CN107918748A - 一种多光谱二维码识别装置及方法 - Google Patents

一种多光谱二维码识别装置及方法 Download PDF

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CN107918748A CN201711029568.6A CN201711029568A CN107918748A CN 107918748 A CN107918748 A CN 107918748A CN 201711029568 A CN201711029568 A CN 201711029568A CN 107918748 A CN107918748 A CN 107918748A
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王志华
倪静仪
沈忱
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Abstract

本发明公开了一种多光谱二维码识别装置及方法。装置包括2个镜头、2个图像传感器模块、图像处理模块、二维码解析与输出模块。所述镜头通过图像传感器模块与图像处理模块相连,图像处理模块与二维码解析与输出模块相连,电源模块分别与上述各模块相连供电。通过2个镜头同时采集不同光谱段下的2张二维码图片;对所采集到的2张二维码图片进行图像处理,包括图像预处理、图像定位处理、图像校正处理以及图像融合处理;对处理之后的二维码图像进行解析并输出信息。图像处理与二维码的识别与输出既可以在PC机上完成,也可以在嵌入式***中完成。本发明能获得更加全面、清晰的图像信息,增加图像的可靠性,提高二维码的识别效率。

Description

一种多光谱二维码识别装置及方法
技术领域
本发明属于图像识别技术领域,特别是一种多光谱二维码识别装置及方法。
背景技术
二维码,又称二维条码,是在一维条码的基础上扩展出的一种具有可读性的条码,常用的二维码码制有Data Matrix,Maxi Code,Aztec,QR Code等,其中QR Code(QuickResponse Code)矩阵码是目前最为流行的码制,QR码呈正方形,黑白两色,三个角落印有“回”字的正方图案为其定位码,利用三个定位码即可定位一个QR码。二维码以信息容量大、可靠性高、可表示信息形式、保密防伪性强等优点受到各行各业的青睐。比如在流水线工业生产中,为了提高流水生产的效率,降低次品率,二维码逐渐替代一维码,开始扮演着越来越重要的角色。
现有二维码识别装置多数是通过单摄像头捕获可见光反射的图像,具有分辨率高、细节和色彩信息丰富的优点,但其受光照等外部条件的影响经常无法正常工作。再者可见光只占电磁波普中的一小段,所包含的内容远不足以包含物体所发出的信息全貌。因此市面上出现其它光谱段的单摄像头条码识别装置,比如红外条码识别装置,具有抗干扰能力强,可全天候工作的优点,但其成像分辨率低,出现误差信息的概率较大。另有少数摄像机虽然具有捕获不同光谱反射出图像的功能,实现了不同光谱段下图像信息优势互补,但是其在图像处理,二维码解析识别等方面还有待改进,且成本也并不可观。
发明内容
现有二维码识别装置仅采集单一光谱段数据,导致有效信息量不足且受外界条件干扰较大,为了克服现有技术的不足,本发明的目的在于提供一种多光谱二维码识别装置及方法。
实现本发明目的的技术解决方案为:
一种多光谱二维码识别装置,装置包括:2个镜头、2个图像传感器模块、图像处理模块、二维码解析与输出模块。所述镜头通过图像传感器模块与图像处理模块相连,图像处理模块与二维码解析与输出模块相连,电源模块分别与上述各模块相连供电。2个镜头模块分别用以捕获二维码图像反射或投射的任一光谱段图像信息,包括可见光、红外线、紫外线、χ射线、γ射线反射或投射像。
2个图像传感器模块分别用以捕获其特定敏感光谱段的图像数据,包括可见光图像传感器、红外图像传感器、紫外图像传感器等,均可将光信号转换为适合进行图像处理的电信号。
图像处理模块用以二维码图像预处理、图像定位处理、图像校正处理以及图像融合处理。
二维码解析与输出模块用以二维码的解析处理以及将解析处理后得到的二维码数据通过数据传输模块传输给应用设备。
一种多光谱二维码识别方法,包括以下步骤:
步骤1、2个镜头分别捕获二维码图像反射或投射的不同光谱段图像信息,如可见光和红外光;
步骤2、2个图像传感器模块分别捕获其特定敏感光谱段的图像数据,将光信号转换为适合进行图像处理的电信号,并传输给图像处理模块;
步骤3、对图像进行图像预处理,包括:图像灰度化处理、图像增强处理、图像去噪处理、图像二值化处理;
