CN107798150B - 一种基于序列二次规划方法统一框架的哑元填充方法 - Google Patents
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Abstract
本发明属集成电路半导体制造技术领域，涉及化学机械抛光工艺哑元填充方法。本发明方法为一种统一的、不进行模型近似的哑元填充方法，应用序列二次规划方法对哑元填充问题进行直接求解，可获得高质量的哑元填充结果。本发明在具体实现中提出了一种在确定哑元位置前估算交叠面积的方法，用于提高优化效率。本方法能够在可以承受的运行时间下，对复杂的哑元填充目标作优化，得到质量较高的哑元填充方案，且能良好地通过并行计算进行加速，应用于解决大规模版图哑元填充问题。
Description
技术领域
本发明属集成电路半导体制造技术领域，涉及化学机械抛光工艺中的哑元填充方法，具体涉及一种统一的、不进行模型近似的哑元填充方法。尤其涉及一种基于序列二次规划方法(SQP)统一框架的哑元填充方法。本方法是以参考文献[13]中提出的填充质量衡量标准作为优化目标的最优化哑元填充方法。
背景技术
芯片表面平坦化是集成电路制造的关键环节之一，而化学机械抛光(ChemicalMechanical Polishing,CMP)工艺是完成这一目标的主要方法。经过抛光后的芯片表面形貌的平整度与版图模式、特别是版图中互连线密度分布有密切关系。因此为提高抛光后芯片表面形貌的平整度，工业界常采用哑元填充技术(Dummy Fill Insertion)，即在版图设计的空白区域填充无逻辑功能的金属块(即哑元)，使得版图密度变得更加均匀，从而在化学机械抛光工艺下更容易获得平整的抛光效果。但填充的哑元会产生寄生电容并可能导致电路性能的下降。因此在哑元填充时，需对哑元的总填充量、哑元填充的位置和形状作仔细考虑，以平衡版图平整度的需求和电路性能下降的代价。
在现有哑元填充方法中，大部分研究工作均是基于对化学机械抛光工艺的既有经验，将这些既有经验转化为优化目标或约束，从而将哑元填充问题转化为优化问题。现有技术(文献[3][4])提出了传统的基于线性规划(Linear Programming)的哑元填充方法。该类方法对版图密度均匀度和填充量建模，通过最小化填充量来减少电路性能的下降程度。虽该方法能够解出该优化问题的最优解，但由于优化算法的计算复杂度较高，为O(n3)，当集成电路规模越来越大以及关键尺寸逐渐减小的情况下，需耗费大量的求解时间。
现有技术文献[5][7]提出了一类基于蒙特卡洛方法的启发式算法，该类方法能高效地求解哑元填充问题。该算法通过迭代在选定的网格中填充特定数量的哑元，从而最终获得一个解。但是，该类方法无法高效地对较大规模版图进行求解，并且在迭代过程中无法准确地确定每次在网格中的填充量。现有技术文献[8]和文献[9]提出了一种基于覆盖线性规划(Covering Linear Programming)的解决方案，该方法能够较好和高效地平衡版图密度均匀度和填充量，但它仍没有将寄生电容直接考虑在优化目标中。因此其解决方案可能会引入过多的寄生电容，从而导致电路性能下降严重。
为了更好地评估寄生电容的影响，文献[10]提出采用层间交叠面积，即哑元和相邻层版图中的哑元或互连线版图的重叠部分面积来衡量寄生电容的影响。但由于该项指标只有当所有哑元的位置均被确定后才可计算得到，文献[11]提出了一种基于整数线性规划(Integer Linear Programming，ILP)的哑元填充方法，以优化哑元填充的交叠面积。而文献[12]在其基础上进一步提出了同时对版图密度均匀度和交叠面积进行优化的方法。
在2014年，文献[13]依据哑元填充技术的工业现状，提出了一种新的评估哑元填充算法质量的方法，并依此评估方法在EDA领域著名国际会议ICCAD上开展哑元填充算法国际竞赛。在该竞赛中采用了多优化目标的评判标准，包括哑元填充总量、哑元的交叠面积、密度均匀度(内含3个单项指标)以评判哑元填充的质量，以及哑元填充程序运行时间和内存开销以衡量算法的时间、空间开销。基于该评估方法，文献[14]提出了一种改进的基于整数线性规划的哑元填充方法，但由于该方法对优化目标采用了线性近似，一般仅能获得次优的填充方案。
与本发明相关的现有技术有下述参考文献：
[1]A.B.Kahng and K.Samadi.CMP Fill Synthesis:A Survey of RecentStudies.IEEE Trans.Comput.-Aided Design Integr.Circuits Syst.,27(1):31-36,January 2008.
