CN108225293A - 一种自动激光测垂仪及垂直度测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种自动激光测垂仪及垂直度测量方法，其中垂直度测量方法包括以下步骤：S1、获取两个已知水准点A和B的坐标、A‑B边的坐标方位角、待测构筑物基础顶面高程；S2、在待测物体周围均匀布置测站点，对各测站点以水准点A、B中的一点为起始点进行闭合导线测量，推算出各导线边的坐标方位角以及各测站点的坐标和高程；S3、设定扫描步距ΔZ，从待测构筑物底部开始扫描，获取扫描到的每个目标点局部坐标并记录；S4、在各测站点重复步骤S3；S5、利用获取到的测量数据推算出不同高度处水平截面形心坐标，即得到竖向中心轴线上各点的坐标。本发明实现了对结构全高度各处中心轴线偏离情况的检测，避免了偏差抵消的情况。

Description

一种自动激光测垂仪及垂直度测量方法

技术领域

本发明属于工程测量设备技术领域，具体涉及一种自动激光测垂仪及垂直度测量方法。

背景技术

控制垂直度对于像高墩、烟囱、冷却塔等高度很高的构筑物来说尤为重要，倾斜过大带来的次内力会造成结构的开裂甚至破坏，失去正常使用功能。施工偏差、地基不均匀沉降和意外冲击等因素均会对结构垂直度造成影响，对结构的长期监测对保证其正常使用功能有重要意义，因此探寻一种方便快捷、操作安全、适用面广的测量设备和技术就显得十分必要。

《公路工程质量检验评定标准》(JTGF80/1-2012)表8.6.1-1及8.6.1-2墩、台身实测项目及柱、双壁墩身实测项目中要求竖直度或斜度的规定值或允许偏差应在0.3％H且不大于20mm，其中H为墩、台身高或墩身、柱高度。《烟囱工程施工及验收规范》(GB 50078-2008)表6.5.4钢筋混凝土烟囱筒壁混凝土质量标准及检验方法中指出筒身中心线垂直度偏差在不同标高有不同的允许偏差，高度120m时允许偏差65mm，高度300m时允许偏差125mm，中间值用***法计算。《双曲线冷却塔施工与质量验收规范》(GB 50573-2010)表6.5.3筒壁模板安装质量标准及检验方法中规定中心线垂直偏差≤15mm。

传统的垂直度监测方法主要有四种：吊锤线法、经纬仪测量法、全站仪测量法和激光铅垂仪投测法。吊锤线法在当建筑物或构筑物较高时，固定悬挂垂球的钢丝有一定的困难，并且容易受风影响，测量误差较大，测量结果也只能反应整体特征，对于局部的偏差无法体现，易出现偏差抵消的问题；经纬仪测量法受场地条件影响较大，在建筑物或构筑物较高时具体操作起来比较困难，而且测量时间长，精度也较低，只有在建筑物比较低的时候使用；全站仪测量法与经纬仪测量法类似，对测量人员要求高，外业和内业工作量都比较大，测量结果不能反映细部特征；激光铅垂仪投测法需要测量人员爬到高处立靶，危险系数大，不适用于冷却塔等曲面结构的外部测量。

发明内容

发明目的：针对现有技术中存在的问题，本发明提供了一种自动激光测垂仪及垂直度测量方法，实现了对结构全高度各处中心轴线偏离情况的检测，避免了偏差抵消的情况，对高度较高的结构有显著的适用性；不仅适用于外立面为平直面的情况，也适用于外立面为曲面的情况；基本实现自动化，减轻了测量人员的工作量，并且无需在结构表面设立标志点，既简便又具有安全性；数据处理也完全由软件完成，并且用户界面友好，结果可视性好，既有图像显示又有数值计算结果，展现了显著的测量实用性。

技术方案：本发明采用如下技术方案：

本发明一方面提供了一种自动激光测垂仪，包括：

一种自动激光测垂仪，包括：数据处理器CPU模块、电子测角模块、光电测距模块、测距仪旋转伺服模块、内业处理模块；

所述电子测角模块用于测定地面测站点到两目标点的方向线铅锤投影在水平面上的所成的水平角α和地面测站点至目标点的方向线与水平视线间的竖直角θ；所述光电测距模块用于测定地面测站点与目标点之间的倾斜距离D；所述测距仪旋转伺服模块用于控制光电测距模块在竖直面内的旋转。