步骤4、对图像进行图像定位处理,首先采用Sobel算子对图像进行边缘检测处理,得到图像的粗定位;然后采用Hough变换求出二维码图像的旋转角度以及四个顶点坐标,得到图像的精准定位;
步骤5、对图像进行图像校正处理:对定位后的二维码图片进行空间变换和灰度级插值,得到校正的二维码图像;
步骤6、对图像进行图像融合处理:使用小波变换对不同光谱段的二维码图像进行图像融合处理;
步骤7、对二维码进行解析处理:对二维码图像进行解析,获取二维码中所包含的信息;
步骤8、传输条码信息:将解析处理后得到的二维码信息通过数据传输模块传输给应用设备。
本发明与现有技术相比,其显著优点为:
1)本发明通过摄像头分别获取不同光谱段二维码信息,与单一光谱段二维码相比较,可以获取不同抗干扰能力强,对比度高的二维码图像。并且通过多光谱图像融合处理,利用其在时空上的相关性和在信息上的互补性将同一场景的多谱图像信息特征融合到一起,获得更加全面、清晰的图像信息,增加图像的可靠性,提高二维码的识别效率。
2)本发明既可以PC机上完成,也可在嵌入式***中完成。基于PC机的图像处理与输出优点在于现有图像处理技术发展成熟,便于操作;基于嵌入式***的优点在于体积小,成本低。此外,这两种方式都能达到很高的工作效率。
3)本发明增加休眠功能、唤醒功能以及仰角功能等,节约能源,增加人机之间交互性。
4)本发明的数据输出模块可以根据用户需求,采用不同的方式将数据输出,满足用户的不同需求。
附图说明
图1为本发明识别装置的模块图。
图2为本发明识别方法的流程图。
具体实施方式
下面结合说明书附图对本发明作进一步说明。
如图1所示,所述的二维码识别装置包括:2个镜头、2个图像传感器模块、图像处理模块、二维码解析与输出模块。所述镜头通过图像传感器模块与图像处理模块相连,图像处理模块与二维码解析与输出模块相连,电源模块分别与上述各模块相连供电。
所述2个镜头分别用以捕获二维码图像反射或投射的任一光谱段图像信息,包括可见光、红外线、紫外线、χ射线、γ射线反射或投射像。
所述2个图像传感器模块用以捕获其特定敏感光谱段的图像数据,包括可见光图像传感器、红外图像传感器、紫外图像传感器等,均可将光信号转换为适合进行图像处理的电信号,并传输给图像处理模块。
结合实例,采用两个镜头的情况下,如:镜头1捕获可见光下二维码图像,镜头2捕获红外光下二维码图像,两个镜头捕获的图像信息分别传入可见光图像传感器和红外图像传感器。可见光镜头捕获到的图像对目标场景的亮度变化敏感,能较好的显示对比度、形状和纹理细节等,但它受光照条件的影响很大。红外镜头捕获到的图像反映目标和场景的红外辐射特性,可以昼夜两用,但缺乏对目标场景纹理细节的表现。本实例使用摄像头采集图像,与单一光谱段镜头相比较,可以得到信息互补的两幅图像,增加图像信息的可靠性,提高二维码的识别效率。
所述图像处理模块用以对二维码图像进行处理,包括图像预处理模块、图像定位处理模块、图像校正处理模块以及图像融合处理模块。
所述图像预处理模块包括图像灰度化处理单元、图像增强处理单元、图像去噪处理单元、图像二值化处理单元。
所述图像灰度化处理单元是对不同图像传感器采集到的不同光谱段二维码图像进行统一灰度化处理。
所述图像增强处理单元是改变像素点的灰度值,可以使图像更加清晰,便于图像处理***对图像进一步处理和分析。
所述图像去噪处理单元是采用非线性滤波器中的中值滤波以便较好的保留边的锐度和图像细节。
所述图像二值化处理单元是根据阈值对灰度图像中的像素点进行分类,使整幅图像转变为黑白图像。
所述图像定位模块包括图像边缘检测单元和对图像精准定位单元。
所述图像边缘检测单元是采用Sobel算子对图像进行边缘检测处理,得到图像的粗定位。
所述图像精准定位单元是采用Hough变换求出二维码图像的旋转角度以及四个顶点坐标,得到二维码的精准位置。
所述图像校正模块是修正了原始图像的偏转和失真情况,得到旋转至水平和基本没有失真的二维码图像。
进一步的,所述图像融合处理是对已完成图像处理的两幅不同光谱段的图像进行图像融合处理,利用其在时空上的相关性和在信息上的互补性将同一场景的多光谱图像信息特征组合到一起,得到更全面、清晰的图像描述;
所述图像处理模块和二维码解析与输出模块既可以PC机上完成,也可在嵌入式***中完成。
二维码解析与输出模块用以二维码的解析处理以及将解析处理后得到的二维码数据通过数据传输模块传输给应用设备。
进一步的,二维码信息的输出支持多种方式,包括串口输出、网口输出以及蓝牙输出等。
如图2所示,所述多光谱二维码识别方法包括以下步骤,结合实例说明:
步骤1、2个镜头分别捕获不同光谱段的二维码图像信息;
步骤2、图像传感器捕获其特定敏感光谱段的图像数据,包括可见光图像传感器、红外图像传感器、紫外图像传感器等,并传输给图像处理模块;
