CN109033688B - 基于轴不变量的通用7r机械臂逆解建模与解算方法 - Google Patents

基于轴不变量的通用7r机械臂逆解建模与解算方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法，设定有7个转动轴，拾取点位于第7轴轴线上，且第5轴与第6轴不共轴的机械臂为通用7R机械臂；通用7R机械臂通过前6轴控制第7轴与期望位置及姿态对齐，使第7轴无限转动或控制第7轴满足径向对齐；将7R机械臂运动学方程采用居‑吉布斯四元数表达式进行表达，第6轴取距拾取点一定距离的点为名义拾取点，先计算通用6R机械臂的逆解，再应用数值迭代法，完成通用7R机械臂的运动规划与逆解计算，解决了现有技术中无法计算7R机械臂逆解的问题。

Description

基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法
技术领域
本发明涉及一种多轴机器人7R机械臂逆解建模与解算方法，属于机器人技术领域。
背景技术
自主机器人研究的一个重要方面是需要解决变拓扑结构机器人的运动学建模问题。在MAS中，具有动态的图结构(Dynamic Graph Structure)，可以动态地建立基于运动轴的有向Span树，为研究可变拓扑结构(Variable Topology Structure)的机器人建模与控制奠定了基础。为此，需要提出基于轴不变量的通用机械臂逆解原理，既要建立包含坐标系、极性、结构参数、关节变量的完全参数化的正运动学模型，又要实时地计算位姿方程；一方面，可以提高机器人的自主性，另一方面，可以提高机器人位姿控制的绝对精度。
由于通用6R机械臂不存在共点约束，现有技术中其逆解计算已经十分困难，在工程上不得不屈从于解耦约束，该约束既增加了机械臂加工及装配难度，又降低了机械臂绝对定位精度。通用7R机械臂逆解由于计算复杂度极高，在现有技术条件下根本无法实现。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是提供一种基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法，解决了现有技术中无法计算7R机械臂逆解的问题。
为解决上述技术问题，本发明采用以下技术方案：
一种基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法，其特征是，
设定有7个转动轴，拾取点位于第7轴轴线上，且第5轴与第6轴不共轴的机械臂为通用7R机械臂；通用7R机械臂通过前6轴控制第7轴与期望位置及姿态对齐，使第7轴无限转动或控制第7轴满足径向对齐；
将给定第7轴期望位置
Figure BDA0001767184820000011
及第7轴期望姿态
Figure BDA0001767184820000012
的逆解问题与给定第6轴期望位置
Figure BDA0001767184820000013
及第6轴期望姿态
Figure BDA0001767184820000014
的逆解问题等价，将7R机械臂运动学方程采用居-吉布斯四元数表达式进行表达；
基于轴不变量的通用机械臂运动规划，建立通用7R机械臂增量位姿方程，第6轴取距拾取点一定距离的点为名义拾取点，先计算通用6R机械臂的逆解，再应用数值迭代法，完成通用7R机械臂的运动规划与逆解计算。
若给定7R轴链il7＝(i,1:7]，il1＝03，期望位置矢量及Ju-Gibbs四元数分别记为
Figure BDA0001767184820000015
及
Figure BDA0001767184820000016
则由轴不变量表征的7R机械臂运动学多项式方程为：
Figure BDA0001767184820000021
其中：
Figure BDA0001767184820000022
***结构参数及期望Ju-Gibbs姿态四元数构成的矩阵表示为
Figure BDA0001767184820000023
Figure BDA0001767184820000024
Figure BDA0001767184820000025
Figure BDA0001767184820000026
式中，\为续行符；
Figure BDA0001767184820000027
分别表示轴5至轴6、轴6至轴7的零位矢量、径向矢量；
Figure BDA0001767184820000028
是轴不变量
Figure BDA0001767184820000029
的叉乘矩阵；03＝[0 0 0]T；
Figure BDA00017671848200000210
Figure BDA00017671848200000211
Figure BDA00017671848200000212
表示***结构参数的4×4矩阵；
Figure BDA0001767184820000031
表示取
Figure BDA0001767184820000032
的第一行元素，依次类推，
Figure BDA0001767184820000033
表示取
Figure BDA0001767184820000034
的第k+1行元素；右上角标表达形式[ ]表示取行或列，表达形式[·]表示取所有列；
Figure BDA0001767184820000035
表示取3E5的第3行、第所有列；4n5为杆件4到杆件5的坐标矢量，其是轴不变量；
Figure BDA0001767184820000036
为轴不变量4n5的叉乘矩阵，其余杆件同理。
消去τ5及τ6后的位姿方程(200)，是4个“4元2阶”多项式方程。
基于轴不变量的通用机械臂运动规划，具体包括以下步骤：
【1】建立通用7R轴链的增量位姿方程；
【2】对基于偏速度迭代的通用7R机械臂进行运动规划。
定义Ju-Gibbs增量四元数：
Ju-Gibbs规范四元数为
Figure BDA0001767184820000037
其中：轴不变量
Figure BDA0001767184820000038
Figure BDA0001767184820000039
为关节变量；若用
Figure BDA00017671848200000310
表示属性占位，则式中的表达形式
Figure BDA00017671848200000311
表示成员访问符；式中的表达形式幂符
Figure BDA00017671848200000312
表示
Figure BDA00017671848200000318
的x次幂；右上角角标∧或
Figure BDA00017671848200000313
表示分隔符。
定义居-吉布斯增量四元数
Figure BDA00017671848200000314
其中：
Figure BDA00017671848200000315
步骤【1】中，若给定6R轴链il7＝(i,1:7]，il1＝03，位置矢量及Ju-Gibbs增量四元数分别记为
Figure BDA00017671848200000316
及
Figure BDA00017671848200000317
则由Ju-Gibbs增量四元数表征的通用6R机械臂增量位姿方程表示为：
Figure BDA0001767184820000041
Figure BDA0001767184820000042
其中：
Figure BDA0001767184820000043
Figure BDA0001767184820000044
3n4为杆件3到杆件4的坐标矢量，其是轴不变量；
Figure BDA0001767184820000045
为轴不变量3n4的叉乘矩阵，其余杆件同理；，\为续行符；
Figure BDA0001767184820000046
Figure BDA0001767184820000047
分别表示轴5至轴6、轴6至轴7的零位矢量、径向矢量；
Figure BDA0001767184820000048
是轴不变量
Figure BDA0001767184820000049
的叉乘矩阵；03＝[00 0]T；
Figure BDA00017671848200000410
Figure BDA00017671848200000411
由行四元数构成的***结构参数矩阵表示为
Figure BDA00017671848200000412
其中，
Figure BDA00017671848200000413
表示***结构参数的4×4矩阵；右上角标表达形式[ ]表示取行或列，表达形式[·]表示取所有列；
Figure BDA0001767184820000051
表示取3E5的第i行、第所有列。
分析通用7R机械臂的增量位姿逆解，式(239)是关于{εl|l∈[1:4}的线性方程。将式(239)重新表示为
A·[ε1 ε2 ε3 ε4]T＝b； (247)
若A-1存在，解式(245)得
[ε1 ε2 ε3 ε4]T＝A-1·b； (248)
至此，得到全部逆解。
通过增量位置矢量
Figure BDA0001767184820000052
及Gibbs增量四元数
Figure BDA0001767184820000053
应用迭代逼近算法使通用7R机械臂位姿对齐期望的位姿。
步骤【2】中，基于偏速度迭代优化的步骤如下：
记运动链为
Figure BDA0001767184820000054
l∈(i,1:6]，有
Figure BDA0001767184820000055
记
Figure BDA0001767184820000056
记期望位姿分别为
Figure BDA0001767184820000057
及
Figure BDA0001767184820000058
且有
Figure BDA0001767184820000059
将式(251)合写为
Figure BDA00017671848200000510
由式(252)应用梯度下降法得
Figure BDA00017671848200000511
其中：步长Step>0，Step→0；有
Figure BDA00017671848200000512
选择Step步长，由初态
Figure BDA00017671848200000513
开始迭代，直至终态
Figure BDA00017671848200000514
(1)确定目标函数
Figure BDA0001767184820000061
Goal表示
Figure BDA0001767184820000062
及
Figure BDA0001767184820000063
的方差；
(2)选择步长；
(3)进行迭代计算，得到稳态解，即为通用机械臂的位姿逆解。
应用构造法确定步长
Figure BDA0001767184820000064
仅当
Figure BDA0001767184820000065
时，Step→0，Goal→0；
Figure BDA0001767184820000066
其中：ε(i,6]＝[ε1 ε2 … ε6]；由式(257)及式(253)确定步长
Figure BDA0001767184820000067
其中：
Figure BDA0001767184820000068
迭代过程
取式(258)之步长Step，由式(259)完成迭代计算：
Figure BDA0001767184820000069
其中：当
Figure BDA00017671848200000610
时，迭代过程结束；
对于式(259)的迭代过程，则必有
δGoal≤0， (260)
即式(259)的迭代过程一定收敛；
当
Figure BDA00017671848200000611
时，得到稳态解φ(i,6]，即为通用机械臂的位姿逆解。
本发明所达到的有益效果：
本发明建立了通用7R机械臂增量位姿方程，并进行实时逆解计算。特征在于：
具有简洁、优雅的运动链符号***，具有伪代码的功能，具有迭代式结构，保证***实现的可靠性及机械化演算。
具有基于轴不变量的迭代式，保证计算的实时性；实现坐标系、极性及***结构参量的完全参数化，基于轴不变量的可逆解运动学具有统一的表达及简洁的结构化层次模型，保证位姿分析逆解的通用性。
直接应用激光跟踪仪精密测量获得的基于固定轴不变量的结构参数，保证位姿逆解的准确性；从而，使***的绝对定位与定姿精度接近重复精度。
附图说明
图1自然坐标系与轴链；
图2固定轴不变量；
图3为定轴转动示意图；
图4为轴不变量的导出不变量。
具体实施方式
下面对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。
定义1自然坐标轴：称与运动轴或测量轴共轴的，具有固定原点的单位参考轴为自然坐标轴，亦称为自然参考轴。
定义2自然坐标系：如图1所示，若多轴***D处于零位，所有笛卡尔体坐标系方向一致，且体坐标系原点位于运动轴的轴线上，则该坐标***为自然坐标***，简称自然坐标系。
自然坐标系优点在于：(1)坐标***易确定；(2)零位时的关节变量为零；(3)零位时的***姿态一致；(4)不易引入测量累积误差。
由定义2可知，在***处于零位时，所有杆件的自然坐标系与底座或世界系的方向一致。***处于零位即
Figure BDA0001767184820000071
时，自然坐标系
Figure BDA0001767184820000072
绕轴矢量
Figure BDA0001767184820000073
转动角度
Figure BDA0001767184820000074
将
Figure BDA0001767184820000075
转至F[l]；
Figure BDA0001767184820000076
在
Figure BDA0001767184820000077
下的坐标矢量与
Figure BDA0001767184820000078
在F[l]下的坐标矢量
Figure BDA0001767184820000079
恒等，即有
Figure BDA00017671848200000710
由上式知，
Figure BDA00017671848200000711
或
Figure BDA00017671848200000712
不依赖于相邻的坐标系
Figure BDA00017671848200000713
及F[l]；故称
Figure BDA00017671848200000714
或
Figure BDA00017671848200000715
为轴不变量。在不强调不变性时，可以称之为坐标轴矢量(简称轴矢量)。
Figure BDA00017671848200000716
或
Figure BDA00017671848200000717
表征的是体
Figure BDA00017671848200000718
与体l共有的参考单位坐标矢量，与参考点
Figure BDA00017671848200000719
及Ol无关。体
Figure BDA00017671848200000720
与体l即为杆件或轴。
轴不变量与坐标轴具有本质区别：
(1)坐标轴是具有零位及单位刻度的参考方向，可以描述沿该方向平动的位置，但不能完整描述绕该方向的转动角度，因为坐标轴自身不具有径向参考方向，即不存在表征转动的零位。在实际应用时，需要补充该轴的径向参考。例如：在笛卡尔系F[l]中，绕lx转动，需以ly或lz为参考零位。坐标轴自身是1D的，3个正交的1D参考轴构成3D的笛卡尔标架。
