CN107862104A - 一种环形喷嘴直线‑弧线叶片型线设计方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种用于径‑轴流式透平膨胀机环形喷嘴直线‑弧线叶片型线设计的方法，该方法包括方法将叶片分为吸力面和压力面两个部分，每个部分的叶片型线又分为直线段和弧线段，通过编程利用数学表达式对直线段和弧线段进行坐标求解。本发明采用Bezier曲线求解弧线段坐标以实现直线段和弧线段的光滑过渡，从而可以很好地保证喷嘴叶片型线的几何曲率连续性，避免更多的流动损失；二是通过编程将叶片型线分为直线段和弧线段并分别用数学式来表示，设计过程更加简便、快捷，方便后续对喷嘴叶片型线的加工制造、数值模拟和优化设计等工作过程。

Description

一种环形喷嘴直线-弧线叶片型线设计方法
技术领域
本发明涉及一种环形喷嘴叶片型线设计方法，特别是涉及一种 用于径-轴流式透平膨胀机环形喷嘴直线-弧线叶片型线设计的方法。
背景技术
透平膨胀机是低温***中主要的冷量来源，也是现代空分装置 和低温液化***中的核心部件，其性能对整套装置的经济性与安全 性具有重要意义。透平膨胀机的主通流部分包括环形喷嘴、径-轴流 式工作轮和扩压器，其中环形喷嘴是透平膨胀机发生能量的主要流 道之一，环形喷嘴叶片型线的设计对于透平膨胀机性能具有重要影 响。直线-弧线叶片是环形喷嘴叶片型式的一种，其叶片型线采用简 单的直线和弧线组成，具有设计简单、加工方便等优点。传统方法 中弧线段采用圆弧，圆弧参数则根据经验参数选取。这样的几何造 型方法，主要有以下两方面的缺点：一是通过经验参数法设计弧线 段，很难保证直线段和弧线段的光滑过渡，从而不可避免地造成更 多的流动损失；二是通过经验作图法选取直线段和弧线段的比例， 修改型线过程繁琐复杂，不利于后续对叶片型线的加工制造、数值 模拟和优化设计等工作过程。
发明内容
针对背景技术中的问题，本发明的主要目的在于提供一种用于 径-轴流式透平膨胀机环形喷嘴直线-弧线叶片型线设计的方法，
为实现本发明目的而采用的技术方案是这样的，一种环形喷嘴 直线-弧线叶片型线设计方法，其特征在于，包括以下步骤:
1〕读入环形喷嘴叶片基本参数，包括进口直径R1、出口直径R2、 出口叶片角α2、叶片数目NB、喉部宽度b及叶片高度h；
2〕以环形喷嘴叶片俯视面(从叶片上方俯视)圆心为原点，选 定二维x-y正交坐标系，
自定义参数下标：“1”表示与进口相关，“2”表示与出口相关， “h”表示与根部相关(hub)线，“s”表示与顶部相关，“PS”表示 与压力面相关，“SS”表示与吸力面相关；
自定义压力面直线段选取比例lPS、吸力面直线段选取比例lSS、 叶片前缘顶点选取比例lp及吸力面Bezier曲线插值点选取比例lc,SS等型线设计参数，以及直线段输出点个数NL和弧线段输出点个数NC；
3〕根据基本参数和设计参数，求解单元流道中心线Lmid方程:
再通过直线平移法则计算得到压力面基准线LPS和吸力面基准线LSS：
4〕求解压力面基准线LPS与x和y轴的交点坐标分别为：
基于基准线和叶片数目，对压力面基准线LPS进行阵列，得到与吸力 面基准线LSS相交的压力面基准线LPS,a：
并求解两条直线交点A坐标：
以及两条直线与喷嘴外径圆的交点B和C的坐标：
5〕依据压力面和吸力面直线段选取比例lPS和lSS，分别计算压 力面和吸力面基准线直线段和弧线段分割点M和N的坐标：
6〕依据叶片前缘顶点选取比例lp，计算压力面叶片型线和吸力 面型线前缘交点D坐标，首先计算辅助线LPSa,SS方程：
再联立求解辅助线LPSa,SS和辅助外径圆O1的方程得前缘交点D坐标：
7〕依据分割点M和N及前缘交点D，基于Bezier曲线方程，求 解压力面根部型线和吸力面根部型线的曲线段，具体步骤分为：
7-1〕分别求解Bezier曲线的插值点坐标
7-1-1〕求解吸力面叶片型线Bezier曲线段插值点P1、P2、P3和P4坐标，P1选为N点，P4选为D点，即：
P2和P3则通过辅助切线Lt与直线段LSS联立求解求得。辅助切线Lt方程为：
则辅助线Lt与吸力面基准线LSS的交点E的坐标：
根据E点坐标及吸力面Bezier曲线插值点选取比例lc,SS(理论值范 围为0～1)求解得插值点P2和P3的坐标：
7-1-2〕求解压力面叶片型线Bezier曲线段插值点Q1、Q2和Q3坐标，Q1选为M点，Q3选为D点，即：
Q2则选取为辅助线Lt与压力面基准线LPS,a的交点：
7-2〕基于Bezier曲线方程，依据Bezier曲线段插值点坐标和 Bezier曲线段输出点个数NC分别求解得到压力面和吸力面弧线段 输出点坐标：
7-2-1〕求解吸力面弧线段输出点坐标
构建向量UXSS＝[xP1,xP2,xP3,xP4]和向量UYSS＝[yP1,yP2,yP3,yP4]，则第 I个点，采用三次方Bezier公式，其对应的计算向量BI：
t＝(I-1)/(NC-1)
I＝1,...,NL，进而可以求得第I个点坐标为：
7-2-2〕求解压力面弧线段输出点坐标
