CN109087012A - 一种考虑极值分布的机构时变可靠性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种机构时变可靠性分析方法，应用于时变可靠性分析领域，针对不确定性条件下的机构运动情况，估计机构时变可靠度；本发明通过建立运动误差模型，采用极值法获取误差函数在给定时间区间上的极值时间点；采用正态分布随机信息作为不确定性信息作为随机变量输入，获得不确定性随机变量下各极值时刻点对应的机构运动误差变量；通过对多维运动误差变量的联合正态分布概率密度函数求可靠区域内的定积分建立可靠性分析模型；通过加入上述极值时间点的分布信息，更新可靠性分析模型求解更加精确的时变可靠度。

Description

一种考虑极值分布的机构时变可靠性分析方法

技术领域

本发明属于可靠性领域，特别涉及机构不确定性条件下的可靠性分析技术。

背景技术

机构可靠性分析方法主要分为时不变可靠性和时变可靠性，相比于前者，时变可靠性分析较为困难，也是可靠性分析领域内的研究重点，特别是基于不确定性条件下的时变可靠性研究。对于运动机构的不确定性，主要考虑机构的材料性质、加工制造、以及机构装配等方面的不确定性因素对于机构运动输出的影响。在实际工程应用中，不同的材料属性在不同的工况下产生的物理磨损带来的尺寸的改变，在机构的制造过程和安装过程中对于尺寸的改变，均会对机构的实际运动情况产生影响，导致实际运动与理想的设计运动产生差异。在给定的安全边界值的前提下，运动误差超过该值则认为失效，反之则认为可靠。不确定性条件下的时变可靠度分析方法通过分析不确定性条件下的机构的运动误差在给定时间内小于可接受边界值的概率来估计机构的时变可靠度。

在现有的可靠性分析中，主要分为时不变可靠性分析和时变可靠性分析。广泛应用的分析方法包括著名的蒙特卡洛仿真分析方法(MSC)、一阶可靠度分析方法(FORM)、二阶可靠度分析方法(SORM)和一次二阶矩方法(FOSM)，其中蒙特卡洛仿真分析方法在样本数足够多的情况下的分析结果被认为是最接近实际结果的仿真方法，因此通常被视为检验结果精确度的参考标准。因为样本数量大的原因，蒙特卡洛仿真方法的效率极低，相反FORM、SORM和FOSM方法的计算效率很高，所以被广泛应用于时不变可靠性分析领域。对于时变可靠性分析，应用较为广泛的方法包括极值法、穿越率法和包迹法，极值法通过获取给定时间区间上性能函数的极值点的分布来计算可靠度，其中极值点分布估计的准确度将决定最终可靠度计算的精度，对于复杂的非线性问题，很难精确估计出极值点的分布；穿越率法是通过获取性能函数在给定时间内首次穿越上、下边界的时间点，获取首次穿越率来估计可靠度，但是计算精度较低；包迹法在FOSM方法的基础上，将机构的可靠边界近似为时间区间上有限个扩散点组成的超平面，从而将时变可靠性分析转化为时不变可靠性分析，获取可靠度，相比于极值法和穿越率法，包迹法对时间区间上多个扩散点的相关性展开分析，在满足效率要求的前提下，较大的提高了分析精度，但是，当机构运动中的不确定性因素的方差较大时，包迹法的计算精度会下降。因此上述的时变可靠性分析方法中仍存在待改进的部分，以满足实际工程应用中的可靠性分析。

发明内容

为解决上述技术问题，本发明提出一种考虑极值分布的机构时变可靠性分析方法，根据极值时刻点以及相关变量建立时变可靠性分析模型，并通过考虑极值时刻变量的分布获取高精度时变可靠性分析。

本发明采用的技术方案为：一种考虑极值分布的机构时变可靠性分析方法，包括：

S1、根据误差变量的均值与误差变量的相关矩阵，建立误差变量的联合概率密度函数；具体包括以下分步骤：

S11、采用极值法求解在给定时间区间内的极值时刻点对应的输入角度；具体的：通过获取机构运动误差函数对时间的一阶导数等于零的解来获得给定时间区间内的极值时刻点对应的输入角度；表达式如下：

本步骤中，X取值为随机变量的均值μ_X，θ为随时间变化的输入角度变量；

S12、根据机构误差函数以及求得的各个极值时刻点对应的输入角度θ_i，获得各极值时刻点对应的误差变量矢量X＝(x₁,x₂,…,x_n)。

误差变量矢量X中的元素均为步骤S11中所求得的极值时刻点对应的机构运动误差变量。

S13、将求得的各个极值时刻点对应的输入角度θ_i，带入机构运动误差函数获得各极值时刻点对应的运动误差变量的均值μ＝[μ₁,…,μ_n]以及各运动误差变量之间的协方差矩阵Σ；