(2)轴不变量是3D的空间单位参考轴，其自身就是一个标架。其自身具有径向参考轴，即参考零位。空间坐标轴及其自身的径向参考轴可以确定笛卡尔标架。空间坐标轴可以反映运动轴及测量轴的三个基本参考属性。
已有文献将无链指标的轴矢量记为
Figure BDA0001767184820000081
并称之为欧拉轴(Euler Axis)，相应的关节角称为欧拉角(Euler Angle)。本申请之所以不再沿用欧拉轴，而称之为轴不变量，是因为轴不变量具有以下属性：
【1】给定旋转变换阵
Figure BDA0001767184820000082
因其是实矩阵，其模是单位的，故其有一个实特征值λ1及两个互为共轭的复特征值λ2＝eiφ及λ3＝e-iφ；其中：i为纯虚数。因此，|λ1|·||λ2||·||λ3||＝1，得λ1＝1。轴矢量
Figure BDA0001767184820000083
是实特征值λ1＝1对应的特征矢量，是不变量；
【2】是3D参考轴，不仅具有轴向参考方向，而且具有径向参考零位，将在3.3.1节予以阐述。
【3】在自然坐标系下：
Figure BDA0001767184820000084
即轴不变量
Figure BDA0001767184820000085
是非常特殊的矢量，它对时间的导数也具有不变性，且有非常优良的数学操作性能；
对轴不变量而言，其绝对导数就是其相对导数。因轴不变量是具有不变性的自然参考轴，故其绝对导数恒为零矢量。因此，轴不变量具有对时间微分的不变性。有：
Figure BDA0001767184820000086
【4】在自然坐标***中，通过轴矢量
Figure BDA0001767184820000087
及关节变量
Figure BDA0001767184820000088
可以直接描述旋转坐标阵
Figure BDA0001767184820000089
没有必要为除根之外的杆件建立各自的体系。同时，以唯一需要定义的根坐标系为参考，可以提高***结构参数的测量精度；
【5】应用轴矢量
Figure BDA00017671848200000810
的优良操作，将建立包含拓扑结构、坐标系、极性、结构参量及力学参量的完全参数化的统一的多轴***运动学及动力学模型。
因基矢量el是与F[l]固结的任一矢量，基矢量
Figure BDA00017671848200000811
是与
Figure BDA00017671848200000812
固结的任一矢量，又
Figure BDA00017671848200000813
是F[l]及
Figure BDA00017671848200000814
共有的单位矢量，故
Figure BDA00017671848200000815
是F[l]及
Figure BDA00017671848200000816
共有的基矢量。因此，轴不变量
Figure BDA00017671848200000817
是F[l]及
Figure BDA00017671848200000818
共有的参考基。轴不变量是参数化的自然坐标基，是多轴***的基元。固定轴不变量的平动与转动与其固结的坐标系的平动与转动等价。
在***处于零位时，以自然坐标系为参考，测量得到坐标轴矢量
Figure BDA00017671848200000819
在运动副
Figure BDA00017671848200000820
运动时，轴矢量
Figure BDA00017671848200000821
是不变量；轴矢量
Figure BDA00017671848200000822
及关节变量
Figure BDA00017671848200000823
唯一确定运动副
Figure BDA00017671848200000824
的转动关系。
因此，应用自然坐标***，当***处于零位时，只需确定一个公共的参考系，而不必为***中每一杆件确定各自的体坐标系，因为它们由轴不变量及自然坐标唯一确定。当进行***分析时，除底座系外，与杆件固结的其它自然坐标系只发生在概念上，而与实际的测量无关。自然坐标***对于多轴***(MAS)理论分析及工程作用在于：
(1)***的结构参数测量需要以统一的参考系测量；否则，不仅工程测量过程烦琐，而且引入不同的体系会引入更大的测量误差。
(2)应用自然坐标***，除根杆件外，其它杆件的自然坐标***由结构参量及关节变量自然确定，有助于MAS***的运动学与动力学分析。
(3)在工程上，可以应用激光跟踪仪等光学测量设备，实现对固定轴不变量的精确测量。
(4)由于运动副R及P、螺旋副H、接触副O是圆柱副C的特例，可以应用圆柱副简化MAS运动学及动力学分析。
定义3不变量：称不依赖于一组坐标系进行度量的量为不变量。
定义4转动坐标矢量：绕坐标轴矢量
Figure BDA0001767184820000091
转动到角位置
Figure BDA0001767184820000092
的坐标矢量
Figure BDA0001767184820000093
为
Figure BDA0001767184820000094
定义5平动坐标矢量：沿坐标轴矢量
Figure BDA0001767184820000095
平动到线位置
Figure BDA0001767184820000096
的坐标矢量
Figure BDA0001767184820000097
为
Figure BDA0001767184820000098
定义6自然坐标：以自然坐标轴矢量为参考方向，相对***零位的角位置或线位置，记为ql，称为自然坐标；称与自然坐标一一映射的量为关节变量；其中：
Figure BDA0001767184820000099
定义7机械零位：对于运动副
Figure BDA00017671848200000910
在初始时刻t0时，关节绝对编码器的零位
Figure BDA00017671848200000911
不一定为零，该零位称为机械零位；
故关节
Figure BDA00017671848200000912
的控制量
Figure BDA00017671848200000913
为
Figure BDA00017671848200000914
定义8自然运动矢量：将由自然坐标轴矢量
Figure BDA00017671848200000915
及自然坐标ql确定的矢量
Figure BDA00017671848200000916
称为自然运动矢量。其中：
Figure BDA00017671848200000917
自然运动矢量实现了轴平动与转动的统一表达。将由自然坐标轴矢量及关节确定的矢量，例如
Figure BDA0001767184820000101
称为***矢量，亦称为自由螺旋。显然，轴矢量
Figure BDA0001767184820000102
是特定的自由螺旋。
定义9关节空间：以关节自然坐标ql表示的空间称为关节空间。
定义10位形空间：称表达位置及姿态(简称位姿)的笛卡尔空间为位形空间，是双矢量空间或6D空间。
定义11自然关节空间：以自然坐标系为参考，通过关节变量
Figure BDA0001767184820000103
表示，在***零位时必有
Figure BDA0001767184820000104
的关节空间，称为自然关节空间。
如图2所示，给定链节
Figure BDA0001767184820000105
原点Ol受位置矢量
Figure BDA0001767184820000106
约束的轴矢量
Figure BDA0001767184820000107
为固定轴矢量，记为
Figure BDA0001767184820000108
其中：
Figure BDA0001767184820000109
轴矢量
Figure BDA00017671848200001010
是关节自然坐标的自然参考轴。因
Figure BDA00017671848200001011
是轴不变量，故称
Figure BDA00017671848200001012
为固定轴不变量，它表征了运动副
Figure BDA00017671848200001013
的结构关系，即确定了自然坐标轴。固定轴不变量
Figure BDA00017671848200001014
是链节
Figure BDA00017671848200001015
结构参数的自然描述。
定义12自然坐标轴空间：以固定轴不变量作为自然参考轴，以对应的自然坐标表示的空间称为自然坐标轴空间，简称自然轴空间。它是具有1个自由度的3D空间。
如图2所示，
Figure BDA00017671848200001016
及
Figure BDA00017671848200001017
不因杆件Ωl的运动而改变，是不变的结构参考量。
Figure BDA00017671848200001018
确定了轴l相对于轴
Figure BDA00017671848200001019
的五个结构参数；与关节变量ql一起，完整地表达了杆件Ωl的6D位形。给定
Figure BDA00017671848200001020
时，杆件固结的自然坐标系可由结构参数
Figure BDA00017671848200001021
及关节变量
Figure BDA00017671848200001022
唯一确定。称轴不变量
Figure BDA00017671848200001023
固定轴不变量
Figure BDA00017671848200001024
关节变量
Figure BDA00017671848200001025
及
Figure BDA00017671848200001026
为自然不变量。显然，由固定轴不变量
Figure BDA00017671848200001027
及关节变量
Figure BDA00017671848200001028
构成的关节自然不变量
Figure BDA00017671848200001029
与由坐标系
Figure BDA00017671848200001030
至F[l]确定的空间位形
Figure BDA00017671848200001031
具有一一映射关系，即
Figure BDA00017671848200001032
给定多轴***D＝{T,A,B,K,F,NT}，在***零位时，只要建立底座系或惯性系，以及各轴上的参考点Ol，其它杆件坐标系也自然确定。本质上，只需要确定底座系或惯性系。
给定一个由运动副连接的具有闭链的结构简图，可以选定回路中任一个运动副，将组成该运动副的定子与动子分割开来；从而，获得一个无回路的树型结构，称之为Span树。T表示带方向的span树，以描述树链运动的拓扑关系。
I为结构参数；A为轴序列，F为杆件参考系序列，B为杆件体序列，K为运动副类型序列，NT为约束轴的序列即非树。
Figure BDA0001767184820000111
为取轴序列
Figure BDA0001767184820000112
的成员。转动副R，棱柱副P，螺旋副H，接触副O是圆柱副C的特例。
描述运动链的基本拓扑符号及操作是构成运动链拓扑符号***的基础，定义如下：
【1】运动链由偏序集合(]标识。
【2】A[l]为取轴序列A的成员；因轴名l具有唯一的编号对应于A[l]的序号，故A[l]计算复杂度为O(1)。
【3】
Figure BDA0001767184820000113
为取轴l的父轴；轴
Figure BDA0001767184820000114
的计算复杂度为O(1)。计算复杂度O()表示计算过程的操作次数，通常指浮点乘与加的次数。以浮点乘与加的次数表达计算复杂度非常烦琐，故常采用算法循环过程中的主要操作次数；比如：关节位姿、速度、加速度等操作的次数。
【4】
Figure BDA0001767184820000115
为取轴序列
Figure BDA0001767184820000116
的成员；
Figure BDA0001767184820000117
计算复杂度为O(1)。
【5】llk为取由轴l至轴k的运动链，输出表示为
Figure BDA0001767184820000118
且
Figure BDA0001767184820000119
基数记为|llk|。llk执行过程：执行
Figure BDA00017671848200001110
若
Figure BDA00017671848200001111
则执行
Figure BDA00017671848200001112
否则，结束。llk计算复杂度为O(|llk|)。
【6】ll为取轴l的子。该操作表示在
Figure BDA00017671848200001113
中找到成员l的地址k；从而，获得轴l的子A[k]。因
Figure BDA00017671848200001114
不具有偏序结构，故ll的计算复杂度为
Figure BDA00017671848200001115
【7】lL表示获得由轴l及其子树构成的闭子树， l L为不含l的子树；递归执行ll，计算复杂度为
Figure BDA00017671848200001116
【8】支路、子树及非树弧的增加与删除操作也是必要的组成部分；从而，通过动态Span树及动态图描述可变拓扑结构。在支路llk中，若
Figure BDA00017671848200001117
则记
Figure BDA00017671848200001118
Figure BDA00017671848200001119
即
Figure BDA00017671848200001120
表示在支路中取成员m的子。
定义以下表达式或表达形式：
轴与杆件具有一一对应性；轴间的属性量
Figure BDA00017671848200001121
及杆件间的属性量
Figure BDA00017671848200001122
具有偏序性。
约定：
Figure BDA00017671848200001127
表示属性占位；若属性p或P是关于位置的，则
Figure BDA00017671848200001123
应理解为坐标系
Figure BDA00017671848200001124
的原点至F[l]的原点；若属性p或P是关于方向的，则
Figure BDA00017671848200001125
应理解为坐标系
Figure BDA00017671848200001126
至F[l]。
Figure BDA0001767184820000121
及
Figure BDA0001767184820000122
应分别理解为关于时间t的函数
Figure BDA0001767184820000123
及
Figure BDA0001767184820000124
且
Figure BDA0001767184820000125
及
Figure BDA0001767184820000126
是t0时刻的常数或常数阵列。但是正体的
Figure BDA0001767184820000127
及
Figure BDA0001767184820000128
应视为常数或常数阵列。
本申请中约定：在运动链符号演算***中，具有偏序的属性变量或常量，在名称上包含表示偏序的指标；要么包含左上角及右下角指标，要么包含右上角及右下角指标；它们的方向总是由左上角指标至右下角指标，或由右上角指标至右下角指标，本申请中为叙述简便，有时省略方向的描述，即使省略，本领域技术人员通过符号表达式也可以知道，本申请中采用的各参数，对于某种属性符，它们的方向总是由偏序指标的左上角指标至右下角指标，或由右上角指标至右下角指标。例如：
