CN108509709B - 双条裂纹fgm简支梁固有振型的数值计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种双条裂纹FGM简支梁固有振型的数值计算方法，包括以下步骤：构建模型，确定模型的几何参数以及材料参数；求解裂纹尖端应力强度因子；基于裂纹尖端应力强度因子求出裂纹界面处的局部柔度系数；采用分段三次函数表示含裂纹功能梯度材料梁的固有振型函数；代入模型的边界约束条件以及裂纹截面处的变形协调关系，求出含裂纹功能梯度材料梁的分段三次固有振型函数中的待定系数；将待定系数代入分段三次函数中，即可获得功能梯度材料梁的各阶固有振型函数。本发明的有益效果：通过本方法可以较为准确的计算含双条裂纹的功能梯度材料简支梁的固有振型函数，对含裂纹非均匀功能梯度材料梁的振动固有特性研究具有重大意义。

Description

双条裂纹FGM简支梁固有振型的数值计算方法

技术领域

本发明涉及梁的振动固有特性研究，具体为一种双条裂纹FGM简支梁固有振型的数值计算方法。

背景技术

近几十年来，科学领域不断的发展和突破，工艺技术也在不断提高，研究与工程领域对于工业材料的要求也逐渐提高，许多新型材料被研发生产并应用到人们的日常生活、工程建设中。二十世纪八十年代，新野正之等人基于其研究率先提出了功能梯度材料(FGM)的概念，并于三年后开始对该类材料的研究，其性能具备可设计性,可以实现预期的性能指标。功能梯度材料在材料组成方面进行了创新，与过去的均质以及普通的复合材料有所区别，材料的组成比例可以通过人为干涉进行设计，使材料属性连续变化，同时使材料的性能也具备变化性。鉴于功能梯度材料具有可设计性以及性能的优异性,受到许多尖端领域的关注,如航空航天、生物医学、船舶、武器、光学材料等。功能梯度材料所具备的优良性能以及其材料的可设计性，与不断提高的工业要求相符合,具有极大的研究价值。对于功能梯度材料这一类新型材料的研究分析，可以支撑当今时代各领域突破以及发展所需，同时也满足了科学技术不断发展的要求，具有巨大的研究潜力以及社会应用前景。

马一江，陈国平在《含多条裂纹梁的模态与振动疲劳寿命分》一文中，提出使用传递矩阵法计算含多条裂纹梁模态的计算方法，但该方法仅针对均质材料，本文通过裂纹尖端应力强度因子与裂纹处局部柔度系数的关系，可以针对非均匀功能梯度材料计算其模态。

发明内容

本发明的目的是提供一种双条裂纹FGM简支梁固有振型的数值计算方法，目前对于均匀材料以及单裂纹梁的振动特性研究较为深入，而对功能梯度材料以及多裂纹梁的振动特性研究相对不足，本文提出的方法可以准确的计算含双条裂纹简支梁的固有振型。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种双条裂纹FGM简支梁固有振型的数值计算方法，包括如下步骤：

步骤1、在进行含裂纹功能梯度材料梁材料参数计算时，采用两种材料所组成的功能梯度材料，所述功能梯度材料的组分比体积分数沿梁高度方向呈指数形式变化；

步骤2、采用有限元位移法，在裂纹尖端处采用退化奇异单元，利用退化奇异单元上1/4节点及角节点求出裂纹尖端处Ⅰ型应力强度因子的值；

步骤3、采用局部柔度法，应用虚功原理推导含裂纹功能梯度材料简支梁裂纹截面处的局部柔度系数；

步骤4、采用分段三次函数表示含裂纹功能梯度材料梁的各阶固有振型函数，代入边界条件及裂纹处变形协调条件，确定函数中的待定系数。

本发明与现有的技术相比，有益效果在于：可以准确有效的针对功能梯度材料以及双条裂纹简支梁模型进行固有振型的计算。

附图说明

图1为双裂纹简支梁模型。

图2为双裂纹简支梁功能梯度材料组分比参数n＝0.1，裂纹深度比λ＝0.6前三阶振型。

图3为双裂纹简支梁与无裂纹梁功能梯度材料组分比参数n＝4，裂纹深度比λ＝0.6一阶振型比较。

图4为双裂纹简支梁与无裂纹梁功能梯度材料组分比参数n＝4，裂纹深度比λ＝0.6二阶振型比较。

图5为双裂纹简支梁与无裂纹梁功能梯度材料组分比参数n＝4，裂纹深度比λ＝0.6三阶振型比较。

图6为本发明双条裂纹FGM简支梁固有振型的数值计算方法的方法流程图。

具体实施方式

为了使本发明的技术方案更加清楚明白，以下结合附图对本发明进行详细的的描述与解释：

结合图1和图6，一种双条裂纹FGM简支梁固有振型的数值计算方法，方法步骤如下：

1、采用两种材料所组成的功能梯度材料，第一种材料弹性模量为E₁，密度为ρ₁，第二种材料弹性模量为E₂，密度为ρ₂，材料组分比体积分数沿梁高度方向呈指数形式变化：

E(y)＝∑E_iV_i(y)