S14、根据运动误差变量的均值μ与各运动误差之间的协方差矩阵Σ，建立联合概率密度函数f(μ，∑,X)；

其中，μ＝η(μ_X,θ)，μ_X为随机变量的均值，θ为极值时刻点对应的输入角度，Σ表示协方差矩阵，Σ＝[σ_ij]_{i,j＝1,…,n}，σ_ij为第i和第j误差变量之间的协方差，可由下式求得：

σ_ij＝a_i·a_j

其中，a_i＝[a₁,…,a_m]，m为尺寸变量的个数。

S2、根据步骤S1的联合概率密度函数构建可靠度分析模型；具体表达式为：

其中，X为误差变量，ε为安全临界值。

S3、采用核函数拟合各误差变量的概率密度函数；具体包括以下分步骤：

S31、通过获取机构运动误差函数对时间的一阶导数等于零的解来获得给定时间区间内的极值点对应的输入角θ_i；表达式如下：

其中，X为随机变量，θ为机构的输入角度，并且θ随着时间变量t而改变，那么上式所求得的解θ_i也为随机变量；

S32、通过核函数估计随机变量θ_i的分布，获取其概率密度函数f(θ)；所述核函数具体为高斯核函数。

S4、根据步骤S2的可靠度分析模型以及步骤S3的概率密度函数，求解时变可靠度。

S41、根据步骤S2中构建的可靠性分析模型以及步骤S3得到的概率密度函数，对步骤S2中构建的可靠性分析模型中的运动误差变量的均值与各运动误差之间的协方差矩阵进行更新；

S42、根据步骤S41更新的运动误差变量的均值与各运动误差之间的协方差矩阵，得到更新的联合概率密度函数；

S43、通过对更新的联合概率密度函数与步骤S3的概率密度函数进行积分，求解机构时变可靠度；

其中，R(θ₀,θ_e)表示机构在给定的时间区间[t₀,t_e]所对应的输入角度区间[θ₀,θ_e]内的时变可靠度，为各极值时刻点对应的运动变量之间的联合概率密度函数，f(θ)为极值时刻点对应的输入角度变量θ的概率密度函数。通过考虑极值点的分布，对运动误差的联合概率密度函数和极值时刻点对应的输入角度的概率密度函数建立的联合分布求[θ₀,θ_e]区间内的定积分，求解机构时变可靠度R(θ₀,θ_e)。

本发明的有益效果：本发明的一种考虑极值分布的机构时变可靠性分析方法，首先通过求解给定时间区间内机构运动误差的极值时刻点以及对应的输入角度点，建立时变可靠性分析模型，获取确定性极值点下的机构时变可靠度，其次，在基于极值时刻点建立的机构时变可靠性模型的基础上，考虑各极值点的分布对于时变可靠度精度的影响，获取较高精度的机构时变可靠度。相比于采用确定性极值点的传统时变可靠性分析方法，本专利考虑极值分布对时变可靠度估计结果的影响，获取高精度时变可靠度，特别是在随机变量的方差逐渐变大时，本专利提出的方法精度越高，因此具有较高的工程实用价值和工程意义。

附图说明

图1是本发明的方案流程图。

图2为本发明实施例提供的具体实现过程示意图。

图3是本发明实施例提供的四杆机构示意图。

图4是本发明实施例提供的时变可靠性分析结果的精度对比示意图。

具体实施方式

为便于本领域技术人员理解本发明的技术内容，下面结合附图对本发明内容进一步阐释。

根据如图1所示的本发明的方案流程图，本发明的技术方案为：一种考虑极值分布的机构时变可靠性分析方法，包括：

S1、根据误差变量的均值与误差变量的相关矩阵，建立误差变量的联合概率密度函数；

S2、根据步骤S1的联合概率密度函数构建可靠度分析模型；

S3、采用核函数拟合各误差变量的概率密度函数；

S4、根据步骤S2的可靠度分析模型以及步骤S3的概率密度函数，求解时变可靠度。

根据步骤S1至步骤S4可知，本发明的技术方案主要包括：根据极值时刻点以及相关变量建立时变可靠性分析模型，通过考虑极值时刻变量的分布获取高精度时变可靠性分析。本发明中时变可靠性模型由极值时刻点对应的运动误差变量以及之间的相关性建立，极值点的分布由高斯核函数估计获得。由此，求解定积分获得给定时间区间内的机构时变高可靠度。如图2所示本发明的具体实现过程如下：