所述光电测距模块由测距仪、温度传感器和气压传感器组成，测距仪由激光发射***、激光接收***及光学照准***组成，发射光轴、接收光轴、视准轴三***同轴。

所述测距仪旋转伺服模块包括伺服电机和伺服驱动；所述伺服驱动采用MCU控制电路，数据处理器CPU模块通过与MCU的接口电路向MCU发送指令，由MCU发出控制信号驱动伺服电机，进而控制自动激光测距仪在竖直面内的旋转。

还包括输入与显示模块、数据通讯模块，所述数据通讯模块包括采用USB接口的有线传输和采用蓝牙连接的无线传输。

所述内业处理模块为智能终端，该智能终端内装有配套测量软件，用于对接收得到的数据进行储存、处理和运算，并能对测量结果进行三维显示。

本发明另一方面提供了一种垂直度测量方法，包括如下步骤：

S1、获取两个已知水准点A和B的坐标，水平坐标分别记为(x_A,y_A)、(x_B,y_B)，高程分别为H_A、H_B，A-B边的坐标方位角为α_AB；获取待测构筑物基础顶面高程H_test；

S2、在待测物体周围均匀布置至少四个测站点；对各测站点以水准点A、B中的一点为起始点进行闭合导线测量，推算出各导线边的坐标方位角以及各测站点的坐标和高程H_n；

S3、设定扫描步距△Z，从待测构筑物底部开始扫描，获取扫描到的每个目标点局部坐标并记录；

S4、在各测站点重复步骤S3，每个测站点应尽可能多测量几条轮廓线；

S5、利用获取到的测量数据推算出不同高度处水平截面形心坐标，即得到竖向中心轴线上各点的坐标，构筑物竖向中心轴线倾斜弯折特征即表明了构筑物整体的垂直特征。

进一步地，还包括如下步骤：

S6、垂直度计算与评价：以z＝H_n+i+Dsinθ-H_test＝0处水平截面形心点(x_c0,y_c0)所在的竖直线为参考标准线，计算全高度各处参考点与实际点的偏差距离全高度各处横向和纵向的偏差距离：d_hi＝y_ci-y_c0，d_vi＝x_ci-x_c0，其中D为测站点与目标点之间的倾斜距离；θ为测站点至目标点的方向线与水平视线间的竖直角；i为仪器高度；横向和纵向的偏差距离有正负之分，偏向坐标轴正向为正，反之为负；

根据测量结果对结构进行打分，采取百分制，分别对结构整体垂直度和局部垂直度进行打分，打分结果分别为Q₁、Q₂，用户根据需求设置二者的重要性系数λ₁和λ₂，最后得出最终评价分数Q，其中所述局部垂直度评价分数由横向和纵向两个方向的评价结果各占一半构成，具体计算方法为：

n为计算出的形心点总数，d顶为构筑物顶点处的参考点与实际点的偏差距离，

Q＝λ₁·Q₁+λ₂·Q₂，λ₁+λ₂＝1。

步骤S3所述目标点局部坐标为：

x＝Dcosθcos(α₀+α)，y＝Dcosθsin(α₀+α)，z＝H_n+i+Dsinθ-H_test

其中，α₀为获取所述目标点时的测站点与下一测站点所在导线边的坐标方位角；α为测站点到目标点的方向线铅锤投影在水平面上的所成的水平角；

各个局部坐标系都以构筑物基础顶面处高度为z轴的零点。

所述推算构筑物竖向中心轴线上各点坐标的算法需要计算出不同高度z_i处水平截面的形心坐标，由高度z_i处水平截面边缘上m个随机多点坐标计算在同一坐标系下截面形心坐标计算方法为：

