CN107491832A - 基于混沌理论的电能质量稳态指标预测方法 - Google Patents

基于混沌理论的电能质量稳态指标预测方法 Download PDF

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State Grid Shanghai Electric Power Co Ltd
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Abstract

本发明涉及一种基于混沌理论的电能质量稳态指标预测方法，首先电能质量稳态指标数据的采集；对采集到的电能质量稳态指标历史监测数据进行预处理，包括去噪和缺失值处理，并对数据作归一化之后，将处理后的数据保存到数据库中；根据混沌理论，对已处理好的电能质量稳态指标时间数据，采用C‑C法求解最优时延τ d和最佳嵌入维数m d ，进行相空间重构,得到一组新的多维数据空间；基于最小二乘支持向量机模型对重构后的数据空间进行训练，得到最优预测模型；利用已训练好的最小二乘支持向量机模型进行电能质量稳态指标的预测，得到预测输出。解决现有的电能质量稳态指标预测精度不高等问题。

Description

基于混沌理论的电能质量稳态指标预测方法
技术领域
本发明涉及一种电能质量监控与预测技术，特别涉及一种基于混沌理论的电能质量稳态指标预测方法。
背景技术
电能质量不仅影响电网的安全、稳定与经济运行，而且其质量的好坏直接影响着用户侧用电设备的正常工作。
稳态电能质量问题包括电压偏差、频率偏差、三相不平衡、谐波、电压波动与闪变等问题。电压偏差会明显影响电网的稳定运行，电压偏高会使绝缘设备损坏，电压偏低则会造成电动机转速降低而严重影响产品质量等；频率偏低将引发因不断增强的振动而导致汽轮机叶片产生严重裂纹时的断落等重大事故；三相不平衡则会增加电能损耗、降低电动机效率、影响用电设备的安全运行等；谐波会造成电力***元件产生附加损耗、过热和过载等危害；而电压波动与闪变会致使电子设备、计算机***、自动化控制生产线以及照明工具等工作异常甚至被损坏，给人们正常的生产和生活带来了严重影响。
深入挖掘电能质量监测数据，对特定区域进行电能质量预测，可全面了解监测点的电能质量情况，有利于掌握区域电网电能质量水平走向，及时发现潜在的电能质量问题，从而为电能质量问题的治理做出正确决策提供可靠依据和保证。
目前，有关电能质量稳态指标的预测方法主要有神经网络、关联规则、随机时间序列、灰色模型等。由于影响电能质量稳态指标变化的因素众多，各指标均受多种因素的影响，现有的预测算法普遍存在预测复杂度高、精度较低等问题，给电能质量预警及决策等造成较大困扰。
发明内容
本发明是针对现有电能质量稳态指标的预测算法普遍存在预测复杂度高、精度较低的问题，提出了一种基于混沌理论的电能质量稳态指标预测方法，解决现有的电能质量稳态指标预测精度不高等问题。
本发明的技术方案为：一种基于混沌理论的电能质量稳态指标预测方法，具体包括如下步骤：
1)电能质量稳态指标数据的采集：结合电能质量国家标准，选取电能质量稳态指标：电压偏差、电压总谐波畸变率、频率偏差、三相电压不平衡、电压闪变作为数据采集对象；至少连续12个月每天对公共连接点的各电能质量稳态指标进行监测数据采集，并将各稳态指标监测数据按照监测日分类依次存入数据库；
2)对步骤1)中采集到的电能质量稳态指标历史监测数据进行预处理，包括去噪和缺失值处理，并对数据作归一化之后，将处理后的数据保存到数据库中；
3)根据混沌理论，对所述步骤2)中已处理好的电能质量稳态指标时间数据，采用C-C法求解最优时延τd和最佳嵌入维数md，进行相空间重构,得到一组新的多维数据空间；
4)基于最小二乘支持向量机模型对所述步骤3)中重构后的数据空间进行训练，得到最优预测模型；
5)利用所述步骤4)中已训练好的最小二乘支持向量机模型进行电能质量稳态指标的预测，得到预测输出，并将输出结果保存到数据库中，其中预测输入样本为所述步骤3)中进行相空间重构中数据。
所述步骤3)具体实现步骤为：
31)取所述步骤2)中已预处理的电能质量稳态指标时间序列x＝{xi|i＝1,2,…,N}，按下式进行相空间重构，构造新的数据空间：
其中τ为时延，m为嵌入维数，M＝N-(m-1)τ为相空间的点数，N表示时间序列的长度，T表示矩阵的转置，X1 T＝[x1,x1+τ,…,x1+(m-1)τ]为相空间的相点。
32)采用C-C法求解最优时延τd和最佳嵌入维数md：
取所述步骤31)数据空间X＝{Xi T|i＝1,2,…,M}中任意两个两个相点Xi T和Xj T，定义关联积分：
式中：r为邻域半径的大小；θ(x)为Heaviside函数，其中：
关联维数为：
其中：
将时间序列x＝{xi|i＝1,2,…,N}分解成t个不相交的时间序列，对于一般的自然数t有：
{x1,xt+1,x2t+1,...}
{x2,xt+2,x2t+2,...}
......