Figure BDA0001767184820000129
可简述为(表示由k至l)平动矢量；rl k表示(由k至l的)线位置；krl表示(由k至l的)平动矢量；其中：r表示“平动”属性符，其余属性符对应为：属性符φ表示“转动”；属性符Q表示“旋转变换矩阵”；属性符l表示“运动链”；属性符u表示“单位矢量”；属性符ω表示“角速度”；角标为i表示惯性坐标系或大地坐标系；其他角标可以为其他字母，也可以为数字。
本申请的符号规范与约定是根据运动链的偏序性、链节是运动链的基本单位这两个原则确定的，反映了运动链的本质特征。链指标表示的是连接关系，右上指标表征参考系。采用这种符号表达简洁、准确，便于交流与书面表达。同时，它们是结构化的符号***，包含了组成各属性量的要素及关系，便于计算机处理，为计算机自动建模奠定基础。指标的含义需要通过属性符的背景即上下文进行理解；比如：若属性符是平动类型的，则左上角指标表示坐标系的原点及方向；若属性符是转动类型的，则左上角指标表示坐标系的方向。
(1)lS－杆件l中的点S；而S表示空间中的一点S。
(2)
Figure BDA00017671848200001210
－杆件k的原点Ok至杆件l的原点Ol的平动矢量；
Figure BDA00017671848200001211
在自然坐标系F[k]下的坐标矢量，即由k至l的坐标矢量；
(3)
Figure BDA00017671848200001212
－原点Ok至点lS的平动矢量；
Figure BDA00017671848200001213
在F[k]下的坐标矢量；
(4)
Figure BDA00017671848200001214
－原点Ok至点S的平动矢量；
Figure BDA00017671848200001215
在F[k]下的坐标矢量；
(5)
Figure BDA00017671848200001216
-连接杆件
Figure BDA00017671848200001217
及杆件l的运动副；
Figure BDA00017671848200001218
－运动副
Figure BDA00017671848200001219
的轴矢量；
Figure BDA00017671848200001220
及
Figure BDA00017671848200001221
分别在
Figure BDA00017671848200001222
及F[l]下的坐标矢量；
Figure BDA00017671848200001223
是轴不变量，为一结构常数；
Figure BDA0001767184820000131
为转动矢量，转动矢量/角矢量
Figure BDA0001767184820000132
是自由矢量，即该矢量可自由平移；
(6)
Figure BDA0001767184820000133
－沿轴
Figure BDA0001767184820000134
的线位置(平动位置)，
Figure BDA0001767184820000135
－绕轴
Figure BDA0001767184820000136
的角位置，即关节角、关节变量，为标量；
(7)左下角指标为0时，表示机械零位；如：
Figure BDA0001767184820000137
－平动轴
Figure BDA0001767184820000138
的机械零位，
Figure BDA0001767184820000139
－转动轴
Figure BDA00017671848200001310
的机械零位；
(8)0－三维零矩阵；1－三维单位矩阵；
(9)约定：“\”表示续行符；
Figure BDA00017671848200001311
表示属性占位；则
幂符
Figure BDA00017671848200001312
表示
Figure BDA00017671848200001339
的x次幂；右上角角标∧或
Figure BDA00017671848200001313
表示分隔符；如：
Figure BDA00017671848200001314
或
Figure BDA00017671848200001315
为
Figure BDA00017671848200001316
的x次幂。
Figure BDA00017671848200001317
表示
Figure BDA00017671848200001340
的转置，表示对集合转置，不对成员执行转置；如：
Figure BDA00017671848200001318
Figure BDA00017671848200001319
为投影符，表示矢量或二阶张量对参考基的投影矢量或投影序列，即坐标矢量或坐标阵列，投影即是点积运算“·”；如：位置矢量
Figure BDA00017671848200001320
在坐标系F[k]中的投影矢量记为
Figure BDA00017671848200001321
Figure BDA00017671848200001322
为叉乘符；如：
Figure BDA00017671848200001323
是轴不变量
Figure BDA00017671848200001324
的叉乘矩阵；给定任一矢量
Figure BDA00017671848200001325
的叉乘矩阵为
Figure BDA00017671848200001326
叉乘矩阵是二阶张量。
叉乘符运算的优先级高于投影符
Figure BDA00017671848200001327
的优先级。投影符
Figure BDA00017671848200001328
的优先级高于成员访问符
Figure BDA00017671848200001329
或
Figure BDA00017671848200001330
成员访问符
Figure BDA00017671848200001331
优先级高于幂符
Figure BDA00017671848200001332
(10)单位矢量在大地坐标系的投影矢量
Figure BDA00017671848200001333
单位零位矢量
Figure BDA00017671848200001334
(11)
Figure BDA00017671848200001335
－零位时由原点
Figure BDA00017671848200001336
至原点Ol的平动矢量，且记
Figure BDA00017671848200001337
表示位置结构参数。
(12)iQl，相对绝对空间的旋转变换阵；
(13)以自然坐标轴矢量为参考方向，相对***零位的角位置或线位置，记为ql，称为自然坐标；关节变量
Figure BDA00017671848200001338
自然关节坐标为φl；
(14)对于一给定有序的集合r＝[1,4,3,2]T，记r[x]表示取集合r的第x行元素。常记[x]、[y]、[z]及[ω]表示取第1、2、3及4列元素。
(15)ilj表示由i到j的运动链；llk为取由轴l至轴k的运动链；
给定运动链
Figure BDA0001767184820000141
若n表示笛卡尔直角系，则称
Figure BDA0001767184820000142
为笛卡尔轴链；若n表示自然参考轴，则称
Figure BDA0001767184820000143
为自然轴链。
(16)Rodrigues四元数表达形式：
Figure BDA0001767184820000144
欧拉四元数表达形式：
Figure BDA0001767184820000145
不变量的四元数(也称为轴四元数)表达形式
Figure BDA0001767184820000146
分块矩阵的高维行列式计算：
记<1:n>表示自然数[1:n]的全排列，共有n！个实例。给定属于数域的大小为n×n的矩阵M，其j行i列元素记为
Figure BDA0001767184820000147
Figure BDA0001767184820000148
根据行列式定义得
Figure BDA0001767184820000149
其中：I[i1,…in]表示排列<i1,…in>的逆序个数。式(1)计算复杂度为：n！次n个数积及n！次加法，具有指数计算复杂度，只能适用于维度较小的行列式。对于维度较大的行列式，通常应用Laplace公式进行递规运算，记
Figure BDA00017671848200001410
为
Figure BDA00017671848200001411
的伴随矩阵(Adjugate Matrix)，则有
Figure BDA00017671848200001412
更简单的算法通常应用高斯消去法或LU分解法，先通过初等变换将矩阵变为三角阵或三角阵的乘积，后计算行列式。上述针对数域的行列式计算方法不适用于高维度的多项式矩阵，需要引入分块矩阵的行列式计算方法。计算矢量多项式(Vector Polynomial)的行列式是一个特定的分块矩阵行列式的计算问题，它在矢量层次上表达了矢量与行列式的内在联系。而分块矩阵行列式计算则从矩阵层次上表达分块矩阵与行列式的内在规律。
若给定矢量多项式
Figure BDA00017671848200001413
其中：
Figure BDA00017671848200001414
及
Figure BDA00017671848200001415
为3D坐标矢量，
Figure BDA00017671848200001416
为多项式变量序列；若约定
Figure BDA00017671848200001417
则有
Figure BDA0001767184820000151
上式的推导步骤为：因
Figure BDA0001767184820000152
故式(4)成立。
式(3)及式(4)可以推广至n维空间。式(3)有助于从矢量层次上分析行列式的内在规律；比如，当任两矢量平行或三矢量共面时，对应的行列式为零。式(4)表明：矢量多项式的行列式易导致“组合***”。
实施例1
给定2个2维行矢量多项式
Figure BDA0001767184820000153
Figure BDA0001767184820000154
一方面，由式(4)得
Figure BDA0001767184820000155
另一方面，
Figure BDA0001767184820000156
上面的结果验证了式(4)的正确性。
给出分块矩阵的行列式计算定理：
若记大小为(n+m)·(n+m)的方阵为M，大小为n·n的矩阵
Figure BDA0001767184820000157
是方阵M的前n行及任意n列元素构成的子矩阵，大小为m·m的矩阵
Figure BDA0001767184820000158
是方阵M后m行及剩余m列元素构成的子矩阵；由升序排列的矩阵列序号构成的序列cn及cm是序列[1:m+n]的子集，[cn,cm]∈<1:n+m>，且有cm∪cn＝[1:m+n]；则方阵M行列式与分块矩阵
Figure BDA0001767184820000159
及
Figure BDA00017671848200001510
的行列式关系为
Figure BDA00017671848200001511
对行列式进行行阶梯化计算原理：
对于S×S矩阵，其每一项是关于τ1的n阶多项式。计算该矩阵的行列式时，可通过初等行变换将原行列式变为上三角行列式，再将非零的对角线元素相乘，得到行列式的多项式表达式。因该式为0，求得到τ1的所有解。
阶梯化的具体方法为，先对行列式第一列的最高阶次由高到低进行排序，再进行最多(S-1)×n次初等行变换消元，得到第一列只有第一个元素不为0的行列式。再对该行列式第1行及1列的余子式进行初等行变换消元，依次迭代求解。
实施例2
通过矩阵的初等行变换，得到
Figure BDA0001767184820000161
的行阶梯矩阵。
步骤为：rk代表第k行。得
Figure BDA0001767184820000162
则得
Figure BDA0001767184820000163
基于“N进位字”的N阶多项式***：
若n个“n元1阶”多项式幂积
Figure BDA0001767184820000164
中独立变量重复出现N次，则得到n个“n元N阶”多项式***
Figure BDA0001767184820000165
“n元N阶多项式***”与“n位N进位字”
Figure BDA0001767184820000166
同构。
Figure BDA0001767184820000167
Figure BDA0001767184820000168
Figure BDA0001767184820000169
Figure BDA0001767184820000171
n个“n元N阶”多项式***的Dixon多项式：
引入辅助变量[y2,y3,…,yn]，且有
Figure BDA0001767184820000172
在多元多重多项式(8)中，用辅助变量Ym的前m个依次替换原变量(OriginalVariables)Xn中的m个变量，记“|”为替换操作符，得到增广的(Extended)多项式
Figure BDA0001767184820000173
Figure BDA0001767184820000174
式中右上角标α、α表示幂；
由式(6)及式(12)得
Figure BDA0001767184820000175
其中：
Figure BDA0001767184820000176
定义可分离组合变量
Figure BDA0001767184820000177
及
Figure BDA0001767184820000178
如下：
Figure BDA0001767184820000179
由式(14)及式(15)可知：替换式
Figure BDA00017671848200001710
是关于
Figure BDA00017671848200001711
及
Figure BDA00017671848200001712
的双重线性型。相应地，用辅助变量替换的多项式***记为
Figure BDA00017671848200001713
给定n个“n元N阶”多项式***
Figure BDA00017671848200001714
定义其Dixon多项式为
Figure BDA0001767184820000181
由式(17)得
Figure BDA0001767184820000182
式(15)中分离变量与文献不同：原变量Xn-1被辅助变量Yn-1替换的次序不同，Dixon多项式也不同。考虑式(13)及式(18)得该多项式的Dixon行列式
Figure BDA0001767184820000183
在笛卡尔空间下，由位置矢量或转动矢量构成的行列式表示矢量张成空间的容积(Volume)；在不同笛卡尔空间下具有容积的不变性。其中：
Figure BDA0001767184820000184
n个“n元N阶”多项式的Dixon行列式的阶次及替换变量项数分别为：
Figure BDA0001767184820000185
n个“n元N阶”Dixon矩阵：
给定n个“n元N阶”多项式***Fn(Yn-1|Xn-1)，n≥2；存在与消去变量x2,…,xn无关的Dixon矩阵SΘS(x1)，其Dixon多项式
