CN107505834A - 一种分数阶比例积分控制器的设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提出了一种分数阶比例积分控制器的设计方法，属于比例积分控制器设计技术领域。该设计方法通过获得参数kp,ki,δ的具体数值；确定分数阶PI控制器开环传递函数；获得分数阶PI控制器开环传递函数的转化形式函数；获得所述分数阶PI控制器开环传递函数的脉冲响应模型；获得所述分数阶PI控制器开环传递函数的阶跃响应模型；获得状态错误函数模型等步骤设计出分数阶PI控制器。本发明适用于具有两个分数阶项的分数阶传递函数的被控设备。
Description
技术领域
本发明涉及一种分数阶比例积分控制器的设计方法，属于比例积分控制器设计技术领域。
背景技术
尽管过去几十年来过程控制取得了全面的进步，比例积分微分(PID)控制器仍然是工业 控制应用中最广泛的选择。PID控制机制因其透明度、简单的结构、大量可靠且具有成本效益 的商业PID模块的可用性，以及使用者的广泛接受度，成为其成功的原因。这些事实使得PID 控制较其他最先进的控制技术更易被控制工程师所理解。为改进PID控制，尤其是整定规则领 域，投入了大量的学术和工业成本。在过去的几年间，分数阶PID被越来越频繁地使用，但是 提出调整它们的方法却总是需要一个设备的模型来控制，导致其应用不灵活，计算复杂程度 很高。
发明内容
本发明为解决现有技术中分数阶比例积分控制器引用灵活性低，计算复杂程度高的问题， 提出了一种分数阶比例积分控制器的设计方法，所采取的技术方案如下：
一种分数阶比例积分控制器的设计方法，所述方法的步骤如下：
步骤一：针对具有传递函数的被控分数阶设备，利用分数阶PI控制器传递 函数和分数阶PI控制器开环传递函数G(s)＝C(s)P(s)以及三个整定约束获得参 数kp,ki,δ的具体数值；其中，α是分数阶的已知正实数，K表示控制器增益；T是已知参数； δ是兴趣范围内的正实数，且0<δ<2，kp,ki是分数阶PI控制器传递函数系数；
步骤二：根据被控分数阶设备传递函数和所述分数阶PI控制器传递函数 确定分数阶PI控制器开环传递函数其中，α表示分数阶 的已知正实数，ωn表示无阻尼自振角频率，ξ表示阻尼比；并且有，0<α<2,bf＝0且ωn>0,-cos(απ/2)<ξ<1；
步骤三：将步骤二所述分数阶PI控制器开环传递函数的进行分数扩 展并获得分数阶PI控制器开环传递函数的转化形式函数：其中， γ*，λ*是γ，λ的共轭转置；
步骤四：将步骤三中所述转化形式函数的部分进行逆拉氏变换，并获得逆拉氏变 换模型：h1＝γtα-1Eα，α(λtα)；并根据所述逆拉氏变换模型获得所述分数阶PI控制器开环传 递函数的脉冲响应模型：h(t)＝2Re(γtα-1Eα，α(λtα))；其中，t表示时刻；Re表示实部；
步骤五：根据步骤四所述脉冲响应模型获得所述分数阶PI控制器开环传递函数的阶跃响 应模型：并得出y(t)的最终值
步骤六：利用Mittag-Leffler函数并结合y(t)的最终值获得y(t)的渐 近行为函数：其中，Г表示伽马函数；
步骤七：根据步骤六所述y(t)的渐近行为函数获得状态错误函数模型：
其中，a表示分 数阶的已知正实数；b表示分数阶已知正实数；
步骤八：结合步骤五所述阶跃响应模型、步骤七所述状态错误函数模型以及所述分数阶 PI控制器的分数阶***的整定条件即可获得所述分数阶比例积分控制器。
进一步地，步骤一所述三个整定约束包括：
相位余量约束：
增益交叉频率约束：|G(jωc)|dB＝|C(jωc)P(jωc)|dB＝0；
开环增益鲁棒性变化约束；
其中，ωc为绕增益交越频率；表示相位裕量；dB表示分贝。
进一步地，步骤八所述分数阶PI控制器的分数阶***的整定条件为：
整定条件一：
整定条件二：|kiΓ(1-α)|≥50或|kiΓ(1-α)|≥20。
本发明提出的方法适用于具有两个分数阶项的分数阶传递函数的被控设备，如加热炉系 统、热流设备、风扇和金属板***。
本发明有益效果：在过去的几年间，分数阶PID被越来越频繁地使用，但是提出调整它 们的方法却总是根据不同的情况，需要针对该情况的不同设备的模型来控制。本发明解决了 这个问题，为分数阶PID提出了一组统一的设计和整定方法。该方法是利用相同的设备时间 响应数据，并呈现了一类没有复杂计算的分数阶模型的新的简单PI整定方法。使用该方法， 轻易极大程度的减少复杂计算量，节省运算资源。
