CN108009381B - 一种位移和全局应力混合约束下的连续体结构可靠性拓扑优化方法 - Google Patents

一种位移和全局应力混合约束下的连续体结构可靠性拓扑优化方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种位移和全局应力混合约束下的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法，该方法首先采用密度过滤方法由设计变量得到单元密度，然后运用松弛法则计算结构的位移和应力，并利用应力综合函数约束对全局应力进行处理，接着利用顶点组合法得到位移和应力综合函数的上下界；采用优化特征位移代替非概率可靠性指标来解决收敛性问题，并运用伴随向量法和复合函数求导法则求解优化特征位移的灵敏度；最后运用移动渐进方法进行迭代计算，直至满足相应的收敛性条件，得到满足可靠度约束的最优设计方案。本发明在进行拓扑优化设计过程中合理表征了不确定性对连续体结构刚度和强度性能的影响，并可实现有效减重，确保设计本身兼顾安全性和经济性。

Description

一种位移和全局应力混合约束下的连续体结构可靠性拓扑优 化方法
技术领域
本发明涉及含连续体结构的拓扑优化设计领域，特别涉及一种位移和全局应力混合约束下的连续体结构可靠性拓扑优化方法，该方法考虑材料弹性模量和载荷大小的不确定性对结构的刚度和强度的影响以及基于位移和全局应力混合约束的下连续体结构的非概率可靠性拓扑优化方案的制定。
背景技术
随着科学技术和生产力的日益发展，结构优化设计研究变得越来越重要。根据设计变量的范围，结构优化设计可以分为三个层次：截面尺寸优化、几何形状优化和拓扑布局优化。与尺寸优化和形状优化相比，结构拓扑优化变量对优化目标的影响更大，具有更大的经济效益。因此，连续体结构的拓扑优化研究具有重要的工程实用价值。
当前，绝大多数的拓扑优化研究主要集中在位移或者其它全局响应约束，对于应力约束下的拓扑优化则研究较少。然而，在实际工程中，应力约束是十分重要的，不考虑应力约束的拓扑优化研究是不能付诸工程实践的。应力约束具有以下三个性质，即奇异性、局部性以及强非线性，这使得应力约束下的拓扑优化研究变得十分困难。一些学者针对应力的奇异性提出了应力松弛方法，针对应力的局部性提出了应力综合函数方法，针对应力的强非线性提出了修正系数方法。这些方法在一定程度上能解决应力约束下的拓扑优化问题。
然而，随着工程结构的日趋精密和复杂，材料的制造加工工艺造成的材料属性的分散性对结构的性能产生重要影响。此外，由于结构服役环境的恶化，使得结构的服役安全面临更大的挑战。因此，在结构优化设计中考虑不确定性的影响是十分必要的。拓扑优化作为结构优化的概念设计阶段，对最终的结构形式有着决定性的影响，因此，研究位移和全局应力混合约束下的连续体结构可靠性优化设计方法具有重大意义。
在实际工程中，结构样本实验数据常常是缺乏的，因而概率可靠性模型和模糊可靠性模型条件往往不能得到满足，但是对不确定信息的不确定边界比较容易得到。近年来，非概率可靠性理论得到了迅速发展。因此，研究结构位移和全局应力混合约束下的非概率可靠性拓扑优化方法具有显著的现实意义。目前，相关的研究尚不充分，现有的方法计算成本太高，亦或是安全冗余度过大，造成时间成本损耗与严重的资源浪费。
发明内容
本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种位移和全局应力混合约束下的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法。本发明充分考虑实际工程问题中普遍存在的不确定性因素，所得到的设计结果更加符合真实情况，工程适用性更强。
本发明采用的技术方案：一种位移和全局应力混合约束下的连续体结构可靠性拓扑优化方法，实现步骤如下：
步骤一：采用变密度法来描述设计变量，运用区间模型来描述结构材料属性和载荷的不确定性，以结构的体积作为优化目标，以结构位移和全局应力作为约束，建立非概率可靠性拓扑优化模型如下：
Figure BDA0001522749060000021
其中，V是优化区域的体积，ρi和Vi分别为第i个单元的相对密度和体积，并且ρi是设计变量r的函数，N为优化区域划分的单元总数。
Figure BDA0001522749060000022
是第j个位移约束点的实际位移区间值，
Figure BDA0001522749060000023
是第j个位移约束的容许位移区间值，m为位移约束的个数。
