CN107818209A - 一种弹性板结构的振动分析方法 - Google Patents
一种弹性板结构的振动分析方法 Download PDFInfo
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Abstract
一种弹性板结构的振动分析方法，包括以下步骤：利用卡诺高阶截取技术对弹性板结构厚度方向位移进行拟合；采用二维改进傅里叶级数对弹性板结构面内位移进行全求解域展开；由弹性板结构截面面内位移和轴向位移计算得到弹性板结构的整***移；计算弹性板结构的应变向量和应力向量；计算弹性板结构的应变能和动能方程，设置虚拟弹簧边界从而获取边界能；建立结构拉格朗日能量泛函，计算得到弹性板结构的核心质量矩阵和刚度矩阵；通过迭代循环核心矩阵求得整体的质量矩阵、刚度矩阵和结构的特征方程；计算弹性板结构的固有频率，根据特征向量输出结构的振型。本发明方法适用于多形状、多边界条件的弹性板结构，且精度高、收敛快、计算成本低。
Description
技术领域
本发明属于结构动力学领域，具体涉及一种弹性板结构的振动分析方法。
背景技术
弹性板结构广泛应用于船舶与海洋工程、建筑工程和航空航天等工程设备中，例如潜艇、汽车以及飞机机身等。深入研究这类结构的振动特性及其参数影响规律在设备早期设计阶段振动噪声水平预估和实现低噪声设计具有重要的理论与实践指导意义。
传统的弹性板理论主要有薄板弯曲理论和剪切变形理论，而薄板弯曲理论忽略了结构厚度方向的应变和剪切变形以及转动惯量的影响，仅适用于求解微小变形的薄板结构；剪切变形理论虽然考虑了剪切变形和转动惯量的影响，但仍忽略了横向拉伸变形以及扭转时的翘曲变形，仅适用于中厚板结构的横向弯曲问题。当板结构的厚度较大时，这两种理论计算结果往往偏差较大甚至无法用于计算分析。卡诺基于三维弹性理论提出了卡诺统一定理(CUF)(Carrera E.A class of two-dimensional theories for anisotropicmultilayered plates analysis.[J].Mem.accad.sci.torino Cl.sci.fis.mat.natur,1995:49-87.)，基于此理论，弹性板的计算精度可以通过厚度方向的插值函数加以控制，而改变插值函数的阶次并不对该理论的核心矩阵产生影响，如此，对应不同厚度的弹性板，其动力学方程都可以通过同一个矩阵核心迭代而来，变化的只是迭代的次数。另外，该技术中位移里未知变量的个数可以根据问题的需求而确定，大部分的弹性板振动问题都可以通过选择合适的未知变量的数量而达到相应的计算精度。
然而，已有的卡诺高阶截取拟合技术大部分是通过嵌入有限元方法来求解弹性板结构动力学问题(典型文献为Carrera E.Theories and finite elements formultilayered,anisotropic,composite plates and shells[J].Archives ofComputational Methods in Engineering,2002,9(2):87-140.Cinefra M,Valvano S.Avariable kinematic doubly-curved MITC9shell element for the analysis oflaminated composites[J].Mechanics of Advanced Materials&Structures,2016,23(11):págs.1312-1325.)，改变弹性板的形状或边界条件往往需要增加单元数量甚至重新建模分析，另外有限元方法普遍具有计算量大，计算精度不高，边界条件施加较为繁琐等缺点。因此研究和建立一种能够适用多形状参数、多边界条件、计算速度快的弹性板结构的振动分析方法依然是重点研究方向。
发明内容
本发明的目的在于提供一种适用多形状参数和多边界条件的，且精度高、收敛快、计算成本低和计算方法简单的弹性板结构的振动分析方法。
本发明的目的是这样实现的，包括以下步骤：
(1)利用卡诺高阶截取技术对弹性板结构厚度方向位移进行拟合，拟合形式如下：
