CN107992711A - M通道过采样调制图滤波器组的优化设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开一种M通道过采样调制图滤波器组的优化设计方法，把图滤波器组的设计问题归结为四个原型滤波器的设计，通过四个原型滤波器的调制实现图滤波器组的整体设计，充分考虑了原型滤波器的设计复杂性，在考虑图滤波器组的完全重构条件和频谱特性的情况下进行原型滤波器的设计，从而提升图滤波器组的整体性能。本发明为降低图滤波器组的设计复杂性和重构误差，实现信号的恢复重构提供了简单有效的解决方案。
Description
技术领域
本发明涉及多速率信号处理技术领域，具体涉及一种M通道过采样调制图滤波器组的优化设计方法。
背景技术
图信号处理是信号处理的一个重要部分，近年来其倍受关注。为了对不规则信号和网络数据进行处理，研究者们引入了图信号处理，而规则信号也可以建模成图信号进行处理，因此相比于传统的信号处理，图信号处理更有优势。图信号处理在网络、去噪、智慧城市、信号异常检测与恢复、半监督分类、图像处理、大数据处理等方面有着非常重要的应用意义。而图滤波器组作为图信号处理的核心内容激起了越来越多学者的研究兴趣，相比于传统的滤波器组，图滤波器组的优点体现在其可以通过图的拉普拉斯矩阵的特征向量和特征值来变换到频域进行设计，频域设计可采用归一化的实频域进行设计，实现起来相对容易。
图滤波器组按通道数主要分为两通道和M通道两大类。为满足实际应用需求，M通道图滤波器组的设计受到了更多学者的关注和研究，M通道图滤波器组有更多的子带划分，具有多分辨分析特性，其可根据需要选择性的保留或提取更加细化的信号成分，从而对于大规模信号的处理更有优势。已有的M通道图滤波器组设计方法主要考虑图滤波器组的频谱选择性和重构误差，未考虑其设计的复杂性，而设计的复杂性主要取决于原型滤波器的设计。已有方法设计的原型滤波器的个数M会随着通道数的增加而线性增加，当通道数较多时原型滤波器的设计会变得较为复杂。因此，充分考虑原型滤波器的设计复杂性和图滤波器组的频谱特性、完全重构条件的图滤波器组设计方法有待提出。
发明内容
本发明所要解决的是现有M通道图滤波器组的原型滤波器设计较为复杂的问题，提供一种M通道过采样调制图滤波器组的优化设计方法。
为解决上述问题，本发明是通过以下技术方案实现的：
M通道过采样调制图滤波器组的优化设计方法，其具体包括步骤如下：
步骤1、根据图滤波器组中低通和带通滤波器频谱形状不同的特点，把M通道图滤波器组的设计归结为第0和1个分析滤波器与第0和1个综合滤波器的设计，而第2至M-1个分析滤波器由第0和1个分析滤波器调制而来，第2至M-1个综合滤波器由第0和1个综合滤波器调制而来的方式；其中调制公式为：
式中，hi(·)为第i个分析滤波器，gi(·)为第i个综合滤波器，λ为图频率，i＝0,1,…,M-1，k＝2,3,…,M-2；M为通道数，M＞2且为偶数；
步骤2、在零点约束条件下，以两个分析滤波器的通带波纹能量和阻带能量为目标函数，求解使得目标函数最小的分析滤波器的优化问题，得到第0个分析滤波器系数和第1个分析滤波器系数，进而得到第0个分析滤波器和第1个分析滤波器；
步骤3、以解出的分析滤波器为已知条件，在完全重构约束条件下，以两个综合滤波器的阻带能量为目标函数，求解使得目标函数最小的综合滤波器的优化问题，得到第0个综合滤波器系数和第1个综合滤波器系数，进而得到第0个综合滤波器和第1个综合滤波器；
步骤4、将步骤2所得的第0和1个分析滤波器与步骤3所得的第0和1个综合滤波器代入到步骤1的调制公式中，得到第2至M-1个分析滤波器与第2至M-1个综合滤波器，由此得到整个M通道调制图滤波器组。
上述步骤3中，分析滤波器的优化问题为：
式中，h＝[h0；h1]，h0为第0个分析滤波器系数向量，h1为第1个分析滤波器系数向量；Ep(h)为第0个和第1个分析滤波器的通带波纹能量之和；
Es(h)为第0个和第1个分析滤波器的阻带能量之和；α为权值因子；为第1个分析滤波器的频率向量，Lh1为第1个分析滤波器系数向量h1的长度；上标T表示转置。
上述步骤4中，综合滤波器的优化问题为：
s.t.|E(λk′)|≤εr；g1(0)＝0