构建向量UXPS＝[xQ1,xQ2,xQ3]和向量UYPS＝[yQ1,yQ2,yQ3]，采用二次方 Bezier公式，则第J个点，采用二次方Bezier公式，其对应的计算 向量BJ：
t＝(J-1)/(NC-1)
J＝1,...,NL，进而可以求得第J个点坐标为：
8〕依据吸力面和压力面基准线方程和直线段输出点个数NL，求 解直线段输出点坐标：
对于吸力面叶片型线直线段第K个点坐标为：
K＝1,...,NC
对于压力面叶片型线直线段第L个点坐标：
L＝1,...,NC
9〕结合吸力面和压力面直线段输出点坐标和Bezier曲线段输 出点坐标，吸力面和压力面叶片型线输出点坐标具体可表示为：
吸力面：
压力面：
10〕建立三维坐标系，以步骤8〕中构造型线所在平面为x-y 平面，以垂直于x-y平面的直线并过圆心O的直线为z轴，则步骤8 中构造的叶片型线为根部型线，其三维点坐标可以表示为(xh,yh,0)， 由输入参数叶片高度h，进而可以计算得到与根部型线对应的顶部型 线为：
从而完成吸力面和压力面三维叶片的型线设计。
值得说明的是，本方法将叶片分为吸力面和压力面两个部分， 每个部分的叶片型线又分为直线段和弧线段，通过编程利用数学表 达式对直线段和弧线段进行坐标求解。本发明采用Bezier曲线求解 弧线段坐标以实现直线段和弧线段的光滑过渡，从而可以很好地保 证喷嘴叶片型线的几何曲率连续性，避免更多的流动损失；二是通 过编程将叶片型线分为直线段和弧线段并分别用数学式来表示，设 计过程更加简便、快捷，方便后续对喷嘴叶片型线的加工制造、数 值模拟和优化设计等工作过程。
附图说明
图1为本发明环形喷嘴直线-弧线叶片型线设计方法的流程示意 图；
图2为本发明环形喷嘴叶片型线设计二维坐标系示意意图；
图3为本发明环形喷嘴叶片型线设计过程示意图；
图4为实施例中计算建立的环形喷嘴直线-弧线叶片三维整体结 构图；
图5为三种不同吸力面直线段选取比例lss计算所得的喷嘴叶片 型线图。
具体实施方式
下面结合实施例对本发明作进一步说明，但不应该理解为本 发明上述主题范围仅限于下述实施例。在不脱离本发明上述技术思 想的情况下，根据本领域普通技术知识和惯用手段，做出各种替换 和变更，均应包括在本发明的保护范围内。
本实施例以某低压空分流程配套的透平膨胀机为实施例，透平 膨胀机设计参数及叶轮主要结构尺寸如表1，且为轴向出气。
表1透平膨胀机设计参数及叶轮主要结构尺寸
按以下步骤进行设计(参数中，用“1”表示进口，“2”表示出 口，“h”表示hub曲线，即轮盘基线，“s”表示shroud曲线，即轮 盖基线或叶顶线)：
1〕读入环形喷嘴基本参数，包括进口直径R1＝39mm、出口直径 R2＝29mm、出口叶片角α2＝16°、叶片数目NB＝25、喉部宽度b＝1.8mm 及叶片高度h＝2.7mm；
2〕以环形喷嘴圆心为原点，选定二维x-y坐标系，自定义压力 面直线段选取比例lPS＝0.95、吸力面直线段选取比例lSS＝0.5、叶片 前缘顶点选取比例lp＝0.9及吸力面Bezier曲线插值点选取比例 lc,SS＝0.6等型线设计参数，以及直线段输出点个数NL＝51和弧线段输 出点个数NC＝101；
3〕根据基本参数和设计参数，求解单元流道中心线Lmid方程:
再通过直线平移法则计算得到压力面基准线LPS和吸力面基准线 LSS：
4〕求解压力面基准线LPS与x和y轴的交点坐标分别为：
基于基准线和叶片数目，对压力面基准线LPS进行阵列，得到与 吸力面基准线LSS相交的压力面基准线LPS,a：
并求解两条直线交点A坐标：
以及两条直线与喷嘴外径圆的交点B和C的坐标：
5〕依据压力面和吸力面直线段选取比例lPS和lSS，分别计算压 力面和吸力面基准线直线段和弧线段分割点M和N的坐标：
6〕依据叶片前缘顶点选取比例lp，计算压力面叶片型线和吸力 面型线前缘交点D坐标，首先计算辅助线LPSa,SS方程：
再联立求解辅助线LPS,SS和辅助外径圆O1的方程得前缘交点D坐 标：
7〕依据分割点M和N及前缘交点D，基于Bezier曲线方程，求 解压力面根部型线和吸力面根部型线的曲线段，具体步骤分为：
7-1〕分别求解Bezier曲线的插值点坐标
7-1-1〕求解吸力面叶片型线Bezier曲线段插值点P1、P2、P3和P4坐标，P1选为N点，P4选为D点，即：
P2和P3则通过辅助切线Lt与直线段LSS联立求解求得。辅助切线 Lt方程为：
则辅助线Lt与吸力面基准线LSS的交点E的坐标：
根据E点坐标及吸力面Bezier曲线插值点选取比例lc,SS求解得 插值点P2和P3的坐标：
7-1-2〕求解压力面叶片型线Bezier曲线段插值点Q1、Q2和Q3坐标，Q1选为M点，Q3选为D点，即：
Q2则选取为辅助线Lt与压力面基准线LPS,a的交点：
7-2〕基于Bezier曲线方程，依据Bezier曲线段插值点坐标和 Bezier曲线段输出点个数NC分别求解得到压力面和吸力面弧线段 输出点坐标：
7-2-1〕求解吸力面弧线段输出点坐标
构建向量UXSS＝[31.786,32.861,35.680,37.081]和向量 UYSS＝[-6.451,-10.199,-11.533,-10.758]，则第I个点，采用三次 方Bezier公式，其对应的计算向量BI：