[2]W.S.Lee,K.H.Lee,J.K.Park,T.K.Kim,Y.K.Park,andJ.T.Kong.Investigation of the capacitance deviation due to metal-fills andthe effective interconnect geometry modeling.In Proc.Int.Symp.QualityElectron.Des.,pages 373–376,2003.
[3]A.B.Kahng,G.Robins,A.Singn,and A.Zelikovsky.Filling algorithms andanalyses for layout density control.IEEE Trans.Comput.-Aided DesignIntegr.Circuits Syst.,18(4):1132–1147,October 2002.
[4]R.Tian,D.F.Wong,and R.Boone.Model-based dummy feature placementfor oxide chemical-mechanical polishing manufacturability.IEEE Trans.Comput.-Aided Design Integr.Circuits Syst.,20(7):902–910,July 2001.
[5]Y.Chen,A.B.Kahng,G.Robins,and A.Zelikovsky.Monte-carlo algorithmsfor layout density control.In Proc.IEEE Asia South Pacific Des.Autom.Conf.,pages 523–528,2000.
[6]Y.Chen,A.B.Kahng,G.Robins,and A.Zelikovsky.Practical iterated fillsynthesis for cmp uniformity.In Proc.ACM/IEEE Des.Autom.Conf.,pages 671–674,2000.
[7]X.Wang,C.C.Chiang,J.Kawa,and Q.Su.A min-variance iterative methodfor fast smart dummy feature density assignment in chemical-mechanicalpolishing.In Proc.Int.Symp.Quality Electron.Des.,pages 258–263,2005.
[8]C.Feng,H.Zhou,C.Yan,J.Tao,and X.Zeng.Provably good and practicallyefficient algorithms for cmp dummy fill.In Proc.ACM/IEEE Des.Autom.Conf.,pages 539–544,2009.
[9]C.Feng,H.Zhou,C.Yan,J.Tao,and X.Zeng.Efficient approximationalgorithms for chemical mechanical polishing dummy fill.IEEE Trans.Comput.-Aided Design Integr.Circuits Syst.,30(3):402–415,March 2011.
[10]A.B.kahng and R.O.Topaloglu.A doe set for normalization-basedextraction of fill impact on capacitances.In Proc.Int.Symp.QualityElectron.Des.,pages 467–474,2007.
[11]Y.Chen,P.Gupta,and A.B.Kahng.Performance-impact limited area fillsynthesis.In Proc.ACM/IEEE Des.Autom.Conf.,pages 22–27,2003.
[12]H.Xiang,L.Deng,R.Puri,K.-Y.Chao,and M.D.F.Wong.Fast dummy-filldensity analysis with coupling constraints.IEEE Trans.Comput.-Aided DesignIntegr.Circuits Syst.,27(4):633–642,April 2008.
[13]R.O.Topaloglu.Iccad-2014cad contest in design formanufacturability flow for advanced semiconductor nodes and benchmarksuite.In Proc.IEEE Int.Conf.Comput.-Aided Des.,pages367–368,2014.