Figure BDA0001767184820000186
表示为分离变量
Figure BDA0001767184820000187
及
Figure BDA0001767184820000188
的双重线性型：
Figure BDA0001767184820000189
α[l]∈[0,N·(n-l+1)-1]],l∈[2:n] (23)
Figure BDA0001767184820000191
为大小为S×S的Dixon矩阵，其第[i][j]成员为单变量x1的N阶多项式：
Figure BDA0001767184820000192
其中：
Figure BDA0001767184820000193
若
Figure BDA0001767184820000194
则有
Figure BDA0001767184820000195
n个“n元N阶”多项式的Dixon消元与求解
考虑式(22)，若
Figure BDA0001767184820000196
故得
Det(SΘS(x1))＝0。 (28)
称式(28)中“n个n元”为Dixon消元的必要条件，从而获得可行解。若SΘS存在零行或零列向量，则无法建立x1的多项式方程；此时，通过除标量积之外的初等变换，将SΘS变为行阶梯(Row Echelon)矩阵Ech(SΘS)；在计算该矩阵的杻轴(Pivot)的积之后得方阵
Figure BDA0001767184820000197
即在SΘS中选取S′个独立的列向量。
任一个n个“n元N阶”多项式***
Figure BDA0001767184820000198
的实例(简称多项式)记为
Figure BDA0001767184820000199
其中：
Figure BDA00017671848200001910
Figure BDA00017671848200001911
且有
Figure BDA00017671848200001912
根据
Figure BDA00017671848200001913
的多项式确定Dixon矩阵、分离变量
Figure BDA00017671848200001914
及
Figure BDA00017671848200001915
选取
Figure BDA00017671848200001916
及
Figure BDA00017671848200001917
满足
Figure BDA00017671848200001918
确定双线性型
Figure BDA00017671848200001919
Figure BDA00017671848200001920
其中：
Figure BDA00017671848200001921
中与
Figure BDA00017671848200001922
对应的各列线性独立。因
Figure BDA00017671848200001923
由式(22)及式(25)得
Figure BDA00017671848200001924
称其为结式或消去式。式(32)是单变量x1的多项式方程；消去了n-1个未知量；从而，可以获得单变量x1的可行解。若x1同时满足
Figure BDA0001767184820000201
则x1为正确解。将已解的x1代入式(34)，因式(32)成立且
Figure BDA0001767184820000202
任意，故得
Figure BDA0001767184820000203
即有
Figure BDA0001767184820000204
若有必要条件
Figure BDA0001767184820000205
成立，解式(35)，得被消去变量
Figure BDA0001767184820000206
的解；否则，需要结合式(16)得到全部解。考虑式(25)，因式(22)两边的x1阶次相等，故必有
Figure BDA0001767184820000207
若同时满足
Figure BDA0001767184820000208
则由式(35)能解得
Figure BDA0001767184820000209
中n-1个互不相同的组合变量；从而，得到所有独立变量的解。
给定n个“n元N阶”多项式
Figure BDA00017671848200002010
Dixon矩阵计算步骤如下：
①确定***结构。方程数及独立变量数记为n；独立变量记为Xn；多项式复合变量记为
Figure BDA00017671848200002011
替换变量记为
Figure BDA00017671848200002012
替换变量数为n-1；大小为S·S的Dixon矩阵记为
Figure BDA00017671848200002013
其成员系数如式(24)所示，其中：S由式(32)确定；待消去变量为x1。
②由式(8)得xα与
Figure BDA00017671848200002014
对应关系，表达式(11)中
Figure BDA00017671848200002015
至多有S项。
③根据式(19)及Sarrus规则，计算Dixon(Fn(Yn-1|Xn-1))；根据
Figure BDA00017671848200002016
对应的N进位字运算结果，完成多项式合并。
④Dixon矩阵成员如式(32)所示，由式(32)计算Dixon矩阵SΘS的(n+1)·S2个系数。
⑤当满足式(37)及式(38)直接解判别准则时，由式(34)及式(35)得全部数值解。
实施例3
对多项式***(39)进行Dixon消元。
Figure BDA00017671848200002017
步骤为：该式是4个“4元1阶”多项式***，满足Dixon消元条件。由式(19)及式(22)，得
Figure BDA0001767184820000211
其中：
Figure BDA0001767184820000212
由式(34)及式(40)得5个解：
Figure BDA0001767184820000213
Figure BDA0001767184820000214
Figure BDA0001767184820000215
其中：
Figure BDA00017671848200002126
不是该方程组的解。将其它解分别代入式(35)。当
Figure BDA0001767184820000216
时，由式(35)得
Figure BDA0001767184820000217
解得：τ3＝1，τ4＝-2。将
Figure BDA0001767184820000218
τ3及τ4代入式(39)得τ2＝1。同样，可得其他三组解。显然，因变量不满足式(26)，式(40)所示的Dixon矩阵不对称。该例表明Dixon行列式为零对于多重线性多项式***是充分的。
基于轴不变量的定轴转动
如图3所示，给定轴矢量
Figure BDA0001767184820000219
及与其固结的单位矢量
Figure BDA00017671848200002110
在转动前，对于单位矢量
Figure BDA00017671848200002111
Figure BDA00017671848200002112
对***零位轴
Figure BDA00017671848200002113
的投影矢量为
Figure BDA00017671848200002114
对***径向轴
Figure BDA00017671848200002115
的矩矢量为
Figure BDA00017671848200002116
径向矢量为
Figure BDA00017671848200002117
轴矢量
Figure BDA00017671848200002118
相对于杆件
Figure BDA00017671848200002119
及Ωl或自然坐标系
Figure BDA00017671848200002120
及F[l]是固定不变的，故称该转动为定轴转动。单位矢量
Figure BDA00017671848200002121
绕轴
Figure BDA00017671848200002122
转动
Figure BDA00017671848200002123
后，转动后的零位矢量
Figure BDA00017671848200002124
对***零位轴
Figure BDA00017671848200002125
的投影矢量为
Figure BDA0001767184820000221
转动后的零位矢量
Figure BDA0001767184820000222
对***径向轴
Figure BDA0001767184820000223
的矩矢量为
Figure BDA00017671848200002238
轴向分量为
Figure BDA0001767184820000224
故得具有链指标的Rodrigues矢量方程
Figure BDA0001767184820000225
因单位矢量
Figure BDA0001767184820000226
是任意的且
Figure BDA00017671848200002237
得具有链指标的Rodrigues转动方程
Figure BDA0001767184820000227
若
Figure BDA0001767184820000228
由式(42)，得
Figure BDA0001767184820000229
若
Figure BDA00017671848200002210
即坐标系
Figure BDA00017671848200002211
与F[l]的方向一致，由式(42)可知：反对称部分
Figure BDA00017671848200002212
必有
Figure BDA00017671848200002213
因此，***零位是自然坐标系
Figure BDA00017671848200002214
与F[l]重合的充分必要条件，即初始时刻的自然坐标系方向一致是***零位定义的前提条件。利用自然坐标系可以很方便地分析多轴***运动学和动力学。
Figure BDA00017671848200002215
式(43)是关于
Figure BDA00017671848200002216
和
Figure BDA00017671848200002217
的多重线性方程，是轴不变量
Figure BDA00017671848200002218
的二阶多项式。给定自然零位矢量
Figure BDA00017671848200002219
作为
Figure BDA00017671848200002220
的零位参考，则
Figure BDA00017671848200002221
及
Figure BDA00017671848200002222
分别表示零位矢量及径向矢量。式(43)即为
Figure BDA00017671848200002223
对称部分
Figure BDA00017671848200002224
表示零位轴张量，反对称部分
Figure BDA00017671848200002225
表示径向轴张量，分别与轴向外积张量
Figure BDA00017671848200002226
正交，从而确定三维自然轴空间；式(43)仅含一个正弦及余弦运算、6个积运算及6个和运算，计算复杂度低；同时，通过轴不变量
Figure BDA00017671848200002227
及关节变量
Figure BDA00017671848200002228
实现了坐标系及极性的参数化。
对于轴链
Figure BDA00017671848200002229
有
Figure BDA00017671848200002230
由式(44)及式(43)得
Figure BDA00017671848200002231
则
Figure BDA00017671848200002232
是
Figure BDA00017671848200002233
及
Figure BDA00017671848200002234
的多重线性型，其中：l∈ilk。式(43)可表示为
Figure BDA00017671848200002235
称(45)为改进的Cayley变换。即有
Figure BDA00017671848200002236
规范的位置方程为
Figure BDA0001767184820000231
“居-吉布斯”四元数的确定：
对于任意杆件
Figure BDA0001767184820000232
定义与欧拉四元数同构的“居-吉布斯”(Ju-Gibbs)规范四元数：
Figure BDA0001767184820000233
其中：
Figure BDA0001767184820000234
为Gibbs矢量。Gibbs共轭四元数为：
Figure BDA0001767184820000235
其中：
Figure BDA0001767184820000236
显然，
Figure BDA0001767184820000237
为
Figure BDA0001767184820000238
模的平方。因居-吉布斯四元数是四元数，故满足四元数乘法运算
Figure BDA0001767184820000239
其中：
Figure BDA00017671848200002310
由式(52)得
Figure BDA00017671848200002311
习惯上，单关节及运动链的期望姿态以规范的Ju-Gibbs四元数(简称规范Ju-Gibbs四元数，即“标部”为1的四元数)表示；但是它们积运算通常是不规范的，即其标部不为1。由式(53)可知：只有给定轴l及
Figure BDA00017671848200002319
的规范Ju-Gibbs四元数，且两轴正交，
Figure BDA00017671848200002312
才为规范四元数。
由式(53)得
Figure BDA00017671848200002313
由四维复数性质得
Figure BDA00017671848200002314
记
Figure BDA00017671848200002315
由式(52)得
Figure BDA00017671848200002316
故
Figure BDA00017671848200002317
为单位Ju-Gibbs四元数。
由式(48)至式(50)及式(55)得
Figure BDA00017671848200002318
由式(50)、式(54)及式(57)得
Figure BDA0001767184820000241
类DCM及性质：
对于轴链
Figure BDA0001767184820000242
规范的姿态方程为：
Figure BDA0001767184820000243
由式(59)得
Figure BDA0001767184820000244
Figure BDA0001767184820000245
式中，
Figure BDA0001767184820000246
为旋转变换矩阵；
Figure BDA0001767184820000247
表示用辅助变量yl的前l个依次替换原变量τl中的l个变量，记“|”为替换操作符；
其中：
Figure BDA0001767184820000248
由式(61)可知：iQn及
Figure BDA00017671848200002414
是关于τk的n重2阶多项式。由式(60)可知：因
