CN109035156B - 基于dnst的医学ct图像去噪方法 - Google Patents

Abstract

基于DNST的医学CT图像去噪方法，包括如下步骤：步骤1)建立医学CT图像模型；步骤2)通过离散不可分离剪切波对CT图像进行分解；步骤3)对高频剪切波系数进行双变量收缩处理；步骤4)对低频剪切波系数进行旋转不变双边非局部均值滤波处理步骤4)对处理后的系数进行DNST逆变换。本发明通过实验分析与最新的去噪领域算法进行了对比，有效的应用在医学CT去噪领域；特别是针对CT低频采用旋转不变双边非局部均值滤波和对高频剪切波系数进行双变量收缩，能够更好的保护医学CT图像中软组织的细节信息。通过了大量的实验数据对比，提出了基于剪切波域双变量收缩和旋转不变双边非局部均值滤波结合的医学CT图像去噪方法，能够更好的有利于医师的分析诊断。

Description

基于DNST的医学CT图像去噪方法

技术领域

本发明涉及于医学图像去噪领域，特别是涉及医学CT图像。设计一种基于剪切波域双变量收缩和旋转不变双边非局部均值滤波结合的医学CT图像去噪方法。

背景技术

在人类发展史上，医学一直是人们极度重视和不断发展的学科。医学图像数字化的普及和发展极大的提高了医疗诊断的效率性和准确性。其中，计算机断层扫描(ComputedTomography，CT)在放射诊断方面具有很强的能力，它是第一种在不打开人体的情况下获得人体内部结构的轴向切片图，并且其具备组织结构密度分辨率高，对人体损害小，操作简便等优点广泛的应用在诊断诸如癌症，心血管疾病，传染病，阑尾炎，创伤和肌肉骨骼疾病等领域。医学CT的发明史造就了三位诺贝尔奖从侧面反映CT成像技术的重要性。

CT是一种采用断层扫描的医学成像方法，能够很简单的获取物体的内部结构特征，如尺寸、形状、内部缺陷和密度，它是一种强大的非破坏性评估技术，广泛的用于生成人体的二维和三位横截面图像。CT成像运用物理技术，通过测量X射线在人体内的衰减系数为基础，充分利用X射线在人体内被吸收的特性。通过医学仪器中探测器将接收到射线变成电信号，这些电信号通过模拟数字转换得到射线衰减系数值。采用优秀的数学算法，根据得到的射线衰减系数值的二维分布矩阵，经过计算机求解出在人体某个剖面的图像画面的灰度值，从而得到人体某部分截面图。但由于CT定位、定性诊断的准确性仍然收到病变部位、大小、性质、病程长短等因素的影响，不能反映脏器的功能信息。图像也容易收到噪声干扰、被照物细节等因素的影响，从而观察到图像中有斑点和细粒，进一步影响到医生从病灶部位一定大小细节从背景中鉴别出来。图像中的噪声干扰必将影响图像的进一步分析，因此研究相关医学图像去噪算法将噪声从CT图像中滤除，可为观察图像提供好的视觉环境。

本发明使用医学CT为研究对象。由于CT成像不免受到各种物理因素的影响，斑点噪声的存在严重影响了CT图像的质量，导致了医学图像质量较差。噪声的存在掩盖那些灰度差别很小的图像特征。对于临床医生而言，噪声对他们的准确诊断造成了很大的干扰，特别是对于经验不是很丰富的医生造成的影响更大。因此，从临床应用的角度出发，需要研究对CT医学图像去噪方法，为医生做出更准确的诊断提供技术支持，降低人工诊断的风险。

综上所述，研究医学CT图像去噪方法具有广泛的应用。

发明内容

本发明要克服小波分析处理高维数据稀疏能力的不足和离散剪切波框架界效应差的不足，提供一种离散不可分离剪切波(DNST)医学CT图像去噪算法,用于解决医学CT图像去噪。