{xt,x2t,x3t,...}
定义检验统计量：
令N→∞有：
取S(m,N,r,t)的零点值，且对于相差最小量的间隔对应的半径r判为最大间隔，定义局部间隔对应量的最大半径r是max[S(m,N,r,t)]，最小半径r是min[S(m,N,r,t)]，定义最大最小两者差值为△S(m,t)，则：
ΔS(m,t)＝max[S1(m,N,ri,t)]-min[S1(m,N,rj,t)],i≠j
由基本统计学原理可知，当m取值为2、3、4、5，r取值大于σ/2且小于2σ时(σ为时间序列的标准差)，得到如下方程：
这里，表示16个统计量S(m,N,rj,t)的平均值；寻找的第一个零点或的第一个局部极小点即为最优时延τd；寻找Scor(t)的全局最小点即可获得嵌入窗τw，根据嵌入窗公式τw＝(md-1)τd，求得最佳嵌入维md。
所述步骤4)具体实现步骤为：
41)从所述步骤3)中得到的新的多维数据空间选取训练样本，用于最小二乘支持向量机模型的训练；
42)最小二乘支持向量机模型通过非线性映射函数将所述步骤41)中的训练样本映射到高维特征空间，并在高维空间进行线性回归，实现式中ωT为权值向量，b为偏差，是两个待训练的参数；
所述步骤42)中最小二乘支持向量机模型的具体描述为：
设待回归***的样本输入、输出数据集为{xk,yk}，(k＝1,2,…,N)，其中xk是n维***输入向量，yk为***输出向量，yk＝f(xk)，最小二乘支持向量机模型可表示为：
其中ωT为权值向量，b为偏差，为映射函数；
在最小二乘支持向量机中，采用最小二乘线性***作为损失函数来求解决策函数的参量ω和b，其优化问题为：
其中J为优化函数，e为回归误差，C为正规化参数，ξi为松弛变量；
求解此优化问题，引入Lagrange函数：
其中αi为Lagrange乘子，由KKT条件可得到如下关系式：
关系式的求解可化为：
其中Q是元素Kij的k*k阶核矩阵，I为单位矩阵，向量e＝[1,…,1]T，向量α＝[α1,…,αk]T，向量y＝[y1,…,yk]T；
定义Qn＝Q+I/C，这样就可以得到α和b的表达式：
引入高斯核函数K(xi,xj)＝exp(-||xi,xj||2/2σ2)，最终得到最小二乘支持向量机的回归模型为：
本发明的有益效果在于：本发明基于混沌理论的电能质量稳态指标预测方法，不直接考虑影响电能质量稳态指标变化的众多相关因素，而是从指标监测数据本身出发，降低了预测复杂度和计算成本，提高了预测精度。
附图说明
图1为本发明基于混沌理论的电能质量稳态指标预测方法流程图。
具体实施方式
如图1所示基于混沌理论的电能质量稳态指标预测方法流程图，具体技术方案如下：
1)电能质量稳态指标数据的采集，具体流程为：
11)结合电能质量国家标准，选取电能质量稳态指标：电压偏差、电压总谐波畸变率、频率偏差、三相电压不平衡、电压闪变作为数据采集对象；
我国电能质量国家标准包括：
GB/T 12325-2008《电能质量供电电压偏差》
GB/T 14549-1993《电能质量公用电网谐波》
GB/T 15543-2008《电能质量三相电压不平衡》
GB/T 15945-2008《电能质量电力***频率偏差》
GB/T 12326-2008《电能质量电压波动和闪变》
GB/T 18481-2001《电能质量暂时过电压和瞬态过电压》
GB/T 24337-2009《电能质量公用电网间谐波》
GB/T 30137-2013《电能质量电压暂降与短时中断》
12)至少连续12个月每天对公共连接点的各电能质量稳态指标进行监测数据采集，并将各稳态指标监测数据按照监测日分类依次存入数据库。
2)对步骤1)中采集到的电能质量稳态指标历史监测数据进行预处理，包括去噪和缺失值处理，并对数据作归一化之后，将处理后的数据保存到数据库中。具体流程为：
21)针对原始电能质量稳态指标监测数据中存在的异常数据，可通过聚类检测离群点来去除错误数据；
22)针对原始电能质量稳态指标监测数据中存在的缺失值，可考虑数据清洗技术加以解决，如采用灰色关联法或使用监测的指标数据均值填充缺失值；
