CN107579606A - 一种低振噪性能的分数槽集中绕组永磁电机及设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种低振噪性能的分数槽集中绕组永磁电机及设计方法。属于旋转电机领域，在原有的槽极配和的电机基础上，相应的增加几个定子附加齿(具体个数根据电机的槽极配和而定)。以三相18/16电机为例，增加6个附加齿，计算各个定子槽口位置，绕组结构采用三相18/16电机对应的集中绕组结构。转子结构采用普通的表贴结构，径向充磁。本发明的优点在于，通过改变定子结构，降低气隙中绕组磁动势中齿谐波的含量，从而降低电机的振动和噪声，同时又保证了电机的转矩。此外，由于定子结构的变化，导致气隙中磁动势的次谐波含量降低，进而降低了永磁体中产生的涡流损耗。因此本发明对于电机的本体设计具有很大意义。
Description
技术领域
本发明涉及一种电动机制造技术，特别是涉及到一种降低分数槽集中绕组电机损耗和振动的技术。
背景技术
传统的分数槽集中绕组永磁电机的定子结构对称，集中绕组结构可以在电机的气隙中产生较大的磁动势，提高电机的反电势和输出转矩。然而，分数槽集中绕组永磁电机最大的不足在于，通电绕组会在气隙中产生各种各样的磁动势谐波，在这些磁动势谐波中，只有和转子旋转频率相同的那次谐波可以作用产生输出转矩，其他次谐波会在电机转子永磁体内产生巨大的涡流损耗，尤其是对于表贴式电机而言，产生的涡流损耗使电机散热性变差。除了要解决的散热问题，分数槽集中绕组永磁电机的振动和噪声也是一大需要攻克的难题。为了解决这些弊端，如何削弱分数槽集中绕组永磁电机的磁动势谐波被逐步研究。
文献IEEE 2013International Electric Machines&Drives Conference,(ANovel Tooth Concnetrated Winding with Low Space Harmonic Contents)改变了传统的分数槽集中绕组的绕组连接方式，创造性的使用“星-三角”的绕组连接方式，消除了绕组产生的低次谐波含量。虽然有很多新型的结构和方法被不断提出用于降低分数槽集中绕组的绕组磁动势谐波，但是这都是建立在消耗一部分输出转矩的基础上。而且，已经研究出来的谐削弱方法并不能削弱某些特定的谐波。设电机的定子齿为Z,转子极对数为p,则我们称kZ±P次谐波为齿谐波。齿谐波和工作波具有相同的绕组因数，所以使用一般的方法改变齿谐波的绕组因数时，工作波含量的大小也会相应受到影响，从而影响到输出转矩。同时齿谐波的存在，尤其是第Z-p次谐波的存在，使得电机存在大量的铁耗、涡流损耗以及振动噪声。不可避免的降低电机的输出性能。所以，采用新的定子结构和绕组的连接方式，从而降低气隙中磁动势的齿谐波含量是非常有意义的。
发明内容
本发明的目的是为了解决原有分数槽集中绕组电机定转子气隙磁场中存在大量磁动势谐波的问题，提出了一种简单有效、工程上易于执行的方法。在保证转矩有效提高的同时，降低电机的损耗、振噪。本发明的电机结构是用在旋转电机拓扑上，由于这种方法的本质是改变绕组线圈两边之间的距离，只和电机的绕线齿和线圈有关，所以该定子结构和绕组连接方式也同样适用于直线电机和盘式电机。为了实现上述效果，本发明的技术方案为：
设计一种低振噪性能的分数槽永磁电机，为了进一步降低分数槽绕组产生的磁动势谐波，进而降低谐波引起的损耗和振动噪声。
本发明的技术方案为：
一种低振噪特性分数槽集中绕组永磁电机，包含定子，转子；定子和转子之间具有气隙；定子开槽形成对称定子齿、不对称定子齿以及附加定子齿；定子齿上绕有线圈A，线圈B；绕组连接方式按照槽电势星型图；转子为普通表贴式结构，含有永磁阵列，定子在整个圆周上不是完全对称的，设计不同的定子齿结构，以降低绕组在气隙中产生磁动势谐波的齿谐波含量，最终降低电机的损耗、振动和噪声。
进一步，对称定子齿，不对称定子齿以及附加定子齿满足关系：对称定子齿对应的角度为2θ3，不对称定子齿对应的角度为θ3+θ4，附加定子齿对应的角度为2θ5，线圈A跨经不对称定子齿和附加定子齿，B跨经对称定子齿，θy表示绕组中线圈跨过的角度，则电机的节距因数满足以下公式：
式中，v表示绕组在气隙中产生的磁动势谐波对应的极对数，对于分数槽集中绕组而言，θy的值可以表示为：
其中，Z表示电机的定子齿数；此外，还满足以下公式：