1、构建机构运动误差模型及机构时变可靠性分析

首先，需要建立机构的运动误差模型。通过机构的误差机理，获取机构运动误差函数。机构的运动误差函数为机构的实际运动情况和设计要求运动情况差随着运动时间的变化情况，机构的运动误差函数如下式所示：

其中，η(·)为机构的误差函数，为机构的实际运动函数，为机构的理想运动函数，X为机构的随机变量，θ为机构的输入角度，假设θ为随着时间变量t改变的运动输入，因此给定的运动时间区间[t₀,t_e]的时间变量可以转化为输入角度变量θ∈[θ₀,θ_e]。

其次，引入最大安全边界ε，为机构可接受的最大运动误差值。超过边界范围的运动即为失效运动，因此可以构建时变可靠度分析表达式如下：

对于上式中的最大安全边界ε，其取值通常由机构的特性以及机构的实际运动情况获取，由经验值获得。

最后，根据时变可靠性的定义，即在给定的时间段内任意的时刻点，机构的运动误差均在可接受的安全范围内的概率，由此，本发明将整个时间区间内的可靠度转化为误差函数的各极值时刻点对应的误差变量在安全范围内的概率。

其中，θ_i为误差函数的极值点对应的输入点，i＝1,2,...,n，n为极值时刻点的个数。

因此，通过估计整个时间区间上所有的极值时刻点t_i对应的输入角度θ_i和相应的误差变量均在可接受的安全临界范围内的概率，来估计该机构的时变可靠度。

2、根据上述机构时变可靠性分析，将给定时间区间内的机构时变可靠度转化为各极值时刻点对应的误差变量的在给定可靠临界值范围内的概率分布。本发明中将极值时刻点视为服从一定分布的随机变量，考虑极值时刻点的分布对于可靠性分析模型的影响，采用时间区间上对该极值点对应的输入角度变量的分布求定积分估计高精度的机构时变可靠度，具体分析步骤如下：

A1、由构建的机构运动的误差模型求解时间区域内的极值点对应的输入角度。本发明通过获取误差函数对时间的一阶导数等于零的解来获得，如下式：

通常的分析方法中，X取随机变量的均值，上式求得的极值点对应的输入角度为定值θ_i，i＝1,2,...,n，n为极值点的个数。

A2、根据误差函数以及求得的各个极值点对应的输入角θ_i，可以获得各极值时刻点对应的误差变量矢量X＝(x₁,x₂,...,x_n)，矢量内的元素均为A1中所求得的极值时刻点对应的机构运动误差变量。

A3、根据A1中获得的极值点对应的输入点θ＝[θ₁，...,θ_n]，代入机构运动误差函数可以获得各极值时刻点对应的运动误差变量的均值μ＝[μ₁,...,μ_n]以及各变量之间的协方差矩阵。由误差变量的均值和协方差矩阵建立其联合概率密度函数，并以此构建可靠度分析模型。

其中，X为误差变量，ε为安全临界值。

公式(5)中f(μ，∑，X)为A2中多维误差变量的联合概率密度函数，式中：

μ＝η(μ_X,θ) 公式(6)

Σ＝[σ_ij]_{i,j＝1,...,n} 公式(7)

μ_X为随机变量X的均值，θ为极值点对应的输入角，σ_ij为第i和第j误差变量之间的协方差，可由下式求得：

σ_ij＝a_i·a_j 公式(8)

其中，a_i＝[a₁,...,a_m]，m为尺寸变量的个数。

A4、根据A1中获取极值点对应的输入角度的方法，产生θ_i的样本点，本步骤中X采用随机变量，那么获得的极值时刻点对应的输入角度θ_i为一个服从某种分布的随机变量Θ_i，通过核函数估计该输入角度变量的分布，获取极值的概率密度函数。本发明中采用高斯核函数拟合输入角度变量的概率密度函数。

A5、根据A3中建立的可靠度分析模型R，以及A4中求得的极值变量，对可靠度分析模型中的运动误差变量的均值μ以及各变量之间的协方差矩阵Σ进行更新，通过求解积分获取高精度的机构时变可靠度。如下式所示：

上式中：R(θ₀,θ_e)表示机构在给定的时间区间[θ₀,θ_e]内的时变可靠度，为各极值时刻点对应的运动变量之间的联合概率密度函数，f(θ)为极值点对应的输入角度变量的概率密度函数。通过考虑极值点对应的输入角度的分布，对运动误差的联合概率密度函数和极值点对应的输入角度变量的概率密度函数建立的联合分布求[θ₀,θ_e]时间区间内的定积分，求解机构时变可靠度R(θ₀,θ_e)。