[14]Y.Lin,B.Yu,and D.Z.Pan.High performance dummy fill insertion withcoupling and uniformity constraints.In Proc.ACM/IEEE Des.Autom.Conf.,pages 1–6,2015.
[15]P.T.Boggs and J.W.Tolle.Sequential quadratic programming.ActaNumerica,4(1):1–51,January 1995.
[16]Y.Chen,P.Gupta,A.B.Kahng.Performace-impacted limited area fillsynthesis.In Proc.IEEE Int.Conf.Comput.-Aided Des.Pages 22-27,2003.
[17]K.D.Gourley and D.M.Green.Polygon-to-rectangle conversionalgorithm.IEEE Comp.Graphics&Applic.,3(1):31-36,January 1983.。
发明内容
本发明针对现有技术中哑元填充方法存在的不足，将一种非线性优化算法，即序列二次规划方法(Sequential Quadratic Programming,SQP)[15]应用于求解哑元填充问题，提出了一种新的哑元填充方法，具体涉及一种统一的、不进行模型近似的哑元填充方法。尤其涉及一种基于序列二次规划方法(SQP)统一框架的哑元填充方法。本方法是以参考文献[13]中提出的填充质量衡量标准作为优化目标的最优化哑元填充方法。
本方法能够在工业界可接受的运行时间下，对复杂的哑元填充目标进行优化求解，得到具有更高质量的哑元填充方案。本方法能够通过并行计算进行有效地加速，具有应用于解决大规模版图哑元填充问题的潜力。
本发明方法应用序列二次规划方法，求解具有综合目标的哑元填充优化问题。为了便于直接应用序列二次规划方法，本发明提出一种在确定哑元具***置前估算哑元交叠面积的方法。本发明提出的哑元填充方法流程如图1所示，具体包括下述5个步骤：
输入参数：
1.待填充的版图文件，均匀网格边长a；
2.最小的哑元宽度wm、最小的哑元面积am、最小的哑元与哑元，或哑元与互连线的间距sm；
3.初始总填充量搜索步长d
输出结果：哑元填充后的版图文件，其中包含所有哑元的大小和位置，并***到原始版图文件中。
步骤1：版图提取并建立以综合目标为优化目标的哑元填充问题，共包括如下5个子步骤
步骤1.1：采用大小为a的均匀网格，划分整个版图区域
对版图以固定大小的均匀网格进行划分，将共有L层的版图中每层分别划分为给定边长a的N×M个正方形网格Wl,i,j，其中层号l＝1,2,...,L，网格行和列的索引i＝1,2,...,N，j＝1,2,...,M，如图2(a)所示；
步骤1.2：计算每个网格的初始密度dl,i,j
统计每个网格中互连线所占区域的面积Al,i,j，如图2(b)中黑色区域为互连线，也即为pattern的面积，则网格Wl,i,j内互连线密度为dl,i,j＝Al,i,j/Areal,i,j，其中Areal,i,j＝a2是指网格Wl,i,j的总面积；由于***哑元只会增加网格密度，因此网格内互连线的初始密度即该网格密度的下界；
步骤1.3：计算每个网格内的可填充区域
每个网格内的可填充区域为网格内可填充哑元的空白区域(slack)，考虑到最小线互连线间距的设计要求，本发明方法将在待填充的版图区域内找出所有满足最小间距sm的空白区域，这些区域即为潜在的哑元填充区域，如图2(b)所示灰色区域，每个网格的可填充区域内可填充的最大哑元数量即为该网格可填充区域的面积sl,i,j；