(10.1)圆形截面时，高度z_i处水平截面圆心坐标为：

其中

(10.2)矩形或多边形截面时，高度zi处水平截面的形心坐标为：

其中面积(x_j,y_j)为p边形的p个角点坐标。

有益效果：与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：(1)自动测量，通过MCU控制电路驱动伺服电机实现光电测距模块在竖直面内的可调控性旋转，同时自动测量并记录数据，无需测量人员手动操作，减轻了测量人员的工作量；(2)提出一种新的评价结构的垂直特征的方法，由推算竖向中心轴线上各点坐标的算法得到结构的竖向轴心轴线特征，并与理论轴线进行对比，不仅展现结构整体的垂直特征，也很好的展现了轴线细部的偏离特征，比如模板刚度不足造成的结构表面局部外鼓、滑模施工过程中的倾斜是否逐级校正等，实现了对结构全高度各处中心轴线偏离情况的检测，避免了偏差抵消的情况，对高度较高的结构有显著的适用性；(3)提出了一种新的评分机制来对结构的垂直度进行评分，结构的垂直特征对受力越有利则评分越高，反之亦然；(4)适用面广，不仅适用于在竖直方向上横截面为等截面的情况，也适用于在竖直方向上横截面为变截面的情况，对于烟囱、冷却塔这类变截面构筑物的垂直度检测有独特的适用性；(5)操作方便快捷、安全性很高，由于测量工作基本实现了自动化，所以大大简化了测量操作，提高了测量速度，由于采用无合作目标型激光测距方法，故无需在结构表面设立标志点，测量人员无需爬到危险的高处，安全性很好。(6)实现即时内业处理、处理结果可视性好，内业处理模块采用智能终端，预装了测量软件，其接收到数据后就可以对数据进行即时处理，大大减小了测量人员的内业工作量，并且用户界面友好，结果既有图像显示又有数值计算结果，展现了很强的测量实用性。

附图说明

图1为实施例1提供的自动激光测垂仪的原理框图；

图2为实施例1提供的自动激光测垂仪的伺服电机示意图；

图3为实施例1提供的自动激光测垂仪的立体结构示意图一；

图4为实施例1提供的自动激光测垂仪的立体结构示意图二；

图5为实施例2提供的自动激光测垂仪测量方法的闭合导线测量示意图；

图6为实施例2提供的自动激光测垂仪测量方法的三维坐标计算示意图；

图7为实施例2提供的自动激光测垂仪测量方法的测量示意图一；

图8为实施例2提供的自动激光测垂仪测量方法的测量示意图二。

具体实施方式

本发明公开了一种自动激光测垂仪及垂直度测量方法，下面结合附图进一步阐述本发明。

实施例1

如图1所示，本实施例提供一种自动激光测垂仪，主要包括：电源模块1、数据处理器CPU模块2、电子测角模块3、光电测距模块4、测距仪旋转伺服模块5、输入与显示模块6、数据通讯模块7、内业处理模块8。

电源模块1为外接电源，保证供电充足稳定，通过电源线与电源接口连接，悬挂于仪器三脚架上。

数据处理器CPU模块2用于将仪器获取的目标点的角度和距离信息转化为目标点的三维坐标，处理输入指令与输出信息，通过CPU与MCU(单片机)的接口电路与旋转伺服MCU进行指令交流，控制伺服电机运转，与外部设备通讯等。

电子测角模块3用于测定地面测站点到两目标的方向线铅锤投影在水平面上的所成的水平角α和地面测站点至目标的方向线与水平视线间的竖直角θ。

光电测距模块4用于测定地面测站点与目标点之间的倾斜距离D，由测距仪、温度传感器和气压传感器组成，温度传感器和气压传感器用于检测现场温度和气压，用于对测量结果进行修正，测距仪由激光发射***、激光接收***及光学照准***组成，发射光轴、接收光轴、视准轴三***同轴，本实施例中测距仪采用无棱镜(无合作目标)激光测距仪，即激光测距仪直接照准构筑物外表面得到斜距。

测距仪旋转伺服模块5用于控制光电测距模块在竖直面内的旋转，测距仪旋转伺服模块由伺服电机和伺服驱动组成。伺服驱动采用MCU控制电路，CPU通过与MCU的接口电路向MCU发送指令，由MCU发出控制信号驱动伺服电机，进而控制激光测距仪在竖直面内的旋转；如图2所示，伺服电机主要包括：外保护壳1，电机2，编码器3，电机连接器4，编码器连接器5。