式中，g＝[g0；g1]，g0为第0个综合滤波器系数向量，g1为第1个综合滤波器系数向量；Es(g0)为第0个综合滤波器的阻带能量；Es(g1)为第1个综合滤波器的阻带能量；α为权值因子；E(·)为重构误差，λk′为第k′个频率离散点，k′＝0,1,…,N，N+1为给定的频率离散点数；εr为给定的重构误差容限；g1(0)是第1个综合滤波器在频率零点处的取值。
上述步骤3和4中，采用凸规划求解工具cvx求解分析滤波器和综合滤波器。
与现有技术相比，本发明把图滤波器组的设计问题归结为四个原型滤波器的设计，通过四个原型滤波器的调制实现图滤波器组的整体设计，充分考虑了原型滤波器的设计复杂性，在考虑图滤波器组的完全重构条件和频谱特性的情况下进行原型滤波器的设计，从而提升图滤波器组的整体性能。本发明为降低图滤波器组的设计复杂性和重构误差，实现信号的恢复重构提供了简单有效的解决方案。
附图说明
图1为M通道过采样图滤波器组的基本结构。
图2为M通道过采样图滤波器组的调制频谱图。
图3为本发明实例1中优化后所得到图滤波器的幅度响应。
图4为本发明实例2中优化后所得到图滤波器的幅度响应。
具体实施方式
为了便于理解，下面以六通道(M＝6)图滤波器组为例对本发明进行进一步详细说明。
将M通道图滤波器组的顶点域分析滤波器Hi和综合滤波器Gi分别表示为：
式中，Hi为第i个顶点域分析滤波器，Gi为第i个顶点域综合滤波器，hi(λ)为第i个频谱域分析滤波器在特征根λ处的取值，gi(λ)为第i个频谱域综合滤波器在特征根λ处的取值，λ为图G的拉普拉斯矩阵的特征根，σ(G)是由图G的拉普拉斯矩阵所有特征根构成的特征空间，Pλ是特征空间的正交投影矩阵，i是子带滤波器的序号。
根据图滤波器组中低通滤波器和带通滤波器频谱形状不同的特点，把M通道调制图滤波器组的调制公式设计为：
通常的通道M(M为偶数)的情况下，完全重构条件可以表示为：
式中λ∈[0,2]。调制公式(2)和(3)代入式(4)可得M通道调制图滤波器组的完全重构条件为：
六通道图滤波器组的分析滤波器和综合滤波器分别表示为：
式中，Lhi,Lgi分别表示分析滤波器hi和综合滤波器gi的长度。
图频率的记法和表示类似传统滤波器组，λpd0,λsd0表示h0,g0的通带和阻带的截止频率，λpd1,λpd2,λsd1,λsd2表示h1,g1的通带和阻带的截止频率。低通原型滤波器的通带波纹可用式(8)来衡量：
当i＝0,a＝0,b＝λpd0时式(8)为Ep(h0),即h0的通带波纹的能量；当i＝1,a＝λpd1,b＝λpd2时式(8)为Ep(h1),即h1的通带波纹的能量。阻带衰减由阻带能量来决定:
在六通道调制图滤波器组中，由原型滤波器h0(λ),h1(λ)和g0(λ),g1(λ)调制得到其他滤波器，
六通道调制图滤波器组完全重构条件可以表示为：
由完全重构条件可得六通道调制图滤波器组的重构误差函数为：
最大重构误差定义为Emax＝Maxλ|E(λ)|。
基于上面的分析，充分考虑图滤波器组的频谱选择性、重构误差及其设计的复杂性，可以将调制图滤波器组的设计问题归结为四个原型滤波器的设计，进而把原型滤波器的设计归结为带约束优化问题，分两步来设计原型滤波器：
图1给出了M通道过采样图滤波器组的基本结构，图2则给出了M通道调制图滤波器组的频谱图，基于上述频谱特点，M通道调制图滤波器组的原型滤波器的优化设计方法，包括如下步骤：
第一步：设计分析原型滤波器，以两个分析原型滤波器的通带波纹和阻带能量为目标函数，在零点约束条件下求解使得通带失真和阻带能量最小的分析原型滤波器，优化问题是凸规划问题，可有效的求解。
零点约束即α,β为权值，通常取α＝β。为了便于求解，记
h＝[h0；h1]；h0＝[I0,0]h＝B0h；h1＝[0,I1]h＝B1h；(14)
其中，B0是大小为Lh0×(Lh0+Lh1)的矩阵，B1是大小为Lh1×(Lh0+Lh1)的矩阵，I0为Lh0×Lh0的单位矩阵，I1为Lh1×Lh1的单位矩阵，0为全零矩阵。约束求解问题可简化为式(15)：
第二步：以解出的分析原型滤波器为已知条件，在完全重构约束条件下，考虑到最大化综合滤波器阻带衰减，以综合原型滤波器组的阻带能量为目标函数来求解综合原型滤波器。