23)为消除指标之间的量纲影响，将经过步骤21)和22)处理后的原始数据做归一化处理，使得各指标处于同一量级。考虑采用min-max进行归一化处理，表达式如下：
其中max为样本数据的最大值，min为样本数据的最小值，X是原始数据，X*是归一化后数据。
3)根据混沌理论，对所述步骤2)中已处理好的电能质量稳态指标数据进行相空间重构，得到一组新的多维数据空间。具体流程为：
31)取所述步骤2)中已预处理的电能质量稳态指标时间序列x＝{xi|i＝1,2,…,N}，按下式进行相空间重构，构造新的数据空间：
其中τ为时延，m为嵌入维数，M＝N-(m-1)τ为相空间的点数，N表示时间序列的长度，T表示矩阵的转置，X1 T＝[x1,x1+τ,…,x1+(m-1)τ]为相空间的相点。
32)采用C-C法求解最优时延τd和最佳嵌入维数md。
所述步骤32)中C-C法求解最优时延τd和最佳嵌入维数md的具体方法为：取所述步骤31)数据空间X＝{XiT|i＝1,2,…,M}中任意两个两个相点XiT和Xj T，定义关联积分：
式中：r为邻域半径的大小；θ(x)为Heaviside函数，其中：
关联维数为：
其中：
将时间序列x＝{xi|i＝1,2,…,N}分解成t个不相交的时间序列，对于一般的自然数t有：
定义检验统计量：
令N→∞有：
取S(m,N,r,t)的零点值，且对于相差最小量的间隔对应的半径r判为最大间隔。定义局部间隔对应量的最大半径r是max[S(m,N,r,t)]，最小半径r是min[S(m,N,r,t)]，定义最大最小两者差值为△S(m,t)，则：
ΔS(m,t)＝max[S1(m,N,ri,t)]-min[S1(m,N,rj,t)],i≠j (9)
由基本统计学原理可知，当m取值为2、3、4、5，r取值大于σ/2且小于2σ时(σ为时间序列的标准差)，得到如下方程：
这里，表示16个统计量S(m,N,rj,t)的平均值；寻找的第一个零点或的第一个局部极小点即为最优时延τd；寻找Scor(t)的全局最小点即可获得嵌入窗τw，根据嵌入窗公式τw＝(md-1)τd，求得最佳嵌入维md。
4)基于最小二乘支持向量机模型对所述步骤3)中重构后的数据空间进行训练，得到最优预测模型。具体流程为：
41)从所述步骤3)中得到的新的多维数据空间选取训练样本，用于最小二乘支持向量机模型的训练；
42)最小二乘支持向量机模型通过非线性映射函数将所述步骤41)中的训练样本映射到高维特征空间，并在高维空间进行线性回归，实现 式中ωT为权值向量，b为偏差，是两个待训练的参数；
所述步骤42)中最小二乘支持向量机模型的具体描述为：
设待回归***的样本输入、输出数据集为{xk,yk}，(k＝1,2,…,N)，其中xk是n维***输入向量，yk为***输出向量，yk＝f(xk)，最小二乘支持向量机模型可表示为：
其中ωT为权值向量，b为偏差，为映射函数。
在最小二乘支持向量机中，采用最小二乘线性***作为损失函数来求解决策函数的参量ω和b，其优化问题为：
其中J为优化函数，e为回归误差，C为正规化参数，ξi为松弛变量，求解此优化问题，引入Lagrange函数：
其中αi为Lagrange乘子，由KKT条件可得到如下关系式：
关系式的求解可化为：
其中Q是元素Kij的k*k阶核矩阵，I为单位矩阵，向量e＝[1,…,1]T，向量α＝[α1,…,αk]T，向量y＝[y1,…,yk]T。
定义Qn＝Q+I/C，这样就可以得到α和b的表达式：
引入高斯核函数K(xi,xj)＝exp(-||xi,xj||2/2σ2)，最终得到最小二乘支持向量机的回归模型为：
5)利用所述步骤4)中已训练好的最小二乘支持向量机模型进行电能质量稳态指标的预测，其中预测输入样本为所述步骤3)中的相空间集(公式2)的最后一列，即xp＝[x1+(m-1)τ,x2+(m-1)τ,…,xM+(m-1)τ]T；将预测输入样本xp代入最小二乘支持向量机模型，即可得到预测输出，并将输出结果保存到数据库中。

Claims (3)

1.一种基于混沌理论的电能质量稳态指标预测方法，其特征在于，具体包括如下步骤：