下面结合一个具体实例对本发明方法做进一步的实践说明。

图3为本实例所研究的机构原理图。

A、本实例所采用的机构尺寸信息如表1所示，本发明假设各尺寸变量服从正态分布。本案例所研究机构的在给定时间内的运动情况，假设输入转角随时间均匀变化，时间区间[t₀,t_e]可转化为输入角度区间[θ₀,θ_e]，为[95.5°,215.5°]。

表1 随机变量分布信息

由机构运动的闭环方程：

可以求得机构的运动方程为：

其中：

A＝-2X₁X₃sinθ

B＝2X₃(X₄-X₁cosθ)

通过误差模型，构建误差函数，如公式(1)，其中机构的理想输出函数如下式所示：

由公式(4)求解机构运动误差极值点对应的输入角度变量，其中，当函数中尺寸变量取均值时，求得该机构运动误差函数的极值点的输入角度为[122.982°,186.8522°]，本发明方法将输入角度的边界角度考虑在内，为[95.5°，122.982°,186.8522°，215.5°]。

B、根据误差函数以及求得的各个极值点对应的输入角度θ_i，可以获得各极值时刻点对应的误差变量矢量X＝(x₁,x₂,x₃,x₄)，矢量内的元素均为A中所求得的极值时刻点对应的机构运动误差变量。

C、根据获得的极值点对应的输入角度[95.5°，122.982°,186.8522°，215.5°]，代入机构运动误差函数可以获得各极值时刻点对应的运动误差变量的均值μ＝[μ₁,...,μ_n]以及各变量之间的协方差矩阵。由误差变量的均值和协方差矩阵建立其联合概率密度函数，并以此构建可靠度分析模型。

其中，X为误差变量，ε为安全临界值。

公式(13)中f(μ，∑,X)为A2中多维误差变量的联合概率密度函数，式中：

μ＝η(μ_X,θ) 公式(14)

Σ＝[σ_ij]_{i,j＝1,...,4} 公式(15)

μ_X为随机变量的均值，θ为极值点对应的输入角度，由上述方法求得机构在极值时刻点处的运动误差均值为[-0.2399,0.4431,-0.1444,0.4444]，σ_ij为第i和第j误差变量之间的协方差，可由下式求得：

σ_ij＝a_i·a_j 公式(16)

其中：a_i和a_j为输入角度分别取θ_i和θ_j对应的向量，上式表示两个向量的内积，其中所需公式如下：

a_i＝[a₁,...,a₄]

由上述公式，可以获得极值时刻点为[95.5°，122.982°,186.8522°，215.5°]的对应运动误差变量之间的协方差矩阵为：

由此，可构建可靠度分析模型，如下式所示：

D、根据获取极值时刻点的方法，产生极值对应的输入角度的样本点，通过核函数估计该极值样本的分布，获取极值的概率密度函数。本发明中采用高斯核函数拟合各极值变量的概率密度函数。本发明方法中，极值时刻样本点样本个数p为500，采用高斯核函数拟合其概率密度函数为：

其中，K(·)为核函数，本发明中采用高斯核函数如下式：

公式(18)中的核函数带宽h(·)如下式所示：

其中，σ为变量的标准差。

E、根据C中建立的可靠度分析模型R，以及A4中求得的极值变量，对可靠度分析模型中的运动误差变量的均值μ以及各变量之间的协方差矩阵Σ进行更新，通过求解积分获取高精度的机构时变可靠度。如下式所示：

上式中：R(θ₀,θ_e)表示机构在给定的时间区间[θ₀,θ_e]内的时变可靠度，为各极值时刻点对应的运动变量之间的联合概率密度函数，f_θ(θ)为极值点对应的输入角度变量的概率密度函数。通过考虑极值时刻点的分布，对运动误差的联合概率密度函数和极值点对应的输入角度的概率密度函数建立的联合分布求[θ₀,θ_e]区间内的定积分，求解机构时变可靠度R(θ₀,θ_e)。

根据上述步骤，依次计算当运动误差临界值为ε＝[0.4,0.5,...,2.4]时的机构时变可靠度，计算结果如表2所示。为了验证本发明方法中求得的时变可靠度的精度，本发明引入蒙特卡洛仿真(MCS)方法作为对比标准。蒙特卡洛仿真方法中样本数据量为10⁷，因为样本量足够大，所以被认为是精确的时变可靠度，如表2所示。两种方法的时变可靠度结果对比图如图4所示。