其中，x,y和z为空间坐标系的坐标，Φ(x,y,z)为弹性板结构的整***移，表示弹性板结构面内位移，i＝1,2,…,N+1，Fi为泰勒展开式中的第i项，h为弹性板的厚度，N为泰勒展开的阶次。Φ取U,V,W，相应取u,v,w分别对应x，y和z三个方向上的位移分量。
(2)采用二维改进傅里叶级数对弹性板结构面内位移进行全求解域展开，具体形式如下：
其中和为相应展开项的系数，λm＝mπ/L1和λp＝pπ/L2(L1和L2分别为结构在x和y方向的结构几何尺寸)，M，P为截断项数。Xm和Yp分别为x和y的函数，为相应项的系数，补充函数ξk(x)和ηg(y)的引入是为了消除结构位移展开成传统傅里叶cosine级数时其本身及导数在边界处的不连续性，从而加速求解的收敛速度，补充函数具体形式设置为：
(3)由弹性板结构截面面内位移和轴向位移计算得到弹性板结构的整***移，具体表达式如下：
其中，U(x,y,z)，V(x,y,z)和W(x,y,z)分别对应空间坐标x，y和z三个方向上的位移分量，Ampi，Bmpi和Cmpi为位移分量中相应项的系数。
(4)计算弹性板结构的应变向量和应力向量；
所涉及弹性板结构的应变向量的表达式为：
ε＝[εx,εy,εz,γxy,γyz,γxz]T
其中，ε表示弹性板结构的应变向量；上标T表示转置；εx，εy和εz为正应变分量；γxy，γyz和γxz为切应变分量，且有
所涉及应力向量的表达式为：
σ＝Dε
其中，σ表示弹性板结构的应力向量，D为结构材料系数矩阵。
(5)计算弹性板结构的应变能和动能方程，同时，设置虚拟弹簧边界从而获取边界能，具体表达式如下：
其中，Vs，Tp和Vp分别为弹性板结构的应变能，动能和边界能。t表示时间，ρ为材料的密度。和为板面内x方向x＝0端所设的虚拟弹簧边界，和为板面内x方向另一端x＝L1处所设的虚拟弹簧边界；和为板面内y方向y＝0端所设的虚拟弹簧边界，和为板面内y方向另一端y＝L2处所设的虚拟弹簧边界。
(6)建立结构拉格朗日能量泛函Ω＝Vs+Vp-Tp，然后对其中的系数Ampi，Bmpi和Cmpi求偏导并令其结果为零，即可得到弹性板结构的3×3阶核心质量矩阵和刚度矩阵。核心矩阵中的元素如下：
其中Kmnpqij为核心刚度矩阵，Mmnpqij为核心质量矩阵，上角标a，b和c用以表示核心矩阵中的各个元素，例如ab表示矩阵中第a行第b列的元素；下角标m,n＝1,…,M+3；p,q＝1,…,P+3；i,j＝1,…,N+1；X′m，Y′p和F′i分别表示Xm，Yp和Fi的一阶导数，同理X′n，Y′q和F′j分别表示Xn，Yq和Fj的一阶导数。D11,…,D66为结构材料系数矩阵D中的元素。
(7)通过迭代循环核心矩阵求得整体的质量矩阵、刚度矩阵以及总体质量矩阵M，进而得到结构的特征方程；
所述质量矩阵和刚度矩阵的求解方法为：指针i，j由1取到N+1循环核心刚度矩阵Kmnpqij得到子子矩阵Kmnpq，指针p，q由1取到P+3循环子子矩阵Kmnpq得到子矩阵Kmn，指针m，n由1取到M+3循环子矩阵Kmn得到总体刚度矩阵K；
所述结构的特征方程表达式为：
(K-ω2M)A＝0
其中ω为圆频率，A为对应ω的特征向量；
(8)计算弹性板结构的固有频率，根据特征向量输出结构的振型。
本发明具有如下有益效果：
1.本发明实现了对弹性板结构计算精度和收敛速度的参数化分析，提高方法的计算精度或增加截断项数，只需简单地增加核心矩阵的循环迭代次数；
2.本发明中板结构厚度方向位移以泰勒多项式进行拟合，并无特殊针对性，理论上该方法适用于任意厚度的弹性板结构；
3.本发明中板结构截面位移以二维改进傅里叶级数进行全求解域拟合，与传统有限元方法相比，具有收敛速度快、计算精度高等特点；
4.本发明的方法只需要通过控制边界弹簧的刚度来满足结构的不同边界条件要求，而不需要对程序做任何修改。
综上所述，本发明的方法具有适用多形状参数、多边界条件、精度高、收敛快、计算成本低等特点。
附图说明
图1为本发明的流程图；
图2为弹性板结构示意图；
图3为刚度矩阵装配图。
具体实施方式
为使本发明解决的技术问题、采用的技术方案和达到的技术效果更加清楚，下面结合附图对本发明做进一步描述。
本发明方法执行步骤参照图1所示。
考虑一个矩形弹性板结构，如图2所示，截面尺寸为L1＝2m，L2＝3m,弹性板厚度h＝0.2m,为各向同性材料，杨氏模量E＝75GPa，密度ρ＝7800kg/m3，泊松比μ＝0.3。板结构四面简支无外加载荷。利用本发明方法对其进行求解，具体步骤如下：