现有技术中，小波变化能很好的用于图像去噪并且有效的抓住一维奇点，但不能反映直线和曲线的突变。脊波变换可以很好的捕捉线的奇异性，弥补小波的不足，但是仍然不能有效的捕捉曲线的奇异性。近些年来，通过离散剪切波算法对医学图像的处理，使得对医学图像去噪技术领域有一定的突破。DNST相比较于离散可分离剪切波拥有更好的框架界和更好的定向选择，意味着DNST拥有更好的去噪效果。本发明上将DNST工具包用到医学CT噪声图像中，并且修改了传统的收缩算法使用双变量收缩算法，并且在低频部分结合CT图像中旋转不变双边非局部均值滤波。发明了具有速度快、去噪明显的设计一种基于剪切波域双变量收缩和旋转不变双边非局部均值滤波结合的医学CT图像去噪方法，最后通过仿真验证了方法的可行性与优化的效果。

与现有技术相比，本发明的创造性与优点：提出了一种设计一种基于剪切波域双变量收缩和旋转不变双边非局部均值滤波结合的医学CT图像去噪方法，DNST变换克服了小波分析处理高维数据稀疏能力的不足，离散剪切波框架界的不足。通过双变量收缩算法比传统的硬阈值和软阈值更适合应用在CT去噪领域，并且在低频部分添加了适用与CT特征的旋转不变双边非局部均值滤波。并且此方法具有多分辨、多尺度、多方向性和时频局部性，将其应用于CT图像去噪能更好的保护图像边缘信息，给医师的诊断提供了方便。

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清晰，下面就对本发明的技术方案作进一步描述，分别分为以下四个步骤。

基于DNST的医学CT图像去噪方法，包括以下步骤：

步骤1)建立医学CT图像模型；

为了解决CT噪声问题，我们不能凭借人的主观感受进行断定，通常噪声只能用概率统计的方法去认识。因此，最主要的是将CT图像中抽象的噪声进行原理具体化，建立一个符合基本特征的数学模型。

X射线的能量以量子的单个能量块的方式进行传输，因此，这些无限量的X射线量子被X射线探测器检测到。由于统计错误，检测到的X射线量子可能因为再一次测量而不同。CT图像中的统计噪声由于在检测少量X射线量子点可能出现的波动而产生，因此统计噪声也可以称为量子噪声。从数学模型上来说这是一种高斯加性噪声，其数学模型如下：

I^noisy(x,y)＝u^orignal(x,y)+η^noisy(x,y) (1)

其中(x,y)表示图像中的像素点，I^nosiy表示含有噪声CT图像即观察到的CT图像，u^orignal表示无噪声CT图像，η^noisy表示噪声，其分布符合高斯分布。

步骤2)通过离散不可分离剪切波对CT图像进行分解；

S1：输入一个二维CT图像信号f∈R^X*Y，尺度参数J∈N，一个方向参数k∈N^J，以及选择方向滤波器DirectionFilter、低通滤波器QuadratureMirrorFilter。

S2：转换CT图像的频率谱f_freq＝FFT(f)。

S3：计算不同尺度不同方向下的子带i∈[0,nth]下的剪切波系数shearletCoeffs(i)∈R^X*Y*nth，根据剪切波域的卷积理论可得:

S4：通过计算得出离散不可分离剪切波系数shearletCoeffs(i)。

其中第3步中nth代表了整个紧支撑DNST***的冗余度，其计算如下:

nth＝2*((2*2^k[0]+1))+2*((2*2^k[1]+1))+...+2*((2*2^k[J]+1) (3)

DNST能够得到更好的框架界。除此之外，由不可分离的剪切波发生器生成的剪切波

的一个主要优点是扇形滤波器P在频域的每一个尺寸都提高了方向选择性。通过DNST分解，将医学CT图像在频域内分解成f¹,f²,...,f^nth-1张大小相等的高频CT图像和一张低频CT图像f^nth。