ρ(y)＝∑ρ_iV_i(y)

上式中E(y)为两种材料混合后的弹性模量，ρ(y)为两种材料混合后密度，V_i(y)表示第i种材料的体积分数，i＝1,2，y轴方向沿梁高度方向，原点为y轴与梁中性层交点，将第一种材料的组分比记为V₁，是以y为变量的函数，表达式如下：

上式中n为组分比参数，定义了功能梯度材料的变化方式；a为梁中性层到梁底端距离；h为梁的高度；两种材料混合后的材料参数表示如下：

E(y)＝∑E_iV_i(y)＝(E₁-E₂)V₁(y)+E₂

ρ(y)＝∑ρ_iV_i(y)＝(ρ₁-ρ₂)V₁(y)+ρ₂

2、采用Barsoum理论公式，裂纹尖端处的应力强度因子值通过裂尖单元1/4节点及角节点计算，其节点处应力强度因子K_I(j)与节点处位移关系式如下：

上式中j为单元节点编号，E为两种材料混合后的弹性模量，μ表示材料泊松比，u表示节点沿x方向的位移，v表示节点y沿方向的位移，r为节点与裂纹尖端处距离，k值如下：

采用外推法通过1/4节点及角节点求出裂纹尖端处的Ⅰ型应力强度因子的值：

3、双条裂纹FGM简支梁固有振型的数值计算方法应用虚功原理推导功能梯度材料简支梁的局部柔度系数基本形式，假设有一虚力矩

作用在裂纹平面处，则裂纹平面的相对转角

单元面积dA上，应力强度因子与能量释放率G存在如下关系式：

上式中，E′为杨氏模量，E′＝E(y)；ε为裂纹宽度方向积分坐标；η为裂纹深度方向积分坐标；Bernoulli-Euler梁模型在纯弯矩M作用下，裂纹平面处的局部柔度系数C通过平面转角对力矩求偏导得出：

裂纹截面处的局部柔度系数表达式如下：

上式中F是关于位置变量x＝η/h的函数，形式如下：

其中E为两种材料混合后的弹性模量；b为梁宽度；h为梁的高度；I为截面惯性矩。

4、采用分段三次多项式函数表示含双条裂纹简支梁的固有振型函数φ_jm(x)：

在上述分段三次多项式中，x表示双裂纹简支梁轴向坐标，L_c1是梁左侧裂纹的位置坐标，L_c2为梁右侧裂纹的位置坐标，A₁～A₁₂为待定系数，受材料性质、模型尺寸影响，

对应该段无裂纹梁的模态函数，j＝1,2,3...n表示模态阶数；

在两个裂纹截面处，***要满足四个变形协调条件，即位移、转角、剪力和弯矩：

φ_j1(L_C1)＝φ_j2(L_C1)

φ″_j1(L_C1)＝φ″_j2(L_C1)

φ″′_j1(L_C1)＝φ″′_j2(L_C1)

φ′_j2(L_C1)-φ′_j1(L_C1)＝EICφ″_j1(L_C1)

两条裂纹将简支梁分为三段，φ_j1(L_C1)为第一段梁在裂纹L_C1处的位移，φ_j2(L_C1)为第二段梁在裂纹L_C1处的位移，φ′_j1(L_C1)为第一段梁在裂纹L_C1处的转角，φ′_j2(L_C1)为第二段梁在裂纹L_C1处的转角，φ″_j1(L_C1)为第一段梁在裂纹L_C1处的弯矩，φ″_j2(L_C1)为第二段梁在裂纹L_C1处的弯矩，φ″′_j1(L_C1)为第一段梁在裂纹L_C1处的剪力，″′_j2(L_C1)为第二段梁在裂纹L_C1处的剪力，E为整合后材料的整体弹性模量，I为梁横截面惯性矩，C为L_C1处裂纹的局部柔度系数。

φ_j2(L_C2)＝φ_j3(L_C2)

φ″_j2(L_C2)＝φ″_j3(L_C2)

φ″′_j2(L_C2)＝φ″′_j2(L_C2)

φ′_j3(L_C2)-φ′_j2(L_C2)＝EICφ″_j2(L_C2)