结合实例,采用两个镜头的情况下,如:镜头1捕获可见光下二维码图像,镜头2捕获红外光下二维码图像,两个镜头捕获的图像信息分别传入可见光图像传感器和红外图像传感器。见光镜头捕获到的图像对目标场景的亮度变化敏感,能较好的显示对比度、形状和纹理细节等,但它受光照条件的影响很大。红外镜头捕获到的图像反映目标和场景的红外辐射特性,可以昼夜两用,但缺乏对目标场景纹理细节的表现。本实例使用摄像头采集图像,与单一光谱段镜头相比较,可以得到信息互补的两幅图像,增加图像信息的可靠性,提高二维码的识别效率。
步骤3、对不同光谱段的二维码图像进行图像预处理;
所述图像预处理是包括:图像灰度化处理、图像增强处理、图像去噪处理、图像二值化处理,具体步骤如下:
3.1、图像灰度化处理:对不同图像传感器采集到的不同光谱段二维码图像进行灰度化处理,便于后续图像的统一化处理。
3.2、图像增强处理:采用灰度变换增强法对灰度图像进行增强处理,灰度变化增强法的优点是不改变图像中像素的位置,只改变像素点的灰度值,可以使图像更加清晰,便于图像处理***对图像进一步处理和分析。
3.3、图像去噪处理:二维码图像的噪声主要来自光学采集***,采用非线性滤波器中的中值滤波可以较好的保留边的锐度和图像细节。中值滤波易于实现:
中值滤波是选取窗口Sxy中被干扰图像g(x,y)的中值,作为坐标点(x,y)的输出,其中窗口为Sxy大小为m×n,公式为:
3.4、图像二值化处理:
图像处理***处理的是由“0”或“1”的黑白模块组成的二维码图像,根据阈值对灰度图像中的像素点进行分类,使整幅图像转变为黑白图像;二值化计算公式如下:
其中f(x,y)是原始图像的灰度值,g(x,y)是二值化之后对应的灰度值,T是二值化阈值;本发明采用Otsu算法计算动态阈值。
步骤4、对图像进行图像定位处理;
所述图像定位处理包括图像边缘检测和对图像精准定位两部分。具体步骤如下:
1)图像边缘检测:采用Sobel算子对图像进行滤波,得到图像的边缘,从而将二维码图像和其背景分离出来,便于后续目标精准定位处理;
2)对图像精准定位:采用Hough变换将图像边缘像素连接起来组成区域封闭边界。Hough变换的核心思想是点—线的对偶性。对二维码的边缘图像做Hough变换,将图像边缘像素连接起来组成区域封闭边界,可以得到二维码的四条边界直线和四个顶点坐标,从而在采集到的图像中定位出二维码的精准位置;
步骤5、对图像进行图像校正处理;
所述图像校正处理是:对定位后的二维码图片进行空间变换和灰度级插值,从而修正了原始图像的偏转和失真情况,得到旋转至水平和基本没有失真的二维码图像。
步骤6、对图像进行图像融合处理;
所述图像融合处理是对已完成图像处理的两幅不同光谱段的图像进行二维码图像融合处理,利用它们在时空上的相关性和在信息上的互补性将同一场景的多光谱图像信息特征组合到一起,得到更全面、清晰的图像;
所述对已完成图像处理的两幅不同光谱段的图像进行二维码图像融合处理是使用小波变换的方法完成。
所述小波变换方法是先对图像进行小波分解,通过小波分解,图像可以分解为更低一级分辨率表示:低频的轮廓信息(近似分量)和水平,垂直及对角线方向等高频信息(细节分量)。然后采用一定算法对分解系数进行处理得到融合系数,最后利用小波反变换重建图像。
所述小波分解是离散小波的快速分解与重构算法,利用两个一维滤波器实现二维图像的快速小波分解,利用两个一维重构滤波器实现图像重构,具体过程如下:
二维图像重构算法为:
设低通H和高通G为两个一维镜像滤波算子,r和c代表行和列
式中H*,G*分别为H,G的共轭转置矩阵。
小波分解及重构算法表明,任何二维图像f(x,y)∈L2(R)都可分解为分辨率为2-N下f(x,y)的低频部分和分辨率为2-j(1≤j≤N)下f(x,y)的高频部分,并且可以由以上各部分完全重构原始图像。
步骤7、对经过图像融合处理的二维码图像进行解析译码,提取二维码信息。
步骤8、输出解析得到的二维码信息。

Claims (10)

1.一种多光谱二维码识别装置,其特征在于:包括2个镜头、2个图像传感器模块、图像处理模块、二维码解析与输出模块;2个镜头分别通过2个图像传感器模块与图像处理模块相连,图像处理模块与二维码解析与输出模块相连,电源模块分别与上述各模块相连供电;
2个镜头分别用以捕获二维码图像反射或投射的任一光谱段图像信息,包括可见光、红外线、紫外线、χ射线、γ射线反射或投射像;
2个图像传感器模块分别用以捕获其特定敏感光谱段的图像数据,将光信号转换为适合进行图像处理的电信号,并传输给图像处理模块;
图像处理模块,对二维码图像进行图像预处理、图像定位处理、图像校正处理以及图像融合处理;
二维码解析与输出模块,对二维码进行解析处理以及将解析处理后得到的二维码数据通过数据传输模块传输给应用设备。