根据表2中两种方法求解的机构时变可靠度解的对比，可知本发明的方法求得的时变可靠度解是准确的，其误差如表2中所示，在可接受范围之内。图4中通过绘制本发明方法和蒙特卡洛仿真方法的解的曲线图和点图，进行对比，可以更加形象的看出两种方法求得的解的误差可以忽略不计。因此，可以得出结论本发明方法求解的机构时变可靠度的解为精确的。

表2 各误差限下MCS和本发明方法求解的时变可靠度

本发明的方法在极值法求解可靠度方法的基础上，考虑极值点变量的分布对机构时变可靠度的影响，通过求解极值点变量的定积分获得更高精度的时变可靠度的解，解决了本行业内时变可靠性高精度问题。提高了可靠度计算的准确性和适用性。

本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的权利要求范围之内。

Claims (9)

1.一种考虑极值分布的机构时变可靠性分析方法，其特征在于，包括：

S1、根据误差变量的均值与误差变量的相关矩阵，建立误差变量的联合概率密度函数；

S2、根据步骤S1的联合概率密度函数构建可靠度分析模型；

S3、采用核函数拟合各误差变量的概率密度函数；

S4、根据步骤S2的可靠度分析模型以及步骤S3的概率密度函数，求解时变可靠度。

2.根据权利要求1所述的一种考虑极值分布的机构时变可靠性分析方法，其特征在于，步骤S1包括以下分步骤：

S11、采用极值法求解在给定时间区间内的极值时刻点；具体的：通过获取机构运动误差函数对时间的一阶导数等于零的解来获得给定时间区间内的极值时刻点及对应的输入角度点；

S12、根据机构误差函数以及步骤S11求得的各个极值时刻点，获得各极值时刻点对应的误差变量矢量；

S13、将步骤S11求得的各个极值时刻点对应的输入角度，带入机构运动误差函数，获得各极值时刻点对应的运动误差变量的均值以及各运动误差变量之间的协方差矩阵；

S14、根据运动误差变量的均值与各运动误差变量之间的协方差矩阵，建立联合概率密度函数。

3.根据权利要求2所述的一种考虑极值分布的机构时变可靠性分析方法，其特征在于，步骤S2可靠度分析模型表达式为：

其中，X为误差变量，ε为安全临界值。

4.根据权利要求3所述的一种考虑极值分布的机构时变可靠性分析方法，其特征在于，步骤S3具体包括以下分步骤：

S31、设定输入角度变量随时间变量改变；

S32、通过获取机构运动误差函数对时间的一阶导数等于零的解，获得给定输入角度区间内的输入角度变量；

S33、通过核函数估计输入角度变量的分布，获取其概率密度函数。

5.根据权利要求4所述的一种考虑极值分布的机构时变可靠性分析方法，其特征在于，步骤S4具体包括以下分步骤：

S41、根据步骤S2中构建的可靠性分析模型以及步骤S3得到的概率密度函数，对步骤S2中构建的可靠性分析模型中的运动误差变量的均值与各运动误差之间的协方差矩阵进行更新；

S42、根据步骤S41更新的运动误差变量的均值与各运动误差之间的协方差矩阵，得到更新的联合概率密度函数；

S43、通过对更新的联合概率密度函数与步骤S3的概率密度函数进行积分，求解机构时变可靠度。

6.根据权利要求5所述的一种考虑极值分布的机构时变可靠性分析方法，其特征在于，步骤S43的计算表达式为：

其中，R(θ₀,θ_e)表示机构在给定的时间区间[t₀,t_e]所对应的输入角度区间[θ₀,θ_e]内的时变可靠度，为各极值时刻点对应的运动误差变量之间的联合概率密度函数，f(θ)为输入角度变量的概率密度函数。

7.根据权利要求2或4所述的一种考虑极值分布的机构时变可靠性分析方法，其特征在于，机构运动误差函数表达式为：

其中，η(·)表示机构运动误差函数，X为运动误差变量，θ为随时间变化的输入角度变量。

8.根据权利要求7所述的一种考虑极值分布的机构时变可靠性分析方法，其特征在于，步骤S11计算给定时间区间内的极值时刻点时，构运动误差函数中的X取值为运动误差变量均值。

9.根据权利要求7所述的一种考虑极值分布的机构时变可靠性分析方法，其特征在于，步骤S32计算给定输入角度区间内的极值输入角度时，构运动误差函数中的X为运动误差变量。