Figure BDA0001522749060000024
是第i个应力约束点的实际应力区间值，
Figure BDA0001522749060000025
是应力约束的许用应力区间值。Rs是非概率集合可靠性指标，
Figure BDA0001522749060000026
是第j个位移约束对应的目标非概率可靠度，
Figure BDA0001522749060000027
是第k个应力约束对应的目标非概率可靠度，r为设计变量的下限；r为设计变量的下限。
步骤二：采用密度过滤方法对设计变量进行过滤，得到各个单元的密度值。用区间量来描述材料弹性模量和载荷的不确定性，采用顶点组合法，并采用松弛法则对单元的弹性模量以及应力计算进行松弛。得到结构的位移和各个单元的应力后，对所有单元的应力进行综合，得到相应的应力综合函数值，进行比较得到结构位移的上下界和应力综合函数的上下界及其相应的顶点组合。
步骤三：根据位移的上下界以及应力综合函数的上下界，得到位移和应力综合函数约束的非概率集合可靠度为：
Figure BDA0001522749060000031
其中，SI表示结构实际位移或者应力综合函数区间量，RI表示结构许用位移或者许用应力区间量，
Figure BDA0001522749060000032
表示结构实际位移或者应力综合函数的上界，S表示结构实际位移或者应力综合函数的下界，R表示结构容许位移和容许应力的上界，R表示结构容许位移和容许应力的下界。
步骤四：采用优化特征位移代替非概率可靠性指标来改善收敛性问题。利用优化特征位移可以将原优化模型改写为：
Figure BDA0001522749060000033
其中，d(RI,SI)为优化特征位移。
步骤五：根据位移和应力综合函数相应的顶点组合，运用伴随向量法得到结构位移上下界以及应力综合函数上下界对单元密度的灵敏度，然后利用复合函数的求导法则得到位移和应力综合函数的优化特征位移对设计变量的灵敏度。先求解位移(应力综合函数)的优化特征位移对位移(应力综合函数)上下界的灵敏度，然后再求解位移上下界(应力综合函数上下界)对单元密度的灵敏度，接着求解单元密度对设计变量的灵敏度，最后将三者相乘得到位移(应力综合函数)的优化特征位移对设计变量的灵敏度。
步骤六：将得到的位移和应力综合函数约束条件值及其对设计变量的灵敏度信息作为移动渐进方法(MMA)的输入条件，对优化问题进行求解，进行设计变量的更新。
步骤七：重复步骤二至步骤六，进行设计变量的多次更新，直至当前设计满足可靠度约束，并且目标函数的相对变化百分比小于预设值ξ时，则停止优化过程。
本发明与现有技术相比的优点在于：
(1)本发明在结构的概念设计阶段就考虑不确定性因素的影响，能够最大限度地提升结构的经济效益，并兼顾安全性；
(2)本发明所采用的非概率可靠性指标能够合理考虑不确定因素对结构性能带来的影响，并且对样本容量需求较小，非常适合于工程应用；
(3)本发明采用MMA算法进行优化计算，使得所提出的方法能够适用于多约束的情况，适用范围更加广泛。
附图说明
图1是本发明针对位移和全局应力混合约束下的连续体结构非概率可靠性拓扑优化流程图；
图2是本发明实施例中拓扑优化设计区域以及边界和载荷条件示意图；
图3是本发明针对连续体结构拓扑优化的优化结果示意图，其中，图3(a)为确定性优化，图3(b)为非概率可靠性优化(Rs＝0.90)，图3(c)为非概率可靠性优化(Rs＝0.95)，图3(d)为非概率可靠性优化(Rs＝0.999)；
图4是本发明针对连续体结构拓扑优化迭代历程曲线，其中，图4(a)为确定性优化，图4(b)为非概率可靠性优化(Rs＝0.90)，图4(c)为非概率可靠性优化(Rs＝0.95)，图4(d)为非概率可靠性优化(Rs＝0.999)。
具体实施方式
下面结合附图以及具体实施方式进一步说明本发明。
如图1所示，本发明提出了一种位移和全局应力混合约束下的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法，包括以下步骤：
步骤一：采用变密度法来描述设计变量，运用区间模型来描述结构材料属性和载荷的不确定性，以结构的体积作为优化目标，以结构位移和全局应力作为约束，建立非概率可靠性拓扑优化模型如下：
Figure BDA0001522749060000041
其中，V是优化区域的体积，ρi和Vi分别为第i个单元的相对密度和体积，并且ρi是设计变量r的函数，N为优化区域划分的单元总数。
Figure BDA0001522749060000042
