CN108205259B - 基于线性扩张状态观测器的复合控制***及其设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于线性扩张状态观测器的复合控制***及其设计方法，包括建立被控对象标称设计模型，设计期望配置的闭环极点，设计反馈测量通道低通滤波器G_LP，设计线性扩张状态观测器，设计状态补偿反馈控制律，设计指令前馈控制律和复合控制输出。本发明各设计环节均不需要进行复杂的参数整定，设计过程物理意义明确，通过基于扩张状态观测器的复合控制可以同时实现对闭环***鲁棒性能和鲁棒稳定的双重要求。

Description

基于线性扩张状态观测器的复合控制***及其设计方法

技术领域

本发明涉及一种基于线性扩张状态观测器的复合控制***及其设计方法，适用于存在强环境干扰及对象特性不确定性的控制***设计，属于控制技术领域。

背景技术

由于外界环境的复杂不确定性(外部干扰)以及被控对象在全工作区域内所表现出的非线性特性(内部干扰)，控制***设计过程中需要通过有效地反馈调节实现对控制指令的稳定跟踪，并使***在受到干扰情况下保持一定鲁棒性。对于被控特性已知的确定性***，通过引入前馈回路可以在不损失稳定性的前提下提高***的响应速度。

线性扩张状态观测器(Linear Extended State Observer，LESO)是一种在非线性自抗扰控制基础上发展出的新型状态观测器，设计时将扰动作为***之外的一个单独状态，通过引入合适的观测误差反馈可以保证观测器的稳定性、时效性，实现将***中的内部扰动和外部扰动进行实时估计的目的。当***扰动被准确估计出来后就可以在控制回路中施加扰动补偿策略，进而通过反馈线性化手段将***补偿为确定性***。为了使观测误差快速收敛，传统扩张状态观测器中引入了非线性函数，随着***阶次的增加，观测器可调参数个数也快速增加。另外，采用非线性函数使***难以使用现有成熟的分析设计工具对观测器的性能进行有效评估。通过采用线性观测误差反馈设计的线性扩张状态观测器，可以简化参数整定的难度，也便于观测器性能的分析与优化。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术不足，本发明提供了一种基于线性扩张状态观测器状态反馈与指令前馈相结合的复合控制***设计方法及其***。在扰动实时补偿基础上，根据所要求的闭环***动态特性，通过组合状态反馈自由配置极点位置，简化控制参数整定过程，并通过指令前馈进行增益补偿并优化***响应快速性。

对于在全工作区域内存在复杂不确定性扰动的非线性被控对象，根据工作包线选取可以大致表述被控对象传输特性的标称模型作为复合控制***设计的初始条件。由于观测器频带宽度直接决定扰动状态估计的快速性，进而影响状态补偿后***相位特性，考虑高带宽观测器对测量噪声的放大效应，对于含有测量噪声的控制输出设计低通滤波器提升观测器输入信号品质。基于LESO的复合控制***在获取包含扰动信息的状态估计值后，根据所期望的闭环响应特征所确定极点分布位置进行状态反馈补偿，将不确定性***补偿为确定性形式。在状态补偿基础上，进一步设计前馈增益补偿回路，通过指令前馈进行回路增益补偿及闭环响应特性优化。

本发明的技术解决方案：

本发明提供一种基于线性扩张状态观测器的复合控制***设计方法，包括以下步骤：

步骤1：建立被控对象标称设计模型，以常用二阶***作为对象，获取的标称设计模型如下：

k₀∈[k_0min，k_0max]

k₁∈[k_1min，k_1max]

K∈[K_min，K_max]

式中，G_P0(s)为综合被控对象不确定性给定的标称设计对象传递函数；k₀、k₁、K分别为标称对象传递函数系数；[k_0min，k_0max]、[k_1min，k_1max]、[K_min，K_max]表示被控对象在全工作范围内系数k₀、k₁、K的摄动范围，表征了被控对象的不确定特性；ω_n、ξ为标称二阶被控对象对应的自然频率与阻尼比特征参数；s为拉普拉斯算子；

步骤2：根据***期望动态特性确定闭环极点分布位置，在此假定两极点分别为(p₁、p₂)：

ΔΦ(s)＝(s+p₁)(s+p₂)＝s²+(p₁+p₂)s+p₁p₂

式中，ΔΦ(s)为由极点(p₁、p₂)确定的***闭环特征方程，ω_nc、ξ_c为由极点(p₁、p₂)决定的二阶***自然频率与阻尼比特征参数，表征了期望***的频域与时域特性；