Figure BDA0001767184820000249
与
Figure BDA00017671848200002410
类似，故称之为类DCM(DCM，方向余弦矩阵)。由式(62)得
Figure BDA00017671848200002411
显然，类DCM可以通过Ju-Gibbs四元数表达。因此，式(59)姿态方程及式(47)位置方程是关于Ju-Gibbs四元数的表达式。
分块方阵的逆：
若给定可逆方阵K、B及C，其中B及C分别为l×l、c×c的方阵；A、D分别为l×c、c×l的矩阵，且
Figure BDA00017671848200002412
则有
Figure BDA00017671848200002413
基于Ju-Gibbs四元数的指向对齐原理
考虑轴链ill，其中
Figure BDA0001767184820000251
若使轴矢量
Figure BDA0001767184820000252
与期望轴矢量
Figure BDA0001767184820000253
对齐，则至少存在一个Ju-Gibbs方向四元数
Figure BDA0001767184820000254
其中：
Figure BDA0001767184820000255
Figure BDA0001767184820000256
且有
Figure BDA0001767184820000257
上式的具体建立步骤为：
定轴转动的Cayley正变换为
Figure BDA0001767184820000258
由式(69)得
Figure BDA0001767184820000259
由式(70)得
Figure BDA00017671848200002510
及
Figure BDA00017671848200002511
因
Figure BDA00017671848200002512
及
Figure BDA00017671848200002513
为单位矢量，若
Figure BDA00017671848200002514
且
Figure BDA00017671848200002515
则有
Figure BDA00017671848200002516
式(73)表明
Figure BDA00017671848200002517
及
Figure BDA00017671848200002518
相互正交。由式(72)及(73)得最优的轴矢量
Figure BDA00017671848200002519
及
Figure BDA00017671848200002520
由式(74)及(75)得式(66)。若
Figure BDA00017671848200002521
或
Figure BDA00017671848200002522
则由式(70)得
Figure BDA00017671848200002523
由式(76)得
Figure BDA00017671848200002524
因
Figure BDA00017671848200002525
故由式(77)得
Figure BDA0001767184820000261
及
Figure BDA00017671848200002613
由式(78)及式(79)分别得式(67)及式(68)。证毕。
基于Ju-Gibbs四元数的指向对齐原理表明：至少存在一个期望的Ju-Gibbs四元数
Figure BDA0001767184820000262
使单位矢量
Figure BDA0001767184820000263
与期望单位矢量
Figure BDA0001767184820000264
对齐。
实施例4
考虑轴链il6，由基于Ju-Gibbs四元数的指向对齐原理得
Figure BDA0001767184820000265
基于Ju-Gibbs四元数的2R方向逆解
以Ju-Gibbs四元数指向对齐为基础，阐述2R方向逆解。
若给定6R转动链il6＝(i,1:6]]，记第5轴关节Ju-Gibbs方向四元数期望为
Figure BDA0001767184820000266
及第3轴关节Ju-Gibbs规范四元数为
Figure BDA0001767184820000267
则有指向对齐时的逆解
Figure BDA0001767184820000268
Figure BDA0001767184820000269
其中：
Figure BDA00017671848200002610
Figure BDA00017671848200002611
Ju-Gibbs方向四元数
Figure BDA00017671848200002612
满足
Figure BDA0001767184820000271
上式的具体建立步骤为：
首先，考虑基于欧拉四元数的姿态对齐。由
Figure BDA0001767184820000272
得
Figure BDA0001767184820000273
由式(86)得
Figure BDA0001767184820000274
其中：
Figure BDA0001767184820000275
由式(64)及式(88)得
Figure BDA0001767184820000276
由式(87)得
Figure BDA0001767184820000277
其中：
Figure BDA0001767184820000278
由式(89)及式(90)得
Figure BDA0001767184820000279
由式(92)得
Figure BDA00017671848200002710
若
Figure BDA00017671848200002711
式(92)与式(93)两边对应相除得
Figure BDA00017671848200002712
其次，考虑Ju-Gibbs四元数的指向对齐。因
Figure BDA0001767184820000281
故得(82)。由式(58)得
Figure BDA0001767184820000282
以规范Ju-Gibbs四元数表征关节变量，由式(53)得
Figure BDA0001767184820000283
由式(96)得
Figure BDA0001767184820000284
因3n4及4n5独立，由式(83)可知，3E5必存在。显然，
Figure BDA0001767184820000285
由3n4及4n5唯一确定。将式(96)、式(97)及式(91)代入式(95)得
Figure BDA0001767184820000286
若
Figure BDA0001767184820000287
由式(98)第1行得
Figure BDA0001767184820000288
将式(99)代入式(98)得
Figure BDA0001767184820000289
由式(94)及式(100)可知两种原理等价。由式(100)第2、3行得
Figure BDA00017671848200002810
由式(101)可知式(80)成立。因式存(100)在4个等式，2个独立变量，由式(101)及式(100)中第4行得约束方程
Figure BDA00017671848200002811
若
Figure BDA00017671848200002812
由式(93)得C4 C5＝0；由式(87)得
Figure BDA00017671848200002813
由式(103)得
Figure BDA00017671848200002814
显然，
Figure BDA00017671848200002815
当
Figure BDA00017671848200002816
时，若
Figure BDA00017671848200002817
由式(102)得
Figure BDA00017671848200002818
若
Figure BDA00017671848200002819
由式(102)得
Figure BDA0001767184820000291
由式(106)可知：要么
Figure BDA0001767184820000292
要么
Figure BDA0001767184820000293
由式(106)及式(101)可知，式(81)亦成立。当
Figure BDA0001767184820000294
时，若
Figure BDA0001767184820000295
则式(80)亦成立。证毕。
Ju-Gibbs方向四元数
由式(80),(81)和(99)得
Figure BDA0001767184820000296
且
Figure BDA0001767184820000297
把
Figure BDA0001767184820000298
代入以上两个方程中得到式(84)，它显示的是特定的Ju-Gibbs四元数，称为Ju-Gibbs方向四元数。
实施例5
继实施例4，考虑轴链il6，且有3n4＝1[x]，4n5＝1[y]，由式(83)得3E5＝1。由式(80)及式(81)得
Figure BDA0001767184820000299
Figure BDA00017671848200002910
Figure BDA00017671848200002911
由式(81)得：
Figure BDA00017671848200002912
基于Ju-Gibbs四元数的2R方向逆解原理表明Ju-Gibbs四元数与欧拉四元数同构；同时，式(63)表明以Ju-Gibbs四元数表示的类DCM与DCM同构。因此，应用Ju-Gibbs四元数可以完整表达位姿关系。
若给定运动链iln，k∈iln，期望规范Ju-Gibbs四元数
Figure BDA00017671848200002913
及期望位置矢量
Figure BDA00017671848200002914
考虑式(47)及式(95)；则位置及指向对齐关系表示为
Figure BDA00017671848200002915
且具有模不变性
Figure BDA00017671848200002916
与欧拉四元数及对偶四元数相比，Ju-Gibbs四元数表征的位姿对齐不存在冗余方程；通过指向对齐，可以求解第4轴及第5轴的关节变量，为6R及7R机械臂逆解奠定了基础。
基于轴不变量的Dixon行列式计算原理：
下面基于轴不变量，提出径向不变量及运动链的Dixon行列式基本性质，为基于轴不变量的机器人逆运动学分析奠定基础。
【1】轴不变量
首先，轴不变量与坐标轴具有本质区别：坐标轴是具有零位及单位刻度的参考方向，可以描述沿轴向平动的线位置，但不能完整描述绕轴向的角位置，因为坐标轴自身不具有径向参考方向，即不存在表征转动的零位。在实际应用时，需要补充坐标轴的径向参考。坐标轴自身是1D的，3个正交的坐标轴构成3D的笛卡尔标架；轴不变量是3D空间单位参考轴(简称3D参考轴)，具有径向参考零位。“3D参考轴”及其径向参考零位可以确定对应的笛卡尔系。以自然坐标系为基础的轴不变量可以准确地反映运动轴及测量轴的“共轴性”、“极性”与“零位”三个基本属性。
其次，轴不变量与欧拉轴具有本质的区别：方向余弦矩阵(DCM)是实矩阵，轴矢量是DCM的特征值1对应的特征矢量，是不变量；固定轴不变量是“3D参考轴”，不仅具有原点及轴向，也有径向参考零位；在自然坐标系下，轴不变量不依赖于相邻固结的自然坐标系，即在相邻固结的自然坐标系下具有不变的自然坐标；轴不变量具有幂零特性等优良的数学操作功能；在自然坐标***中，通过轴不变量及关节坐标，可以唯一确定DCM及参考极性；没有必要为每一个杆件建立各自的体系，可以极大地简化建模的工作量。
同时，以唯一需要定义的笛卡尔直角坐标系为参考，测量轴不变量，可以提高结构参数的测量精度。基于轴不变量的优良操作及属性，可以建立包含拓扑结构、坐标系、极性、结构参量及动力学参量的迭代式的运动学及动力学方程。
由式(59)及式(47)可知：多轴***的姿态及位置方程本质上是多元二阶多项式方程，其逆解本质上归结于多元二阶多项式的消元问题，包含Dixon矩阵及Dixon行列式计算的两个子问题。用式(47)的表达3R机械臂位置方程，是3个“3元2阶”多项式，应用Dixon消元方法计算逆解，有两个替换变量，在计算8×8的Dixon行列式时，最大可能的阶次为16。由式(4)可知：行列式计算是一个排列过程，面临着“组合***”的难题。
所有的不在确定的多项式时间内可解的问题称为NP问题。非确定性算法将问题分解为“猜测”与“验证”两个阶段：算法的“猜测”阶段具有非确定性，算法的“验证”阶段具有确定性，通过验证来确定猜测的解是否正确。假如可以在多项式时间内计算出来，就称为多项式非确定性问题。多元多项式的消元通常被认为是NP问题。通常应用
Figure BDA0001767184820000301
基进行多元多项式的消元，不得不求助于启发式的“猜测”与“验证”来解决问题。
【2】径向不变量
结构参数
Figure BDA0001767184820000311
及
Figure BDA0001767184820000312
是链节l的结构参量，在***零位时，它们可以通过外部测量得到。如图4所示，零位矢量、径向矢量及轴向矢量是与转动角无关的不变量。其中，零位矢量是特定的径向矢量。
任一个矢量可以分解为零位矢量及轴向矢量，故有
Figure BDA0001767184820000313
其中：
Figure BDA0001767184820000314
Figure BDA0001767184820000315
考虑链节
Figure BDA0001767184820000316
其D-H参数有
Figure BDA0001767184820000317
显然，
Figure BDA0001767184820000318
是轴l及
Figure BDA0001767184820000319
的公垂线或公共径向矢量，
Figure BDA00017671848200003110
是轴l的轴向矢量。由式(112)可知：任一个结构参数矢量
Figure BDA00017671848200003111
可分解为与坐标系为无关的零位不变量
Figure BDA00017671848200003112
及轴向不变量
Figure BDA00017671848200003113
它们的径向矢量记为
Figure BDA00017671848200003114
结构参数矢量
Figure BDA00017671848200003115
及轴不变量
Figure BDA00017671848200003116
唯一确定径向坐标系，具有2个独立维度。若两个轴向不变量
Figure BDA00017671848200003117
及
Figure BDA00017671848200003118
共线，则记为
Figure BDA00017671848200003119
若两个零位不变量
Figure BDA00017671848200003120
及
Figure BDA00017671848200003121
与任两个径向不变量
Figure BDA00017671848200003122
及
Figure BDA00017671848200003123
共面，则记为
Figure BDA00017671848200003124
因此，称式(110)所示的轴向不变量及零位不变量是结构参数矢量对自然轴的分解。