附图说明
图1为本发明所述函数t-α的属性波形图一。
图2为本发明所述函数t-α的属性波形图二。
图3为本发明所述函数Γ(1-α)的特性波形图一。
图4为本发明所述函数Γ(1-α)的特性波形图二。
具体实施方式
下面结合具体实施例对本发明做进一步说明，但本发明不受实施例的限制。
实施例1：
一种分数阶比例积分控制器的设计方法，所述方法的步骤如下：
步骤一：针对具有传递函数的被控分数阶设备，利用分数阶PI控制器传递 函数和分数阶PI控制器开环传递函数G(s)＝C(s)P(s)以及三个整定约束获得参 数kp,ki,δ的具体数值；其中，α是分数阶的已知正实数，K表示控制器增益；T是已知参数； δ是兴趣范围内的正实数，且0<δ<2，kp,ki是分数阶PI控制器传递函数系数；
其中，由于被控分数阶设备传递函数P(s)中的比例因子可以并入控制器的比例系数， 控制器增益K可以归一化为1而不失一般性。Cole-Cole模型中可以找到分数阶***的动机，该 模型提供了改善介质理论和色散数据之间拟合的参数，并解释了基础物理在分数阶微积分和 阶次阶动力学方面的介电弛豫机理。目前很多工作正在解释分子和体积宏观层面的分数物理 学的介电常数。设计控制器以使论及的分数阶***具开环增益鲁棒性。
步骤二：根据被控分数阶设备传递函数和所述分数阶PI控制器传递函数 确定分数阶PI控制器开环传递函数其中，其中，α表示 分数阶的已知正实数，ωn表示无阻尼自振角频率，ξ表示阻尼比；T表示传递函数系数；并 且有，0<α<2,bf＝0且ωn>0,-cos(απ/2)<ξ<1；该取值范围导致函数 的BIBO稳定。
步骤三：将步骤二所述分数阶PI控制器开环传递函数的进行分数扩 展并获得分数阶PI控制器开环传递函数的转化形式函数：其中， γ*，λ*是γ，λ的共轭转置；并且：
步骤四：将步骤三中所述转化形式函数的部分进行逆拉氏变换，并获得逆拉氏变 换模型：h1＝γtα-1Eα，α(λtα)；并根据所述逆拉氏变换模型获得所述分数阶PI控制器开环传 递函数的脉冲响应模型：h(t)＝2Re(γtα-1Eα，α(λtα))；其中，t表示时刻；Re表示实部；并且Eα， β(z)＝Σ∞表示双参数Mittag-Leffler的函数，是一种函数种类的表示方式，其中β(z)表示 任一负数，在本实施例中该负数就是α(λtα)，即Eα，β(z)＝Eα，α(λtα)＝Σ∞，本实施 例中利用Eα，β(z)＝Eα，α(λtα)＝Σ∞即可获得上述脉冲响应模型；
步骤五：根据步骤四所述脉冲响应模型获得所述分数阶PI控制器开环传递函数的阶跃响 应模型：并得出y(t)的最终值
步骤六：利用Mittag-Leffler函数并结合y(t)的最终值获得y(t)的 渐近行为函数：其中，Г表示伽马函数；其中，所述渐近行为函数的获得过程为：Mittag-Leffler函数的渐近行为是有益的，当0<α<2且β是任意复数时，双参数Mittag-Leffler函数的扩展是有效的，即：
其中
其中p≥1是任意整数，O(·)表示高阶无限项，则y(t)的渐近行为可以近似如：
步骤七：根据步骤六所述y(t)的渐近行为函数获得状态错误函数模型：
其中，a表示分 数阶的已知正实数；b表示分数阶已知正实数；
步骤八：结合步骤五所述阶跃响应模型、步骤七所述状态错误函数模型以及所述分数阶 PI控制器的分数阶***的整定条件即可获得所述分数阶比例积分控制器。考虑函数t-α的 属性(见图1，图2)，在本实施例中将用较小的ωna-2bξt-α迅速趋向于稳态值b/ω2， 如果ωna-2bξt-α趋于零，则ess(t)将趋于零
其中，步骤一所述三个整定约束包括：
相位余量约束：
增益交叉频率约束：|G(jωc)|dB＝|C(jωc)P(jωc)|dB＝0；
开环增益鲁棒性变化约束；
其中，ωc为绕增益交越频率，增益交叉频率由ωc给出，相位裕度由指定，ωc为绕增 益交越频率；表示相位裕量；dB表示分贝。
开环增益鲁棒性变化约束，要求相位导数w.r.t.频率为零，即相位波特图平坦，绕增益 交越频率ωc。这意味着***对开环增益变化是鲁棒的，并且响应的过冲几乎相同。
开环频率响应的相位和增益是
那么
根据开环增益鲁棒性变化约束
那么
其中
求解方程，即可获得kp,ki,δ的参数值。