根据图2(b)给出可填充区域的定义，计算网格内可填充区域需对网格内所有互连线段进行扫描，找出所有平行互连线段对之间的空白区域，再将这些空白区域划分为矩形，考虑到本方法中填充哑元的最小宽度为wm、最小面积为am，且互连线最小间距sm的影响，需对矩形空白区域按照最小间距sm进行缩小，并剔除不满足最小哑元宽度wm或最小哑元面积am的矩形后，剩余区域面积的总和；本发明中可采用现有技术文献[16]提出的一种扫描线算法和文献[17]提出的多边形-长方形转换算法用来计算版图内的可填充区域；
步骤1.4：划分可填充区域的类型，并计算每种类型可填充区域的大小
为能在确定哑元具***置前准确估算不同层之间的交叠面积，本发明对每个网格内的可填充区域进一步细分为4类(如图3所示)，不失一般性，本发明中，假定在任意层l的版图都存在与其相邻的第l+1层版图和l-1层版图，则(1)第一类可填充区域指在第l层的可填充区域中，若相邻的版图层中(即l-1层和l+1层)的相同区域也均为可填充区域；(2)第二类可填充区域是指在第l+1层版图的相同区域不是可填充区域、而在第l-1层版图的相同区域为可填充区域；(3)第三类可填充区域是指仅在第l-1层版图的相同区域不是可填充区域、而在第l+1层版图的相同区域为可填充区域；(4)第四类可填充区域是指在相邻层的版图中的相同区域均为互连线，特别的，当l＝L(顶层)时的第l+1层和当l＝1(底层)时的第l-1层应被认为是完全由可填充区域组成的版图；
依据上述可填充区域的分类方法，计算网格Wl,i,j中第k种可填充区域的面积为
其中k＝1,2,3,4表示可填充区域的类别；
步骤1.5：构建以综合目标为优化目标的哑元填充问题
本发明中，以综合目标为优化目标的哑元填充问题定义为：按固定网格划分后的版图，计算每个网格内各类可填充区域面积
在各类可填充区域范围内填充哑元，使得以综合目标衡量下填充后版图质量最高，即可形式化描述为如下的优化问题：
其中，优化目标为公式(1.1)达到最小值时，文献[13]中提出的填充质量就能达到最大值；g(x)中的向量x为每个网格中的填充量xl,i,j构成的向量；公式(1.2)表示每个网格内四种不同种类哑元的填充量约束条件；公式(1.3)是由文献[13]给定的加权评估函数gX(x)的表达式，其中αX和βX是由文献[13]评估方法中确定的加权系数；ov、fa、σ、σ*和ol是由文献[13]给定的五项用于评判填充质量的指标，它们分别可以通过下述公式计算得到，
其中，
指Wl,i,j中可填充区域和Wl+1,i,j中可填充区域的交叠部分面积；ρl,i,j指哑元填充后网格Wl,i,j内的密度，
指哑元填充后第l层第j列的网格密度均值，
指哑元填充后第l层的网格密度均值，它们可通过下述公式分别计算得到：
步骤2：确定采用序列二次规划的初始点(starting point)，共包括2个子步骤，
步骤2.1：采用文献[14]的方法，计算每个网格内初始填充量xl,i,j
对于任意的第l层版图，计算该层所有网格中最大的互连线面积
以及该层所有网格中最小的最大填充后金属面积dmax,l＝min(dl,i,j+sl,i,j/Areal,i,j)，其中Areal,i,j是指Wl,i,j中包含的版图总面积；
若dmin,l＜dmax,l，则确定该层的目标密度tdl＝dmin,l；否则在范围[dmax,l,dmin,l]以一定步长d进行线性搜索，将按照以下方式确定每个网格初始总填充量后，将其对应版图平整度评分
最高的作为tdl，
在确定tdl后，按照公式(3.1)，再确定该层所有网格的初始填充量xl,i,j；
步骤2.2：计算每个网格内四种类型哑元的各自初始填充量