由式(113)及式(114)可知：同一个轴的三个径向矢量的行列式为零；同一个轴的任意两个轴向矢量的行列式为零。可以用轴不变量及其导出的不变量来简化Dixon行列式计算。
由轴不变量导出的零位矢量、径向矢量及轴向矢量具有以下关系：
Figure BDA00017671848200003125
Figure BDA00017671848200003126
Figure BDA00017671848200003127
称式(115)为零位矢量的反转公式；称式(116)为零位矢量与径向矢量的互换公式；称式(117)为径向矢量不变性公式。由式(109)、式(115)至式(117)得
Figure BDA0001767184820000321
Figure BDA0001767184820000322
由式(118)得
Figure BDA0001767184820000323
因
Figure BDA0001767184820000324
是
Figure BDA0001767184820000325
的对称部分的结构常数，故称式(118)为矢量
Figure BDA0001767184820000326
的对称分解式。因
Figure BDA0001767184820000327
是
Figure BDA0001767184820000328
的反对称部分的结构常数，故称式(119)为矢量
Figure BDA0001767184820000329
的反对称分解式。称式(120)为归零等式。
【3】运动链Dixon行列式性质
定义
Figure BDA00017671848200003210
由式(52)得
Figure BDA00017671848200003211
其中：
Figure BDA00017671848200003212
考虑式(122)，若M为4·4的矩阵，则有
Figure BDA00017671848200003213
Figure BDA00017671848200003214
Figure BDA00017671848200003215
且有
Figure BDA0001767184820000331
由式(62)及式(110)得
Figure BDA0001767184820000332
由式(126)证得
Figure BDA0001767184820000333
由式(129)得
Figure BDA0001767184820000334
式(127)可以将
Figure BDA0001767184820000335
及
Figure BDA0001767184820000336
可以转化为关于
Figure BDA0001767184820000337
的多重线性型。同时，
Figure BDA0001767184820000338
对yl及τl具有对称(轮换)性。由式(111)、式(118)及式(119)得
Figure BDA0001767184820000339
式(129)由三个导出的独立结构参量
Figure BDA00017671848200003310
及一个运动变量τl构成。由式(129)得
Figure BDA00017671848200003311
Figure BDA00017671848200003312
由式(127)及式(131)得
Figure BDA00017671848200003313
由式(127)及式(132)得
Figure BDA0001767184820000341
基于类DCM的2R方向逆解
给定6R轴链il6＝(i,1:6]，轴矢量3n4及4n5，期望第5轴的DCM为
Figure BDA0001767184820000342
期望第3轴的DCM为
Figure BDA0001767184820000343
方向矢量5l6与期望方向
Figure BDA0001767184820000344
对齐的逆解需要满足以下方程：
Figure BDA0001767184820000345
上述方程的建立步骤为：
方向矢量5l6与期望方向
Figure BDA0001767184820000346
对齐需满足
Figure BDA0001767184820000347
由式(60)得
Figure BDA0001767184820000348
即
Figure BDA0001767184820000349
式(137)重新表示为式(134)。
基于轴不变量的Cayley变换
当给定角度
Figure BDA00017671848200003410
后，其正、余弦及其半角的正、余弦均是常数；为方便表达，记
Figure BDA00017671848200003411
由式(138)得
Figure BDA0001767184820000351
定义
Figure BDA0001767184820000352
故有
Figure BDA0001767184820000353
Figure BDA0001767184820000354
与径向矢量
Figure BDA0001767184820000355
及切向矢量
Figure BDA0001767184820000356
是线性关系，称
Figure BDA0001767184820000357
为“Rodrigues线性不变量”。通常称
Figure BDA0001767184820000358
即
Figure BDA0001767184820000359
为Rodrigues或Gibbs矢量，而将
Figure BDA00017671848200003510
称为修改的Rodrigues参数(MRPs)。
一、基于轴不变量的3R机械臂位置逆解方法
给定3R转动链
Figure BDA00017671848200003511
及期望姿态
Figure BDA00017671848200003512
轴不变量序列
Figure BDA00017671848200003513
求关节变量序列
Figure BDA00017671848200003514
这是3R姿态逆解问题。
【1】根据机械臂n元3D矢量位姿方程，获得n个“n元2阶”多项式方程。
由式(47)得3R运动学方程
Figure BDA00017671848200003515
由式(142)得
Figure BDA00017671848200003516
由式(143)得
Figure BDA00017671848200003517
若记
Figure BDA00017671848200003518
则由式(61)及式得式(145)
Figure BDA00017671848200003519
由式(144)及式(145)得
Figure BDA0001767184820000361
下面，阐述3R机械臂运动学方程的Dixon行列式的结构模型及特点。由式(147)得3R运动学多项式方程
Figure BDA0001767184820000362
多项式***F3(Y2|T2)，根据双线性型行列式通式
Figure BDA0001767184820000363
则有
Figure BDA0001767184820000364
其中：
Figure BDA0001767184820000365
Figure BDA0001767184820000366
由式(18)、式(147)及式(148)得
Figure BDA0001767184820000367
由式(22)及式(153)可知式(151)成立。由式(127)及式(145)得
Figure BDA0001767184820000368
Figure BDA0001767184820000371
由式(145)、式(154)及式(155)得
Figure BDA0001767184820000372
其中：应用式(133)计算
Figure BDA0001767184820000373
显然，式(156)中的y2阶次β2∈[0:3]及y3阶次β3∈[0:1]。考虑式(153)后三项：
Figure BDA0001767184820000374
中的y2阶次β2∈[0:3]及y3阶次β3∈[0:1]；
Figure BDA0001767184820000375
中的y2阶次β2∈[0:2]及y3阶次β3∈[0:1]；
Figure BDA0001767184820000376
中的y2的阶次β2∈[0:3]及y3的阶次β3∈[0:1]。由上可知：式(153)中的y2阶次β2∈[0:3]及y3的阶次β3∈[0:1]。故有S＝8。
由式(145)、式(153)至式(156)可知：
Figure BDA0001767184820000377
中组合变量系数为独立的列向量，故选取
Figure BDA0001767184820000378
的系数来构成方阵
Figure BDA0001767184820000379
剩余列向量一定与
Figure BDA00017671848200003710
的各列相关。故式(147)成立。
【2】应用“基于轴不变量的Dixon行列式计算”方法及“分块矩阵的高维行列式计算”方法简化行列式计算。
根据运动链Dixon行列式性质，由式(127)及式(145)得
Figure BDA00017671848200003711
Figure BDA00017671848200003712
Figure BDA0001767184820000381
Figure BDA0001767184820000382
分别表示轴2至轴3、轴3至轴3S的零位矢量、径向矢量及轴向矢量。
由式(157)得
Figure BDA0001767184820000383
由式(158)得
Figure BDA0001767184820000384
由式(159)得
Figure BDA0001767184820000385
由式(153)得
Figure BDA0001767184820000386
将式(160)至式(162)代入式(163)得
Figure BDA0001767184820000387
【3】应用n个“n元N阶”多项式的Dixon消元与求解原理完成位姿逆解计算，其中：根据Dixon矩阵的行列式为0，得到一元高阶多项式方程，应用基于友阵的一元高阶多项式方程求解一元高阶多项式方程的解。
一元n阶多项式p(x)＝a0+a1x+…an-1xn-1+xn具有n个解。若能找到一个矩阵A，满足|A-λl·1n|·vl＝0，其中：l∈[1:n]，λl为该矩阵的特征值，vl为对应的特征矢量。若矩阵A的特征方程为
Figure BDA0001767184820000391
则称该矩阵为多项式p(x)的友矩阵(Companion Matrix，简称友阵)，因此，多项式方程p(λl)＝0的解为其友阵A的特征方程|A-λl·1n|＝0的解。
若多项式p(x)的友阵为
Figure BDA0001767184820000392
则由矩阵A的特征向量构成的矩阵为范德蒙德(Vandermonde)矩阵为
Figure BDA0001767184820000393
且有
p(λl)＝|A-λl·1n|＝0 (167)。
由式(28)、式(151)及式(152)得
Figure BDA0001767184820000394
因S＝8，应用式(1)计算
Figure BDA0001767184820000395
的复杂度为8·8！＝322560；而应用式(5)进行二次分块的行列式计算，其中：2·2分块矩阵计算复杂度为4！(2·2！+2·2！+1)/(2！2！)＝30，4·4分块分矩阵计算复杂度为8！(30+30+1)/(4！4！)＝4270。一般情况下，式(168)是关于τ1的16阶单项式方程。
二、基于轴不变量的通用6R机械臂位姿逆解方法
设定有6个转动轴，拾取点位于第6轴轴线上，且第4轴与第5轴不共轴的机械臂为通用6R机械臂。通过前5轴控制第6轴与期望的位置及指向对齐，第6轴可以无限转动或控制第6轴满足径向对齐。
基于轴不变量的通用6R机械臂位姿逆解：
给定第6轴期望位置矢量
Figure BDA0001767184820000396
及期望姿态
Figure BDA0001767184820000397
的逆解问题与给定第6轴期望位置矢量
Figure BDA0001767184820000398
及第5轴期望姿态
Figure BDA0001767184820000401
的逆解问题等价；通用6R机械臂本质上是5R轴链***。
若给定6R轴链il6＝(i,1:6]，il1＝03，第6轴期望位置矢量为
Figure BDA0001767184820000402
及第5轴期望姿态
Figure BDA0001767184820000403
第3轴关节Ju-Gibbs规范四元数为
Figure BDA0001767184820000404
其他轴表达方式同理；则由轴不变量表征的6R机械臂运动学多项式方程为：
Figure BDA0001767184820000405
其中
Figure BDA0001767184820000406
式中，\为续行符；
Figure BDA0001767184820000407
分别表示轴4至轴5、轴5至轴6的零位矢量、径向矢量；
Figure BDA0001767184820000408
是轴不变量
Figure BDA0001767184820000409
的叉乘矩阵；03＝[0 0 0]T；
Figure BDA00017671848200004010
Figure BDA00017671848200004011
***结构参数及期望Ju-Gibbs姿态四元数构成的矩阵表示为
Figure BDA00017671848200004012
Figure BDA00017671848200004013
Figure BDA00017671848200004014
其中，
Figure BDA00017671848200004015
表示***结构参数的4×4矩阵；
Figure BDA00017671848200004016
表示取
Figure BDA00017671848200004017
的第一行元素，依次类推，
Figure BDA00017671848200004018
表示取
Figure BDA00017671848200004019
的第k+1行元素；右上角标表达形式[ ]表示取行或列，表达形式[·]表示取所有列；
Figure BDA00017671848200004020
表示取3E5的第3行、第所有列。
并进行如下定义：
Figure BDA0001767184820000411
下面给出上式的建立过程：
期望
Figure BDA0001767184820000412
与第5轴期望姿态
Figure BDA0001767184820000413
对齐，若给定运动链iln，k∈iln，期望规范Ju-Gibbs四元数
Figure BDA0001767184820000414
及期望位置矢量
Figure BDA0001767184820000415
则位置及指向对齐关系表示为
Figure BDA0001767184820000416
由式(175)得
Figure BDA0001767184820000417
进而，由式(58)得
Figure BDA0001767184820000418
由式(52)得式(170)，由式(176)得
Figure BDA0001767184820000419
由式(53)得