对于三相18/16电机，基波对应的磁动势谐波极对数为8，kp8为基波对应的绕组磁动势的节距因数，kd8为基波绕组磁动势的分布因数，同时，对称定子齿，不对称定子齿以及附加定子齿的大小满足约束条件：
6θ3+12(θ3+θ4)+12θ5＝2π。
进一步，永磁体阵列有大小相等的永磁体组成，按照径向充磁，充磁方向交替。
进一步，永磁体阵列也可采用Halbach阵列进行聚磁，定子与转子之间气隙厚度取0.5mm。
本发明方法的技术方案为：一种低振噪特性分数槽集中绕组永磁电机的设计方法，包括以下步骤：
步骤1，选择分数槽集中绕组永磁电机的极槽配合，通过槽电势星型图法进行绕组连接，利用点电流法，将绕组中电流等效到槽口位置，计算通电绕组在电机气隙中产生的绕组磁动势，并计算v对极谐波磁动势对应的槽口因数Ksv、分布因数Kqv和节距因数Kyv；
步骤2，对通电绕组在气隙中产生的磁动势进行傅立叶分解，求出基波对应的绕组磁动势分量，计算绕组磁动势对应的基波含量中的槽口因数Ksp、分布因数Kqp和节距因数Kyp；由于槽极配和固定，所以分布因数和节距因数保持不变，同时槽口因数近似为1也忽略，此时要增大基波分量对应的节距因数从而增大磁动势分量，令基波节距因数取最大值1，求出此时对应的绕组节距；
步骤3，根据新的绕组节距，在电机的定子部分增加相应的附加齿，假如为三相18/16电机，添加6个附加齿，此时绕组的连接方式仍然按照传统的三相18/16分数槽集中绕组电机分相，这样保证了绕组产生的磁动势对应的槽口因数Ksv和分布因数Kqv保持不变，此时绕组基波分量对应的节距因数Kyv增加为1，而齿谐波即kZ±P次谐波含量对应的节距因数减小，从而降低了齿谐波占基波含量的百分比，从而降低了电机的振噪特性。
进一步，永磁体阵列有大小相等的永磁体组成，按照径向充磁，充磁方向交替。
进一步，永磁体阵列也可采用Halbach阵列进行聚磁，定子与转子之间气隙厚度取0.5mm。
进一步，对称定子齿，不对称定子齿以及附加定子齿满足关系：对称定子齿对应的角度为2θ3，不对称定子齿对应的角度为θ3+θ4，附加定子齿对应的角度为2θ5，线圈A跨经不对称定子齿和附加定子齿，B跨经对称定子齿，θy表示绕组中线圈跨过的角度，则电机的节距因数满足以下公式：
式中，v表示绕组在气隙中产生的磁动势谐波对应的极对数，对于分数槽集中绕组而言，θy的值可以表示为：
其中，Z表示电机的定子齿数；此外，还满足以下公式：
对于三相18/16电机，基波对应的磁动势谐波极对数为8，kp8为基波对应的绕组磁动势的节距因数，kd8为基波绕组磁动势的分布因数，同时，对称定子齿，不对称定子齿以及附加定子齿的大小满足约束条件：
6θ3+12(θ3+θ4)+12θ5＝2π。
本发明主要包含新型定子结构、绕组连接方式和转子结构的设计。定子包含定子轭部、定子齿部、定子槽，绕组由铜线制作的线圈构成，线圈绕在定子齿上，放置在定子槽中。线圈两边直接的机械角度为θ，定子和转子之间会存在气隙，通电绕组会在气隙中产生磁动势，将磁动势傅立叶分解之后，可以转换成和绕组在气隙中产生的磁动势谐波的极对数v相关的谐波分量。此时v对极谐波含量有三个主要的影响因子，槽口因数Ksv、分布因数Kqv和节距因数Kyv。在计算绕组磁动势的时候一般采用点电流法，即将绕组电流集中到槽口位置的中心点，此时相当于把槽口宽度等效为0，槽口因数的值则近似为1，所以绕组在气隙中产生的磁动势只和分布因数和节距因数有关。该方法以三相18/16电机为例，创造性的在三相之间添加6个辅助定子齿，并保证电机的电负荷不变，此时整个定子齿以四个相邻的齿为一组，整个圆周上共有三组。每组定子齿分为三种不同的齿，即一个对称齿a,两个不对称齿b，还有一个对称齿c。通过理论分析可以得出abc三齿对应的角度为：
绕组线圈的连接方式按照三相18/16电机的槽电势星型图连线，保证每相合成的磁动势幅值最大原则，每相线圈跨距为θ’＝π/8。此时能够保证8对极谐波(即工作波)对应的磁动势的节距因数为1，相应的增大基波幅值，提升转矩密度。同样的10对极谐波含量的幅值大幅度降低，使得电机的径向力波降低，最终降低电机的振动和噪声。
该发明采用表贴式永磁体，可以考虑采用Halbach永磁体阵列，增强聚磁作用，提升转矩密度。
本发明实施的对象为低振噪性能的分数槽永磁电机。该方案具有以下优点：
