CN109033688B - 基于轴不变量的通用7r机械臂逆解建模与解算方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法,设定有7个转动轴,拾取点位于第7轴轴线上,且第5轴与第6轴不共轴的机械臂为通用7R机械臂;通用7R机械臂通过前6轴控制第7轴与期望位置及姿态对齐,使第7轴无限转动或控制第7轴满足径向对齐;将7R机械臂运动学方程采用居‑吉布斯四元数表达式进行表达,第6轴取距拾取点一定距离的点为名义拾取点,先计算通用6R机械臂的逆解,再应用数值迭代法,完成通用7R机械臂的运动规划与逆解计算,解决了现有技术中无法计算7R机械臂逆解的问题。
Description
技术领域
本发明涉及一种多轴机器人7R机械臂逆解建模与解算方法,属于机器人技术领域。
背景技术
自主机器人研究的一个重要方面是需要解决变拓扑结构机器人的运动学建模问题。在MAS中,具有动态的图结构(Dynamic Graph Structure),可以动态地建立基于运动轴的有向Span树,为研究可变拓扑结构(Variable Topology Structure)的机器人建模与控制奠定了基础。为此,需要提出基于轴不变量的通用机械臂逆解原理,既要建立包含坐标系、极性、结构参数、关节变量的完全参数化的正运动学模型,又要实时地计算位姿方程;一方面,可以提高机器人的自主性,另一方面,可以提高机器人位姿控制的绝对精度。
由于通用6R机械臂不存在共点约束,现有技术中其逆解计算已经十分困难,在工程上不得不屈从于解耦约束,该约束既增加了机械臂加工及装配难度,又降低了机械臂绝对定位精度。通用7R机械臂逆解由于计算复杂度极高,在现有技术条件下根本无法实现。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是提供一种基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法,解决了现有技术中无法计算7R机械臂逆解的问题。
为解决上述技术问题,本发明采用以下技术方案:
一种基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法,其特征是,
设定有7个转动轴,拾取点位于第7轴轴线上,且第5轴与第6轴不共轴的机械臂为通用7R机械臂;通用7R机械臂通过前6轴控制第7轴与期望位置及姿态对齐,使第7轴无限转动或控制第7轴满足径向对齐;
基于轴不变量的通用机械臂运动规划,建立通用7R机械臂增量位姿方程,第6轴取距拾取点一定距离的点为名义拾取点,先计算通用6R机械臂的逆解,再应用数值迭代法,完成通用7R机械臂的运动规划与逆解计算。
其中:
***结构参数及期望Ju-Gibbs姿态四元数构成的矩阵表示为
式中,\为续行符;分别表示轴5至轴6、轴6至轴7的零位矢量、径向矢量;是轴不变量的叉乘矩阵;03=[0 0 0]T; 表示***结构参数的4×4矩阵;表示取的第一行元素,依次类推,表示取的第k+1行元素;右上角标表达形式[ ]表示取行或列,表达形式[·]表示取所有列;表示取3E5的第3行、第所有列;4n5为杆件4到杆件5的坐标矢量,其是轴不变量;为轴不变量4n5的叉乘矩阵,其余杆件同理。
消去τ5及τ6后的位姿方程(200),是4个“4元2阶”多项式方程。
基于轴不变量的通用机械臂运动规划,具体包括以下步骤:
【1】建立通用7R轴链的增量位姿方程;
【2】对基于偏速度迭代的通用7R机械臂进行运动规划。
定义Ju-Gibbs增量四元数:
Ju-Gibbs规范四元数为
定义居-吉布斯增量四元数
其中:
其中: 3n4为杆件3到杆件4的坐标矢量,其是轴不变量;为轴不变量3n4的叉乘矩阵,其余杆件同理;,\为续行符; 分别表示轴5至轴6、轴6至轴7的零位矢量、径向矢量;是轴不变量的叉乘矩阵;03=[00 0]T;
由行四元数构成的***结构参数矩阵表示为
分析通用7R机械臂的增量位姿逆解,式(239)是关于{εl|l∈[1:4}的线性方程。将式(239)重新表示为
A·[ε1 ε2 ε3 ε4]T=b; (247)
若A-1存在,解式(245)得
[ε1 ε2 ε3 ε4]T=A-1·b; (248)
至此,得到全部逆解。
步骤【2】中,基于偏速度迭代优化的步骤如下:
由式(252)应用梯度下降法得
其中:步长Step>0,Step→0;有
(1)确定目标函数
(2)选择步长;
(3)进行迭代计算,得到稳态解,即为通用机械臂的位姿逆解。
应用构造法确定步长
其中:ε(i,6]=[ε1 ε2 … ε6];由式(257)及式(253)确定步长
迭代过程
取式(258)之步长Step,由式(259)完成迭代计算:
对于式(259)的迭代过程,则必有
δGoal≤0, (260)
即式(259)的迭代过程一定收敛;
本发明所达到的有益效果:
本发明建立了通用7R机械臂增量位姿方程,并进行实时逆解计算。特征在于:
具有简洁、优雅的运动链符号***,具有伪代码的功能,具有迭代式结构,保证***实现的可靠性及机械化演算。
具有基于轴不变量的迭代式,保证计算的实时性;实现坐标系、极性及***结构参量的完全参数化,基于轴不变量的可逆解运动学具有统一的表达及简洁的结构化层次模型,保证位姿分析逆解的通用性。
直接应用激光跟踪仪精密测量获得的基于固定轴不变量的结构参数,保证位姿逆解的准确性;从而,使***的绝对定位与定姿精度接近重复精度。
附图说明
图1自然坐标系与轴链;
图2固定轴不变量;
图3为定轴转动示意图;
图4为轴不变量的导出不变量。
具体实施方式
下面对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案,而不能以此来限制本发明的保护范围。
定义1自然坐标轴:称与运动轴或测量轴共轴的,具有固定原点的单位参考轴为自然坐标轴,亦称为自然参考轴。
定义2自然坐标系:如图1所示,若多轴***D处于零位,所有笛卡尔体坐标系方向一致,且体坐标系原点位于运动轴的轴线上,则该坐标***为自然坐标***,简称自然坐标系。
自然坐标系优点在于:(1)坐标***易确定;(2)零位时的关节变量为零;(3)零位时的***姿态一致;(4)不易引入测量累积误差。
由上式知,或不依赖于相邻的坐标系及F[l];故称或为轴不变量。在不强调不变性时,可以称之为坐标轴矢量(简称轴矢量)。或表征的是体与体l共有的参考单位坐标矢量,与参考点及Ol无关。体与体l即为杆件或轴。
轴不变量与坐标轴具有本质区别:
(1)坐标轴是具有零位及单位刻度的参考方向,可以描述沿该方向平动的位置,但不能完整描述绕该方向的转动角度,因为坐标轴自身不具有径向参考方向,即不存在表征转动的零位。在实际应用时,需要补充该轴的径向参考。例如:在笛卡尔系F[l]中,绕lx转动,需以ly或lz为参考零位。坐标轴自身是1D的,3个正交的1D参考轴构成3D的笛卡尔标架。
(2)轴不变量是3D的空间单位参考轴,其自身就是一个标架。其自身具有径向参考轴,即参考零位。空间坐标轴及其自身的径向参考轴可以确定笛卡尔标架。空间坐标轴可以反映运动轴及测量轴的三个基本参考属性。
【1】给定旋转变换阵因其是实矩阵,其模是单位的,故其有一个实特征值λ1及两个互为共轭的复特征值λ2=eiφ及λ3=e-iφ;其中:i为纯虚数。因此,|λ1|·||λ2||·||λ3||=1,得λ1=1。轴矢量是实特征值λ1=1对应的特征矢量,是不变量;
【2】是3D参考轴,不仅具有轴向参考方向,而且具有径向参考零位,将在3.3.1节予以阐述。
对轴不变量而言,其绝对导数就是其相对导数。因轴不变量是具有不变性的自然参考轴,故其绝对导数恒为零矢量。因此,轴不变量具有对时间微分的不变性。有:
因基矢量el是与F[l]固结的任一矢量,基矢量是与固结的任一矢量,又是F[l]及共有的单位矢量,故是F[l]及共有的基矢量。因此,轴不变量是F[l]及共有的参考基。轴不变量是参数化的自然坐标基,是多轴***的基元。固定轴不变量的平动与转动与其固结的坐标系的平动与转动等价。
因此,应用自然坐标***,当***处于零位时,只需确定一个公共的参考系,而不必为***中每一杆件确定各自的体坐标系,因为它们由轴不变量及自然坐标唯一确定。当进行***分析时,除底座系外,与杆件固结的其它自然坐标系只发生在概念上,而与实际的测量无关。自然坐标***对于多轴***(MAS)理论分析及工程作用在于:
(1)***的结构参数测量需要以统一的参考系测量;否则,不仅工程测量过程烦琐,而且引入不同的体系会引入更大的测量误差。
(2)应用自然坐标***,除根杆件外,其它杆件的自然坐标***由结构参量及关节变量自然确定,有助于MAS***的运动学与动力学分析。
(3)在工程上,可以应用激光跟踪仪等光学测量设备,实现对固定轴不变量的精确测量。
(4)由于运动副R及P、螺旋副H、接触副O是圆柱副C的特例,可以应用圆柱副简化MAS运动学及动力学分析。
定义3不变量:称不依赖于一组坐标系进行度量的量为不变量。
定义6自然坐标:以自然坐标轴矢量为参考方向,相对***零位的角位置或线位置,记为ql,称为自然坐标;称与自然坐标一一映射的量为关节变量;其中:
定义9关节空间:以关节自然坐标ql表示的空间称为关节空间。
定义10位形空间:称表达位置及姿态(简称位姿)的笛卡尔空间为位形空间,是双矢量空间或6D空间。
定义12自然坐标轴空间:以固定轴不变量作为自然参考轴,以对应的自然坐标表示的空间称为自然坐标轴空间,简称自然轴空间。它是具有1个自由度的3D空间。
如图2所示,及不因杆件Ωl的运动而改变,是不变的结构参考量。确定了轴l相对于轴的五个结构参数;与关节变量ql一起,完整地表达了杆件Ωl的6D位形。给定时,杆件固结的自然坐标系可由结构参数及关节变量唯一确定。称轴不变量固定轴不变量关节变量及为自然不变量。显然,由固定轴不变量及关节变量构成的关节自然不变量与由坐标系至F[l]确定的空间位形具有一一映射关系,即