Figure BDA00017671848200004110
其中：
Figure BDA00017671848200004111
由式(177)及式(178)得
Figure BDA00017671848200004112
由式(64)得
Figure BDA00017671848200004113
将式(181)代入式(177)得
Figure BDA00017671848200004114
其中：
Figure BDA00017671848200004115
由式(183)得式(172)。由式(172)及式(182)得
Figure BDA00017671848200004116
Figure BDA0001767184820000421
式(184)是关于
Figure BDA0001767184820000422
期望姿态
Figure BDA0001767184820000423
及4轴、5轴结构参数的约束方程。由式(62)得
Figure BDA0001767184820000424
一方面，由式(184)、式(185)及式(186)得
Figure BDA0001767184820000425
另一方面，由式(176)、(184)及式(187)得
Figure BDA0001767184820000426
故得
Figure BDA0001767184820000427
由式(185)得(174)及
Figure BDA0001767184820000428
由式(184)及式(174)得
Figure BDA0001767184820000429
式(184)至式(190)用于后续方程简化，带有上下标的C是结构常数矩阵。考虑式(182)两边2范数得
Figure BDA00017671848200004210
考虑当il1＝03时的位置矢量对齐关系得
Figure BDA00017671848200004211
由式(47)及式(193)得
Figure BDA00017671848200004212
进而，得
Figure BDA00017671848200004213
即有
Figure BDA0001767184820000431
显然，有
Figure BDA0001767184820000432
由式(110)、式(176)及式(195)得式(194)之左式
Figure BDA0001767184820000433
结构参数
Figure BDA0001767184820000434
及
Figure BDA0001767184820000435
是链节l的结构参量，在***零位时，它们可以通过外部测量得到。零位矢量、径向矢量及轴向矢量是与转动角无关的不变量。其中，零位矢量是特定的径向矢量。
由式(110)、式(185)、式(190)及式(188)得
Figure BDA0001767184820000436
由式(190)及式(197)得
Figure BDA0001767184820000437
由式(184)、式(190)及式(198)得
Figure BDA0001767184820000441
将式(196)及式(199)代入(194)，且消去两边的
Figure BDA0001767184820000442
得式(169)。
消去τ4及τ5后的位置方程(169)是3个“3元2阶”多项式方程，可以等同于3R机械臂问题，采用上述基于轴不变量的3R机械臂位置逆解方法进行求解，为实时计算通用6R轴机械臂的逆解奠定了基础。一方面，将有利于提高6R机械臂的绝对定位精度；另一方面，在结构上可以使传统解耦机械臂的第4轴及第5轴向根方向移动，不仅可以优化机械臂的结构，而且有利于提高6R机械臂避让障碍的灵活性。
三、基于轴不变量的通用7R机械臂位姿逆解
称有7个转动轴，拾取点位于第7轴轴线上，且第5轴与第6轴不共轴的机械臂为通用7R机械臂。通用7R机械臂通过前6轴控制第7轴与期望位置及姿态对齐，第7轴无限转动或控制第7轴满足径向对齐。因此，7R通用机械臂比6R机械臂具有更强的空间操作的灵活性。
给定期望位置
Figure BDA0001767184820000443
及期望姿态
Figure BDA0001767184820000444
的逆解问题与给定期望位置
Figure BDA0001767184820000445
及期望姿态
Figure BDA0001767184820000446
的逆解问题等价，即7R机械臂本质上是6R轴链***，可根据上述基于轴不变量的6R机械臂位置逆解方法进行求解。下面，先阐述通用7R机械臂逆解过程。
若给定7R轴链il7＝(i,1:7]，il1＝03，期望位置矢量及Ju-Gibbs四元数分别记为
Figure BDA0001767184820000447
及
Figure BDA0001767184820000448
则由轴不变量表征的7R机械臂运动学多项式方程为：
Figure BDA0001767184820000451
其中：
Figure BDA0001767184820000452
***结构参数及期望Ju-Gibbs姿态四元数构成的矩阵表示为
Figure BDA0001767184820000453
Figure BDA0001767184820000454
Figure BDA0001767184820000455
Figure BDA0001767184820000456
上式建立步骤为：
期望
Figure BDA0001767184820000457
与姿态
Figure BDA0001767184820000458
对齐，由式(175)得
Figure BDA0001767184820000459
进而，由式(58)得
Figure BDA00017671848200004510
由式(52)得式(201)，由式(206)得
Figure BDA0001767184820000461
由式(53)得
Figure BDA0001767184820000462
其中：
Figure BDA0001767184820000463
由式(207)及式(208)得
Figure BDA0001767184820000464
由式(64)得
Figure BDA0001767184820000465
将式(211)代入式(210)得
Figure BDA0001767184820000466
其中：
Figure BDA0001767184820000467
由式(213)得式(203)。由式(203)及式(212)得
Figure BDA0001767184820000468
Figure BDA0001767184820000469
式(214)是关于
Figure BDA00017671848200004610
姿态
Figure BDA00017671848200004611
及5轴、6轴结构参数的约束方程。由式(203)得(205)及
Figure BDA0001767184820000471
由式(214)及式(205)得
Figure BDA0001767184820000472
式(214)至式(217)用于后续方程简化，C是结构常数矩阵。考虑式(216)两边2范数得
Figure BDA0001767184820000473
由式(62)得
Figure BDA0001767184820000474
一方面，由式(216)、式(215)及式(219)得
Figure BDA0001767184820000475
另一方面，由式(206)、(214)及式(220)得
Figure BDA0001767184820000476
故得
Figure BDA0001767184820000477
由式(222)得式(200)中的姿态方程。
考虑当il1＝03时的位置矢量对齐关系得
Figure BDA0001767184820000478
由式(47)及式(223)得
Figure BDA0001767184820000479
进而，得
Figure BDA0001767184820000481
即有
Figure BDA0001767184820000482
显然，有
Figure BDA0001767184820000483
由式(206)及式(225)得式(224)之左式
Figure BDA0001767184820000484
由式(110)、式(215)、式(216)及式(221)得
Figure BDA0001767184820000485
由式(216)及式(227)得
Figure BDA0001767184820000491
由式(214)、式(217)及式(228)得
Figure BDA0001767184820000492
将式(226)及式(229)代入(224)，且消去两边的
Figure BDA0001767184820000493
得(200)中位置方程。
消去τ5及τ6后的位姿方程(200)，是4个“4元2阶”多项式方程。
1.Ju-Gibbs增量四元数及性质
通用7R机械臂位姿逆解的计算复杂度较高，需要解决实时计算的技术问题。在工程上，计算精度是一个相对的概念，只需要保证数值计算精度高于***结构参数精度的4至6倍就能满足工程要求。式(59)所示的姿态方程及式(47)所示的位置方程本质上是Ju-Gibbs四元数的表达式。只要保证式(59)及式(47)具有足够的计算精度就能满足工程精度要求。下面，首先提出“居-吉布斯”增量四元数(Delta-quaternion)，再建立通用7R机械臂增量位姿方程，并进行实时逆解计算。
【1】“居-吉布斯”增量四元数定义
定义“居-吉布斯”增量四元数
Figure BDA0001767184820000501
其中：
Figure BDA0001767184820000502
显然，“居-吉布斯”增量四元数是四维复数，且有
Figure BDA0001767184820000503
【2】“居-吉布斯”增量四元数性质
由式(48)及式(230)得
Figure BDA0001767184820000504
由式(51)得
Figure BDA0001767184820000505
由式(234)得
Figure BDA0001767184820000506
由式(50)得
Figure BDA0001767184820000507
由式(236)及式(54)得
Figure BDA0001767184820000508
由式(62)得
Figure BDA0001767184820000509
2.基于轴不变量的通用7R机械臂运动规划
通用7R机械臂逆解由于计算复杂度极高，在现有技术条件下无法实现。但是，通常位于第7轴上的拾取点与第6轴的距离很小。因此，在第6轴取距拾取点较近的点为名义拾取点，先计算通用6R机械臂的逆解；以之为基础，再应用数值迭代法，完成通用7R机械臂的运动规划与逆解计算。下面，探讨通用7R机械臂的增量(Delta)位姿方程建立及逆解的问题。
【1】通用7R轴链的增量位姿方程
首先陈述由Gibbs增量四元数表征的通用7R轴链的增量位姿方程，最后求其逆解。
若给定6R轴链il7＝(i,1:7]，il1＝03，位置矢量及Ju-Gibbs增量四元数分别记为
Figure BDA0001767184820000511
及
Figure BDA0001767184820000512
则由Ju-Gibbs增量四元数表征的通用6R机械臂增量位姿方程表示为：
Figure BDA0001767184820000513
Figure BDA0001767184820000514
其中：
Figure BDA0001767184820000515
3n4为杆件3到杆件4的坐标矢量，其是轴不变量；
Figure BDA0001767184820000521
为轴不变量3n4的叉乘矩阵，其余杆件同理；，\为续行符；
Figure BDA0001767184820000522
Figure BDA0001767184820000523
分别表示轴5至轴6、轴6至轴7的零位矢量、径向矢量；
Figure BDA0001767184820000524
是轴不变量
Figure BDA0001767184820000525
的叉乘矩阵；03＝[0 0 0]T；
Figure BDA0001767184820000526
Figure BDA0001767184820000527
由行四元数构成的***结构参数矩阵表示为
Figure BDA0001767184820000528
Figure BDA0001767184820000529
Figure BDA00017671848200005210
Figure BDA00017671848200005211
Figure BDA00017671848200005212
Figure BDA00017671848200005213
下面，分析通用7R机械臂的增量位姿逆解。显然，式(239)是关于{εl|l∈[1:4}的线性方程。将式(239)重新表示为
A·[ε1 ε2 ε3 ε4]T＝b (247)
若A-1存在，解式(245)得
[ε1 ε2 ε3 ε4]T＝A-1·b。 (248)
由式(235)及式(248)得
Figure BDA00017671848200005214
由式(215)得ε5及ε6。至此，得到全部逆解。
通用7R机械臂位姿逆解的作用在于：可以通过增量位置矢量
Figure BDA00017671848200005215
及Gibbs增量四元数
Figure BDA00017671848200005216
应用迭代逼近(Iterative Approximation)的算法使通用7R机械臂位姿对齐期望的位姿。
【2】基于偏速度迭代的通用7R机械臂运动规划
当k∈iln时，由式(3.304)至式(3.306)可知
Figure BDA0001767184820000531
Figure BDA0001767184820000532
记运动链为
Figure BDA0001767184820000533
由式(249)及式(250)得
Figure BDA0001767184820000534
记
Figure BDA0001767184820000535
记期望位姿分别为
Figure BDA0001767184820000536
及
Figure BDA0001767184820000537
且有
Figure BDA0001767184820000538
将式(251)合写为
Figure BDA0001767184820000539
由式(252)应用梯度(Gradient Descent Method/GDM)下降法得
Figure BDA00017671848200005310
其中：步长Step>0，Step→0。显然有
Figure BDA00017671848200005311
选择Step步长，由初态
Figure BDA00017671848200005312
开始迭代，直至终态
Figure BDA00017671848200005313
基于偏速度的迭代优化步骤如下：
(1)确定目标函数
Figure BDA00017671848200005314
显然，Goal表示
Figure BDA00017671848200005315
及
Figure BDA00017671848200005316
的方差。