步骤3：根据***环境噪声特性与测量通道配置性能，设计反馈测量通道低通滤波器G_LP；

步骤4：设计线性扩张状态观测器：

选取线性扩张状态观测器观测带宽为ω_o，将步骤1选取的标称设计模型描述为状态空间描述形式，如下所示：

式中，f(Δ)为***扰动，将其定义为扩张状态变量x₃＝f(Δ)，x₁、x₂二阶***对应的状态变量，设计线性扩张状态观测器如下所示：

式中，Z₁、Z₂、Z₃为与二阶***对应的扩张状态器状态变量，y_f为低通滤波器输出，β₀₁、β₀₂、β₀₃为扩张状态观测器误差反馈增益，根据选定的观测带宽ω_o，取值如下：

步骤5：状态补偿反馈控制律设计：

根据步骤4中扩张状态观测器建模状态及扰动变量输出，结合步骤2中自由配置的闭环极点位置，设计补偿反馈控制律如下：

上式中，反馈补偿控制律第一项为极点配置对应的状态反馈，第二项为针对环境扰动及被控对象特性偏离标称设计模型产生的扰动补偿项；

步骤6：设计指令前馈控制律

设计指令前馈控制律形式如下所示：

u_b＝G_A·G_pc(s)

前馈控制律中u_b中第一项G_A为回路增益补偿项，用于实现对扩张状态观测器反馈补偿后确定性***稳态增益的补偿；第二项G_pc为在不损失***稳定鲁棒性的前提下，为指令调理环节；T为一阶超前惯性时间常数、α为校正系数；

步骤7：复合控制输出

复合控制***最终输出u由指令前馈调节量u_b与状态补偿反馈量u_d两部分组成：

u＝u_b+u_d

本发明还提供一种基于线性扩张状态观测器的复合控制***，包括低通滤波器G_LP，线性扩张状态观测器、状态补偿反馈模块、指令前馈控制模块和复合控制输出模块，其中：所述低通滤波器G_LP与被控对象输出相连，用于去除***输出信号中掺杂的传感器高频测量噪声，为观测器提供观测参考；

线性扩张状态观测器与低通滤波器G_LP、复合控制输出相连，通过综合两种输入信号的动态变换关系对***状态和不确定扰动信息进行实时估计，用于扰动补偿反馈模块的计算输入；

所述线性扩张状态观测器观测带宽为ω_o，将标称设计模型描述为状态空间描述形式，如下所示：

式中，f(Δ)为***扰动，将其定义为扩张状态变量x₃＝f(Δ)，x₁、x₂二阶***对应的状态变量，设计线性扩张状态观测器如下所示：

式中，Z₁、Z₂、Z₃为与二阶***对应的扩张状态器状态变量，y_f为低通滤波器输出，β₀₁、β₀₂、β₀₃为扩张状态观测器误差反馈增益，根据选定的观测带宽ω_o，取值如下：

所述状态反馈补偿模块与线性扩张状态观测器输出相连，结合所期望闭环特性，用于实现对***期望闭环极点的配置和由于被控对象特性偏离标称设计状态进行扰动补偿控制量计算，所述所述状态反馈补偿模块的补偿反馈控制律如下：

上式中，反馈补偿控制律第一项为极点配置对应的状态反馈，第二项为针对环境扰动及被控对象特性偏离标称设计模型产生的扰动补偿项；

指令前馈控制模块与***外部指令相连，用于计算给定控制目标对应的前馈控制量，所述指令前馈控制模块的指令前馈控制律形式如下所示：

u_b＝G_A·G_pc(s)

前馈控制律中u_b中第一项G_A为回路增益补偿项，用于实现对扩张状态观测器反馈补偿后确定性***稳态增益的补偿；第二项G_pc为在不损失***稳定鲁棒性的前提下，为指令调理环节；T为一阶超前惯性时间常数、α为校正系数；

复合控制输出模块与指令前馈控制模块、扰动补偿反馈模块，用于计算复合控制***的最终输出，所述复合控制***最终输出u由指令前馈调节量u_b与状态补偿反馈量u_d两部分组成：u＝u_b+u_d。

本发明与现有技术相比的有益效果：

(1)本发明设计的复合控制***通过在反馈测量通道嵌入低通滤波器提升观测变量信号品质，使可以在强测量噪声的下通过提高观测器带宽提高实现对模型状态及扰动信息快速估计，避免状态反馈补偿后由于观测带宽不足引起估计扰动、状态相位滞后对***稳定性产生的不利影响。