针对每个网格Wl,i,j的初始填充量xl,i,j，需要将其分配到四种不同类型的初始填充量中，使得从网格Wl,i,j垂直方向上看到的所有网格Wl,i,j,l＝1..L之间的交叠(overlay)最少，即对任意i＝1,2,...,N，j＝1,2,...,M，求下列优化问题：
由于该优化问题是一个小规模的线性规划问题，容易获得最优解，而在本子步骤中需要求解大量(M*N个)独立、小规模线性优化问题，因此，容易通过并行方法快速获得全部小问题的最优解；
步骤3：应用SQP方法，对步骤2得到的初始点，进一步优化哑元填充，共包括6个子步骤，
步骤3.1：将原优化问题中的约束通过拉格朗日乘子法并入优化目标中
通过拉格朗日乘子，公式(1.2)描述的约束，可以并入公式(1.1)描述的原优化目标中。新的优化目标为，
其中x是由网格内各类可填充区域内的填充量组成的向量，s由网格内各类可填充区域的面积组成的向量，v1和v2是拉格朗日乘子组成的待求向量；
步骤3.2：本步骤为判断步骤，如果在当前最优解处目标函数在所有变量方向上梯度为0或在间断点处正负方向梯度都大于0，则迭代结束，跳转至步骤4；
步骤3.3：计算目标函数以及在当前最优解处求目标函数对各变量的梯度以及其Hessian矩阵；
步骤3.4：计算优化方向
根据文献[15]中提出的二次序列规划方法，计算以当前最优解为初始点的优化方向Δx，该方向可以通过在当前最优解处求目标函数对各变量的梯度以及其Hessian矩阵得到；
步骤3.5：选取优化步长并更新最优解
根据文献[15]中提到的方法，计算以Δx为优化方向情况下的步长α，使得其满足下列条件，
g(x+α·Δx)＜g(x)
且填充量x+α·Δx应当满足如公式(1.2)所述的约束条件。选定步长后，将最优解更新为x+α·Δx。得到局部最优结果后，跳转至步骤3.2；
步骤4：确定所有哑元的位置。针对每个网格的每一种可填充区域中所有矩形，按照面积进行排序，然后从面积最大的可填充区域矩形开始进行哑元***，哑元***应满足设计规则(design rule)，直到最终达到步骤3计算得到的填充量。
通过以上步骤，本发明方法可以在工业界可接受的时间范围内，获得每个网格内的哑元填充量和哑元具体的填充位置，既能满足填充量的约束，又能获得较高的填充质量。
本发明基于序列二次规划方法，建立的统一的化学机械抛光工艺哑元填充方法具有以下优点：
1.应用序列二次规划方法，通过求解无简化的、统一的优化问题，解决哑元填充问题，该方法获得的哑元填充质量优于目前已知的方法。
2.提出了一种能够在确定每个哑元的填充位置前，估算哑元填充产生的交叠面积的算法，该算法具有较高的估算精度。
3.本发明能够在业界可接受的时间范围内，获得较高的填充质量。
附图说明
图1为一种基于序列二次规划方法统一框架的哑元填充方法流程图。
图2为版图划分模式示意图以及互连线密度和可填充区域示意图。
图3为不同类型可填充区域的定义。
具体实施方式
为使本发明的目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面通过具体实施例进一步说明本发明。
本实验为验证本发明提出的统一的、不进行模型简化的化学机械抛光工艺哑元填充方法的有效性，实验测试用例和评分标准均来自文献[13]实验测试版图信息及其对应的评分参数如表1所示[13]。
采用本发明提出哑元填充方法，首先需要对整个版图进行划分，在本实施实例中划分网格边长a＝20μm，最小的哑元宽度wm＝32nm、最小的哑元面积am＝4800nm2、最小的哑元与哑元或信号线的间距sm＝32nm，初始总填充量搜索步长d＝0.005。
表1实验用例版图信息及对应的评分参数