给定多轴***D={T,A,B,K,F,NT},在***零位时,只要建立底座系或惯性系,以及各轴上的参考点Ol,其它杆件坐标系也自然确定。本质上,只需要确定底座系或惯性系。
给定一个由运动副连接的具有闭链的结构简图,可以选定回路中任一个运动副,将组成该运动副的定子与动子分割开来;从而,获得一个无回路的树型结构,称之为Span树。T表示带方向的span树,以描述树链运动的拓扑关系。
描述运动链的基本拓扑符号及操作是构成运动链拓扑符号***的基础,定义如下:
【1】运动链由偏序集合(]标识。
【2】A[l]为取轴序列A的成员;因轴名l具有唯一的编号对应于A[l]的序号,故A[l]计算复杂度为O(1)。
【3】为取轴l的父轴;轴的计算复杂度为O(1)。计算复杂度O()表示计算过程的操作次数,通常指浮点乘与加的次数。以浮点乘与加的次数表达计算复杂度非常烦琐,故常采用算法循环过程中的主要操作次数;比如:关节位姿、速度、加速度等操作的次数。
定义以下表达式或表达形式:
本申请中约定:在运动链符号演算***中,具有偏序的属性变量或常量,在名称上包含表示偏序的指标;要么包含左上角及右下角指标,要么包含右上角及右下角指标;它们的方向总是由左上角指标至右下角指标,或由右上角指标至右下角指标,本申请中为叙述简便,有时省略方向的描述,即使省略,本领域技术人员通过符号表达式也可以知道,本申请中采用的各参数,对于某种属性符,它们的方向总是由偏序指标的左上角指标至右下角指标,或由右上角指标至右下角指标。例如:可简述为(表示由k至l)平动矢量;rl k表示(由k至l的)线位置;krl表示(由k至l的)平动矢量;其中:r表示“平动”属性符,其余属性符对应为:属性符φ表示“转动”;属性符Q表示“旋转变换矩阵”;属性符l表示“运动链”;属性符u表示“单位矢量”;属性符ω表示“角速度”;角标为i表示惯性坐标系或大地坐标系;其他角标可以为其他字母,也可以为数字。
本申请的符号规范与约定是根据运动链的偏序性、链节是运动链的基本单位这两个原则确定的,反映了运动链的本质特征。链指标表示的是连接关系,右上指标表征参考系。采用这种符号表达简洁、准确,便于交流与书面表达。同时,它们是结构化的符号***,包含了组成各属性量的要素及关系,便于计算机处理,为计算机自动建模奠定基础。指标的含义需要通过属性符的背景即上下文进行理解;比如:若属性符是平动类型的,则左上角指标表示坐标系的原点及方向;若属性符是转动类型的,则左上角指标表示坐标系的方向。
(1)lS-杆件l中的点S;而S表示空间中的一点S。
(7)左下角指标为0时,表示机械零位;如:
(8)0-三维零矩阵;1-三维单位矩阵;
(12)iQl,相对绝对空间的旋转变换阵;
(14)对于一给定有序的集合r=[1,4,3,2]T,记r[x]表示取集合r的第x行元素。常记[x]、[y]、[z]及[ω]表示取第1、2、3及4列元素。
(15)ilj表示由i到j的运动链;llk为取由轴l至轴k的运动链;
分块矩阵的高维行列式计算:
其中:I[i1,…in]表示排列<i1,…in>的逆序个数。式(1)计算复杂度为:n!次n个数积及n!次加法,具有指数计算复杂度,只能适用于维度较小的行列式。对于维度较大的行列式,通常应用Laplace公式进行递规运算,记为的伴随矩阵(Adjugate Matrix),则有
更简单的算法通常应用高斯消去法或LU分解法,先通过初等变换将矩阵变为三角阵或三角阵的乘积,后计算行列式。上述针对数域的行列式计算方法不适用于高维度的多项式矩阵,需要引入分块矩阵的行列式计算方法。计算矢量多项式(Vector Polynomial)的行列式是一个特定的分块矩阵行列式的计算问题,它在矢量层次上表达了矢量与行列式的内在联系。而分块矩阵行列式计算则从矩阵层次上表达分块矩阵与行列式的内在规律。
则有
上式的推导步骤为:因
故式(4)成立。
式(3)及式(4)可以推广至n维空间。式(3)有助于从矢量层次上分析行列式的内在规律;比如,当任两矢量平行或三矢量共面时,对应的行列式为零。式(4)表明:矢量多项式的行列式易导致“组合***”。
实施例1
另一方面,
上面的结果验证了式(4)的正确性。
给出分块矩阵的行列式计算定理:
若记大小为(n+m)·(n+m)的方阵为M,大小为n·n的矩阵是方阵M的前n行及任意n列元素构成的子矩阵,大小为m·m的矩阵是方阵M后m行及剩余m列元素构成的子矩阵;由升序排列的矩阵列序号构成的序列cn及cm是序列[1:m+n]的子集,[cn,cm]∈<1:n+m>,且有cm∪cn=[1:m+n];则方阵M行列式与分块矩阵及的行列式关系为
对行列式进行行阶梯化计算原理:
对于S×S矩阵,其每一项是关于τ1的n阶多项式。计算该矩阵的行列式时,可通过初等行变换将原行列式变为上三角行列式,再将非零的对角线元素相乘,得到行列式的多项式表达式。因该式为0,求得到τ1的所有解。
阶梯化的具体方法为,先对行列式第一列的最高阶次由高到低进行排序,再进行最多(S-1)×n次初等行变换消元,得到第一列只有第一个元素不为0的行列式。再对该行列式第1行及1列的余子式进行初等行变换消元,依次迭代求解。
实施例2
步骤为:rk代表第k行。得
基于“N进位字”的N阶多项式***:
n个“n元N阶”多项式***的Dixon多项式:
引入辅助变量[y2,y3,…,yn],且有
在多元多重多项式(8)中,用辅助变量Ym的前m个依次替换原变量(OriginalVariables)Xn中的m个变量,记“|”为替换操作符,得到增广的(Extended)多项式
式中右上角标α、α表示幂;
由式(6)及式(12)得
其中:
由式(17)得
式(15)中分离变量与文献不同:原变量Xn-1被辅助变量Yn-1替换的次序不同,Dixon多项式也不同。考虑式(13)及式(18)得该多项式的Dixon行列式
在笛卡尔空间下,由位置矢量或转动矢量构成的行列式表示矢量张成空间的容积(Volume);在不同笛卡尔空间下具有容积的不变性。其中:
n个“n元N阶”多项式的Dixon行列式的阶次及替换变量项数分别为:
n个“n元N阶”Dixon矩阵:
α[l]∈[0,N·(n-l+1)-1]],l∈[2:n] (23)
其中:
若
则有
n个“n元N阶”多项式的Dixon消元与求解
Det(SΘS(x1))=0。 (28)
称式(28)中“n个n元”为Dixon消元的必要条件,从而获得可行解。若SΘS存在零行或零列向量,则无法建立x1的多项式方程;此时,通过除标量积之外的初等变换,将SΘS变为行阶梯(Row Echelon)矩阵Ech(SΘS);在计算该矩阵的杻轴(Pivot)的积之后得方阵即在SΘS中选取S′个独立的列向量。
确定双线性型
称其为结式或消去式。式(32)是单变量x1的多项式方程;消去了n-1个未知量;从而,可以获得单变量x1的可行解。若x1同时满足
即有
若有必要条件
若同时满足
①确定***结构。方程数及独立变量数记为n;独立变量记为Xn;多项式复合变量记为替换变量记为替换变量数为n-1;大小为S·S的Dixon矩阵记为其成员系数如式(24)所示,其中:S由式(32)确定;待消去变量为x1。
④Dixon矩阵成员如式(32)所示,由式(32)计算Dixon矩阵SΘS的(n+1)·S2个系数。
⑤当满足式(37)及式(38)直接解判别准则时,由式(34)及式(35)得全部数值解。
实施例3
对多项式***(39)进行Dixon消元。
步骤为:该式是4个“4元1阶”多项式***,满足Dixon消元条件。由式(19)及式(22),得
其中:
由式(34)及式(40)得5个解:
解得:τ3=1,τ4=-2。将τ3及τ4代入式(39)得τ2=1。同样,可得其他三组解。显然,因变量不满足式(26),式(40)所示的Dixon矩阵不对称。该例表明Dixon行列式为零对于多重线性多项式***是充分的。
基于轴不变量的定轴转动
轴矢量相对于杆件及Ωl或自然坐标系及F[l]是固定不变的,故称该转动为定轴转动。单位矢量绕轴转动后,转动后的零位矢量对***零位轴的投影矢量为转动后的零位矢量对***径向轴的矩矢量为轴向分量为故得具有链指标的Rodrigues矢量方程
若由式(42),得若即坐标系与F[l]的方向一致,由式(42)可知:反对称部分必有因此,***零位是自然坐标系与F[l]重合的充分必要条件,即初始时刻的自然坐标系方向一致是***零位定义的前提条件。利用自然坐标系可以很方便地分析多轴***运动学和动力学。
式(43)是关于和的多重线性方程,是轴不变量的二阶多项式。给定自然零位矢量作为的零位参考,则及分别表示零位矢量及径向矢量。式(43)即为对称部分表示零位轴张量,反对称部分表示径向轴张量,分别与轴向外积张量正交,从而确定三维自然轴空间;式(43)仅含一个正弦及余弦运算、6个积运算及6个和运算,计算复杂度低;同时,通过轴不变量及关节变量实现了坐标系及极性的参数化。
称(45)为改进的Cayley变换。即有
规范的位置方程为
“居-吉布斯”四元数的确定:
其中:
其中:
由式(52)得
习惯上,单关节及运动链的期望姿态以规范的Ju-Gibbs四元数(简称规范Ju-Gibbs四元数,即“标部”为1的四元数)表示;但是它们积运算通常是不规范的,即其标部不为1。由式(53)可知:只有给定轴l及的规范Ju-Gibbs四元数,且两轴正交,才为规范四元数。
由式(53)得
由四维复数性质得
由式(48)至式(50)及式(55)得
由式(50)、式(54)及式(57)得
类DCM及性质:
其中:
显然,类DCM可以通过Ju-Gibbs四元数表达。因此,式(59)姿态方程及式(47)位置方程是关于Ju-Gibbs四元数的表达式。
分块方阵的逆:
若给定可逆方阵K、B及C,其中B及C分别为l×l、c×c的方阵;A、D分别为l×c、c×l的矩阵,且
则有
基于Ju-Gibbs四元数的指向对齐原理
其中:
且有
上式的具体建立步骤为:
定轴转动的Cayley正变换为
由式(69)得
由式(70)得
及
及
由式(76)得
及
由式(78)及式(79)分别得式(67)及式(68)。证毕。
实施例4
考虑轴链il6,由基于Ju-Gibbs四元数的指向对齐原理得
基于Ju-Gibbs四元数的2R方向逆解
以Ju-Gibbs四元数指向对齐为基础,阐述2R方向逆解。
其中:
上式的具体建立步骤为:
首先,考虑基于欧拉四元数的姿态对齐。由
得
由式(86)得
其中:
由式(64)及式(88)得
由式(87)得
其中:
由式(89)及式(90)得
由式(92)得
以规范Ju-Gibbs四元数表征关节变量,由式(53)得
由式(96)得
将式(99)代入式(98)得
由式(94)及式(100)可知两种原理等价。由式(100)第2、3行得
由式(101)可知式(80)成立。因式存(100)在4个等式,2个独立变量,由式(101)及式(100)中第4行得约束方程
由式(103)得
Ju-Gibbs方向四元数
由式(80),(81)和(99)得
且
实施例5
继实施例4,考虑轴链il6,且有3n4=1[x],4n5=1[y],由式(83)得3E5=1。由式(80)及式(81)得
由式(81)得:
基于Ju-Gibbs四元数的2R方向逆解原理表明Ju-Gibbs四元数与欧拉四元数同构;同时,式(63)表明以Ju-Gibbs四元数表示的类DCM与DCM同构。因此,应用Ju-Gibbs四元数可以完整表达位姿关系。
且具有模不变性
与欧拉四元数及对偶四元数相比,Ju-Gibbs四元数表征的位姿对齐不存在冗余方程;通过指向对齐,可以求解第4轴及第5轴的关节变量,为6R及7R机械臂逆解奠定了基础。
基于轴不变量的Dixon行列式计算原理:
下面基于轴不变量,提出径向不变量及运动链的Dixon行列式基本性质,为基于轴不变量的机器人逆运动学分析奠定基础。
【1】轴不变量
首先,轴不变量与坐标轴具有本质区别:坐标轴是具有零位及单位刻度的参考方向,可以描述沿轴向平动的线位置,但不能完整描述绕轴向的角位置,因为坐标轴自身不具有径向参考方向,即不存在表征转动的零位。在实际应用时,需要补充坐标轴的径向参考。坐标轴自身是1D的,3个正交的坐标轴构成3D的笛卡尔标架;轴不变量是3D空间单位参考轴(简称3D参考轴),具有径向参考零位。“3D参考轴”及其径向参考零位可以确定对应的笛卡尔系。以自然坐标系为基础的轴不变量可以准确地反映运动轴及测量轴的“共轴性”、“极性”与“零位”三个基本属性。
其次,轴不变量与欧拉轴具有本质的区别:方向余弦矩阵(DCM)是实矩阵,轴矢量是DCM的特征值1对应的特征矢量,是不变量;固定轴不变量是“3D参考轴”,不仅具有原点及轴向,也有径向参考零位;在自然坐标系下,轴不变量不依赖于相邻固结的自然坐标系,即在相邻固结的自然坐标系下具有不变的自然坐标;轴不变量具有幂零特性等优良的数学操作功能;在自然坐标***中,通过轴不变量及关节坐标,可以唯一确定DCM及参考极性;没有必要为每一个杆件建立各自的体系,可以极大地简化建模的工作量。
同时,以唯一需要定义的笛卡尔直角坐标系为参考,测量轴不变量,可以提高结构参数的测量精度。基于轴不变量的优良操作及属性,可以建立包含拓扑结构、坐标系、极性、结构参量及动力学参量的迭代式的运动学及动力学方程。
由式(59)及式(47)可知:多轴***的姿态及位置方程本质上是多元二阶多项式方程,其逆解本质上归结于多元二阶多项式的消元问题,包含Dixon矩阵及Dixon行列式计算的两个子问题。用式(47)的表达3R机械臂位置方程,是3个“3元2阶”多项式,应用Dixon消元方法计算逆解,有两个替换变量,在计算8×8的Dixon行列式时,最大可能的阶次为16。由式(4)可知:行列式计算是一个排列过程,面临着“组合***”的难题。
所有的不在确定的多项式时间内可解的问题称为NP问题。非确定性算法将问题分解为“猜测”与“验证”两个阶段:算法的“猜测”阶段具有非确定性,算法的“验证”阶段具有确定性,通过验证来确定猜测的解是否正确。假如可以在多项式时间内计算出来,就称为多项式非确定性问题。多元多项式的消元通常被认为是NP问题。通常应用基进行多元多项式的消元,不得不求助于启发式的“猜测”与“验证”来解决问题。
【2】径向不变量
任一个矢量可以分解为零位矢量及轴向矢量,故有
其中:
显然,是轴l及的公垂线或公共径向矢量,是轴l的轴向矢量。由式(112)可知:任一个结构参数矢量可分解为与坐标系为无关的零位不变量及轴向不变量它们的径向矢量记为结构参数矢量及轴不变量唯一确定径向坐标系,具有2个独立维度。若两个轴向不变量及共线,则记为