(2)本发明通过指定期望闭环极点位置可以较为直观的对控制***设计性能进行描述，在扩张状态观测器基础上通过设计状态反馈补偿控制回路，可以实现对不确定性***的扰动补偿与闭环极点自由配置，将控制参数整定过程映射简化为对期望闭环特性，即对期望闭环极点位置的调整过程。

(3)本发明通过扩张状态观测器线性状态反馈补偿可将原不确定性***转化为确定已知***，在此基础上通过设计控制指令前馈回路实现对闭环***回路增益补偿及闭环动态特性优化的目的，达到指令前馈与状态反馈补偿最优结合的2DOF复合控制。

(4)本发明以上各设计环节均不需要进行复杂的参数整定，设计过程物理意义明确，通过基于扩张状态观测器的复合控制可以同时实现对闭环***鲁棒性能和鲁棒稳定的双重要求。

附图说明

所包括的附图用来提供对本发明实施例的进一步的理解，其构成了说明书的一部分，用于例示本发明的实施例，并与文字描述一起来阐释本发明的原理。显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明结构图；

图2为极点位置对***响应特性的影响图。

具体实施方式

下面将结合附图对本发明的具体实施例进行详细说明。在下面的描述中，出于解释而非限制性的目的，阐述了具体细节，以帮助全面地理解本发明。然而，对本领域技术人员来说显而易见的是，也可以在脱离了这些具体细节的其它实施例中实践本发明。

在此需要说明的是，为了避免因不必要的细节而模糊了本发明，在附图中仅仅示出了与根据本发明的方案密切相关的设备结构和/或处理步骤，而省略了与本发明关系不大的其他细节。

下面参照附图对本发明的实施例进行说明。

一种基于线性扩张状态观测器的复合控制***设计方法，包括以下步骤：

步骤1：建立被控对象标称设计模型，以常用二阶***作为对象，获取的标称设计模型如下。

k₀∈[k_0min，k_0max]

k₁∈[k_1min，k_1max]

K∈[K_min，K_max]

式中，G_P0(s)为综合被控对象不确定性给定的标称设计对象传递函数；k₀、k₁、K分别为标称对象传递函数系数；[k_0min，k_0max]、[k_1min，k_1max]、[K_min，K_max]表示被控对象在全工作范围内系数k₀、k₁、K的摄动范围，表征了被控对象的不确定特性；ω_n、ξ为标称二阶被控对象对应的自然频率与阻尼比特征参数，s为拉普拉斯算子。

步骤2：根据***期望动态特性确定闭环极点分布位置，在此假定两极点分别为(p₁、p₂)。

ΔΦ(s)＝(s+p₁)(s+p₂)＝s²+(p₁+p₂)s+p₁p₂

式中，ΔΦ(s)为由极点(p₁、p₂)确定的***闭环特征方程，ω_nc、ξ_c为由极点(p₁、p₂)决定的二阶***自然频率与阻尼比特征参数，表征了期望***的频域与时域特性。

由于线性***的稳定性完全取决于***传递函数的极点在复平面上的分布。不仅如此，***的其他特征和品质指标也在很大程度上由极点在左半平面上的位置所决定。对于设计的二阶***，***阻尼的大小取决于极点负实部的大小，而振荡频率的高低则决定于虚部的大小。因此，在极点配置时，为了增大***的阻尼可以使极点远离虚轴，为了减小振荡频率可使极点配置在实轴附近或直接配置在实轴上。极点位置对***响应特性的影响如图2所示：

步骤3：根据***环境噪声特性与测量通道配置性能，设计反馈测量通道低通滤波器G_LP。

低通滤波器的设计指标主要包含以下三个方面：通带的平坦度、阻带的陡峭程度、相位延迟。考虑常见的低通滤波器结构，对于同样阶次的滤波器，巴特沃斯型具有最好的平坦度，能够在通带保持精确的信号传输，在此选用巴特沃斯低通滤波。选取低通滤波器带宽为ω_c、阶次为N，定义归一化频率S＝s/ω_c，设计滤波器G_LP(s)形式如下：