输入与显示模块6为键盘和LCD显示屏，用于输入指令和显示测量信息。

数据通讯模块7包括采用USB接口的有线传输和采用蓝牙连接的无线传输，用于将三维坐标数据导入PDA进行内业处理。

内业处理模块8为一个PDA(掌上电脑)，用于对接收得到的数据进行储存、处理和运算，该PDA内装有配套测量软件，能将各局部坐标系下的坐标数据通过做坐标平移归化到同一坐标系中，通过内置算法推算出不同高度z_i处水平截面形心坐标，进而得到竖向中心轴线上各点的坐标，并将测得的轮廓线和计算所得竖向中心轴线上所有点以三维模式呈现在屏幕上。内置的测量软件可以计算中心轴线各处实际点与参考标准点的距离，在图形界面将偏移距离分段并以不同颜色显示，构筑物竖向中心轴线倾斜弯折特征即表明了构筑物整体的垂直特征，直观地展现每一处的偏离情况，设定规范限值，软件自动报告超限位置。此外，该软件还能完成结构垂直度评价，垂直度评价是指根据测量结果对结构进行打分，采取百分制。

如图3与图4所示，自动激光测垂仪的具体部件主要包括：外接电源插口1，USB接口2，用于控制照准部水平运动的水平制微动螺旋3，光学对中器4，粗瞄器5，仪器高标志6，发射接受镜的物镜7，底座8，脚螺旋9，键盘11，显示屏12，用于整平的圆水准器10和照准部水准器13，用于控制照准部垂直运动的垂直制微动螺旋14，发射接受镜的目镜15，望远镜调焦螺旋16，伺服电机17，外接电源18，三脚架等。

实施例2

本实施例提供一种采用实施例1中自动激光测垂仪的垂直度测量方法，通过自动激光测垂仪测出构筑物外轮廓上多条竖向轮廓线，再由此推算出竖向中心轴线，根据中心轴线的曲线特征来判断构筑物的垂直特征，包括以下步骤：

S1、获得两个已知水准点(控制点)A和B，其坐标分别为(x_A,y_A)、(x_B,y_B)，高程分别为H_A、H_B，A-B边的坐标方位角为α_AB；获取待测构筑物基础顶面高程H_test；

S2、如图5所示，在待测物体周围均匀布置四个测站点，建立标志，以A点为第一个测站点，其他三个测站依次为：测站1、测站2、测站3，以控制点A、B中的A点为起始点按顺时针方向进行闭合导线测量，推算出各导线边的坐标方位角以及各测站点的坐标和高程，具体方法如下：

各导线边的坐标方位角：

α_A1＝α_AB+β′，

各测站点的坐标和高程测量方法为测量学基本常识，此处不再赘述，并记各测站的水平坐标和高程为：

测站A：(x_A,y_A,H_A)，测站1：(x₁,y₁,H₁)，测站2：(x₂,y₂,H₂)，测站3：(x₃,y₃,H₃)。

S3、将仪器架于一个测站点上，对中整平；输入所述测站点的高程H_n、坐标、本测站与下一测站所在导线边的坐标方位角、仪器高度i以及待测构筑物基础顶面高程H_test，也可以在正式测量之前将所有测站的数据输入仪器，测量时直接调用；

按照顺时针方向的顺序照准下一测站点，比如在测站A处仪器照准测站1，置零水平角；

瞄准待测构筑物底部，转动垂直微动调节手轮，调节目标点竖坐标至z＝H_n+i+Dsinθ-H_test＝0，其中D为测站点与目标点之间的倾斜距离；θ为测站点至目标点的方向线与水平视线间的竖直角。注意在以各测站点为原点的坐标系中，其中每个局部坐标系都以构筑物基础顶面处高度为z轴的零点，各个局部坐标系以坐标北为x轴正向，目标点的坐标方位角＝α₀+α，α为仪器水平角读数，仪器竖直角读数θ即为目标点的竖直角，并且有正负之分，目标点的方向线在水平视线上方为正，反之为负，如图6所示。比如以测站A为原点的局部坐标系下的坐标为：

x_A＝Dcosθcos(α_A1+α)，y_A＝Dcosθsin(α_A1+α)，z_A＝H_A+i+Dsinθ-Htest；

其中α_A1为测站点A与下一测站点，即测站点1，所在导线边的坐标方位角。

设定扫描步距△Z，所述扫描步距△Z是指目标点的竖坐标z＝H_n+i+Dsinθ-H_test每变化△Z时，仪器记录下该点的坐标数据，比如设定△Z＝0.05m，仪器记录的目标点的坐标中，竖坐标z_i的间隔为0.05m；