是第j个位移约束点的实际位移区间值，
Figure BDA0001522749060000051
是第j个位移约束的容许位移区间值，m为位移约束的个数。
Figure BDA0001522749060000052
是第i个应力约束点的实际应力区间值，
Figure BDA0001522749060000053
是应力约束的许用应力区间值。Rs是非概率集合可靠性指标，
Figure BDA0001522749060000054
是第j个位移约束对应的目标非概率可靠度
Figure BDA0001522749060000055
是第k个应力约束对应的目标非概率可靠度，r为设计变量的下限；r为设计变量的下限。
步骤二：采用密度过滤方法对设计变量进行过滤，得到各个单元的密度值。用区间量来描述材料弹性模量和载荷的不确定性，采用顶点组合法，并采用松弛法则对单元的弹性模量以及应力计算进行松弛。得到结构的位移和各个单元的应力后，对所有单元的应力进行综合，得到相应的应力综合函数值，进行比较得到结构位移的上下界和应力综合函数的上下界及其相应的顶点组合。
单元密度可以通过单元的设计变量过滤得到：
Figure BDA0001522749060000056
其中ρi是第i个单元的密度值，dj为第j个单元对应的设计变量。Ωi为所有与单元i距离小于或等于r0(过滤半径)的单元的集合，rj是单元j与单元i的中心点的距离。
得到单元的密度之后，对单元的弹性模量进行如下的松弛：
E(ρ)＝ρ3E0
其中E(ρ)为某个单元的弹性模量，ρ为该单元的密度，E0为实心材料的弹性模量。
得到单元的弹性模量后，可以进行有限元计算，得到单元节点的位移。
为了更好地表征结构的应力水平，采用冯米塞斯应力来表征单元应力。其数学表达式为：
Figure BDA0001522749060000057
其中，σ1,σ2,σ3分别指第一、二、三主应力。
根据得到的单元节点位移以及相应的位移形函数和应变矩阵可以得到单元各方向的正应力和切应力为：
σ＝Dε＝DBue＝Sue
为了简化计算，并且考虑到单元内应力变化较小，因此选取单元中心点的应力作为单元应力的表征。
根据单元中心点各方向的正应力和切应力可以得到中心点的冯米塞斯应力为：
Figure BDA0001522749060000061
其中，σc＝[σcx,σcy,σcz,τaxy,τayz,τazx]T为单元中心点的载荷列向量。
为了表述方便，记：
σcr＝h(σc)
其中ue表示应力约束单元所对应的结点的位移分量组成的位移列向量。设其与总***移列向量有如下关系：
ue＝seu
式中se为单元位移提取矩阵。对于矩形双线性单元，有：
(ue)8×1＝(se)8×nun×1
其中矩阵(se)8×n的每一行为某个元素为1，其余元素为0的行向量。
采用应力松弛方法，可以计算应力为：
Figure BDA0001522749060000062
得到各个单元的应力后，对所有单元的应力进行综合，得到相应的应力综合函数值，单元应力综合采用下式：
Figure BDA0001522749060000063
其中，ve为单元为实心时的体积，对于P，一般取P＝6或P＝8。
由于综合的应力函数与全局最大应力有一定的差别，因此需要采取一定的修正，设：
σmax≈cσPN
其中第k步的ck满足下式：
Figure BDA0001522749060000064
采用顶点组合法，对材料弹性模量以及载荷列向量中的每一个不确定量分别取上下边界值进行组合，对每一种组合按照上述方法计算结构的位移以及应力综合函数值，然后对所有组合下的这些值进行比较，得到结构位移的上下界和应力综合函数的上下界及其相应的顶点组合。
步骤三：根据位移的上下界以及应力综合函数的上下界，得到位移和应力综合函数约束的非概率集合可靠度为：
Figure BDA0001522749060000071
其中，SI表示结构实际位移或者应力综合函数区间量，RI表示结构许用位移或者许用应力区间量，
Figure BDA0001522749060000072
表示结构实际位移或者应力综合函数的上界，S表示结构实际位移或者应力综合函数的下界，R表示结构容许位移和容许应力的上界，R表示结构容许位移和容许应力的下界。
步骤四：采用优化特征位移代替非概率可靠性指标来改善收敛性问题。利用优化特征位移可以将原优化模型改写为：
Figure BDA0001522749060000073
其中，d(RI,SI)为优化特征位移。