表5.1巴特沃斯多项式

步骤4：设计线性扩张状态观测器

选取线性扩张状态观测器观测带宽为ω_o，将步骤1选取的标称设计模型描述为状态空间描述形式，如下所示：

式中，f(Δ)为***扰动，将其定义为扩张状态变量x₃＝f(Δ)，x₁、x₂二阶***对应的状态变量。

设计线性扩张状态观测器如下所示：

式中，β₀₁、β₀₂、β₀₃为扩张状态观测器误差反馈增益，根据选定的观测带宽ω_o，Z₁、Z₂、Z₃为与二阶***对应的扩张状态器状态变量，y_f为低通滤波器输出，取值如下：

步骤5：状态补偿反馈控制律设计

根据步骤4中扩张状态观测器建模状态及扰动变量输出，结合步骤2中自由配置的闭环极点位置，设计补偿反馈控制律如下：

上式中，反馈补偿控制律第一项为极点配置对应的状态反馈，第二项为针对环境扰动及被控对象特性偏离标称设计模型产生的扰动补偿项。

步骤6：设计指令前馈控制律

设计指令前馈控制律形式如下所示：

u_b＝G_A·G_pc(s)

前馈控制律中u_b中第一项G_A为回路增益补偿项，用于实现对扩张状态观测器反馈补偿后确定性***稳态增益的补偿；第二项G_pc为在不损失***稳定鲁棒性的前提下，为进一步改善闭环响应特性增加的指令调理环节。T为一阶超前惯性时间常数、α为校正系数。

式中给出了G_pc典型的一阶线性超前(α＞1)或滞后(0＜α＜1)校正网络，超前网络一般用于加快指令跟踪响应速度，滞后网络一般用于指令噪声抑制与过渡平滑，参数选取根据响应特性需求而定，为简化设计过程亦可取G_pc＝1。

步骤7：复合控制输出

本发明设计的基于线性扩张状态观测器的复合控制***最终输出u由指令前馈调节量u_b与状态补偿反馈量u_d两部分组成：

u＝u_b+u_d

本发明还提供了一种基于线性扩张状态观测器的复合控制***，如图1所示，包括低通滤波器G_LP，线性扩张状态观测器、状态补偿反馈模块、指令前馈控制模块和复合控制输出模块。

首先建立被控对象标称设计模型，以常用二阶***作为对象，获取的标称设计模型如下。

k₀∈[k_0min，k_0max]

k₁∈[k_1min，k_1max]

K∈[K_min，K_max]

式中，G_P0(s)为综合被控对象不确定性给定的标称设计对象传递函数；k₀、k₁、K分别为标称对象传递函数系数；[k_0min，k_0max]、[k_1min，k_1max]、[K_min，K_max]表示被控对象在全工作范围内系数k₀、k₁、K的摄动范围，表征了被控对象的不确定特性；ω_n、ξ为标称二阶被控对象对应的自然频率与阻尼比特征参数。

根据***期望动态特性确定闭环极点分布位置，在此假定两极点分别为(p₁、p₂)。

ΔΦ(s)＝(s+p₁)(s+p₂)＝s²+(p₁+p₂)s+p₁p₂

式中，ΔΦ(s)为由极点(p₁、p₂)确定的***闭环特征方程，ω_nc、ξ_c为由极点(p₁、p₂)决定的二阶***自然频率与阻尼比特征参数，表征了期望***的频域与时域特性。

由于线性***的稳定性完全取决于***传递函数的极点在复平面上的分布。不仅如此，***的其他特征和品质指标也在很大程度上由极点在左半平面上的位置所决定。对于设计的二阶***，***阻尼的大小取决于极点负实部的大小，而振荡频率的高低则决定于虚部的大小。因此，在极点配置时，为了增大***的阻尼可以使极点远离虚轴，为了减小振荡频率可使极点配置在实轴附近或直接配置在实轴上。极点位置对***响应特性的影响如图2所示。

所述低通滤波器的设计指标主要包含以下三个方面：通带的平坦度、阻带的陡峭程度、相位延迟。考虑常见的低通滤波器结构，对于同样阶次的滤波器，巴特沃斯型具有最好的平坦度，能够在通带保持精确的信号传输，在此选用巴特沃斯低通滤波。选取低通滤波器带宽为ω_c、阶次为N，定义归一化频率S＝s/ω_c，设计滤波器G_LP(s)形式如下：

表5.1巴特沃斯多项式

低通滤波器G_LP与被控对象输出相连，用于去除***输出信号中掺杂的传感器高频测量噪声，为观测器提供品质良好的观测参考；

线性扩张状态观测器与低通滤波器G_LP、复合控制输出相连，通过综合两种输入信号的动态变换关系对***状态和不确定扰动信息进行实时估计，用于扰动补偿反馈模块的计算输入；选取线性扩张状态观测器观测带宽为ω_o，将标称设计模型描述为状态空间描述形式，如下所示：