转动照准部，命令仪器开始按照扫描步距自动测量，同时计算目标点局部坐标数据并记录储存。

S4.在各测站点重复步骤S3，每个测站应尽可能多测量几条轮廓线；

S5.智能终端利用接收到的测量数据推算出不同高度z_i处水平截面形心坐标，即得到竖向中心轴线上各点的坐标，计算截面形心坐标时，需要将以各测站点为原点的坐标系通过做坐标平移归化到同一坐标系中，如控制点A所在坐标系，比如将测站1的局部坐标归化到测站A的坐标系下，只需将测站1坐标系下的纵坐标和横坐标分别加上测站A与测站1的纵横坐标的差值；

推算构筑物竖向中心轴线上各点坐标的算法需要计算出不同高度z_i处水平截面的形心坐标，由高度z_i处水平截面边缘上m个随机多点坐标计算在同一坐标系下截面形心坐标计算方法为：

(10.1)如图7所示，假设待测构筑物是圆形变截面的冷却塔。

四个测站每个测站都测量了三条竖直轮廓线，那么采用最小二乘拟合的方法则有：

在式(1)、(2)、(3)、(4)的基础上，高度z_i处水平截面圆心坐标为：

由于同一水平截面各点竖坐标相同，故z_ci＝z_i。

(10.2)如图8所示，假设待测构筑物是矩形截面的高墩。

考虑到结构的边缘不方便测量，采用线性拟合的方法求出不同高度z_i处水平截面各边方程后，通过求各边交点的方法来确定不同高度z_i处水平截面的角点坐标。

四个测站每个都测量了四条竖直轮廓线，其中有两条较为靠近边缘，即不同高度z_i处的水平截面的每条边上有四个测点。

设矩形截面上第k条边的方程为：f_测站k(y)＝a_k+b_ky，k＝A,1,2,3，采用最小二乘法线性拟合的方法，可得直线参数a_k和b_k的最佳估计值：

联立k＝A,1,2,3,可得到不同高度z_i处水平截面的各角点坐标，将所计算出的矩形的4个角点坐标代入下式，高度z_i处水平截面的形心坐标为：

其中面积由于同一水平截面各点竖坐标相同，故z_ci＝z_i。

值得注意的是，(x₄,y₄)应该与(x₀,y₀)相同。

将测得的轮廓线和计算所得竖向中心轴线上所有点以三维模式呈现在屏幕上。

S6、垂直度计算与评价：以z＝H_n+i+Dsinθ-H_test＝0处水平截面形心点(x_c0,y_c0)所在的竖直线为参考标准线，在理想情况下，计算所得的竖向中心轴线应与参考标准线重合，但由于施工技术或不均匀沉降导致的偏差会使二者有偏离；计算全高度各处参考点与实际点的偏差距离全高度各处横向和纵向的偏差距离：d_hi＝y_ci-y_c0，d_vi＝x_ci-x_c0，横向和纵向的偏差距离有正负之分，偏向坐标轴正向为正，反之为负；在图形界面将偏移距离分段并以不同颜色显示，构筑物竖向中心轴线倾斜弯折特征即表明了构筑物整体的垂直特征，直观地展现每一处的偏离情况，设定规范限值，软件自动报告超限位置。

所述垂直度评价是指根据测量结果对结构进行打分，采取百分制，分别对结构整体垂直度和局部垂直度进行打分，打分结果分别为Q₁、Q₂，用户根据需求设置二者的重要性系数λ₁和λ₂，考虑到整体的垂直度更重要，故这里设λ₁＝0.6和λ₂＝0.4，最后得出最终评价分数Q，其中所述局部垂直度评价分数由横向和纵向两个方向的评价结果各占一半构成，具体计算方法为：

n为计算出的形心点总数，d顶为构筑物顶点处的参考点与实际点的偏差距离，

Q＝0.6·Q₁+0.4·Q₂。

Claims (10)

1.一种自动激光测垂仪，其特征在于，包括：数据处理器CPU模块、电子测角模块、光电测距模块、测距仪旋转伺服模块、内业处理模块；

所述电子测角模块用于测定地面测站点到两目标点的方向线铅锤投影在水平面上的所成的水平角α和地面测站点至目标点的方向线与水平视线间的竖直角θ；所述光电测距模块用于测定地面测站点与目标点之间的倾斜距离D；所述测距仪旋转伺服模块用于控制光电测距模块在竖直面内的旋转。