步骤3)对高频剪切波系数f¹,f²,...,f^nth-1进行双变量收缩处理；

图像去噪最强大的技术之一就是小波域中常用的双变量阈值函数去噪方法。这里，利用这个想法被扩展到了剪切波域。通过利用非高斯双变量函数统计剪切波系数模型。首先定义了更精细尺度和粗糙尺度的关系，然后对剪切波系数进行有效的建模，每个系数取决于称为CS的较粗尺度中的相同空间位置处的系数，并且每个CS取决于称为FS的即时更精细尺度中的相同空间位置中的系数。因此，剪切波域中的每个CS有一个CS，每个CS有四个FS。该模型可以有效地捕捉框架系数与其CS之间的依赖关系。

通常，对于给定的原始无噪声图像，如果它受到加性高斯白噪声的干扰，则降级后的图像在剪切波域表示如下所示：

g＝f+ε (4)

其中，g,f,ε分别表示观察到的剪切波系数，原始无噪声剪切波系数和噪声的系数。去噪的目的在于获得原始系数的估计

使得估计值

尽可能接近原始无噪声系数f。在所提出的方法中，最大后验概率(MAP)用于估计去噪系数

所以：

可以使用贝叶斯规则来写：

因此可以导出以下等式：

为了描述框架域中CS和FS之间的依赖关系，令f₁表示f₂的CS(注意f₁是与f₂相同空间位置处的框架系数，但在下一个更精细的规模)，因此有f＝(f₁,f₂)，g＝(g₁,g₂)，ε＝(ε₁,ε₂)，f₁和f₂是不相关的，但不是独立的。因此g＝f+ε可以写为以下形式：

假设附加噪声的均值和方差分别是0和

由p_ε(ε)表示的噪声概率密度函数如下：

根据剪切波系数的分布，可以根据对称的圆形概率分布，通过双变量概率密度函数p_f(f)拟合模型。因此，它可以表示如下：

用方程(9)和(10)代入方程(7)，得到：

如果p_f(f)是个凸的，求解过程等式(11)可以转化为以下求解方程：

其中

用等式(13)代入方程(12)中，下面f₁的MAP估计量是双变量收缩函数：

从这个等式可以看出，对于每个剪切波系数，都有一个对应的阈值，它不仅取决于CS系数，还取决于FS系数。

步骤4)对低频剪切波系数f^nth进行旋转不变双边非局部均值滤波处理；

在2009年，Coupe等提出了一种优化的贝叶斯非局部均值(Optimized BayesianNonlocal Means，OBNLM)滤波器用于基于使用Pearson距离度量的逐块实现CNLM的图像的斑点噪声降低。然而，OBNLM滤波器无法有效地从包含精细结构细节的图像中去除噪声，并且导致图像中存在的边缘和纹理过度平滑。为了克服上述限制，我们提出使用由Manjon等人提出的旋转不变双边非局部均值滤波器(Rotation Invariant Bilateral NonlocalMeans Filter，RIBNLM)作为后处理步骤，其优化单个区域所需的平滑之间的权衡并保留图像的细节。所提出的滤波器使用基于强度值和相应的邻域的有效旋转不变相似性度量补充平均值为

和

如下所示：

其中其中SW代表搜索窗口的大小为11×11像素，w_RIBNLM(i,j)是权重，满足条件0≤w_RIBNLM(i,j)≤1且∑w_RIBNLM(i,j)＝1，

和

是参考斑点的均值和正在搜索窗口SW中处理的斑点，参数r是平滑参数。局部均值

和

仅用5×5个邻域计算整个图像一次，并保存在一个具有图像大小的数组中。使用一个小的邻域来计算

和

以防止图像奇异结构的过度平滑。RIBNLM滤波器具有较低的计算复杂度，并且给斑点赋予合适的权重，这些斑点结构上相似但是相对于参考斑点来说具有不同的方向。

步骤5)对处理后的系数进行DNST逆变换；

对上面步骤中的阈值收缩后的高频子带和低频子带进行DNST逆变换，可以得到为了得到利于医生分析的去噪后的CT图像，通过对比实验数据也验证了本发明算法对医学CT图像去噪的优越性。以下介绍DNST逆过程具体算法过程：