式中，f(Δ)为***扰动，将其定义为扩张状态变量x₃＝f(Δ)，x₁、x₂二阶***对应的状态变量。

设计线性扩张状态观测器如下所示：

式中，β₀₁、β₀₂、β₀₃为扩张状态观测器误差反馈增益，根据选定的观测带宽ω_o，Z₁、Z₂、Z₃为与二阶***对应的扩张状态器状态变量，y_f为低通滤波器输出，取值如下：

状态反馈补偿模块与线性扩张状态观测器输出相连，结合所期望闭环特性，用于实现对***期望闭环极点的配置和由于被控对象特性偏离标称设计状态进行扰动补偿控制量计算；

根据扩张状态观测器建模状态及扰动变量输出，结合自由配置的闭环极点位置，设计补偿反馈控制律如下：

上式中，反馈补偿控制律第一项为极点配置对应的状态反馈，第二项为针对环境扰动及被控对象特性偏离标称设计模型产生的扰动补偿项。

指令前馈控制模块与***外部指令相连，用于计算给定控制目标对应的前馈控制量；所述指令前馈控制模块的指令前馈控制律形式如下所示：

u_b＝G_A·G_pc(s)

前馈控制律中u_b中第一项G_A为回路增益补偿项，用于实现对扩张状态观测器反馈补偿后确定性***稳态增益的补偿；第二项G_pc为在不损失***稳定鲁棒性的前提下，为进一步改善闭环响应特性增加的指令调理环节。T为一阶超前惯性时间常数、α为校正系数。

式中给出了G_pc典型的一阶线性超前(α＞1)或滞后(0＜α＜1)校正网络，超前网络一般用于加快指令跟踪响应速度，滞后网络一般用于指令噪声抑制与过渡平滑，参数选取根据响应特性需求而定，为简化设计过程亦可取G_pc＝1。

复合控制输出模块与指令前馈控制模块、扰动补偿反馈模块，用于计算复合控制***的最终输出。所述复合控制***最终输出u由指令前馈调节量u_b与状态补偿反馈量u_d两部分组成：u＝u_b+u_d。

本发明设计的基于线性扩张状态观测器的复合控制***，首先由低通滤波器对被控对象输出信号进行处理，用于后续扩张状态观测器计算；扩张状态观测器综合低通滤波器与复合控制当前输出对***状态和扰动信息进行实时估计，并将估计参数传送至扰动补偿反馈模块；由扰动补偿反馈模块根据估计参数计算出状态补偿反馈量，作为复合控制输出模块的其中一路输入；指令前馈控制模块根据外部给定的***目标指令计算前馈控制量，作为控制输出模块的另外一路输入；复合控制输出模块综合输入的两路信号给出复合控制***最终输出。

本发明的实施例的许多特征和优点根据该详细描述是清楚的，因此所附权利要求旨在覆盖这些实施例的落入其真实精神和范围内的所有这些特征和优点。此外，由于本领域的技术人员容易想到很多修改和改变，因此不是要将本发明的实施例限于所例示和描述的精确结构和操作，而是可以涵盖落入其范围内的所有合适修改和等同物。

本发明未详细说明部分为本领域技术人员公知技术。

Claims (2)

1.一种基于线性扩张状态观测器的复合控制***，其特征在于：包括低通滤波器G_LP，线性扩张状态观测器、扰动补偿反馈模块、指令前馈控制模块和复合控制输出模块，其中：所述低通滤波器G_LP与被控对象输出相连，用于去除***输出信号中掺杂的传感器高频测量噪声，为观测器提供观测参考；

线性扩张状态观测器与低通滤波器G_LP、复合控制输出相连，通过综合两种输入信号的动态变换关系对***状态和不确定扰动信息进行实时估计，用于扰动补偿反馈模块的计算输入；

所述线性扩张状态观测器观测带宽为ω_o，将标称设计模型描述为状态空间描述形式，如下所示：

式中，k₀、k₁、K分别为标称对象传递函数系数，f(Δ)为***扰动，将其定义为扩张状态变量x₃＝f(Δ)，x₁、x₂二阶***对应的状态变量，设计线性扩张状态观测器如下所示：