2.根据权利要求1所述的自动激光测垂仪，其特征在于，所述光电测距模块由测距仪、温度传感器和气压传感器组成，测距仪由激光发射***、激光接收***及光学照准***组成，发射光轴、接收光轴、视准轴三***同轴。

3.根据权利要求1所述的自动激光测垂仪，其特征在于，所述测距仪旋转伺服模块包括伺服电机和伺服驱动；所述伺服驱动采用MCU控制电路，数据处理器CPU模块通过与MCU的接口电路向MCU发送指令，由MCU发出控制信号驱动伺服电机，进而控制自动激光测距仪在竖直面内的旋转。

4.根据权利要求1所述的自动激光测垂仪，其特征在于，还包括输入与显示模块。

5.根据权利要求1所述的自动激光测垂仪，其特征在于，还包括数据通讯模块，所述数据通讯模块包括采用USB接口的有线传输和采用蓝牙连接的无线传输。

6.根据权利要求1所述的自动激光测垂仪，其特征在于，所述内业处理模块为智能终端，该智能终端内装有配套测量软件，用于对接收得到的数据进行储存、处理和运算，并能对测量结果进行三维显示。

7.一种垂直度测量方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、获取两个已知水准点A和B的坐标，水平坐标分别记为(x_A,y_A)、(x_B,y_B)，高程分别为H_A、H_B，A-B边的坐标方位角为α_AB；获取待测构筑物基础顶面高程H_test；

S2、在待测物体周围均匀布置至少四个测站点；对各测站点以水准点A、B中的一点为起始点进行闭合导线测量，推算出各导线边的坐标方位角以及各测站点的坐标和高程H_n；

S3、设定扫描步距△Z，从待测构筑物底部开始扫描，获取扫描到的每个目标点局部坐标并记录；

S4、在各测站点重复步骤S3，每个测站点应尽可能多测量几条轮廓线；

S5、利用获取到的测量数据推算出不同高度处水平截面形心坐标，即得到竖向中心轴线上各点的坐标，构筑物竖向中心轴线倾斜弯折特征即表明了构筑物整体的垂直特征。

8.根据权利要求7所述的垂直度测量方法，其特征在于，还包括如下步骤：

S6、垂直度计算与评价：以z＝H_n+i+Dsinθ-H_test＝0处水平截面形心点(x_c0,y_c0)所在的竖直线为参考标准线，计算全高度各处参考点与实际点的偏差距离全高度各处横向和纵向的偏差距离：d_hi＝y_ci-y_c0，d_vi＝x_ci-x_c0，其中D为测站点与目标点之间的倾斜距离；θ为测站点至目标点的方向线与水平视线间的竖直角；i为仪器高度；横向和纵向的偏差距离有正负之分，偏向坐标轴正向为正，反之为负；

根据测量结果对结构进行打分，采取百分制，分别对结构整体垂直度和局部垂直度进行打分，打分结果分别为Q₁、Q₂，用户根据需求设置二者的重要性系数λ₁和λ₂，最后得出最终评价分数Q，其中所述局部垂直度评价分数由横向和纵向两个方向的评价结果各占一半构成，具体计算方法为：

n为计算出的形心点总数，d_顶为构筑物顶点处的参考点与实际点的偏差距离，

Q＝λ₁·Q₁+λ₂·Q₂，λ₁+λ₂＝1。

9.根据权利要求7所述的测量方法，其特征在于，在以各测站点为原点的坐标系中，步骤S3所述目标点局部坐标为：

x＝Dcosθcos(α₀+α)，y＝Dcosθsin(α₀+α)，z＝H_n+i+Dsinθ-H_test

其中，α₀为获取所述目标点时的测站点与下一测站点所在导线边的坐标方位角；α为测站点到目标点的方向线铅锤投影在水平面上的所成的水平角；

各个局部坐标系都以构筑物基础顶面处高度为z轴的零点。

10.根据权利要求7所述的测量方法，其特征在于，所述推算构筑物竖向中心轴线上各点坐标的算法需要计算出不同高度z_i处水平截面的形心坐标，由高度z_i处水平截面边缘上m个随机多点坐标计算在同一坐标系下截面形心坐标计算方法为：

(10.1)圆形截面时，高度z_i处水平截面圆心坐标为：

其中

(10.2)矩形或多边形截面时，高度z_i处水平截面的形心坐标为：

其中面积(x_j,y_j)为p边形的p个角点坐标。