两条裂纹将简支梁分为三段，φ_j2(L_C2)为第二段梁在裂纹L_C2处的位移，φ_j3(L_C2)为第三段梁在裂纹L_C2处的位移，φ′_j2(L_C2)为第二段梁在裂纹L_C2处的转角，φ′_j3(L_C2)为第三段梁在裂纹L_C2处的转角，φ″_j2(L_C2)为第二段梁在裂纹L_C2处的弯矩，φ″_j3(L_C2)为第三段梁在裂纹L_C2处的弯矩，φ″′_j2(L_C2)为第二段梁在裂纹L_C2处的剪力，φ″′_j3(L_C2)为第三段梁在裂纹L_C2处的剪力，E为整合后材料的整体弹性模量，I为梁横截面惯性矩，C为L_C2处裂纹的局部柔度系数。

在简支梁两端边界条件具有如下表达式：

φ_j1(0)＝0

φ″_j1(0)＝0

φ_j3(L)＝0

φ″_j3(L)＝0

φ_j1(0)表示在x＝0处梁的位移，φ″_j1(0)＝0表示在x＝0处梁的弯矩，φ_j3(L)＝0表示在x＝L处梁的位移，φ″_j3(L)＝0表示在x＝L处梁的弯矩。

基于约束条件、变形协调条件以及无裂纹梁的模态函数，求出待定系数如下：

将待定系数代回裂纹梁的分段模态函数公式中，即整理得出含裂纹简支梁的模态函数。

实施例

1、构建模型，定义含裂纹非均匀功能梯度材料梁的几何参数和材料参数。

本发明中以含双条裂纹非均匀功能梯度材料简支梁为算例，几何参数及材料参数分别定义为：第一种材料弹性模量E₁＝80Gpa，密度ρ₁＝7200kg/m³，第二种材料弹性模量E₂＝200Gpa，密度ρ₂＝7850kg/m³，泊松比μ＝0.27，梁长度L＝12m，梁截面尺寸为b×h＝1.5m×1m；两条裂纹深度相同，位于梁上对称位置处。

图2-5分别表示的是含双裂纹简支梁***的前三阶固有振型与相同几何参数、材料参数下无裂纹简支梁的前三阶振型比较。结果表明，该发明能有效的进行含双条裂纹简支梁***各阶固有振型的计算。

Claims (4)

1.一种双条裂纹FGM简支梁固有振型的数值计算方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1、在进行含裂纹功能梯度材料梁材料参数计算时，采用两种材料所组成的功能梯度材料，所述功能梯度材料的组分比体积分数沿梁高度方向呈指数形式变化；

步骤2、采用有限元位移法，在裂纹尖端处采用退化奇异单元，利用退化奇异单元上1/4节点及角节点求出裂纹尖端处Ⅰ型应力强度因子的值；

步骤3、采用局部柔度法，应用虚功原理推导含裂纹功能梯度材料简支梁裂纹截面处的局部柔度系数；

其中，应用虚功原理推导功能梯度材料简支梁的局部柔度系数基本形式，假设有一虚力矩

作用在裂纹平面处，则裂纹平面的相对转角

单元面积dA上，应力强度因子K与能量释放率G存在如下关系式：

上式中，E′为杨氏模量，E′＝E(y)；ε为裂纹宽度方向积分坐标；η为裂纹深度方向积分坐标；Bernoulli-Euler梁模型在纯弯矩M作用下，裂纹平面处的局部柔度系数C通过平面转角θ对力矩求偏导得出：

a为梁中性层到梁底端距离；

裂纹截面处的局部柔度系数表达式如下：

上式中F形式如下：

其中E为两种材料混合后的弹性模量；b为梁宽度；h为梁的高度；I为截面惯性矩，F是关于位置变量x＝η/h的函数；

步骤4、采用分段三次函数表示含裂纹功能梯度材料梁的各阶固有振型函数，代入边界条件及裂纹处变形协调条件，确定函数中的待定系数。

2.根据权利要求1所述的双条裂纹FGM简支梁固有振型的数值计算方法，其特征在于：上述步骤1中，采用两种材料所组成的功能梯度材料，所述功能梯度材料的组分比体积分数沿梁高度方向呈指数形式变化：

E(y)＝∑E_iV_i(y)

ρ(y)＝∑ρ_iV_i(y)

上式中E(y)为两种材料混合后的弹性模量，ρ(y)为两种材料混合后密度，V_i(y)表示第i种材料的体积分数，i＝1,2，设y轴方向沿梁高度方向，原点为y轴与梁中性层交点，第一种材料的弹性模量为E₁，密度为ρ₁，第二种材料的弹性模量为E₂、密度为ρ₂，将第一种材料的组分比记为V₁，是以y为变量的函数V₁(y)，表达式如下：