S1:输入DNST处理后的的剪切系数shearletCoeffs(i)∈R^X*Y*nth；

S2:设定f_rec∈R^X*Y代表重构后的图像序列；

S3:计算每个索引i∈[0,nth]下shearletCoeffs(i)的重构图像序列频率谱f_rec并求和f_rec，根据卷积理论和框架理论

S4:做DNST的逆变换得到重构图像序列f_rec:＝IFFT(f_rec)；

本发明具有以下优点：

1.本发明使用离散的不可分离的剪切波变换模型拥有更好的框架界和方向选择性，能够更好的对医学CT图像进行有效合适的分解。

2.本发明中对医学CT低频部分中特有高斯白噪声进行旋转不变双边非局部均值滤波处理。

3.本发明中对高频部分采用自适应的阈值算法和双变量收缩算法，充分利用系数之间的联系，能够很好的去除合适的剪切波系数。

4.本发明步骤明确结构简单，拥有完善的理论支持。

附图说明

图1为CT中噪声图像是无噪CT图像和噪声成分的总和；

图2为离散不可分离剪切波分解流程图；

图3为双变量收缩函数模型；

图4为旋转不变双边非局部均值滤波原理图；

图5为本发明整体步骤流程图；

图6a～图6f为各种算法在头部CT(σ＝40)上实验结果的比较，其中图6a是CT噪声图，图6b是NSST算法效果图，图6c是SWT算法效果图，图6d是FDCT算法效果图，图6e是FFST算法效果图，图6f是本发明算法效果图；

图7为局部区域的去噪效果进行对比。

具体实施方式

以下结合附图对本发明做进一步说明。

本发明的基于DNST的医学CT图像去噪方法，包括以下步骤：

步骤1)建立医学CT图像模型

为了解决CT噪声问题，我们不能凭借人的主观感受进行断定，通常噪声只能用概率统计的方法去认识。因此，最主要的是将CT图像中抽象的噪声进行原理具体化，建立一个符合基本特征的数学模型。

X射线的能量以量子的单个能量块的方式进行传输，因此，这些无限量的X射线量子被X射线探测器检测到。由于统计错误，检测到的X射线量子可能因为再一次测量而不同。CT图像中的统计噪声由于在检测少量X射线量子点可能出现的波动而产生，因此统计噪声也可以称为量子噪声。从数学模型上来说这是一种高斯加性噪声，其数学模型如下：

I^noisy(x,y)＝u^orignal(x,y)+η^noisy(x,y) (1)

其中(x,y)表示图像中的像素点，I^nosiy表示含有噪声CT图像，u^orignal表示无噪声CT图像，η^noisy表示噪声，其分布符合高斯分布。其模型如图1所示，其观察到的CT图像为干净的CT图像和符合高斯分布的噪声之和。

步骤2)通过离散不可分离剪切波对CT图像进行分解

S1：输入一个二维CT图像信号f∈R^X*Y，尺度参数J∈N，一个剪切向量参数k∈N^J，以及选择方向滤波器DirectionFilter、低通滤波器QuadratureMirrorFilter。

S2：计算输入信号的频率谱f_freq＝FFT(f)。

S3：计算不同尺度子带i∈[0,nth]下的剪切波正向变换系数shearletCoeffs(i)∈R^X*Y*nth，根据卷积理论和框架理论:

S4：通过计算得出离散不可分离剪切波系数shearletCoeffs(i)。

其中第3步中nth代表了整个紧支撑DNST***的冗余度，其计算如下:

nth＝2*((2*2^k[0]+1))+2*((2*2^k[1]+1))+...+2*((2*2^k[J]+1) (3)

DNST能够得到更好的框架界。除此之外，由不可分离的剪切波发生器生成的剪切波

的一个主要优点是扇形滤波器P在频域的每一个尺寸都提高了方向选择性。如图2所示通过离散不可分离剪切波分解，不断的对低频部分进行分解可将医学CT图像在频域内分解成f¹,f²,...,f^nth-1张大小相等的高频CT图像和一张低频CT图像f^nth。