其中k′＝0,1,…,N，εr是重构误差容限，N+1是离散点数，许多实例表明N＝100则可保证重构误差精确度。为方便计算，做式(17)所示的代换：
g＝[g0；g1]；g0＝[I0,0]g＝C0g；g1＝[0,I1]g＝C1g； (17)
其中，C0是大小为Lg0×(Lg0+Lg1)的矩阵，C1是大小为Lg1×(Lg0+Lg1)的矩阵，I0为Lg0×Lg0的单位矩阵，I1为Lg1×Lg1的单位矩阵，0为全零矩阵。上述问题可等效写为：
其中bk′＝2,k′＝0,1,…,N,记：
向量aT(λk′)表示如下：
aT(λk′)＝d(λk′)+d(2-λk′),k′＝0,…,N (19)
上述优化问题均为凸规划问题，可通过凸规划求解工具cvx有效求解，解得的图滤波器为λ的实值函数。
上述设计过程可以推广到任意M(M>2且为偶数)通道图滤波器组。推广的基于凸优化的M通道过采样调制图滤波器组的优化设计方法，包括如下步骤：
步骤1、根据图滤波器组中低通和带通滤波器频谱形状不同的特点，把M通道图滤波器组的设计归结为四个原型滤波器的设计，其他滤波器由所设计的这四个原型滤波器调制而来。M通道调制图滤波器组的调制公式设计为：
式中hi(λ),i＝0,1,2,3,…,M-1为第i个分析滤波器，gi(λ)为第i个综合滤波器，λ为图G的拉普拉斯矩阵的特征根。
步骤2、通常的通道M(M为偶数)的情况下，完全重构条件可以表示为：
式中λ∈[0,2]。把步骤1中的调制公式代入上式可得M通道调制图滤波器组的完全重构条件为：
由完全重构条件可得重构误差函数为：
最大重构误差定义为Emax＝Maxλ|E(λ)|。
步骤3、根据调制图滤波器组的特点，将调制图滤波器组的设计问题归结为四个原型滤波器的设计。
步骤3.1、设计两个分析滤波器，以两个分析滤波器的通带波纹和阻带能量为目标函数，在零点约束条件下求解使得通带失真和阻带能量最小的分析滤波器，优化问题是凸规划问题，可有效的求解。约束求解问题可简化为：
式中，Ep(h)为分析滤波器的通带波纹能量；Es(h)为分析滤波器的阻带能量；α为权值因子；h为分析滤波器组，h＝[h0；h1]；h0为第0个分析滤波器系数向量，h1为第1个分析滤波器系数向量，为第1个分析滤波器的频率向量，Lh1为第1个分析滤波器系数向量h1的长度。
步骤3.2、设计两个综合滤波器。以解出的分析滤波器为已知条件，在完全重构约束条件下，考虑到最大化综合滤波器阻带衰减，以两个综合滤波器的阻带能量为目标函数来求解综合滤波器。
s.t.|E(λk′)|≤εr；g1(0)＝0；
k′＝0,1,…,N；
式中，Es(g0)为综合滤波器g0的阻带能量；Es(g1)为综合滤波器g1的阻带能量；g为综合滤波器组，g＝[g0；g1]，g0为第0个综合滤波器系数向量，g1为第1个综合滤波器系数向量；E(λk′)为第k′个频率离散点处的重构误差；εr为重构误差容限；aT(λk′)为第k′个频率离散点处的响应向量；g1(0)是第1个综合滤波器g1在频率零点处的取值；N+1为频率离散点数，许多实例表明N＝100则可保证重构误差精确度。
由于求解分析滤波器和综合滤波器的优化问题均为凸规划问题，因此本发明采用凸规划求解工具cvx便可有效求解分析滤波器和综合滤波器。
步骤4、由步骤3所得的分析滤波器和综合滤波器通过步骤1的调制方式进行调制即可得到M通道调制图滤波器组。
下面通过具体仿真实例，对本发明的性能进行说明。
仿真实例1：
设计一个图滤波器组，参数如下：
Lh0＝12,Lh1＝12,Lg0＝11,Lg1＝11,λpd0＝0.3,λpd1＝0.35,λpd2＝0.55,λsd0＝0.55,λsd1＝0.1,λsd2＝1.0,α＝0.1,εr＝10-10；得到的图滤波器组幅度响应如图3所示，图中PR表示不同的λ取值对应的图滤波器组的重构误差。仿真计算得到的最大重构误差和正交性的值分别为Emax＝3.31×10-10,Θ＝0.8883，相同的图滤波器组长度和运行环境下，表1给出了本发明方法与现有方法1(接近正交的M通道过采样)、现有方法3(一种设计M通道双正交过采样图滤波器组的新方法)设计的图滤波器组的重构性能和边界比对比。
表1