(1)利用卡诺高阶截取技术对弹性板结构厚度方向位移进行拟合，由厚度和长度的比值选取泰勒展开阶次N＝2，拟合形式如下：
其中，x,y和z为空间坐标系的坐标，Φ(x,y,z)为弹性板结构的整***移，表示弹性板结构面内位移，i＝1,2,…,N+1，Fi为泰勒展开式中的第i项，h为弹性板的厚度。Φ取U,V和W，相应取u,v和w分别对应弹性板结构三个方向上的位移分量：
其中，U(x,y,z)，V(x,y,z)和W(x,y,z)分别对应空间坐标x，y和z三个方向上的位移分量。
(2)采用二维改进傅里叶级数对弹性板结构面内位移进行全求解域展开，具体形式如下：
其中和为相应展开项的系数，λm＝mπ/L1和λp＝pπ/L2(L1和L2分别为结构在x和y方向的结构几何尺寸)，M，P为截断项数。Xm和Yp分别为x和y的函数，为相应项的系数，补充函数ξk(x)和ηg(y)的引入是为了消除结构位移展开成传统傅里叶cosine级数时其本身及导数在边界处的不连续性，从而加速求解的收敛速度，补充函数具体形式设置为：
(3)结合弹性板结构截面面内位移和轴向位移，即可得到弹性板结构的整***移，具体表达式如下：
其中，Ampi，Bmpi和Cmpi为位移分量中相应项的系数。
(4)弹性板结构为各向同性材料，杨氏模量E＝75GPa，泊松比μ＝0.3。计算弹性板结构的应变向量和应力向量，振动应变具体形式如下：
ε＝[εx,εy,εz,γxy,γyz,γxz]T
其中，εx，εy和εz为正应变分量，γxy，γyz和γxz为切应变分量；ε表示弹性板结构的应变向量；T表示转置。振动应力具体形式如下：
σ＝Dε
其中，σ表示弹性板结构的应力向量，D为结构材料系数矩阵。
(5)计算弹性板结构的应变能和动能方程，同时，设置虚拟弹簧边界从而获取边界能，具体表达式如下：
其中，Vs，Tp和Vp分别为弹性板结构的应变能，动能和边界能。t表示时间，材料的密度ρ＝7800kg/m3。和为板面内x方向x＝0端所设的虚拟弹簧边界，和为板面内x方向另一端x＝L1处所设的虚拟弹簧边界；和为板面内y方向y＝0端所设的虚拟弹簧边界，和为板面内y方向另一端y＝L2处所设的虚拟弹簧边界。
(6)建立结构拉格朗日能量泛函Ω＝Vs+Vp-Tp，然后对其中的系数Ampi，Bmpi和Cmpi求偏导并令其结果为零，即可得到弹性板结构的3×3阶核心质量矩阵和刚度矩阵。核心矩阵中的元素如下：
其中Kmnpqij为核心刚度矩阵，Mmnpqij为核心质量矩阵，上角标a，b和c用以表示核心矩阵中的各个元素，例如ab表示矩阵中第a行第b列的元素；下角标m,n＝1,…,M+3；p,q＝1,…,P+3；i,j＝1,…,N+1；X′m，Y′p和F′i分别表示Xm，Yp和Fi的一阶导数，同理X′n，Y′q和F′j分别表示Xn，Yq和Fj的一阶导数。D11,…,D66为结构材料系数矩阵D中的元素。
(7)如图3所示，通过迭代循环核心矩阵求得整体的质量矩阵和刚度矩阵：指针i，j由1取到N+1循环核心刚度矩阵Kmnpqij得到子子矩阵Kmnpq，指针p，q由1取到P+3循环子子矩阵Kmnpq得到子矩阵Kmn，指针m，n由1取到M+3循环子矩阵Kmn得到总体刚度矩阵K，通过相同的方法循环核心质量矩阵得到总体质量矩阵M，进而得到结构的特征方程：
(K-ω2M)A＝0
其中ω为圆频率，A为对应ω的特征向量。
(8)应用Arnoldi算法建立MATLAB求解器输出弹性板结构的固有频率，并根据特征向量输出结构的各阶振型。
最后应说明的是：以上实施算例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制，本领域的技术人员应当理解：其对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围。
Claims (1)
1.一种弹性板结构的振动分析方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤一.利用卡诺高阶截取技术对弹性板结构厚度方向位移进行拟合，拟合形式如下：
其中，x,y和z为空间坐标系的坐标，Φ(x,y,z)为弹性板结构的整***移，表示弹性板结构面内位移，i＝1,2,…,N+1，Fi为泰勒展开式中的第i项，h为弹性板的厚度，N为泰勒展开的阶次；Φ取U,V,W，相应取u,v,w分别对应x，y和z三个方向上的位移分量；