步骤3)对高频剪切波系数f¹,f²,...,f^nth-1进行双变量收缩处理

图像去噪最强大的技术之一就是小波域中常用的双变量阈值函数去噪方法。这里，利用这个想法被扩展到了剪切波域。通过利用非高斯双变量函数统计剪切波系数模型。首先定义了更精细尺度和粗糙尺度的关系，然后对剪切波系数进行有效的建模，每个系数取决于称为CS的即时较粗尺度中的相同空间位置处的系数，并且每个CS取决于称为FS的即时更精细尺度中的相同空间位置中的系数。因此，剪切波域中的每个CS有一个CS，每个CS有四个FS。该模型可以有效地捕捉框架系数与其CS之间的依赖关系。

通常，对于给定的原始无噪声图像，如果它受到加性高斯白噪声的干扰，则降级后的图像在剪切波域表示如下所示：

g＝f+ε (4)

其中，g,f,ε分别表示观察到的剪切波系数，原始无噪声剪切波系数和噪声的系数。去噪的目的在于获得原始系数的估计

使得估计值

尽可能接近原始无噪声系数f。在所提出的方法中，最大后验概率(MAP)用于估计去噪系数

所以：

可以使用贝叶斯规则来写：

因此可以导出以下等式：

为了描述框架域中CS和FS之间的依赖关系，令f₁表示f₂的CS(注意f₁是与f₂相同空间位置处的框架系数，但在下一个更精细的规模)，因此有f＝(f₁,f₂)，g＝(g₁,g₂)，ε＝(ε₁,ε₂)，f₁和f₂是不相关的，但不是独立的。因此g＝f+ε可以写为以下形式：

假设附加噪声的均值和方差分别是0和

由p_ε(ε)表示的噪声概率密度函数如下：

根据剪切波系数的分布，可以根据对称的圆形概率分布，通过双变量概率密度函数p_f(f)拟合模型。因此，它可以表示如下：

用方程(9)和(10)代入方程(7)，得到：

如果p_f(f)是个凸的，求解过程等式(11)可以转化为以下求解方程：

其中

用等式(13)代入方程(12)中，下面f₁的MAP估计量是双变量收缩函数：

从这个等式可以看出，对于每个剪切波系数，都有一个对应的阈值，如图3所示双变量收缩函数模型，它不仅取决于CS系数，还取决于FS系数。

步骤4)对低频剪切波系数f^nth进行旋转不变双边非局部均值滤波处理

在2009年，Coupe等提出了一种优化的贝叶斯非局部均值(optimized Bayesiannonlocal means，OBNLM)滤波器用于基于使用Pearson距离度量的逐块实现CNLM的图像的斑点噪声降低。然而，OBNLM滤波器无法有效地从包含精细结构细节的图像中去除噪声，并且导致图像中存在的边缘和纹理过度平滑。为了克服上述限制，我们提出使用由Manjon等人提出的旋转不变双边非局部均值滤波器(Rotation Invariant Bilateral NonlocalMeans Filter，RIBNLM)作为后处理步骤，其优化单个区域所需的平滑之间的权衡并保留图像的细节。所提出的滤波器使用基于强度值和相应的邻域的有效旋转不变相似性度量补充平均值为

和

如下所示：

其中其中SW代表搜索窗口的大小为11×11像素，w_RIBNLM(i,j)是权重，满足条件0≤w_RIBNLM(i,j)≤1且∑w_RIBNLM(i,j)＝1，

和

是参考斑点的均值和正在搜索窗口SW中处理的斑点，参数r是平滑参数。如图4所示局部均值

和

仅用5×5个邻域计算整个图像一次，并保存在一个具有图像大小的数组中。使用一个小的邻域来计算

和

以防止图像奇异结构的过度平滑。RIBNLM滤波器具有较低的计算复杂度，并且给斑点赋予合适的权重，这些斑点结构上相似但是相对于参考斑点来说具有不同的方向。

步骤5)对处理后的系数进行DNST逆变换

对上面步骤中的阈值收缩后的高频子带和低频子带进行DNST逆变换，可以得到为了得到利于医生分析的去噪后的CT图像，通过对比实验数据也验证了本发明算法对医学CT图像去噪的优越性。以下介绍DNST逆过程具体算法过程：