1)电能质量稳态指标数据的采集：结合电能质量国家标准，选取电能质量稳态指标：电压偏差、电压总谐波畸变率、频率偏差、三相电压不平衡、电压闪变作为数据采集对象；至少连续12个月每天对公共连接点的各电能质量稳态指标进行监测数据采集，并将各稳态指标监测数据按照监测日分类依次存入数据库；
2)对步骤1)中采集到的电能质量稳态指标历史监测数据进行预处理，包括去噪和缺失值处理，并对数据作归一化之后，将处理后的数据保存到数据库中；
3)根据混沌理论，对所述步骤2)中已处理好的电能质量稳态指标时间数据，采用C-C法求解最优时延τd和最佳嵌入维数md，进行相空间重构,得到一组新的多维数据空间；
4)基于最小二乘支持向量机模型对所述步骤3)中重构后的数据空间进行训练，得到最优预测模型；
5)利用所述步骤4)中已训练好的最小二乘支持向量机模型进行电能质量稳态指标的预测，得到预测输出，并将输出结果保存到数据库中，其中预测输入样本为所述步骤3)中进行相空间重构中数据。
2.根据权利要求1所述基于混沌理论的电能质量稳态指标预测方法，其特征在于，所述步骤3)具体实现步骤为：
31)取所述步骤2)中已预处理的电能质量稳态指标时间序列x＝{xi|i＝1,2,…,N}，按下式进行相空间重构，构造新的数据空间：
<mrow> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>T</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>T</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>X</mi> <mi>M</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mi>M</mi> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
其中τ为时延，m为嵌入维数，M＝N-(m-1)τ为相空间的点数，N表示时间序列的长度，T表示矩阵的转置，X1 T＝[x1,x1+τ,…,x1+(m-1)τ]为相空间的相点。
32)采用C-C法求解最优时延τd和最佳嵌入维数md：
取所述步骤31)数据空间X＝{Xi T|i＝1,2,…,M}中任意两个两个相点Xi T和Xj T，定义关联积分：
<mrow> <mi>C</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>&amp;le;</mo> <mi>i</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mi>j</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mi>M</mi> </mrow> </munder> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>r</mi> <mo>-</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>X</mi> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>X</mi> <mi>j</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：r为邻域半径的大小；θ(x)为Heaviside函数，其中：
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关联维数为：
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其中：
将时间序列x＝{xi|i＝1,2,…,N}分解成t个不相交的时间序列，对于一般的自然数t有：
{x1,xt+1,x2t+1,...}
{x2,xt+2,x2t+2,...}
......