因此,称式(110)所示的轴向不变量及零位不变量是结构参数矢量对自然轴的分解。
由式(113)及式(114)可知:同一个轴的三个径向矢量的行列式为零;同一个轴的任意两个轴向矢量的行列式为零。可以用轴不变量及其导出的不变量来简化Dixon行列式计算。
由轴不变量导出的零位矢量、径向矢量及轴向矢量具有以下关系:
称式(115)为零位矢量的反转公式;称式(116)为零位矢量与径向矢量的互换公式;称式(117)为径向矢量不变性公式。由式(109)、式(115)至式(117)得
由式(118)得
【3】运动链Dixon行列式性质
定义
由式(52)得
其中:
考虑式(122),若M为4·4的矩阵,则有
且有
由式(62)及式(110)得
由式(126)证得
由式(129)得
由式(127)及式(131)得
由式(127)及式(132)得
基于类DCM的2R方向逆解
上述方程的建立步骤为:
由式(60)得
即
式(137)重新表示为式(134)。
基于轴不变量的Cayley变换
由式(138)得
定义
故有
一、基于轴不变量的3R机械臂位置逆解方法
【1】根据机械臂n元3D矢量位姿方程,获得n个“n元2阶”多项式方程。
由式(47)得3R运动学方程
由式(142)得
由式(143)得
若记
则由式(61)及式得式(145)
由式(144)及式(145)得
下面,阐述3R机械臂运动学方程的Dixon行列式的结构模型及特点。由式(147)得3R运动学多项式方程
多项式***F3(Y2|T2),根据双线性型行列式通式
则有
其中:
由式(18)、式(147)及式(148)得
由式(22)及式(153)可知式(151)成立。由式(127)及式(145)得
由式(145)、式(154)及式(155)得
显然,式(156)中的y2阶次β2∈[0:3]及y3阶次β3∈[0:1]。考虑式(153)后三项:中的y2阶次β2∈[0:3]及y3阶次β3∈[0:1];中的y2阶次β2∈[0:2]及y3阶次β3∈[0:1];中的y2的阶次β2∈[0:3]及y3的阶次β3∈[0:1]。由上可知:式(153)中的y2阶次β2∈[0:3]及y3的阶次β3∈[0:1]。故有S=8。
【2】应用“基于轴不变量的Dixon行列式计算”方法及“分块矩阵的高维行列式计算”方法简化行列式计算。
根据运动链Dixon行列式性质,由式(127)及式(145)得
由式(157)得
由式(158)得
由式(159)得
由式(153)得
将式(160)至式(162)代入式(163)得
【3】应用n个“n元N阶”多项式的Dixon消元与求解原理完成位姿逆解计算,其中:根据Dixon矩阵的行列式为0,得到一元高阶多项式方程,应用基于友阵的一元高阶多项式方程求解一元高阶多项式方程的解。
一元n阶多项式p(x)=a0+a1x+…an-1xn-1+xn具有n个解。若能找到一个矩阵A,满足|A-λl·1n|·vl=0,其中:l∈[1:n],λl为该矩阵的特征值,vl为对应的特征矢量。若矩阵A的特征方程为则称该矩阵为多项式p(x)的友矩阵(Companion Matrix,简称友阵),因此,多项式方程p(λl)=0的解为其友阵A的特征方程|A-λl·1n|=0的解。
若多项式p(x)的友阵为
则由矩阵A的特征向量构成的矩阵为范德蒙德(Vandermonde)矩阵为
且有
p(λl)=|A-λl·1n|=0 (167)。
由式(28)、式(151)及式(152)得
因S=8,应用式(1)计算的复杂度为8·8!=322560;而应用式(5)进行二次分块的行列式计算,其中:2·2分块矩阵计算复杂度为4!(2·2!+2·2!+1)/(2!2!)=30,4·4分块分矩阵计算复杂度为8!(30+30+1)/(4!4!)=4270。一般情况下,式(168)是关于τ1的16阶单项式方程。
二、基于轴不变量的通用6R机械臂位姿逆解方法
设定有6个转动轴,拾取点位于第6轴轴线上,且第4轴与第5轴不共轴的机械臂为通用6R机械臂。通过前5轴控制第6轴与期望的位置及指向对齐,第6轴可以无限转动或控制第6轴满足径向对齐。
基于轴不变量的通用6R机械臂位姿逆解:
其中
***结构参数及期望Ju-Gibbs姿态四元数构成的矩阵表示为
并进行如下定义:
下面给出上式的建立过程:
由式(52)得式(170),由式(176)得
由式(53)得
其中:
由式(177)及式(178)得
由式(64)得
将式(181)代入式(177)得
其中:
由式(183)得式(172)。由式(172)及式(182)得
一方面,由式(184)、式(185)及式(186)得
另一方面,由式(176)、(184)及式(187)得
故得
由式(185)得(174)及
由式(184)及式(174)得