上式中n为组分比参数，定义了功能梯度材料的变化方式；a为梁中性层到梁底端距离；h为梁的高度；两种材料混合后的材料参数表示如下：

E(y)＝∑E_iV_i(y)＝(E₁-E₂)V₁(y)+E₂

ρ(y)＝∑ρ_iV_i(y)＝(ρ₁-ρ₂)V₁(y)+ρ₂

考虑弹性力学中的平面假设，梁横截面上存在静力平衡：

∫_AσdA＝0

即求得a值，则截面惯性矩I：

其中b为梁宽度，A为梁的横截面积。

3.根据权利要求1所述的双条裂纹FGM简支梁固有振型的数值计算方法，其特征在于：上述步骤2中，采用Barsoum理论公式，裂纹尖端处的应力强度因子值通过裂尖单元1/4节点及角节点计算，其节点处应力强度因子K_I(j)与节点处位移关系式如下：

上式中j为单元节点编号，E为两种材料混合后的弹性模量，μ表示材料泊松比，u表示节点沿x方向的位移，x方向为梁长度轴向方向，ν表示节点y沿方向的位移，r为节点与裂纹尖端处距离，k值如下：

采用外推法通过1/4节点及角节点求出裂纹尖端处的Ⅰ型应力强度因子的值K_I：

4.根据权利要求1所述的双条裂纹FGM简支梁固有振型的数值计算方法，其特征在于：上述步骤4中，采用分段三次多项式函数表示含双条裂纹简支梁的固有振型函数φ_jm(x)：

在上述分段三次多项式中，x表示双裂纹简支梁轴向坐标，L_c1是梁左侧裂纹的位置坐标，L_c2为梁右侧裂纹的位置坐标，A₁～A₁₂均为待定系数，

对应该段无裂纹梁的模态函数，j＝1,2,3...n表示模态阶数；

在两个裂纹截面处，***要满足四个变形协调条件，即位移、转角、剪力和弯矩：

φ_j1(L_C1)＝φ_j2(L_C1)

φ″_j1(L_C1)＝φ″_j2(L_C1)

φ″′_j1(L_C1)＝φ″′_j2(L_C1)

φ′_j2(L_C1)-φ′_j1(L_C1)＝EICφ″_j1(L_C1)

两条裂纹将简支梁分为三段，φ_j1(L_C1)为第一段梁在裂纹L_C1处的位移，φ_j2(L_C1)为第二段梁在裂纹L_C1处的位移，φ′_j1(L_C1)为第一段梁在裂纹L_C1处的转角，φ′_j2(L_C1)为第二段梁在裂纹L_C1处的转角，φ″_j1(L_C1)为第一段梁在裂纹L_C1处的弯矩，φ″_j2(L_C1)为第二段梁在裂纹L_C1处的弯矩，φ″′_j1(L_C1)为第一段梁在裂纹L_C1处的剪力，φ″′_j2(L_C1)为第二段梁在裂纹L_C1处的剪力，E为整合后材料的整体弹性模量，I为梁横截面惯性矩，C为L_C1处裂纹的局部柔度系数；

φ_j2(L_C2)＝φ_j3(L_C2)

φ″_j2(L_C2)＝φ″_j3(L_C2)

φ″′_j2(L_C2)＝φ″′_j2(L_C2)

φ′_j3(L_C2)-φ′_j2(L_C2)＝EICφ″_j2(L_C2)

两条裂纹将简支梁分为三段，φ_j2(L_C2)为第二段梁在裂纹L_C2处的位移，φ_j3(L_C2)为第三段梁在裂纹L_C2处的位移，φ′_j2(L_C2)为第二段梁在裂纹L_C2处的转角，φ′_j3(L_C2)为第三段梁在裂纹L_C2处的转角，φ″_j2(L_C2)为第二段梁在裂纹L_C2处的弯矩，φ″_j3(L_C2)为第三段梁在裂纹L_C2处的弯矩，φ″′_j2(L_C2)为第二段梁在裂纹L_C2处的剪力，φ″′_j3(L_C2)为第三段梁在裂纹L_C2处的剪力，E为整合后材料的整体弹性模量，I为梁横截面惯性矩，C为L_C2处裂纹的局部柔度系数；

在简支梁两端边界条件具有如下表达式：

φ_j1(0)＝0

φ″_j1(0)＝0

φ_j3(L)＝0

φ″_j3(L)＝0

φ_j1(0)表示在x＝0处梁的位移，φ″_j1(0)＝0表示在x＝0处梁的弯矩，φ_j3(L)＝0表示在x＝L处梁的位移，φ″_j3(L)＝0表示在x＝L处梁的弯矩；

基于约束条件、变形协调条件以及无裂纹梁的模态函数，求出待定系数如下：

将待定系数代回裂纹梁的分段模态函数公式中，即整理得出含裂纹简支梁的模态函数。

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