优化特征位移d定义为实际失效平面到目标失效平面的移动位移。其中目标失效平面是与原失效平面平行的平面，并且其可靠度为目标值。
由于目标可靠度一般大于50％，所以目标失效平面一般位于不确定域的右下方。
可以出计算临界情况下失效平面的斜率，设η为目标可靠度。对于k1，有(2×2/k1×1/2)/4＝1-η，解得k1＝1/2(1-η)，同理可得k2＝2(1-η)。
可以计算得到优化特征位移的表达式为：
Figure BDA0001522749060000074
当d＞0时，失效平面在与目标非概率可靠度η对应的目标失效平面上方，对应的非概率可靠度Rs＜η，不满足要求。当d≤0时，失效平面在与目标非概率可靠度η对应的目标失效平面下方，对应的非概率可靠度Rs≥η，满足设计要求。
步骤五：根据位移和应力综合函数相应的顶点组合，运用伴随向量法得到结构位移上下界以及应力综合函数上下界对单元密度的灵敏度，然后利用复合函数的求导法则得到位移和应力综合函数的优化特征位移对设计变量的灵敏度。
由于结构位移的优化特征位移对设计变量的灵敏度在一些文献中已经有所推导，下面仅推导应力综合函数对设计变量的灵敏度。首先，考虑应力综合函数为：
Figure BDA0001522749060000081
修正系数取为：
Figure BDA0001522749060000082
修正系数取定后为常数，不参与后面的灵敏度分析。
则应力综合函数对单元密度的灵敏度为：
Figure BDA0001522749060000083
整理可得：
Figure BDA0001522749060000084
式中右端第一项：
Figure BDA0001522749060000085
不涉及单元结点位移对单元密度的导数，因此可以直接计算，其中
Figure BDA0001522749060000086
而右端第二项：
Figure BDA0001522749060000087
可以采用伴随向量进行计算，设：
Figure BDA0001522749060000088
则可以通过一次有限元计算得到伴随向量λ。
则右端第二项可以求解为：
Figure BDA0001522749060000091
式中
Figure BDA0001522749060000092
计算如下：
Figure BDA0001522749060000093
Figure BDA0001522749060000094
Figure BDA0001522749060000095
Figure BDA0001522749060000096
Figure BDA0001522749060000097
Figure BDA0001522749060000098
写成向量的形式有：
Figure BDA0001522749060000099
至此，得到了应力综合函数对单元密度的灵敏度。
单元i的密度ρi对单元j的设计变量dj的灵敏度由下式给出：
Figure BDA00015227490600000910
其中Ωi为所有与单元i距离小于或等于r0(过滤半径)的单元的集合，rj是单元j与单元i的中心点的距离。
至此，得到了单元密度关于设计变量的灵敏度。
运用复合函数的求导法则即可以得到应力综合函数上下界关于设计变量的灵敏度。
对于应力综合函数上界的灵敏度分析，则可以将其对应的不确定量的顶点组合代入进行计算，得到应力综合函数上界对设计变量的灵敏度，同理可以求解应力综合函数下界对设计变量的灵敏度。
结构位移或者应力综合函数优化特征位移对设计变量的灵敏度求解为：
Figure BDA0001522749060000101
其中：
Figure BDA0001522749060000102
Figure BDA0001522749060000103
至此，得到了结构位移和应力综合函数的优化特征位移对设计变量的灵敏度。
步骤六：将得到的位移和应力综合函数约束条件值及其对设计变量的灵敏度信息作为移动渐进方法(MMA)的输入条件，对优化问题进行求解，进行设计变量的更新。
步骤七：重复步骤二至步骤六，进行设计变量的多次更新，直至当前设计满足可靠度约束，并且目标函数的相对变化百分比小于预设值ξ时，则停止优化过程。
实施例：