本发明比较了与文献[13]相关的ICCAD 2014可制造性竞赛中关于哑元填充算法的竞赛前3名的方法(用其名次表示)、最新的文献[14]中提出的基于整数线性规划的方法(Lin)和本发明提出的方法(PKB+SQP)。
表2列出了五种方法下哑元填充质量的比较，pd为哑元填充带来的交叠面积和填充总量的单项得分(满分为1分)，σ、σ*和ol为哑元填充后平整度相关指标的单项得分(满分为1分)，Quality为加权后得到的填充质量的总评分(满分为0.75分)。运行时间为在8个CPU核的服务器上得到的算法运行时间。特别地，在括号中标明的是PKB+SQP方法在64个CPU核的服务器上得到的算法运行时间，以显示该填充方法在并行多核计算平台下的加速效果。
表2五种填充方法的填充质量比较
结果显示，本发明方法的填充质量评分(Quality一栏)均高于目前国际上现有的其他方法，验证了本发明提出的哑元填充方法可有效提升哑元填充的质量。
哑元填充时间上，尽管本发明提出的方法比现有的方法稍慢一些，但在64个CPU核的服务器上，均能在8分钟内完成，这对工业界是可以接受的时间范围。
Claims (1)
1.一种基于序列二次规划方法统一框架的哑元填充方法，其特征在于，该方法直接将序列二次规划方法应用到哑元填充，该方法是一种统一的、不进行模型近似的哑元填充方法以及在确定哑元位置前估算交叠面积的方法，该方法包括步骤：
输入参数：
1.待填充的版图文件，均匀网格边长a；
2.最小的哑元宽度wm、最小的哑元面积am、最小哑元与互连线的间距sm；
3.初始总填充量搜索步长d
输出结果：哑元填充后的版图文件，其中包含所有哑元的大小和位置，并***到原始版图文件中；
步骤1：版图提取并将哑元填充问题建模为以综合目标最优的优化问题；
其中，包括步骤：
步骤1.1：采用大小为a的均匀网格，划分整个版图区域
对版图以固定大小的均匀网格进行划分，将共有L层的版图中每层分别划分为给定边长a的N×M个正方形网格Wl,i,j，其中层号l＝1,2,...,L，网格行和列的索引i＝1,2,...,N，j＝1,2,...,M；
步骤1.2：计算每个网格的初始密度dl,i,j
统计每个网格中互连线所占区域的面积Al,i,j，网格Wl,i,j内互连线密度为dl,i,j＝Al,i,j/Areal,i,j，其中Areal,i,j＝a2是指网格Wl,i,j的总面积；
步骤1.3：计算每个网格内的可填充区域
每个网格内的可填充区域即为每个网格内可以填充哑元的空白区域；每个网格的可填充区域内可填充的最大哑元数量即为该网格可填充区域的面积sl,i,j；可填充区域的定义为，将空白区域划分为矩形，对矩形空白区域按照最小间距sm进行缩小，并剔除不满足最小哑元宽度wm或最小哑元面积am的矩形后，剩余区域面积的总和；
步骤1.4：划分可填充区域的类型，并计算每种类型可填充区域的大小
对每个网格内的可填充区域进一步细分为4类；则(1)第一类可填充区域指在第l层的可填充区域中，若相邻的版图层中(即l-1层和l+1层)的相同区域也均为可填充区域；(2)第二类可填充区域是指在第l+1层版图的相同区域不是可填充区域、而在第l-1层版图的相同区域为可填充区域；(3)第三类可填充区域是指仅在第l-1层版图的相同区域不是可填充区域、而在第l+1层版图的相同区域为可填充区域；(4)第四类可填充区域是指在相邻层的版图中的相同区域均为互连线；特别的，当l＝L(顶层)时的第l+1层和当l＝1(底层)时的第l-1层应被认为是完全由可填充区域组成的版图；
依据上述可填充区域的分类方法，计算网格Wl,i,j中第k种可填充区域的面积为
其中k＝1,2,3,4表示可填充区域的类别；
步骤1.5：构建以综合目标为优化目标的哑元填充问题
以综合目标为优化目标的哑元填充问题定义为：按固定网格划分后的版图，计算每个网格内各类可填充区域面积