2.根据权利要求1所述的多光谱二维码识别装置,其特征在于:所述图像处理模块包括图像预处理模块、图像定位处理模块、图像校正处理模块和图像融合模块;
图像预处理模块包括:图像灰度化处理单元、图像增强处理单元、图像去噪处理单元、图像二值化处理单元;
图像灰度化处理单元:对不同图像传感器采集到的不同光谱段二维码图像进行灰度化处理,便于后续图像的统一处理;
图像增强处理单元:采用灰度变换增强法对灰度图像进行增强处理,使得图像更加清晰;
图像去噪处理单元:采用非线性滤波器中的中值滤波对图像进行去噪处理,中值滤波的实现:
选取窗口Sxy中被干扰图像g(x,y)的中值,作为坐标点(x,y)的输出,其中窗口为Sxy大小为m×n,计算公式为:
<mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mrow> <mi>M</mi> <mi>e</mi> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> </munder> </mrow>
图像二值化处理单元:根据阈值对灰度图像中的像素点进行分类,使整幅图像转变为黑白图像,二值化计算公式如下:
<mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>255</mn> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mi>T</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mi>T</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
其中f(x,y)是原始图像的灰度值,g(x,y)是二值化之后对应的灰度值,T是二值化阈值;采用Otsu算法计算动态阈值;
图像定位处理模块包括:图像边缘检测单元和图像精准定位单元;
图像边缘检测单元:采用Sobel算子对图像滤波,提取图像边缘,得到图像粗定位;
图像精准定位单元:对边缘提取后的图像进行Hough变换求出二维码图像的旋转角度以及四个顶点坐标,得到图像的精确定位;
图像校正处理模块:对定位后的二维码图片进行空间变换和灰度级插值,得到旋转至水平和基本没有失真的二维码图像;
图像融合模块:将同一场景的多谱图像采用小波变换方法完成二维码图像融合,利用其在时空上的相关性和在信息上的互补性得到对图像更全面、清晰的描述;小波变换方法是先对图像进行小波分解,通过小波分解,图像分解为更低一级分辨率表示:低频的轮廓信息和水平,垂直及对角线方向高频信息;然后对分解系数进行处理得到融合系数,最后利用小波反变换重建图像。
3.根据权利要求1所述的多光谱二维码识别装置,其特征在于:所述二维码解析与输出模块包括图像解析单元与图像信息输出单元;
图像解析单元:对二维码图像进行解析,获取二维码中所包含的信息;
图像信息输出单元:将解析处理后得到的二维码数据通过数据传输模块传输给应用设备,数据传输方式为串口传输、网口传输以及蓝牙传输。
4.根据权利要求2所述的多光谱二维码识别装置,其特征在于:所述图像处理模块和二维码解析与输出模块可以PC机上完成,也可在嵌入式***中完成。
5.一种多光谱二维码识别方法,其特征在于包括以下步骤:
步骤1、2个镜头分别捕获二维码图像反射或投射的不同光谱段图像信息;捕
获可见光和红外线的反射或投射像;
步骤2、2个图像传感器模块分别捕获其特定敏感光谱段的图像数据,并传输给图像处理模块;使用可见光图像传感器和红外图像传感器;
步骤3、对图像进行图像预处理操作,包括:图像灰度化处理、图像增强处理、图像去噪处理以及图像二值化处理;
步骤4、对图像进行图像定位处理,包括图像边缘检测处理和图像精准定位处理;
步骤5、对图像进行图像校正处理:对定位后的二维码图片进行空间变换和灰度级插值处理;
步骤6、对图像进行图像融合处理:使用小波变换对不同光谱段的二维码图像进行图像融合处理;
步骤7、对二维码进行解析处理:对二维码图像进行解析,获取二维码中所包含的信息;
步骤8、传输条码信息:将解析处理后得到的二维码数据通过数据传输模块传输给应用设备。
6.根据权利要求5所述的多光谱二维码识别方法,其特征在于:所述步骤3对图像进行预处理,具体包括以下步骤:
3.1图像灰度化处理:对不同光谱段图像进行灰度化处理,得到统一的灰度图像;
3.2图像增强处理:采用灰度变换增强法对灰度图像进行增强处理;
3.3图像去噪处理:采用中值滤波算法对采集到的图像进行滤波去噪,计算公式如下:
<mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mrow> <mi>M</mi> <mi>e</mi> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> </munder> </mrow>
选取窗口Sxy中被干扰图像g(x,y)的中值,作为坐标点(x,y)的输出,其中窗口Sxy大小为m×n;
3.4图像二值化处理:采用Otsu算法计算动态阈值,根据阈值对灰度图像中的像素点进行分类,使整幅图像转变为黑白图像,计算公式为:
<mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>255</mn> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mi>T</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mi>T</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
其中f(x,y)是原始图像的灰度值,g(x,y)是二值化之后对应的灰度值,T是二值化阈值。
7.根据权利要求5所述的多光谱二维码识别方法,其特征在于:所述步骤4对图像进行定位处理的过程中,包括图像边缘检测和对图像精准定位两部分;
图像边缘检测采取以下方法:采用Sobel算子对图像进行滤波,得到图像的边缘,将二维码图像和其背景分离出来;
图像精准定位采取以下方法:对二维码的边缘图像做Hough变换,将图像边缘像素连接起来组成区域封闭边界,得到二维码的四条边界直线和四个顶点坐标,从而采集到二维码的精准位置。
8.根据权利要求5所述的多光谱二维码识别方法,其特征在于:所述步骤5对图像进行校正处理过程中,采用以下方法:
对定位后的二维码图片进行空间变换和灰度级插值,从而修正了原始图像的偏转和失真情况,得到旋转至水平和基本没有失真的二维码图像。
9.根据权利要求5所述的多光谱二维码识别方法,其特征在于:所述步骤6对图像进行融合处理的过程中,采用小波变换的方法完成。
10.根据权利要求9所述的多光谱二维码识别方法,其特征在于:所述小波变换方法是先对图像进行小波分解,通过小波分解,图像分解为更低一级分辨率表示:低频的轮廓信息和水平,垂直及对角线方向高频信息;然后对分解系数进行处理得到融合系数,最后利用小波反变换重建图像,计算方法如下:
<mrow> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>H</mi> <mi>r</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <msubsup> <mi>H</mi> <mi>c</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <msub> <mi>C</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>H</mi> <mi>r</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <msubsup> <mi>G</mi> <mi>c</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <msubsup> <mi>D</mi> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>G</mi> <mi>r</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <msubsup> <mi>H</mi> <mi>c</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <msubsup> <mi>D</mi> <mi>j</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>G</mi> <mi>r</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <msubsup> <mi>G</mi> <mi>c</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <msubsup> <mi>D</mi> <mi>j</mi> <mn>3</mn> </msubsup> <mo>.</mo> </mrow>
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