S1:输入DNST处理后的的剪切系数shearletCoeffs(i)∈R^X*Y*nth；

S2:设定f_rec∈R^X*Y代表重构后的图像序列；

S3:计算每个索引i∈[0,nth]下shearletCoeffs(i)的重构图像序列频率谱f_rec并求和f_rec，根据卷积理论和框架理论

S4:做DNST的逆变换得到重构图像序列f_rec:＝IFFT(f_rec)；

本发明整体步骤流程图如图5所示。

案例分析

本发明通过以具体的医学CT图像为对象，分别在离散剪切波变换的基础上研究离散的不可分离的剪切波***，在高频子带采用自适应阈值和双变量收缩算法和低频子带中采用旋转不变双变量局部均值滤波处理，同时通过与现有技术对比展现了本发明的优越性能。

本发明使用峰值信噪比(PSNR)来变现图像重构后的质量，PSNR定义如下：

其中N表示图像中的像素数目，||g||_F表示弗罗比尼斯范数，255是像素可以在灰度图像中获得的最大值。PSNR数值越大，去噪效果越好。

本发明的实验采用医学CT噪声图像作为输入数据，进行有效的对比实验，。分解尺度为4，剪切波的水平为[1,1,2,2],算法将噪声图分解为48张高频子带图像和1张低频子带图像，其大小与原图像相等。对高频部分剪切波系数进行自适应阈值以及双变量收缩的算法，对CT中的低频部分根据其特性采用旋转不变双边非局部均值滤波处理，对处理完后的高低频数据进行剪切波逆变换重构。实验结果图如图6所示，将实验通过对比SWT(小波变换)，FDCT(快速离散曲波变换)，NSST(非下采样剪切变换)，FFST(快速有限剪切变换)。并选取图像中的局部区域的去噪效果进行对比，具体细节如图7所示，可明显观察到本发明的优越性。

由表1可以看出，随着噪声方差越大，对去噪算法的要求更高。在同一噪声方差上，本发明的算法在数值上领先于NSST，很明显效果大于SWT，FDCT，FFST。并且在实验效果图6和图7中本发明的算法具有更清晰的细节特征。

表1：医学CT图不同去噪算法在不同噪声的PSNR/dB值

算法	σ＝10	σ＝20	σ＝30	σ＝40	σ＝50
						本发明算法	32.10	28.56	26.91	25.85	24.96
NSST	31.52	28.18	26.40	25.56	24.33
						SWT	30.32	26.85	25.24	24.02	23.18
FDCT	29.72	26.84	25.27	24.28	23.58
						FFST	29.82	26.62	25.32	24.41	23.76

以上结合附图对本发明的具体实施方式作了说明，但这些说明不能被理解为限制了本发明的范围，本发明的保护范围由随附的权利要求书限定，任何在本发明权利要求基础上的改动都是本发明的保护范围。

Claims (1)

1.基于DNST的医学CT图像去噪方法，包括以下步骤：

步骤1)建立医学CT图像模型；对CT中的噪声来源分析，对抽象的噪声进行统计，建立医学CT模型，具体包括：

CT图像中的统计噪声，也可以称为量子噪声；从数学模型上来说这是一种高斯加性噪声，其数学模型如下：

I^noisy(x,y)＝u^orignal(x,y)+η^noisy(x,y) (1)

其中(x,y)表示图像中的像素点，I^nosiy表示含有噪声CT图像即观察到的CT图像，u^orignal表示无噪声CT图像，η^noisy表示噪声，其分布符合高斯分布；

步骤2)通过离散不可分离剪切波对CT图像进行分解；并计算分解后子带的剪切波系数，具体包括：

S1：输入一个二维CT图像信号f∈R^X*Y，尺度参数J∈N，一个方向参数k∈N^J，以及选择方向滤波器Direction Filter、低通滤波器Quadrature Mirror Filter；

S2：转换CT图像的频率谱f_freq＝FFT(f)；

S3：计算不同尺度不同方向下的子带i∈[0,nth]下的剪切波系数shearletCoeffs(i)∈R^X*Y*nth，根据剪切波域的卷积理论可得:

S4：通过计算得出离散不可分离剪切波系数shearletCoeffs(i)；

其中步骤S3中nth代表了整个紧支撑DNST***的冗余度，其计算如下:

nth＝2*((2*2^k[0]+1))+2*((2*2^k[1]+1))+...+2*((2*2^k[J]+1) (3)

通过DNST分解，将医学CT图像在频域内分解成f¹,f²,...,f^nth-1张大小相等的高频CT图像和一张低频CT图像f^nth；

步骤3)对高频剪切波系数f¹,f²,...,f^nth-1进行双变量收缩处理；通过剪切波系数模型之间系数的相互联系，通过双变量收缩函数进行处理，具体包括：

利用非高斯双变量函数统计剪切波系数模型；通常，对于给定的原始无噪声图像，如果它受到加性高斯白噪声的干扰，则降级后的图像在剪切波域表示如下所示：

g＝f+ε (4)

其中，g,f,ε分别表示观察到的剪切波系数，原始无噪声剪切波系数和噪声的系数；去噪的目的在于获得原始系数的估计

使得估计值

尽可能接近原始无噪声系数f；在所提出的方法中，最大后验概率MAP用于估计去噪系数

所以：

可以使用贝叶斯规则来写：

因此可以导出以下等式：

为了描述框架域中CS和FS之间的依赖关系，令f₁表示f₂的CS，f₁是与f₂相同空间位置处的框架系数，因此有f＝(f₁,f₂)，g＝(g₁,g₂)，ε＝(ε₁,ε₂)，f₁和f₂是不相关的，但不是独立的；因此g＝f+ε可以写为以下形式：

假设附加噪声的均值和方差分别是0和

由p_ε(ε)表示的噪声概率密度函数如下：

根据剪切波系数的分布，可以根据对称的圆形概率分布，通过双变量概率密度函数p_f(f)拟合模型；因此，它可以表示如下：

用方程(9)和(10)代入方程(7)，得到：

如果p_f(f)是个凸的，求解过程等式(11)可以转化为以下求解方程：

其中

用等式(13)代入方程(12)中，下面f₁的MAP估计量是双变量收缩函数：

从这个等式可以看出，对于每个剪切波系数，都有一个对应的阈值，它不仅取决于CS系数，还取决于FS系数；

步骤4)对低频剪切波系数f^nth进行旋转不变双边非局部均值滤波处理；具体包括：

使用旋转不变双边非局部均值滤波器RIBNLM作为后处理步骤，其优化单个区域所需的平滑之间的权衡并保留图像的细节；所提出的滤波器使用基于强度值和相应的邻域的有效旋转不变相似性度量补充平均值为

和

如下所示：

其中SW代表搜索窗口的大小为11×11像素，w_RIBNLM(i,j)是权重，满足条件0≤w_RIBNLM(i,j)≤1且∑w_RIBNLM(i,j)＝1，

和

是参考斑点的均值和正在搜索窗口SW中处理的斑点，参数r是平滑参数；局部均值

和

仅用5×5个邻域计算整个图像一次，并保存在一个具有图像大小的数组中；使用一个小的邻域来计算

和

以防止图像奇异结构的过度平滑；RIBNLM滤波器具有较低的计算复杂度，并且给斑点赋予合适的权重，这些斑点结构上相似但是相对于参考斑点来说具有不同的方向；

步骤5)经过双变量收缩后的高频剪切波系数和低频处理的旋转不变双变量非局部均值滤波后，对处理后的系数进行DNST逆变换，具体如下：

对上面步骤中的阈值收缩后的高频子带和低频子带进行DNST逆变换，可以得到利于医生分析的去噪后的CT图像；以下介绍DNST逆过程具体算法过程：

T1:输入DNST处理后的剪切系数shearletCoeffs(i)∈R^X*Y*nth；

T2:设定f_rec∈R^X*Y代表重构后的图像序列；

T3:计算每个索引i∈[0,nth]下shearletCoeffs(i)的重构图像序列频率谱f_rec并求和f_rec，根据卷积理论和框架理论

T4:做DNST的逆变换得到重构图像序列f_rec:＝IFFT(f_rec)。

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