RB为边界比[14]，仿真时取RB的最大值进行对比，RB等于1表明滤波器组是完全重构的，此时滤波器组的重构特性较好。对比可知，本文算法的重构误差明显低于现有方法1和现有方法3，且本发明方法设计的图滤波器组频谱特性明显比现有方法1和现有方法3更好，重构误差和频谱选择性性均为衡量图滤波器组性能的重要指标，因此，本发明方法设计的调制图滤波器组的整体性能更好。
仿真实例2：
设计一个图滤波器组，参数如下：
Lh0＝8,Lh1＝8,Lg0＝7,Lg1＝7,λpd0＝0.3,λpd1＝0.35,λpd2＝0.55,λsd0＝0.55,λλsd1＝0.1,λsd2＝1,α＝0.1,εr＝10-13；得到的调制图滤波器组幅度响应如图4所示。相同的图滤波器组长度和运行环境下，表2给出了本发明方法与现有方法2(M通道过采样图滤波器组)、现有方法3(一种设计M通道双正交过采样图滤波器组的新方法)设计的图滤波器组的重构性能和正交性对比。
表2
正交性Θ越接近于1表明滤波器组的正交性越好。对比可知，本发明方法设计的图滤波器组的重构误差明显比现有方法2、现有方法3更小，其正交性比现有方法2更好，与现有方法3相当，其整体频谱特性比现有方法2和现有方法3更佳，因此，本文设计所得的图滤波器组整体性能更好。
需要说明的是，尽管以上本发明所述的实施例是说明性的，但这并非是对本发明的限制，因此本发明并不局限于上述具体实施方式中。在不脱离本发明原理的情况下，凡是本领域技术人员在本发明的启示下获得的其它实施方式，均视为在本发明的保护之内。
Claims (4)
1.M通道过采样调制图滤波器组的优化设计方法，其特征是，包括步骤如下：
步骤1、根据图滤波器组中低通和带通滤波器频谱形状不同的特点，把M通道图滤波器组的设计归结为第0和1个分析滤波器与第0和1个综合滤波器的设计，而第2至M-1个分析滤波器由第0和1个分析滤波器调制而来，第2至M-1个综合滤波器由第0和1个综合滤波器调制而来的方式；其中调制公式为：
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式中，hi(·)为第i个分析滤波器，gi(·)为第i个综合滤波器，λ为图频率，i＝0,1,…,M-1，k＝2,3,…,M-2；M为通道数，M＞2且为偶数；
步骤2、在零点约束条件下，以两个分析滤波器的通带波纹能量和阻带能量为目标函数，求解使得目标函数最小的分析滤波器的优化问题，得到第0个分析滤波器系数和第1个分析滤波器系数，进而得到第0个分析滤波器和第1个分析滤波器；
步骤3、以解出的分析滤波器为已知条件，在完全重构约束条件下，以两个综合滤波器的阻带能量为目标函数，求解使得目标函数最小的综合滤波器的优化问题，得到第0个综合滤波器系数和第1个综合滤波器系数，进而得到第0个综合滤波器和第1个综合滤波器；
步骤4、将步骤2所得的第0和1个分析滤波器与步骤3所得的第0和1个综合滤波器代入到步骤1的调制公式中，得到第2至M-1个分析滤波器与第2至M-1个综合滤波器，由此得到整个M通道调制图滤波器组。
2.根据权利要求1所述的M通道过采样调制图滤波器组的优化设计方法，其特征是，步骤3中，分析滤波器的优化问题为：
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3.根据权利要求1所述的M通道过采样调制图滤波器组的优化设计方法，其特征是，步骤4中，综合滤波器的优化问题为：
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s.t.|E(λk′)|≤εr；g1(0)＝0
式中，g＝[g0；g1]，g0为第0个综合滤波器系数向量，g1为第1个综合滤波器系数向量；Es(g0)为第0个综合滤波器的阻带能量；Es(g1)为第1个综合滤波器的阻带能量；α为权值因子；E(·)为重构误差，λk′为第k′个频率离散点，k′＝0,1,…,N，N+1为给定的频率离散点数；εr为给定的重构误差容限；g1(0)是第1个综合滤波器在频率零点处的取值。
4.根据权利要求2或3中所述的M通道过采样调制图滤波器组的优化设计方法，其特征是，步骤3和4中，采用凸规划求解工具cvx求解分析滤波器和综合滤波器。
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