其中，步骤八所述分数阶PI控制器的分数阶***的整定条件为：
整定条件一：
整定条件二：|kiΓ(1-α)|≥50或|kiΓ(1-α)|≥20。
实施例2
本实施例中，被控分数阶设备的传递函数具体为形式为
本实施例考虑分数阶数α的分数PI控制器
如果使用分数阶α的分数阶PI控制器来控制由传递函数(16)建模的设备，则闭环*** 可以有以下形式的结构，其中0<α<2。
那么***的阶跃响应就是
错误是
所述分数阶PI控制器的分数阶***的整定条件如下：
(1) (2)考虑Γ(1-α)的特性(见图3和图4)，当0<α<1时，Γ(1-α)在α＝0处有最小值， Γ(1-α)＝1，有大于α且大于t的值，当t≥1时，t-α的最大值为1；Γ(1-α)在α＝1.5时具有最 大的值，Γ(1-α)＝-3.5449，当1<α<2时，t-α随着t的折变趋于零。考虑经典二阶模型的性 能指标，以便让分数阶***在±0.02y(∞)或±0.05y(∞)范围内的阶跃响应较早，本实施例 中|kiΓ(1-α)|≥50或|kiΓ(1-α)|≥20。
虽然本发明已以较佳的实施例公开如上，但其并非用以限定本发明，任何熟悉此技术的 人，在不脱离本发明的精神和范围内，都可以做各种改动和修饰，因此本发明的保护范围应 该以权利要求书所界定的为准。
Claims (3)
1.一种分数阶比例积分控制器的设计方法，其特征在于，所述方法的步骤如下：
步骤一：针对具有传递函数的被控分数阶设备，利用分数阶PI控制器传递函数和分数阶PI控制器开环传递函数G(s)＝C(s)P(s)以及三个整定约束获得参数kp,ki,δ的具体数值；其中，α是分数阶的已知正实数，K表示控制器增益；T是已知参数；δ是兴趣范围内的正实数，且0<δ<2，kp,ki是分数阶PI控制器传递函数系数；
步骤二：根据被控分数阶设备传递函数和所述分数阶PI控制器传递函数确定分数阶PI控制器开环传递函数其中，α表示分数阶的已知正实数，ωn表示无阻尼自振角频率，ξ表示阻尼比；并且有，0<α<2,bf＝0且ωn>0,-cos(απ/2)<ξ<1；
步骤三：将步骤二所述分数阶PI控制器开环传递函数的进行分数扩展并获得：其中，γ*，λ*是γ，λ的共轭转置；
步骤四：将步骤三中所述转化形式函数的部分进行逆拉氏变换，并获得逆拉氏变换模型：h1＝γtα-1Eα，α(λtα)；并根据所述逆拉氏变换模型获得所述分数阶PI控制器开环传递函数的脉冲响应模型：h(t)＝2Re(γtα-1Eα，α(λtα))；其中，t表示时刻；Re表示实部；
步骤五：根据步骤四所述脉冲响应模型获得所述分数阶PI控制器开环传递函数的阶跃响应模型：并得出y(t)的最终值
步骤六：利用Mittag-Leffler函数并结合y(t)的最终值获得y(t)的渐近行为函数：其中，Г表示伽马函数；
步骤七：根据步骤六所述y(t)的渐近行为函数获得状态错误函数模型：
<mrow>
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<mi>s</mi>
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</mrow>
</mrow>
</mfrac>
<msup>
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<mrow>
<mo>-</mo>
<mi>&alpha;</mi>
</mrow>
</msup>
</mrow>
其中，a表示分数阶的已知正实数；b表示分数阶已知正实数；
步骤八：结合步骤五所述阶跃响应模型、步骤七所述状态错误函数模型以及所述分数阶PI控制器的分数阶***的整定条件即可获得所述分数阶比例积分控制器。
2.根据权利要求1所述设计方法，其特征在于，步骤一所述三个整定约束包括：
相位余量约束：
增益交叉频率约束：|G(jωc)|dB＝|C(jωc)P(jωc)|dB＝0；
开环增益鲁棒性变化约束；
其中，ωc为绕增益交越频率；表示相位裕量；dB表示分贝。
3.根据权利要求1所述设计方法，其特征在于，步骤八所述分数阶PI控制器的分数阶***的整定条件为：
整定条件一：
整定条件二：|kiΓ(1-α)|≥50或|kiΓ(1-α)|≥20。
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