t＝(I-1)/(NC-1)
进而可以求得第I个点坐标为：
以第51个点为例，求得计算向量B51为：
t＝(51-1)/(101-1)＝0.5
求得第51个点坐标为：
7-2-2〕求解压力面弧线段输出点坐标
构建向量UXPS＝[37.077,37.464,37.081]和向量 UYPS＝[-9.886,-10.546,-10.758]，采用二次方Bezier公式，则第J 个点，采用二次方Bezier公式，其对应的计算向量BJ：
t＝(J-1)/(NC-1)
进而可以求得第J个点坐标为：
以第51个点为例，求得计算向量B51为：
t＝(51-1)/(101-1)＝0.5
求得第51个点坐标为：
8〕依据吸力面和压力面基准线方程和直线段输出点个数NL，求 解直线段输出点坐标。对于吸力面叶片型线直线段第K个点坐标为：
以第21个点为例，求得坐标为：
对于压力面叶片型线直线段第L个点坐标：
以第31个点为例，求得坐标为：
9〕结合吸力面和压力面直线段输出点坐标和Bezier曲线段输 出点坐标，吸力面和压力面叶片型线输出点坐标具体可表示为：
吸力面：
压力面：
10〕如图3所示，建立三维坐标系，以步骤8〕中构造型线所在 平面为x-y平面，以垂直于x-y平面的直线并过圆心O的直线为z 轴，则步骤8中构造的叶片型线为根部型线，其三维点坐标可以表 示为(xh,yh,0)，由输入参数叶片高度h，进而可以计算得到与根部型 线对应的顶部型线为：
从而完成吸力面和压力面三维叶片的型线设计。
如图4所示为通过上述计算建立的环形喷嘴直线-弧线叶片三维 整体结构图。当修改步骤1中的结构参数或者步骤2中的设计参数 时，重复步骤3-步骤10可以计算得到新的叶片结构，从而方便快捷 地得到一系列具有不同参数的喷嘴叶片结构，如图5为三种不同吸 力面直线段选取比例lSS计算所得的喷嘴叶片型线图，从而有利于后 续工作中研究不同参数对膨胀流动和透平膨胀机性能的影响。

Claims (1)

1.一种环形喷嘴直线-弧线叶片型线设计方法，其特征在于，包括以下步骤:
1〕读入所述环形喷嘴叶片基本参数，包括所述进口直径R1、出口直径R2、出口叶片角α2、叶片数目NB、喉部宽度b及叶片高度h。
2〕以环形喷嘴叶片俯视面圆心为原点，选定二维x-y正交坐标系，
自定义参数下标：“1”表示与进口相关，“2”表示与出口相关，“h”表示与根部相关(hub)线，“s”表示与顶部相关，“PS”表示与压力面相关，“SS”表示与吸力面相关；
自定义压力面直线段选取比例lPS、吸力面直线段选取比例lSS、叶片前缘顶点选取比例lp及吸力面Bezier曲线插值点选取比例lc,SS等型线设计参数，以及直线段输出点个数NL和弧线段输出点个数NC；
3〕根据基本参数和设计参数，求解单元流道中心线Lmid方程:
再通过直线平移法则计算得到压力面基准线LPS和吸力面基准线LSS：
4〕求解压力面基准线LPS与x和y轴的交点坐标分别为：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>P</mi> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>;</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>P</mi> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>P</mi> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>P</mi> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>P</mi> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;times;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>P</mi> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>P</mi> <mi>S</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
基于基准线和叶片数目，对压力面基准线LPS进行阵列，得到与吸力面基准线LSS相交的压力面基准线LPS,a：
并求解两条直线交点A坐标：
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以及两条直线与喷嘴外径圆的交点B和C的坐标：
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5〕依据压力面和吸力面直线段选取比例lPS和lSS，分别计算压力面和吸力面基准线直线段和弧线段分割点M和N的坐标：