式(184)至式(190)用于后续方程简化,带有上下标的C是结构常数矩阵。考虑式(182)两边2范数得
考虑当il1=03时的位置矢量对齐关系得
由式(47)及式(193)得
进而,得
即有
显然,有
由式(110)、式(176)及式(195)得式(194)之左式
由式(110)、式(185)、式(190)及式(188)得
由式(190)及式(197)得
由式(184)、式(190)及式(198)得
消去τ4及τ5后的位置方程(169)是3个“3元2阶”多项式方程,可以等同于3R机械臂问题,采用上述基于轴不变量的3R机械臂位置逆解方法进行求解,为实时计算通用6R轴机械臂的逆解奠定了基础。一方面,将有利于提高6R机械臂的绝对定位精度;另一方面,在结构上可以使传统解耦机械臂的第4轴及第5轴向根方向移动,不仅可以优化机械臂的结构,而且有利于提高6R机械臂避让障碍的灵活性。
三、基于轴不变量的通用7R机械臂位姿逆解
称有7个转动轴,拾取点位于第7轴轴线上,且第5轴与第6轴不共轴的机械臂为通用7R机械臂。通用7R机械臂通过前6轴控制第7轴与期望位置及姿态对齐,第7轴无限转动或控制第7轴满足径向对齐。因此,7R通用机械臂比6R机械臂具有更强的空间操作的灵活性。
给定期望位置及期望姿态的逆解问题与给定期望位置及期望姿态的逆解问题等价,即7R机械臂本质上是6R轴链***,可根据上述基于轴不变量的6R机械臂位置逆解方法进行求解。下面,先阐述通用7R机械臂逆解过程。
其中:
***结构参数及期望Ju-Gibbs姿态四元数构成的矩阵表示为
上式建立步骤为:
由式(52)得式(201),由式(206)得
由式(53)得
其中:
由式(207)及式(208)得
由式(64)得
将式(211)代入式(210)得
其中:
由式(213)得式(203)。由式(203)及式(212)得
由式(214)及式(205)得
式(214)至式(217)用于后续方程简化,C是结构常数矩阵。考虑式(216)两边2范数得
由式(62)得
一方面,由式(216)、式(215)及式(219)得
另一方面,由式(206)、(214)及式(220)得
故得
由式(222)得式(200)中的姿态方程。
考虑当il1=03时的位置矢量对齐关系得
由式(47)及式(223)得
进而,得
即有
显然,有
由式(206)及式(225)得式(224)之左式
由式(110)、式(215)、式(216)及式(221)得
由式(216)及式(227)得
由式(214)、式(217)及式(228)得
消去τ5及τ6后的位姿方程(200),是4个“4元2阶”多项式方程。
1.Ju-Gibbs增量四元数及性质
通用7R机械臂位姿逆解的计算复杂度较高,需要解决实时计算的技术问题。在工程上,计算精度是一个相对的概念,只需要保证数值计算精度高于***结构参数精度的4至6倍就能满足工程要求。式(59)所示的姿态方程及式(47)所示的位置方程本质上是Ju-Gibbs四元数的表达式。只要保证式(59)及式(47)具有足够的计算精度就能满足工程精度要求。下面,首先提出“居-吉布斯”增量四元数(Delta-quaternion),再建立通用7R机械臂增量位姿方程,并进行实时逆解计算。
【1】“居-吉布斯”增量四元数定义
定义“居-吉布斯”增量四元数
其中:
显然,“居-吉布斯”增量四元数是四维复数,且有
【2】“居-吉布斯”增量四元数性质
由式(48)及式(230)得
由式(51)得
由式(234)得
由式(50)得
由式(236)及式(54)得
由式(62)得
2.基于轴不变量的通用7R机械臂运动规划
通用7R机械臂逆解由于计算复杂度极高,在现有技术条件下无法实现。但是,通常位于第7轴上的拾取点与第6轴的距离很小。因此,在第6轴取距拾取点较近的点为名义拾取点,先计算通用6R机械臂的逆解;以之为基础,再应用数值迭代法,完成通用7R机械臂的运动规划与逆解计算。下面,探讨通用7R机械臂的增量(Delta)位姿方程建立及逆解的问题。
【1】通用7R轴链的增量位姿方程
首先陈述由Gibbs增量四元数表征的通用7R轴链的增量位姿方程,最后求其逆解。
其中: 3n4为杆件3到杆件4的坐标矢量,其是轴不变量;为轴不变量3n4的叉乘矩阵,其余杆件同理;,\为续行符; 分别表示轴5至轴6、轴6至轴7的零位矢量、径向矢量;是轴不变量的叉乘矩阵;03=[0 0 0]T;
由行四元数构成的***结构参数矩阵表示为
下面,分析通用7R机械臂的增量位姿逆解。显然,式(239)是关于{εl|l∈[1:4}的线性方程。将式(239)重新表示为
A·[ε1 ε2 ε3 ε4]T=b (247)
若A-1存在,解式(245)得
[ε1 ε2 ε3 ε4]T=A-1·b。 (248)
【2】基于偏速度迭代的通用7R机械臂运动规划
当k∈iln时,由式(3.304)至式(3.306)可知
由式(252)应用梯度(Gradient Descent Method/GDM)下降法得
