0001881269530000065
为复数。至此，设计参数从实数域向复数域进行了扩展。
(2.2)本算例中，摄动后的参数会导致有限元结构中阻尼矩阵和刚度矩阵发生变化，得到摄动后的结构动力学控制方程：
Figure BDA0001881269530000066
其中，
Figure BDA0001881269530000067
表示摄动后的结构质量矩阵，本算例中与式(21)中的M相等，即
Figure BDA0001881269530000068
Figure BDA0001881269530000069
表示摄动后的结构阻尼矩阵，
Figure BDA00018812695300000610
表示摄动后的结构刚度矩阵，F(t)有限元模型所受到的外部激励向量，与参数摄动前的取值一样。利用时域积分的数值分析方法，对动力学控制方程(24)进行求解，得到摄动后的结构动响应：
Figure BDA00018812695300000611
(3)提取摄动后的结构动响应数据中的实部和虚部结果，分别计算所对应参数的动响应灵敏度时程曲线。
(3.1)基于(2.2)得到的结构动响应，将其按照泰勒级数展开：
Figure BDA00018812695300000612
Figure BDA00018812695300000613
Figure BDA00018812695300000614
其中，
Figure BDA00018812695300000615
和
Figure BDA00018812695300000616
分别表示响应(*)对参数c1的一阶偏导数和二阶偏导数，
Figure BDA00018812695300000617
和
Figure BDA00018812695300000618
分别表示响应(*)对参数k1的一阶偏导数和二阶偏导数，i表示虚数单位，i2＝-1，on表示n阶项。
(3.2)忽略式(25)-(27)的二阶项和n阶项，提取A点摄动后的结构动响应数据中的实部和虚部结果，分别计算所对应参数的动响应灵敏度时程曲线：
Figure BDA0001881269530000071
Figure BDA0001881269530000072
Figure BDA0001881269530000073
其中，Re(*)和
Figure BDA0001881269530000074
分别表示对响应(*)取其实部部分和虚部部分，
Figure BDA0001881269530000075
和
Figure BDA0001881269530000076
分别表示结构位移响应对参数p1和参数p2的灵敏度，
Figure BDA0001881269530000077
和
Figure BDA0001881269530000078
分别表示结构速度响应对参数p1和参数p2的灵敏度，
Figure BDA0001881269530000079
和
Figure BDA00018812695300000710
分别表示结构加速度响应对参数p1和参数p2的灵敏度，上标d、v、a分别表示位移、速度和加速度。
Figure BDA00018812695300000711
分别表示结构上A点的位移响应、速度响应和加速度响应。图2和图3所示分别为A点加速度响应关于参数c1和k1的灵敏度时程曲线比较，分别比较了本文方法与有限差分灵敏度分析方法和复变差分灵敏度分析方法的结果，可以看出结果一致。

Claims (2)

1.一种混合有限-复变差分的结构动响应灵敏度分析方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
(1)对工程结构进行有限元建模，得到结构动力学控制方程，利用时域积分的数值分析方法，对该方程进行求解得到参数摄动前的动响应；
(2)对不同优化参数同时构造有限差分和复变差分摄动量，再将摄动后的参数带入结构动力学控制方程进行动响应求解；
具体步骤如下：
(2.1)对不同优化参数分别构造有限差分和复变差分摄动量：
Figure FDA0002226569620000011
其中，h，v分别表示实部摄动系数和虚部摄动系数，p1和p2为设计参数向量p中的分量，表示其中的两个不同参数，
Figure FDA0002226569620000012
表示参数p1的实部摄动量，即有限差分摄动量，
Figure FDA0002226569620000013
表示参数p2的虚部摄动量，即复变差分摄动量，上标Real和Imag分别表示实部和虚部的含义，摄动后的参数分别是：
Figure FDA0002226569620000014
其中，
Figure FDA0002226569620000015
和
Figure FDA0002226569620000016
分别表示进行有限差分摄动和复变差分摄动后的优化参数，i表示虚数单位，i2＝-1，得到摄动后的参数向量
Figure FDA0002226569620000017
(2.2)摄动后的参数会导致有限元结构中质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵发生变化，得到摄动后的结构动力学控制方程：
Figure FDA0002226569620000018
其中，
Figure FDA0002226569620000019
表示摄动后的结构质量矩阵，
Figure FDA00022265696200000110
表示摄动后的结构阻尼矩阵，
Figure FDA00022265696200000111
表示摄动后的结构刚度矩阵，利用时域积分的数值分析方法，对动力学控制方程(3)进行求解，得到参数摄动后的结构动响应：
Figure FDA00022265696200000112
(3)提取参数摄动后的结构动响应数据中的实部和虚部，同时计算不同参数的动响应灵敏度，并构建结构动响应灵敏度时程曲线，方法如下：
(3.1)基于(2.2)得到的结构动响应，将其按照泰勒级数展开：
Figure FDA0002226569620000021
Figure FDA0002226569620000022
Figure FDA0002226569620000023
其中，
Figure FDA0002226569620000024
和
Figure FDA0002226569620000025
分别表示响应(*)对参数p的一阶偏导数和二阶偏导数，i表示虚数单位，i2＝-1，on表示n阶项；
(3.2)忽略式(4)-(6)中的二阶项和n阶项，提取结构动响应数据中的实部和虚部结果，得到对应参数的动响应灵敏度：
Figure FDA0002226569620000026
Figure FDA0002226569620000027
Figure FDA0002226569620000028
其中，Re(*)和
Figure FDA0002226569620000029
分别表示对响应(*)取其实部部分和虚部部分，
Figure FDA00022265696200000210
和
Figure FDA00022265696200000211
分别表示结构位移响应对参数p1和参数p2的灵敏度，
Figure FDA00022265696200000212
和
Figure FDA00022265696200000213
分别表示结构速度响应对参数p1和参数p2的灵敏度，
Figure FDA00022265696200000214
和
Figure FDA00022265696200000215
分别表示结构加速度响应对参数p1和参数p2的灵敏度，上标d、v、a分别表示位移、速度和加速度。
2.如权利要求1所述的一种混合有限-复变差分的结构动响应灵敏度分析方法，其特征在于，步骤(1)中，对工程结构进行有限元建模，得到结构的动力学控制方程，利用时域积分的数值分析方法，对该方程进行求解得到参数摄动前的结构动响应，具体步骤如下：
(1.1)对工程结构进行有限元建模，得到结构的动力学控制方程：
Figure FDA0002226569620000031
其中，M表示有限元模型的质量矩阵，C表示有限元模型的阻尼矩阵，K表示有限元模型的刚度矩阵，F(t)表示有限元模型所受到的外部激励向量，x(p,t)表示结构的位移响应向量，
Figure FDA0002226569620000032
表示结构的速度响应向量，
Figure FDA0002226569620000033
表示结构的加速度响应向量，p表示设计参数向量；
(1.2)利用时域积分的数值分析方法，对该动力学控制方程进行求解，得到参数摄动前的结构动响应，即位移响应、速度响应或加速度响应。
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