为了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对如图2所示的矩形平板进行拓扑优化设计。设计区域为25mm×20mm的矩形区域，厚度为0.25mm，划分为100×80个单元。材料弹性模量E＝201Mpa，泊松比μ＝0.3。矩形区域的左端固定，右下方施加F＝300N垂直向下的力，为了避免应力集中效应，载荷F是加载于设计域右下方9个结点上，每个结点上施加0.1倍的载荷。不考虑重力的影响，约束加载点的位移，使得u＜2cm，并且使得结构的应力不超过250Mpa，选取惩罚因子p＝3。设弹性模量E、载荷F相对名义值均有10％的波动，即E＝[180.9,221.1]Mpa，F＝[270,330]N；设位移约束u和许用应力[σ]相对名义值有10％的波动，即u＝[1.8,2.2]cm,σ＝[225,275]Mpa。
图3分别为确定性拓扑优化结果和非概率可靠性分别为Rs＝0.90、Rs＝0.95和Rs＝0.999时拓扑优化结果对比。可以看到，确定性拓扑优化和不同非概率可靠性拓扑优化出来的结构的构型存在较大的区别，相比于确定性拓扑优化结果，非概率可靠性拓扑优化结果结构更加合理，结构更为稳定。在使用与非概率可靠性一样的不确定量时，确定性优化结果的三个被约束位移的非概率可靠性仅分别为Rs＝0.4504。即确定性优化的结果不足以应对不确定性变量的影响。拓扑优化过程中的迭代历史如图4所示，相较于初始设计，减重效果明显；随着可靠度许用值增加，结构趋于安全，重量有所增加。
本发明提出了一种位移和全局应力混合约束下的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法。首先建立了以结构重量作为优化目标，以结构位移和全局应力作为约束的连续体结构非概率可靠性拓扑优化模型；然后采用密度过滤方法由单元设计变量得到单元密度，接着运用松弛法则计算结构的位移和应力，利用应力综合函数约束对全局应力约束进行近似处理，利用顶点组合法得到位移和应力综合函数的上下界，从而得到位移和应力综合函数的非概率可靠性指标；接着采用优化特征位移代替非概率可靠性指标来解决收敛性问题，并运用伴随向量法和复合函数求导法则求解优化特征位移的灵敏度；最后运用移动渐进方法进行迭代计算，直至满足相应的收敛性条件，得到满足可靠度约束的最优设计方案。
以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于位移和全局应力混合约束下的连续体结构拓扑优化设计领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。
本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (5)

1.一种位移和全局应力混合约束下的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法，对矩形平板进行拓扑优化设计，其特征在于：包括以下步骤：
步骤一：采用变密度法来描述设计变量，运用区间模型来描述结构材料属性和载荷的不确定性，以结构的体积作为优化目标，以结构位移和全局应力作为约束，建立非概率可靠性拓扑优化模型如下：
Figure FDA0002962809200000011
其中，V是优化区域的体积，ρi为第i个单元的相对密度，Vi为第i个单元的体积，并且ρi是设计变量r的函数，N为优化区域划分的单元总数，
Figure FDA0002962809200000012
是第j个位移约束点的实际位移区间值，
Figure FDA0002962809200000013
是第j个位移约束的容许位移区间值，m为位移约束的个数，
Figure FDA0002962809200000014
是第i个应力约束点的实际应力区间值，
Figure FDA0002962809200000015
是应力约束的许用应力区间值，Rs是非概率集合可靠性指标，
Figure FDA0002962809200000016
是第j个位移约束对应的目标非概率可靠度
Figure FDA0002962809200000017
是第k个应力约束对应的目标非概率可靠度，r为设计变量的下限；
步骤二：采用密度过滤方法对设计变量进行过滤，得到各个单元的密度值，用区间量来描述材料弹性模量和载荷的不确定性，采用顶点组合法，并采用松弛法则对单元的弹性模量以及应力计算进行松弛，得到结构的位移和各个单元的应力后，对所有单元的应力进行综合，得到相应的应力综合函数值，进行比较得到结构位移的上下界和应力综合函数的上下界及其相应的顶点组合；
单元密度可以通过单元的设计变量过滤得到：
Figure FDA0002962809200000018
其中ρi是第i个单元的相对密度，dj为第j个单元对应的设计变量，Ωi为所有与单元i距离小于或等于过滤半径r0的单元的集合，rj是单元j与单元i的中心点的距离，