步骤二.采用二维改进傅里叶级数对弹性板结构面内位移进行全求解域展开，具体形式如下：
其中和为相应展开项的系数，λm＝mπ/L1和λp＝pπ/L2，L1和L2分别为结构在x和y方向的结构几何尺寸；M，P为截断项数；Xm和Yp分别为x和y的函数，为相应项的系数，ξk(x)和ηg(y)为补充函数，补充函数表达式为：
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步骤三.由弹性板结构截面面内位移和轴向位移计算弹性板结构的整***移，具体表达式如下：
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其中，U(x,y,z)，V(x,y,z)和W(x,y,z)分别对应空间坐标x，y和z三个方向上的位移分量，Ampi，Bmpi和Cmpi为位移分量中相应项的系数；
步骤四.计算弹性板结构的应变向量和应力向量；
所涉及弹性板结构的应变向量的表达式为：
ε＝[εx,εy,εz,γxy,γyz,γxz]T
其中，ε表示弹性板结构的应变向量；上标T表示转置；εx，εy和εz为正应变分量；γxy，γyz和γxz为切应变分量，且有
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所涉及应力向量的表达式为：
σ＝Dε
其中，σ表示弹性板结构的应力向量，D为结构材料系数矩阵；
步骤五.计算弹性板结构的应变能和动能方程，并设置虚拟弹簧边界从而获取边界能，具体表达式如下：
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其中，Vs，Tp和Vp分别为弹性板结构的应变能，动能和边界能；t表示时间，ρ为材料的密度；和为板面内x方向x＝0端所设的虚拟弹簧边界，和为板面内x方向另一端x＝L1处所设的虚拟弹簧边界；和为板面内y方向y＝0端所设的虚拟弹簧边界，和为板面内y方向另一端y＝L2处所设的虚拟弹簧边界；
步骤六.建立结构拉格朗日能量泛函Ω＝Vs+Vp-Tp，然后对其中的系数Ampi，Bmpi和Cmpi求偏导并令其结果为零，计算得到弹性板结构的核心质量矩阵和刚度矩阵；核心矩阵中的元素如下：
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其中Kmnpqij为核心刚度矩阵，Mmnpqij为核心质量矩阵，上角标a，b和c为核心矩阵中元素的标号；下角标m,n＝1,…,M+3；p,q＝1,…,P+3；i,j＝1,…,N+1；X′m，Y′p和F′i分别表示Xm，Yp和Fi的一阶导数，同理X′n，Y′q和F′j分别表示Xn，Yq和Fj的一阶导数；D11,…,D66为结构材料系数矩阵D中的元素；
步骤七.通过迭代循环核心矩阵求得整体的质量矩阵、刚度矩阵以及总体质量矩阵M，进而得到结构的特征方程；
所述质量矩阵和刚度矩阵的求解方法为：指针i，j由1取到N+1循环核心刚度矩阵Kmnpqij得到子子矩阵Kmnpq，指针p，q由1取到P+3循环子子矩阵Kmnpq得到子矩阵Kmn，指针m，n由1取到M+3循环子矩阵Kmn得到总体刚度矩阵K；
所述结构的特征方程表达式为：
(K-ω2M)A＝0
其中ω为圆频率，A为对应ω的特征向量；
步骤八.计算弹性板结构的固有频率，根据特征向量输出结构的振型。
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Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| PB01 | Publication | ||
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| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
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| GR01 | Patent grant | ||
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