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6〕依据叶片前缘顶点选取比例lp，计算压力面叶片型线和吸力面型线前缘交点D坐标，首先计算辅助线LPSa,SS方程：
再联立求解辅助线LPSa,SS和辅助外径圆O1的方程得前缘交点D坐标：
<mrow> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>D</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>D</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>:</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>P</mi> <mi>S</mi> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>S</mi> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>A</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>d</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>A</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>O</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>:</mo> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0.99</mn> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
7〕依据分割点M和N及前缘交点D，基于Bezier曲线方程，求解压力面根部型线和吸力面根部型线的曲线段，具体步骤分为：
7-1〕分别求解Bezier曲线的插值点坐标。
7-1-1〕求解吸力面叶片型线Bezier曲线段插值点P1、P2、P3和P4坐标，P1选为N点，P4选为D点，即：
<mrow> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>:</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>N</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>N</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
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P2和P3则通过辅助切线Lt与直线段LSS联立求解求得。辅助切线Lt方程为：
则辅助线Lt与吸力面基准线LSS的交点E的坐标：
根据E点坐标及吸力面Bezier曲线插值点选取比例lc,SS求解得插值点P2和P3的坐标：
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7-1-2〕求解压力面叶片型线Bezier曲线段插值点Q1、Q2和Q3坐标，Q1选为M点，Q3选为D点，即：
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Q2则选取为辅助线Lt与压力面基准线LPS,a的交点：
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7-2〕基于Bezier曲线方程，依据Bezier曲线段插值点坐标和Bezier曲线段输出点个数NC分别求解得到压力面和吸力面弧线段输出点坐标：
7-2-1〕求解吸力面弧线段输出点坐标
构建向量UXSS＝[xP1,xP2,xP3,xP4]和向量UYSS＝[yP1,yP2,yP3,yP4]，则第I个点，采用三次方Bezier公式，其对应的计算向量BI：
<mrow> <msub> <mi>B</mi> <mi>I</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>3</mn> <mi>t</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>3</mn> <msup> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>t</mi> <mn>3</mn> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
t＝(I-1)/(NC-1)
I＝1,...,NL，进而可以求得第I个点坐标为：
<mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>I</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>I</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>:</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>I</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>UX</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>I</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>I</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>UY</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>I</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
7-2-2〕求解压力面弧线段输出点坐标
构建向量UXPS＝[xQ1,xQ2,xQ3]和向量UYPS＝[yQ1,yQ2,yQ3]，采用二次方Bezier公式，则第J个点，采用二次方Bezier公式，其对应的计算向量BJ：
<mrow> <msub> <mi>B</mi> <mi>J</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>2</mn> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
t＝(J-1)/(NC-1)
J＝1,...,NL，进而可以求得第J个点坐标为：
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8〕依据吸力面和压力面基准线方程和直线段输出点个数NL，求解直线段输出点坐标：
对于吸力面叶片型线直线段第K个点坐标为：
<mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>K</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>K</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>:</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>K</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>N</mi> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>K</mi> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>A</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>N</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>K</mi> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>A</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>N</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
K＝1,...,NC
对于压力面叶片型线直线段第L个点坐标：
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L＝1,...,NC
9〕结合吸力面和压力面直线段输出点坐标和Bezier曲线段输出点坐标，吸力面和压力面叶片型线输出点坐标具体可表示为：
10〕建立三维坐标系，以步骤8〕中构造型线所在平面为x-y平面，以垂直于x-y平面的直线并过圆心O的直线为z轴，则步骤8中构造的叶片型线为根部型线，其三维点坐标可以表示为(xh,yh,0)，由输入参数叶片高度h，进而可以计算得到与根部型线对应的顶部型线为：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>h</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>h</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>h</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
从而完成吸力面和压力面三维叶片的型线设计。
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