(1)创造性的在定子中添加附加齿，通过特定的绕线方式，将工作波和kz±p(k为正整数)次齿谐波分离开来，只降低齿谐波的幅值，从而降低了绕组在气隙中产生的磁动势齿谐波，降低了低次径向力波，从而降低了电机的振动和噪声。
(2)本发明有效的降低了通电绕组在气隙中产生的低磁谐波含量，减少了电机的漏磁，降低了涡流损耗，控制了转子在高速运动时的温度，可以降低不可逆退磁的风险。
(3)本发明能够提高绕组磁动势工作波的幅值，保证了电机的转矩密度。
(4)永磁体可考虑用内嵌式，表嵌式以及表贴式。此外，表嵌式以及表贴式永磁体还可以考虑采用Halbach永磁体阵列，增强聚磁作用，提升转矩密度。
(5)本发明的电机结构对于多种电机类型普适，包括旋转电机，平板型直线电机，圆筒型直线电机以及盘式电机等。定子齿的形状设计取决于槽极配和，原理具有普适性。
附图说明
图1为本发明低振噪性能的分数槽永磁电机整体示意图。
图2为本发明低振噪性能的分数槽永磁电机的定子齿结构变化放大原理示意图。
图3为本发明低振噪性能的分数槽永磁电机的定子结构放大示意图。
图4为传统的三相18/16分数槽集中绕组电机和本发明低振噪性能的分数槽永磁电机的绕组磁动势频谱分析对比示意图。
图5为传统的三相18/16分数槽集中绕组电机和本发明低振噪性能的分数槽永磁电机的铁耗和涡流损耗对比示意图。
图6为传统的三相18/16分数槽集中绕组电机和本发明低振噪性能的分数槽永磁电机的声功率对比示意图。
具体实施方式
参考图1，本发明为一种降低分数槽集中绕组永磁电机振噪特性的方法，电机的振动和噪声受到通电绕组在气隙中产生的齿谐波的影响，齿谐波含量越高，电机的振动和噪声越大。本发明包含外定子1，含有三种齿,对称齿15、不对称齿16、附加齿17。电机槽电势星型图200，一般情况下，任意空间上正弦分布的波都可以用一个空间矢量来代表，因此，可以将每个线圈产生的磁动势波都用一段线段表示，箭头表示矢量方向。各个矢量之间的夹角就等于所代表的磁动势谐波在空间上的相位差，空间上相隔一个波长，在矢量图上就相差2π(弧度)，而矢量长度就代表对应磁动势的幅值。实际上，把构成绕组的所有线圈的矢量用矢量发相加便可求得整个绕组产生的v对极磁动势谐波，这就是槽电势星型图分析绕组磁动势的基本原理和方法。在实际应用中，为了方便确定矢量方向，可以把电机的所有的z个槽堪称是均匀分布的z根载有相同方向、相同电流的导体，此时各适量长度应该对应相等。分析v对极的槽电势星型图时，相邻槽号的两根矢量之间的夹角等于槽距角的v倍，槽距角可以表示为：
如图1所述200为三相18/16电机工作波即8对极对应的磁动势星型图。有了槽电势星型图，实际的电机绕组便可据此连接，载有正电流的导体矢量方向与导体所嵌槽号的槽矢量方向相同，载有负电流的导体矢量方向与导体所嵌槽号的槽矢量方向相反。以线条交叉表示电流流入，空心圆圈表示电流流出，即正绕线圈101，反绕线圈102，每个线圈跨距相等，具体尺寸视所选择的电机的定子槽数和永磁体的极对数而定。定转子之间存在气隙，具体气隙厚度根据电机大小及相关要求确定。内转子采用传统的表贴式。
所述外定子1在原有的定子齿上添加若干个附加齿，齿数及对称齿15、不对称齿16、附加齿17的尺寸视具体的电机槽集配合而定。图1为以三相18/16双层绕组电机定子为例。在实际运用中，绕组结构可以选用单层或者双层结构，对应的改变定子齿结构即可。
图2为本发明定子齿结构变化放大原理示意图。电机转子中心位置O到线圈所在定子1槽口的位置构成的夹角θy为绕组磁动势节距因数的影响因子，此时v对极谐波对应的节距因数可以表示为：
参考图2，该发明的原理在于改变夹角θy，传统的电机夹角为θ1，该发明夹角为θ2，满足基波即工作波对应的节距因数Kpv＝1，增加了基波磁动势幅值，提高转矩密度。
所述定子1局部放大示意图如图3所示。转子2采用普通的表贴式结构，永磁体300采用径向充磁。各模块永磁体300极弧系数一致。所述正绕线圈101，反绕线圈102所跨机械角度相同，且满足基波对应的节距因数为1。对称齿15、不对称齿16、附加齿17对应的夹角分别为2θ3，θ3+θ4，2θ5，为了保证基波对应的节距因数为1，此时，齿15，16，17应满足公式：