得到单元的密度之后，对单元的弹性模量进行如下的松弛：
E(ρ)＝ρ3E0
其中E(ρ)为某个单元的弹性模量，ρ为该单元的密度，E0为实心材料的弹性模量；
得到单元的弹性模量后，可以进行有限元计算，得到单元节点的位移；
为了更好地表征结构的应力水平，采用冯米塞斯应力来表征单元应力，其数学表达式为：
Figure FDA0002962809200000021
其中，σ1,σ2,σ3分别指第一、二、三主应力；
根据得到的单元节点位移以及相应的位移形函数和应变矩阵可以得到单元各方向的正应力和切应力为：
σ＝Dε＝DBue＝Sue
为了简化计算，并且考虑到单元内应力变化较小，因此选取单元中心点的应力作为单元应力的表征；
根据单元中心点各方向的正应力和切应力可以得到中心点的冯米塞斯应力为：
Figure FDA0002962809200000022
其中，σc＝[σcx,σcy,σcz,τaxy,τayz,τazx]T为单元中心点的载荷列向量；
为了表述方便，记：
σcr＝h(σc)
其中ue表示应力约束单元所对应的结点的位移分量组成的位移列向量，设其与总***移列向量有如下关系：
ue＝seu
式中se为单元位移提取矩阵，对于矩形双线性单元，有：
(ue)8×1＝(se)8×nun×1
其中矩阵(se)8×n的每一行为某个元素为1，其余元素为0的行向量；
采用应力松弛方法，可以计算应力为：
Figure FDA0002962809200000031
得到各个单元的应力后，对所有单元的应力进行综合，得到相应的应力综合函数值，单元应力综合采用下式：
Figure FDA0002962809200000032
其中，ve为单元为实心时的体积，对于P，取P＝6或P＝8；
由于综合的应力函数与全局最大应力有一定的差别，因此需要采取一定的修正，设：
σmax≈cσPN
其中第k步的ck满足下式：
Figure FDA0002962809200000033
采用顶点组合法，对材料弹性模量以及载荷列向量中的每一个不确定量分别取上下边界值进行组合，对每一种组合按照上述方法计算结构的位移以及应力综合函数值，然后对所有组合下的这些值进行比较，得到结构位移的上下界和应力综合函数的上下界及其相应的顶点组合；
步骤三：根据位移的上下界以及应力综合函数的上下界，得到位移和应力综合函数约束的非概率集合可靠度为：
Figure FDA0002962809200000034
其中，SI表示结构实际位移或者应力综合函数区间量，RI表示结构许用位移或者许用应力区间量，
Figure FDA0002962809200000035
表示结构实际位移或者应力综合函数的上界，S表示结构实际位移或者应力综合函数的下界，
Figure FDA0002962809200000036
表示结构容许位移和容许应力的上界，R表示结构容许位移和容许应力的下界；
步骤四：采用优化特征位移代替非概率可靠性指标来改善收敛性问题，利用优化特征位移可以将原优化模型改写为：
Figure FDA0002962809200000041
其中，d(RI,SI)为优化特征位移；
优化特征位移d定义为实际失效平面到目标失效平面的移动位移，其中目标失效平面是与原失效平面平行的平面，并且其可靠度为目标值；
由于目标可靠度一般大于50％，所以目标失效平面一般位于不确定域的右下方；
可以计算出临界情况下失效平面的斜率，设η为目标可靠度，对于k1，有(2×2/k1×1/2)4＝1-η，解得k1＝1/2(1-η)，同理可得k2＝2(1-η)；
可以计算得到优化特征位移的表达式为：
Figure FDA0002962809200000042
当d＞0时，失效平面在与目标非概率可靠度η对应的目标失效平面上方，对应的非概率可靠度Rs＜η，不满足要求，当d≤0时，失效平面在与目标非概率可靠度η对应的目标失效平面下方，对应的非概率可靠度Rs≥η，满足设计要求；
步骤五：根据位移和应力综合函数相应的顶点组合，运用伴随向量法得到结构位移上下界以及应力综合函数上下界对单元密度的灵敏度，然后利用复合函数的求导法则得到位移和应力综合函数的优化特征位移对设计变量的灵敏度；
下面推导应力综合函数对设计变量的灵敏度，首先，考虑应力综合函数为：
Figure FDA0002962809200000043
修正系数取为：
Figure FDA0002962809200000044
修正系数取定后为常数，不参与后面的灵敏度分析；