其中:步长Step>0,Step→0。显然有
(1)确定目标函数
(2)选择步长
一方面,应用构造法得确定步长
另一方面,由式(231)及式(252)得
其中:ε(i,6]=[ε1 ε2 … ε6]T。由式(257)及式(253)确定步长
(3)迭代过程
一方面,若取式(258)之步长Step,由式(259)完成迭代计算:
δGoal≤0, (260)
即式(259)的迭代过程一定收敛。
迭代计算式的推导过程为:由式(252)及式(255)得
由式(253)、式(256)及式(261)得
因式(256)与式(258)在理论上等价,故可用式(258)替代式(256)。但是式(256)与式(258)的计算过程不同:因计算机字长有限,当时,前者精度越来越差,而后者越来越高;同时,后者计算量相对较小。因此,在工程应用时,应用式(258)中的步长更好。
基于偏速度的通用7R机械臂运动规划特点在于:通过迭代,逐步逼近期望的位姿,可以得到一条由初始位姿至期望位姿的路径。因为该方法是趋向目标的优化过程,所以实时性较差。若在迭代过程中,控制关节增量,则可以满足关节速度的约束;因此,在完成运动规划的同时,也获得对应期望位姿的一组逆解。
以上所述仅是本发明的优选实施方式,应当指出,对于本技术领域的普通技术人员来说,在不脱离本发明技术原理的前提下,还可以做出若干改进和变形,这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。
Claims (10)
1.一种基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法,其特征是,
定义自然坐标系:若多轴***D处于零位,所有笛卡尔体坐标系方向一致,且体坐标系原点位于运动轴的轴线上,则该坐标***为自然坐标系;
约定:在运动链符号演算***中,具有偏序的属性变量或常量,在名称上包含表示偏序的指标;要么包含左上角及右下角指标,要么包含右上角及右下角指标;对于某种属性符,它们的方向总是由偏序指标的左上角指标至右下角指标,或由右上角指标至右下角指标;
“居-吉布斯”四元数的确定:
设定有7个转动轴,拾取点位于第7轴轴线上,且第5轴与第6轴不共轴的机械臂为通用7R机械臂;通用7R机械臂通过前6轴控制第7轴与期望位置及姿态对齐,使第7轴无限转动或控制第7轴满足径向对齐;
基于轴不变量的通用机械臂运动规划,建立通用7R机械臂增量位姿方程,第6轴取距拾取点一定距离的点为名义拾取点,先计算通用6R机械臂的逆解,再应用数值迭代法,完成通用7R机械臂的运动规划与逆解计算。
2.根据权利要求1所述的基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法,其特征是,
其中:
***结构参数及期望Ju-Gibbs姿态四元数构成的矩阵表示为
式中,\为续行符;分别表示轴5至轴6、轴6至轴7的零位矢量、径向矢量;是轴不变量的叉乘矩阵;03=[0 0 0]T; 表示***结构参数的4×4矩阵;表示取的第一行元素,依次类推,表示取的第k+1行元素;右上角标表达形式[ ]表示取行或列,表达形式[·]表示取所有列;表示取3E5的第3行、第所有列;4n5为杆件4到杆件5的坐标矢量,其是轴不变量;为轴不变量4n5的叉乘矩阵,其余杆件同理;式中的表达形式幂符表示的x次幂;右上角角标∧或表示分隔符;
消去τ5及τ6后的位姿方程(200),是4个“4元2阶”多项式方程。
3.根据权利要求1所述的基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法,其特征是,
基于轴不变量的通用机械臂运动规划,具体包括以下步骤:
【1】建立通用7R轴链的增量位姿方程;
【2】对基于偏速度迭代的通用7R机械臂进行运动规划。
5.根据权利要求4所述的基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法,其特征是,
其中: 3n4为杆件3到杆件4的坐标矢量,其是轴不变量;为轴不变量3n4的叉乘矩阵,其余杆件同理;\为续行符;分别表示轴5至轴6、轴6至轴7的零位矢量、径向矢量;是轴不变量的叉乘矩阵;03=[0 00]T;
由行四元数构成的***结构参数矩阵表示为
6.根据权利要求5所述的基于轴不变量的通用7R机械臂逆解建模与解算方法,其特征是,
分析通用7R机械臂的增量位姿逆解,式(239)是关于{εl|l∈[1:4}的线性方程;将式(239)重新表示为
A·[ε1 ε2 ε3 ε4]T=b; (247)
若A-1存在,解式(245)得
[ε1 ε2 ε3 ε4]T=A-1·b; (248)
至此,得到全部逆解。
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