基波对应的节距因数为1，则kpc8＝1,对称齿15、不对称齿16、附加齿17对应的角度为22.5度，15度，7.5度。此时是以三相18/16电机为例计算的角度，不同的槽极配合计算粗来的定子1齿的尺寸不同。同时，从图中可以看出，正绕线圈101跨过一个附加齿17和不对称齿16，反绕线圈102跨过一个对称齿15，这和传统意义上的分数槽集中绕组结构不同，但本发明的绕组连接方式和传统意义上的分数槽集中绕组结构的绕组连接方式相同，且线圈的正负相带划分完全一致。区别在于，本发明利用了附加齿产生的空间位置角使得线圈101和线圈102产生的跨距相等，保证了绕组合成磁动势的值最大，同时，破坏了工作波和齿谐波之间的对应关系，使得改变工作波幅值时，相应的齿谐波含量不会跟着改变。
图4为传统的三相18/16分数槽集中绕组电机和本发明低振噪性能的分数槽永磁电机的绕组磁动势频谱分析对比示意图。图中A为传统的三相18/16分数槽集中绕组电机的绕组磁动势频谱分析，B为低振噪性能的分数槽永磁电机的绕组磁动势频谱分析对比示意图，可以看出，改进后的电机的z-p,z+p,2z-p,2z+p……次齿谐波含量明显降低。(z表示电机的定子齿数，p表示永磁体极对数)改进前后，电机的尺寸，电负荷，电流密度均保持不变。电机的工作波即8对极谐波的幅值不变，使得电机的转矩不受影响。10对极齿谐波相对于电机的工作波而言是反转波，所以对电机振动和噪声的影响十分巨大。从图中可以看出，10对极谐波含量占基波含量的比值降低了25.3％。这也是本设计方案降低电机振噪的重要原因之一。
所述图4中，2对极谐波含量降低了约40％，此时如图5所示为传统的三相18/16分数槽集中绕组电机和本发明低振噪性能的分数槽永磁电机的铁耗和涡流损耗对比示意图。图中A1为传统的三相18/16分数槽集中绕组电机的定子铁耗和转子永磁体内产生的涡流损耗，B1为低振噪性能的分数槽永磁电机的定子铁耗和转子永磁体内产生的涡流损耗。对比可以看出，该发明低振噪特性永磁电机的涡流损耗降低了30.1％，定子铁耗基本保持不变。电机运行中，在永磁体内部产生的涡流损耗和电机的温度联系十分密切。涡流损耗却大，产生的温度越高。一般传统的分数槽集中绕组永磁电机都采用自然冷却的冷却方案，所以降低电机运行中，在永磁体内部产生的涡流损耗就显得尤其重要。而且，随着温度的升高，永磁体本身存在退磁的问题。控制涡流损耗的数值，可以有利的降低永磁体退磁的风险。这也是该发明的优势之一。
图6为传统的三相18/16分数槽集中绕组电机和本发明低振噪性能的分数槽永磁电机的声功率对比示意图。图中A2为传统的三相18/16分数槽集中绕组电机在不同频率下的声功率，B2为本发明低振噪性能的分数槽永磁电机的声功率。可以看到，在1200Hz和4300Hz时，该电机的声功率降低最多，从84.33dB降低到74dB，噪声等级总共降低了84.12％，这从降级振噪的领域来看，该发明达到了一个非常理想的效果。振动和噪声的降低，解决了电机运行中存在的很多问题，这也是本发明研究的主要意义所在。
在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例”、“一些实施例”、“示意性实施例”、“示例”、“具体示例”、或“一些示例”等的描述意指结合该实施例或示例描述的具体特征、结构、材料或者特点包含于本发明的至少一个实施例或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不一定指的是相同的实施例或示例。而且，描述的具体特征、结构、材料或者特点可以在任何的一个或多个实施例或示例中以合适的方式结合。
尽管已经示出和描述了本发明的实施例，本领域的普通技术人员可以理解：在不脱离本发明的原理和宗旨的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由权利要求及其等同物限定。
Claims (8)
1.一种低振噪特性分数槽集中绕组永磁电机，其特征在于，包含定子(1)，转子(2)；定子(1)和转子(2)之间具有气隙；
定子(1)开槽形成对称定子齿(15)、不对称定子齿(16)以及附加定子齿(17)；定子齿上绕有线圈A(101)，线圈B(102)；绕组连接方式按照槽电势星型图(200)；转子(2)为普通表贴式结构，含有永磁阵列(300)，定子(1)在整个圆周上不是完全对称的，设计不同的定子齿结构，以降低绕组在气隙中产生磁动势谐波的齿谐波含量，最终降低电机的损耗、振动和噪声。