(2)选择步长
一方面，应用构造法得确定步长
Figure BDA0001767184820000541
则由式(253)及式(256)可知：仅当
Figure BDA0001767184820000542
时，Step→0，Goal→0。
另一方面，由式(231)及式(252)得
Figure BDA0001767184820000543
其中：ε(i,6]＝[ε1 ε2 … ε6]T。由式(257)及式(253)确定步长
Figure BDA0001767184820000544
(3)迭代过程
一方面，若取式(258)之步长Step，由式(259)完成迭代计算：
Figure BDA0001767184820000545
其中：当
Figure BDA0001767184820000546
时，迭代过程结束。对于式(259)的迭代过程，则必有
δGoal≤0， (260)
即式(259)的迭代过程一定收敛。
迭代计算式的推导过程为：由式(252)及式(255)得
Figure BDA0001767184820000547
由式(253)、式(256)及式(261)得
Figure BDA0001767184820000551
因式(256)与式(258)在理论上等价，故可用式(258)替代式(256)。但是式(256)与式(258)的计算过程不同：因计算机字长有限，当
Figure BDA0001767184820000552
时，前者精度越来越差，而后者越来越高；同时，后者计算量相对较小。因此，在工程应用时，应用式(258)中的步长更好。
当
Figure BDA0001767184820000553
时，得到稳态解φ(i,6]，即为通用机械臂的位姿逆解。
基于偏速度的通用7R机械臂运动规划特点在于：通过迭代，逐步逼近期望的位姿，可以得到一条由初始位姿至期望位姿的路径。因为该方法是趋向目标的优化过程，所以实时性较差。若在迭代过程中，控制关节增量，则可以满足关节速度的约束；因此，在完成运动规划的同时，也获得对应期望位姿的一组逆解。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。

Claims (10)

1.一种基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法，其特征是，
定义自然坐标系：若多轴***D处于零位，所有笛卡尔体坐标系方向一致，且体坐标系原点位于运动轴的轴线上，则该坐标***为自然坐标系；
在***处于零位时，所有杆件的自然坐标系与底座或世界系的方向一致；***处于零位即
Figure FDA0002338681250000011
时，自然坐标系
Figure FDA0002338681250000012
绕轴矢量
Figure FDA0002338681250000013
转动角度
Figure FDA0002338681250000014
将
Figure FDA0002338681250000015
转至F[l]；
Figure FDA0002338681250000016
在
Figure FDA0002338681250000017
下的坐标矢量与
Figure FDA0002338681250000018
在F[l]下的坐标矢量
Figure FDA0002338681250000019
恒等，即有
Figure FDA00023386812500000110
Figure FDA00023386812500000111
或
Figure FDA00023386812500000112
不依赖于相邻的坐标系
Figure FDA00023386812500000113
及F[l]；称
Figure FDA00023386812500000114
或
Figure FDA00023386812500000115
为轴不变量；
约定：在运动链符号演算***中，具有偏序的属性变量或常量，在名称上包含表示偏序的指标；要么包含左上角及右下角指标，要么包含右上角及右下角指标；对于某种属性符，它们的方向总是由偏序指标的左上角指标至右下角指标，或由右上角指标至右下角指标；
“居-吉布斯”四元数的确定：
对于任意杆件l,
Figure FDA00023386812500000116
定义与欧拉四元数同构的居-吉布斯Ju-Gibbs规范四元数：
Figure FDA00023386812500000117
其中：
Figure FDA00023386812500000118
为Gibbs矢量；
设定有7个转动轴，拾取点位于第7轴轴线上，且第5轴与第6轴不共轴的机械臂为通用7R机械臂；通用7R机械臂通过前6轴控制第7轴与期望位置及姿态对齐，使第7轴无限转动或控制第7轴满足径向对齐；
将给定第7轴期望位置
Figure FDA00023386812500000119
及第7轴期望姿态
Figure FDA00023386812500000120
的逆解问题与给定第6轴期望位置
Figure FDA00023386812500000121
及第6轴期望姿态
Figure FDA00023386812500000122
的逆解问题等价，将7R机械臂运动学方程采用居-吉布斯四元数表达式进行表达；
基于轴不变量的通用机械臂运动规划，建立通用7R机械臂增量位姿方程，第6轴取距拾取点一定距离的点为名义拾取点，先计算通用6R机械臂的逆解，再应用数值迭代法，完成通用7R机械臂的运动规划与逆解计算。
2.根据权利要求1所述的基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法，其特征是，
若给定7R轴链il7＝(i,1:7]，il1＝03，期望位置矢量及Ju-Gibbs四元数分别记为
Figure FDA00023386812500000123
及
Figure FDA00023386812500000124
则由轴不变量表征的7R机械臂运动学多项式方程为：
Figure FDA0002338681250000021
其中：
Figure FDA0002338681250000022
***结构参数及期望Ju-Gibbs姿态四元数构成的矩阵表示为
Figure FDA0002338681250000023
Figure FDA0002338681250000024
Figure FDA0002338681250000025
Figure FDA0002338681250000026
式中，\为续行符；
Figure FDA0002338681250000027
分别表示轴5至轴6、轴6至轴7的零位矢量、径向矢量；
Figure FDA0002338681250000028
是轴不变量
Figure FDA0002338681250000029
的叉乘矩阵；03＝[0 0 0]T；
Figure FDA00023386812500000210
Figure FDA00023386812500000211
Figure FDA00023386812500000212
表示***结构参数的4×4矩阵；
Figure FDA00023386812500000213
表示取
Figure FDA00023386812500000214
的第一行元素，依次类推，
Figure FDA00023386812500000215
表示取
Figure FDA00023386812500000216
的第k+1行元素；右上角标表达形式[ ]表示取行或列，表达形式[·]表示取所有列；
Figure FDA00023386812500000217
表示取3E5的第3行、第所有列；4n5为杆件4到杆件5的坐标矢量，其是轴不变量；
Figure FDA0002338681250000031
为轴不变量4n5的叉乘矩阵，其余杆件同理；式中的表达形式幂符
Figure FDA0002338681250000032
表示
Figure FDA0002338681250000033
的x次幂；右上角角标∧或
Figure FDA0002338681250000034
表示分隔符；
消去τ5及τ6后的位姿方程(200)，是4个“4元2阶”多项式方程。
3.根据权利要求1所述的基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法，其特征是，
基于轴不变量的通用机械臂运动规划，具体包括以下步骤：
【1】建立通用7R轴链的增量位姿方程；
【2】对基于偏速度迭代的通用7R机械臂进行运动规划。
4.根据权利要求3所述的基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法，其特征是，
定义Ju-Gibbs增量四元数：
Ju-Gibbs规范四元数为
Figure FDA0002338681250000035
其中：轴不变量
Figure FDA0002338681250000036
Figure FDA0002338681250000037
为关节变量；若用
Figure FDA0002338681250000038
表示属性占位，则式中的表达形式
Figure FDA0002338681250000039
表示成员访问符；定义居-吉布斯增量四元数
Figure FDA00023386812500000310
其中：
Figure FDA00023386812500000311
5.根据权利要求4所述的基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法，其特征是，
步骤【1】中，若给定6R轴链il7＝(i,1:7]，il1＝03，位置矢量及Ju-Gibbs增量四元数分别记为
Figure FDA00023386812500000312
及
Figure FDA00023386812500000313
则由Ju-Gibbs增量四元数表征的通用6R机械臂增量位姿方程表示为：
Figure FDA0002338681250000041
Figure FDA0002338681250000042
Figure FDA0002338681250000043
其中：
Figure FDA0002338681250000044
3n4为杆件3到杆件4的坐标矢量，其是轴不变量；
Figure FDA0002338681250000045
为轴不变量3n4的叉乘矩阵，其余杆件同理；\为续行符；
Figure FDA0002338681250000046
分别表示轴5至轴6、轴6至轴7的零位矢量、径向矢量；
Figure FDA0002338681250000047
是轴不变量
Figure FDA0002338681250000048
的叉乘矩阵；03＝[0 00]T；
Figure FDA0002338681250000049
由行四元数构成的***结构参数矩阵表示为
Figure FDA00023386812500000410
其中，
Figure FDA00023386812500000411
表示***结构参数的4×4矩阵；右上角标表达形式[ ]表示取行或列，表达形式[·]表示取所有列；
Figure FDA00023386812500000412
表示取3E5的第i行、第所有列。
6.根据权利要求5所述的基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法，其特征是，
分析通用7R机械臂的增量位姿逆解，式(239)是关于{εl|l∈[1:4}的线性方程；将式(239)重新表示为
A·[ε1 ε2 ε3 ε4]T＝b； (247)
若A-1存在，解式(245)得
[ε1 ε2 ε3 ε4]T＝A-1·b； (248)
至此，得到全部逆解。
7.根据权利要求6所述的基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法，其特征是，
通过增量位置矢量
Figure FDA0002338681250000051
及Gibbs增量四元数
Figure FDA0002338681250000052
应用迭代逼近算法使通用7R机械臂位姿对齐期望的位姿。
8.根据权利要求7所述的基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法，其特征是，
步骤【2】中，基于偏速度迭代优化的步骤如下：
记运动链为
Figure FDA0002338681250000053
l∈(i,1:6]，有
Figure FDA0002338681250000054
记
Figure FDA0002338681250000055
记期望位姿分别为
Figure FDA0002338681250000056
及
Figure FDA0002338681250000057
且有
Figure FDA0002338681250000058
Figure FDA0002338681250000059
将式(251)合写为
Figure FDA00023386812500000510
由式(252)应用梯度下降法得
Figure FDA00023386812500000511
其中：步长Step>0，Step→0；有
Figure FDA00023386812500000512
选择Step步长，由初态
Figure FDA00023386812500000513
开始迭代，直至终态
Figure FDA00023386812500000514
(1)确定目标函数
Figure FDA00023386812500000515
Goal表示
Figure FDA00023386812500000516
及
Figure FDA00023386812500000517
的方差；
(2)选择步长；
(3)进行迭代计算，得到稳态解，即为通用机械臂的位姿逆解。
9.根据权利要求8所述的基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法，其特征是，应用构造法确定步长
Figure FDA0002338681250000061
仅当
Figure FDA0002338681250000062
时，Step→0，Goal→0；
Figure FDA0002338681250000063
其中：ε(i,6]＝[ε1 ε2…ε6]；由式(257)及式(253)确定步长
Figure FDA0002338681250000064
其中：
Figure FDA0002338681250000065
10.根据权利要求8所述的基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法，其特征是，
迭代过程
取式(258)之步长Step，由式(259)完成迭代计算：
Figure FDA0002338681250000066
其中：当
Figure FDA0002338681250000067
时，迭代过程结束；
对于式(259)的迭代过程，则必有
δGoal≤0， (260)
即式(259)的迭代过程一定收敛；
当
Figure FDA0002338681250000068
时，得到稳态解φ(i,6]，即为通用机械臂的位姿逆解。
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