在各类可填充区域范围内填充哑元，使得以综合目标衡量下填充后版图质量最高；即可形式化描述为如下的优化问题：
其中，优化目标为公式(1.1)达到最小值时，哑元填充质量就能达到最大值；g(x)中的向量x为每个网格中的填充量xl,i,j构成的向量；公式(1.2)表示每个网格内四种不同种类哑元的填充量约束条件；公式(1.3)是给定的加权评估函数gX(x)的表达式，其中αX和βX是加权系数；ov、fa、σ、σ*和ol是给定的五项用于评判填充质量的指标，它们分别可以通过下述公式计算得到，
其中，
指Wl,i,j中可填充区域和Wl+1,i,j中可填充区域的交叠部分面积；ρl,i,j指哑元填充后网格Wl,i,j内的密度，
指哑元填充后第l层第j列的网格密度均值，
指哑元填充后第l层的网格密度均值，它们可通过下述公式分别计算得到：
步骤2：确定用于序列二次规划的初始点；其中，包括如下步骤：
步骤2.1：计算每个网格内初始填充量xl,i,j
对于任意的第l层版图，计算该层所有网格中最大的互连线面积
以及该层所有网格中最小的最大填充后金属面积dmax,l＝min(dl,i,j+sl,i,j/Areal,i,j)，其中Areal,i,j是指Wl,i,j中包含的版图总面积,sl,i,j为Wl,i,j网格中可填充区域的面积；
若dmin,l＜dmax,l，则确定该层的目标密度tdl＝dmin,l；否则在范围[dmax,l,dmin,l]以一定步长d进行线性搜索，将按照以下方式确定每个网格初始总填充量后，将其对应版图平整度评分
最高的作为tdl，
在确定tdl后，按照公式(3.1)，再确定该层所有网格的初始填充量xl,i,j；
步骤2.2：计算每个网格内四种类型哑元的各自初始填充量
针对每个网格Wl,i,j的初始填充量xl,i,j，需要将其分配到四种不同类型的初始填充量中，使得从网格Wl,i,j垂直方向上看到的所有网格Wl,i,j,l＝1..L之间的交叠(overlay)最少，即对任意i＝1,2,...,N，j＝1,2,...,M，求下列优化问题：
由于该优化问题是一个小规模的线性规划问题，容易获得最优解；而在本子步骤中需要求解大量(M*N个)独立、小规模线性优化问题，因此，容易通过并行方法快速获得全部小问题的最优解；
步骤3：应用SQP方法，对步骤2得到的初始点，进一步优化哑元填充的结果；其中，包括如下步骤：
步骤3.1：将原优化问题中的约束通过拉格朗日乘子法并入优化目标中
通过拉格朗日乘子，公式(1.2)描述的约束，可以并入公式(1.1)描述的原优化目标中；新的优化目标为，
其中x是由网格内各类可填充区域内的填充量组成的向量，s由网格内各类可填充区域的面积组成的向量，v1和v2是拉格朗日乘子组成的待求向量；
步骤3.2：本步骤为判断步骤，如果在当前最优解处目标函数在所有变量方向上梯度为0或在间断点处正负方向梯度都大于0，则迭代结束，跳转至步骤4；
步骤3.3：计算目标函数以及在当前最优解处求目标函数对各变量的梯度以及其Hessian矩阵；
步骤3.4：计算优化方向
采用二次序列规划方法，计算以当前最优解为初始点的优化方向Δx，该方向可以通过在当前最优解处求目标函数对各变量的梯度以及其Hessian矩阵得到；
步骤3.5：选取优化步长并更新最优解
计算以Δx为优化方向情况下的步长α，使得其满足下列条件，
g(x+α·Δx)＜g(x)
且填充量x+α·Δx应当满足如公式(1.2)所述的约束条件；选定步长后，将最优解更新为x+α·Δx；得到局部最优结果后，跳转至步骤3.2；
步骤4：确定所有哑元的位置。
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