2.根据权利要求1所述一种降低振噪特性分数槽集中绕组永磁电机，其特征是：对称定子齿(15)，不对称定子齿(16)以及附加定子齿(17)满足关系：对称定子齿(15)对应的角度为2θ3，不对称定子齿(16)对应的角度为θ3+θ4，附加定子齿(17)对应的角度为2θ5，线圈A(101)跨经不对称定子齿(16)和附加定子齿(17)，B(102)跨经对称定子齿(15)，θy表示绕组中线圈跨过的角度，则电机的节距因数满足以下公式：
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式中，v表示绕组在气隙中产生的磁动势谐波对应的极对数，对于分数槽集中绕组而言，θy的值可以表示为：
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其中，Z表示电机的定子齿数；此外，还满足以下公式：
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对于三相18/16电机，基波对应的磁动势谐波极对数为8，kp8为基波对应的绕组磁动势的节距因数，kd8为基波绕组磁动势的分布因数，同时，对称定子齿(15)，不对称定子齿(16)以及附加定子齿(17)的大小满足约束条件：
6θ3+12(θ3+θ4)+12θ5＝2π。
3.根据权利要求1所述一种低振噪特性分数槽集中绕组永磁电机，其特征是：永磁体阵列(300)有大小相等的永磁体组成，按照径向充磁，充磁方向交替。
4.根据权利要求1所述一种低振噪特性分数槽集中绕组永磁电机，其特征是：永磁体阵列(300)也可采用Halbach阵列进行聚磁，定子(1)与转子(2)之间气隙厚度取0.5mm。
5.一种低振噪特性分数槽集中绕组永磁电机的设计方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1，选择分数槽集中绕组永磁电机的极槽配合，通过槽电势星型图法进行绕组连接，利用点电流法，将绕组中电流等效到槽口位置，计算通电绕组在电机气隙中产生的绕组磁动势，并计算v对极谐波磁动势对应的槽口因数Ksv、分布因数Kqv和节距因数Kyv；
步骤2，对通电绕组在气隙中产生的磁动势进行傅立叶分解，求出基波对应的绕组磁动势分量，计算绕组磁动势对应的基波含量中的槽口因数Ksp、分布因数Kqp和节距因数Kyp；由于槽极配和固定，所以分布因数和节距因数保持不变，同时槽口因数近似为1也忽略，此时要增大基波分量对应的节距因数从而增大磁动势分量，令基波节距因数取最大值1，求出此时对应的绕组节距；
步骤3，根据新的绕组节距，在电机的定子部分增加相应的附加齿，假如为三相18/16电机，添加6个附加齿，此时绕组的连接方式仍然按照传统的三相18/16分数槽集中绕组电机分相，这样保证了绕组产生的磁动势对应的槽口因数Ksv和分布因数Kqv保持不变，此时绕组基波分量对应的节距因数Kyv增加为1，而齿谐波即kZ±P次谐波含量对应的节距因数减小，从而降低了齿谐波占基波含量的百分比，从而降低了电机的振噪特性。
6.根据权利要求5所述的一种低振噪特性分数槽集中绕组永磁电机的设计方法，其特征在于，永磁体阵列(300)有大小相等的永磁体组成，按照径向充磁，充磁方向交替。
7.根据权利要求5所述的一种低振噪特性分数槽集中绕组永磁电机的设计方法，其特征在于，永磁体阵列(300)也可采用Halbach阵列进行聚磁，定子(1)与转子(2)之间气隙厚度取0.5mm。
8.根据权利要求5所述的一种低振噪特性分数槽集中绕组永磁电机的设计方法，其特征在于，对称定子齿(15)，不对称定子齿(16)以及附加定子齿(17)满足关系：对称定子齿(15)对应的角度为2θ3，不对称定子齿(16)对应的角度为θ3+θ4，附加定子齿(17)对应的角度为2θ5，线圈A(101)跨经不对称定子齿(16)和附加定子齿(17)，B(102)跨经对称定子齿(15)，θy表示绕组中线圈跨过的角度，则电机的节距因数满足以下公式：
<mrow>
<msub>
<mi>K</mi>
<mrow>
<mi>y</mi>
<mi>v</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mi>sin</mi>
<mi> </mi>
<mi>v</mi>