则应力综合函数对单元密度的灵敏度为：
Figure FDA0002962809200000051
整理可得：
Figure FDA0002962809200000052
式中右端第一项：
Figure FDA0002962809200000053
不涉及单元结点位移对单元密度的导数，因此可以直接计算，其中
Figure FDA0002962809200000054
而右端第二项：
Figure FDA0002962809200000055
可以采用伴随向量进行计算，设：
Figure FDA0002962809200000056
则可以通过一次有限元计算得到伴随向量λ，
则右端第二项可以求解为：
Figure FDA0002962809200000057
式中
Figure FDA0002962809200000058
计算如下：
Figure FDA0002962809200000061
Figure FDA0002962809200000062
Figure FDA0002962809200000063
Figure FDA0002962809200000064
Figure FDA0002962809200000065
Figure FDA0002962809200000066
写成向量的形式有：
Figure FDA0002962809200000067
至此，得到了应力综合函数对单元密度的灵敏度；
单元i的密度ρi对单元j的设计变量dj的灵敏度由下式给出：
Figure FDA0002962809200000068
其中Ωi为所有与单元i距离小于或等于过滤半径r0的单元的集合，rj是单元j与单元i的中心点的距离；
至此，得到了单元密度关于设计变量的灵敏度；
运用复合函数的求导法则即可以得到应力综合函数上下界关于设计变量的灵敏度；
对于应力综合函数上界的灵敏度分析，则可以将其对应的不确定量的顶点组合代入进行计算，得到应力综合函数上界对设计变量的灵敏度，同理可以求解应力综合函数下界对设计变量的灵敏度；
结构位移或者应力综合函数优化特征位移对设计变量的灵敏度求解为：
Figure FDA0002962809200000069
其中：
Figure FDA00029628092000000610
Figure FDA0002962809200000071
至此，得到了结构位移和应力综合函数的优化特征位移对设计变量的灵敏度；
步骤六：将得到的位移和应力综合函数约束条件值及其对设计变量的灵敏度信息作为移动渐进方法(MMA)的输入条件，并在设计变量每一步的更新中设置额外的移动步长限制，对优化问题进行求解，进行设计变量的更新；
步骤七：重复步骤二至步骤六，进行设计变量的多次更新，直至当前设计满足可靠度约束，并且目标函数的相对变化百分比小于预设值ξ时，则停止优化过程。
2.根据权利要求1所述的一种位移和全局应力混合约束下的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤一中运用Qiu的非概率集合可靠性指标来表征结构材料弹性模量和载荷大小的不确定性对结构刚度和强度性能的影响，构建了位移和全局应力混合约束下的非概率集合可靠性模型。
3.根据权利要求1所述的一种位移和全局应力混合约束下的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤四中运用结构位移和应力综合函数的优化特征位移来代替原来的可靠性指标，从而改善了原优化问题的收敛性。
4.根据权利要求1所述的一种位移和全局应力混合约束下的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤五中根据位移和应力综合函数上下界对应的顶点组合，利用伴随向量法求解位移和应力综合函数上下界对单元密度的灵敏度。
5.根据权利要求1所述的一种位移和全局应力混合约束下的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤五中运用复合函数求导法则求解位移和应力综合函数的优化特征位移对设计变量的灵敏度，先求解位移和应力综合函数的优化特征位移对位移和应力综合函数上下界的灵敏度，然后再求解位移上下界和应力综合函数上下界对单元密度的灵敏度，接着求解单元密度对设计变量的灵敏度，最后将三者相乘得到位移和应力综合函数的优化特征位移对设计变量的灵敏度。
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