{xt,x2t,x3t,...}
定义检验统计量：
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令N→∞有：
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取S(m,N,r,t)的零点值，且对于相差最小量的间隔对应的半径r判为最大间隔，定义局部间隔对应量的最大半径r是max[S(m,N,r,t)]，最小半径r是min[S(m,N,r,t)]，定义最大最小两者差值为△S(m,t)，则：
ΔS(m,t)＝max[S1(m,N,ri,t)]-min[S1(m,N,rj,t)],i≠j
由基本统计学原理可知，当m取值为2、3、4、5，r取值大于σ/2且小于2σ时(σ为时间序列的标准差)，得到如下方程：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>S</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>16</mn> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mn>5</mn> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mn>4</mn> </munderover> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mover> <mi>S</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mn>5</mn> </munderover> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mover> <mi>S</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mover> <mi>S</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
这里，表示16个统计量S(m,N,rj,t)的平均值；寻找的第一个零点或的第一个局部极小点即为最优时延τd；寻找Scor(t)的全局最小点即可获得嵌入窗τw，根据嵌入窗公式τw＝(md-1)τd，求得最佳嵌入维md。
3.根据权利要求1或2所述基于混沌理论的电能质量稳态指标预测方法，其特征在于，步骤4)具体实现步骤为：
41)从所述步骤3)中得到的新的多维数据空间选取训练样本，用于最小二乘支持向量机模型的训练；
42)最小二乘支持向量机模型通过非线性映射函数将所述步骤41)中的训练样本映射到高维特征空间，并在高维空间进行线性回归，实现式中ωT为权值向量，b为偏差，是两个待训练的参数；
所述步骤42)中最小二乘支持向量机模型的具体描述为：
设待回归***的样本输入、输出数据集为{xk,yk}，(k＝1,2,…,N)，其中xk是n维***输入向量，yk为***输出向量，yk＝f(xk)，最小二乘支持向量机模型可表示为：
其中ωT为权值向量，b为偏差，为映射函数；
在最小二乘支持向量机中，采用最小二乘线性***作为损失函数来求解决策函数的参量ω和b，其优化问题为：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>e</mi> </mrow> </munder> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>J</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>w</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>e</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>w</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>C</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <msubsup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中J为优化函数，e为回归误差，C为正规化参数，ξi为松弛变量；
求解此优化问题，引入Lagrange函数：
其中αi为Lagrange乘子，由KKT条件可得到如下关系式：
<mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>b</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>&amp;RightArrow;</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow>
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关系式的求解可化为：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msup> <mi>e</mi> <mi>T</mi> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>e</mi> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>Q</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>C</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>I</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&amp;times;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&amp;alpha;</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
其中Q是元素Kij的k*k阶核矩阵，I为单位矩阵，向量e＝[1,…,1]T，向量α＝[α1,…,αk]T，向量y＝[y1,…,yk]T；
定义Qn＝Q+I/C，这样就可以得到α和b的表达式：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mi>T</mi> </msup> <msubsup> <mi>Q</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mi>T</mi> </msup> <msubsup> <mi>Q</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mi>e</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mi>e</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
引入高斯核函数K(xi,xj)＝exp(-||xi,xj||2/2σ2)，最终得到最小二乘支持向量机的回归模型为：
<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>K</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>.</mo> </mrow> 3
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