<mfrac>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mi>y</mi>
</msub>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
式中，v表示绕组在气隙中产生的磁动势谐波对应的极对数，对于分数槽集中绕组而言，θy的值可以表示为：
<mrow>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mi>y</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>&pi;</mi>
</mrow>
<mi>Z</mi>
</mfrac>
</mrow>
其中，Z表示电机的定子齿数；此外，还满足以下公式：
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>k</mi>
<mrow>
<mi>p</mi>
<mn>8</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mi>s</mi>
<mi>i</mi>
<mi>n</mi>
<mn>8</mn>
<mfrac>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mn>6</mn>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<mn>12</mn>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mn>12</mn>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>5</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mi>&pi;</mi>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>k</mi>
<mrow>
<mi>p</mi>
<mn>8</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mi>sin</mi>
<mn>8</mn>
<mfrac>
<mrow>
<mn>4</mn>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<mn>8</mn>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>5</mn>
</msub>
</mrow>
<mn>3</mn>
</mfrac>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>k</mi>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mn>8</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>c</mi>
<mi>o</mi>
<mi>s</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<mn>4</mn>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>5</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mn>3</mn>
</mfrac>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
对于三相18/16电机，基波对应的磁动势谐波极对数为8，kp8为基波对应的绕组磁动势的节距因数，kd8为基波绕组磁动势的分布因数，同时，对称定子齿(15)，不对称定子齿(16)以及附加定子齿(17)的大小满足约束条件：
6θ3+12(θ3+θ4)+12θ5＝2π。
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