式中，z₁、z₂、z₃为与二阶***对应的扩张状态器状态变量，y_f为低通滤波器输出，β₀₁、β₀₂、β₀₃为扩张状态观测器误差反馈增益，根据选定的观测带宽ω_o，取值如下：

所述扰动补偿反馈模块与线性扩张状态观测器输出相连，结合所期望闭环特性，用于实现对***期望闭环极点的配置和由于被控对象特性偏离标称设计状态进行扰动补偿控制量计算，所述扰动补偿反馈模块的补偿反馈控制律如下：

上式中，补偿反馈控制律第一项为极点配置对应的状态反馈，第二项为针对环境扰动及被控对象特性偏离标称设计模型产生的扰动补偿项；

指令前馈控制模块与***外部指令相连，用于计算给定控制目标对应的前馈控制量，所述指令前馈控制模块的指令前馈控制律形式如下所示：

u_b＝G_A·G_pc(s)

前馈控制律中u_b中第一项G_A为回路增益补偿项，用于实现对扩张状态观测器反馈补偿后确定性***稳态增益的补偿；第二项G_pc为在不损失***稳定鲁棒性的前提下，为指令调理环节；T为一阶超前惯性时间常数、α为校正系数；复合控制输出模块与指令前馈控制模块、扰动补偿反馈模块，用于计算复合控制***的最终输出，所述复合控制***最终输出u由指令前馈调节量u_b与扰动补偿反馈量u_d两部分组成：u＝u_b+u_d。

2.一种权利要求1所述的基于线性扩张状态观测器的复合控制***的设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：建立被控对象标称设计模型，以常用二阶***作为对象，获取的标称设计模型如下：

k₀∈[k_{0 min}，k_{0 max}]

k₁∈[k_{1 min}，k_{1 max}]

K∈[K_min，K_max]

式中，G_P0(s)为综合被控对象不确定性给定的标称设计对象传递函数；k₀、k₁、K分别为标称对象传递函数系数；[k_{0 min}，k_{0 max}]、[k_{1 min}，k_{1 max}]、[K_min，K_max]表示被控对象在全工作范围内系数k₀、k₁、K的摄动范围，表征了被控对象的不确定特性；ω_n、ξ为标称二阶被控对象对应的自然频率与阻尼比特征参数；s为拉普拉斯算子；

步骤2：根据***期望动态特性确定闭环极点分布位置，在此假定两极点分别为(p₁、p₂)：

ΔΦ(s)＝(s+p₁)(s+p₂)＝s²+(p₁+p₂)s+p₁p₂

式中，ΔΦ(s)为由极点(p₁、p₂)确定的***闭环特征方程，ω_nc、ξ_c为由极点(p₁、p₂)决定的二阶***自然频率与阻尼比特征参数，表征了期望***的频域与时域特性；

步骤3：根据***环境噪声特性与测量通道配置性能，设计反馈测量通道低通滤波器G_LP；

步骤4：设计线性扩张状态观测器：

选取线性扩张状态观测器观测带宽为ω_o，将步骤1选取的标称设计模型描述为状态空间描述形式，如下所示：

式中，f(Δ)为***扰动，将其定义为扩张状态变量x₃＝f(Δ)，x₁、x₂二阶***对应的状态变量，设计线性扩张状态观测器如下所示：

式中，z₁、z₂、z₃为与二阶***对应的扩张状态器状态变量，y_f为低通滤波器输出，β₀₁、β₀₂、β₀₃为扩张状态观测器误差反馈增益，根据选定的观测带宽ω_o，取值如下：

步骤5：扰动补偿反馈控制律设计：

根据步骤4中扩张状态观测器建模状态及扰动变量输出，结合步骤2中自由配置的闭环极点位置，设计补偿反馈控制律如下：

上式中，补偿反馈控制律第一项为极点配置对应的状态反馈，第二项为针对环境扰动及被控对象特性偏离标称设计模型产生的扰动补偿项；

步骤6：设计指令前馈控制律

设计指令前馈控制律形式如下所示：

u_b＝G_A·G_pc(s)

前馈控制律中u_b中第一项G_A为回路增益补偿项，用于实现对扩张状态观测器反馈补偿后确定性***稳态增益的补偿；第二项G_pc为在不损失***稳定鲁棒性的前提下，为指令调理环节；T为一阶超前惯性时间常数、α为校正系数；

步骤7：复合控制输出

复合控制***最终输出u由指令前馈调节量u_b与扰动补偿反馈量u_d两部分组成：

u＝u_b+u_d。

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