CN107291988A - 一种动量轮安装界面等效激励力获取方法 - Google Patents

一种动量轮安装界面等效激励力获取方法 Download PDF

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Abstract

一种动量轮与航天器安装界面等效激励力的获取方法，利用的试验数据不需要在动量轮主结构上安装传感器，不会打破动量轮的保护结构，试验方案简单易行，以动量轮的质量矩阵、刚度矩阵元素作为修正对象，降低了修正的计算量，提高了分析效率，利用本发明所提供的动量轮安装界面等效激励力进行扰动响应分析，分析精度高。将方法获得的动量轮等效激励力施加于动量轮与航天器的安装界面，能够准确反应航天器与动量轮间的耦合作用，提高动量轮扰动分析预示的精度。

Description

一种动量轮安装界面等效激励力获取方法
技术领域
本发明涉及一种动量轮安装界面等效激励力获取方法，本发明提供的方法用于动量轮的扰动响应分析。
背景技术
卫星在轨微小振动将对空间科学试验、激光通信、光学遥感等任务产生影响，其中动量轮与控制力矩陀螺是重要的扰动源，因此动量轮与控制力矩陀螺的扰动响应分析十分重要。国内外的学者很早就对扰动源开展了测量工作，研究发现部件转动引起的扰动会被自身结构放大。为了去除这种影响，有学者根据Masterson R A,Miller D W提出的扰动谐波经验模型，利用试验数据辨识出相关参数，拟合出不同转速下的扰动力(矩)进行扰动分析。由于扰动源结构对扰动的放大作用，辨识结果往往是偏大的；考虑到固定界面条件并不能精确地代表扰源安装在航天器上时的真实界面条件，Laila Mireille Elias等人提出了静态加速性分析法,Zhe Zhang Guglielmo S等人在2013年提出了一种基于动态加速性的飞轮微振动分析方法。该方法利用扰动源与柔性基础结构的加速性，对测量得到的扰动力(矩)进行修正，修正后的数据反映了扰源与航天器结构的耦合特性，可直接加载于动力学分析模型上进行扰动分析。该方法所用的修正系数可通过有限元分析或者试验测量而得，但对不同的航天器修正系数是不同的，需要重新计算，这增加了分析与试验的工作内容且其精度有限。
发明内容
本发明解决的技术问题为：克服现有技术不足，提出一种动量轮安装界面等效激励力获取方法，这种方法根据扰动力在动量轮在结构内的传递特性，给出了模型分析计算得出的刚性界面约束力、试验实测的刚性界面约束力之间的差与模型质量、刚度矩阵元素的关系，并将矩阵内的元素作为对象进行修正，以使实测模态和分析模态相关，使模型的计算结果和实际测试结果一致；此外，发明获取的安装界面等效激励力是一种精确的微振动源解耦加载方法，这种方法考虑了动量轮自身结构对扰动的放大作用，适用于航天器的扰动响应分析。
本发明解决的技术方案为：一种动量轮与航天器安装界面等效激励力的获取方法，步骤如下：
(1)提出动量轮的结构动力学方程如下：
式中x(t)为t时刻动量轮的位移,为t时刻动量轮的速度，为t时刻动量轮的加速度；{f}为动量轮所受的激励；
式中，m为动量轮的质量，Irr为动量轮绕径向的转动惯。
式中caz为动量轮轴向阻尼，c为动量轮径向平动阻尼，cd2为动量轮摆动阻尼。
式中，式中kaz为动量轮轴向刚度，k为动量轮径向平动刚度，kd2为动量轮摆动刚度。ωr代表模态测试确定的径向平动模态角频率，根据工程经验，初设ωr＝1e4得到k；其中代表模态测试确定的轴向平动模态角频率，初设ωaz＝2e4得到kaz；其中ωswing代表模态测试确定的摇摆模态角频率，初设ωswing＝1.5e3得到kd2。
(2)当不考虑动量轮的阻尼时即Cf＝0，动量轮框架固定时的时域动力学方程为：
式中，下标f代表转子自由度，s代表框架自由度，Mff为转子质量矩阵，Kff为转子刚度矩阵，
F1(t)行数与Mff相同，F1(t)为动量轮转子所受扰动力，F2(t)行数与Mss相同，F2(t)为刚性界面对动量轮的约束力。
式(2)对应的频域动力学方程为：
式中，F1为动量轮内的转子所受到的扰动力，F2为动量轮固定的刚性界面约束力，F1、F2均为ω的函数，即F1＝F1(ω)、F2＝F2(ω)。ω为动量轮振动圆频率，xf为xf(t)对应的频域值。
(3)动量轮内的转子所受到的扰动力与动量轮固定的刚性界面约束力的传递关系表示如下：
Ksf[-ω2Mff+Kff]-1{F1}＝{F2}···············(31)
式中，Ksf＝-Kff，方程(4)变换为
式中，E为单位矩阵，其维度与Mff相同；
对式(5)变换得到
(4)根据式(6)，建立动量轮的真实结构的数学方程如下：
式中，为待求真实动量轮的质量矩阵，为待求真实动量轮的刚度矩阵，为测量所得真实动量轮刚性界面约束力。
(5)式(3)计算所得{F2}与测量所得存在一定的误差，设：
其中
式(7)减去式(6)并利用式(8)与式(9)，得到：
设Kff为参数p1、p2、…、pi的函数，即Kff＝Kff(p1,p2,…,pi)，Mff为参数pi+1、…、pn的函数，即Mff＝Mff(pi+1,pi+2,…,pn)，对式(10)中的矩阵进行泰勒展开：
其中Δp1、Δp2、…、Δpi、Δpi+1、…、Δpn为Kff、Mff中p1、p2、…、pi、pi+1、…、pn与结构真实参数的偏差。
将式(11)代入方程(10)得到
式中，[S]代表灵敏度矩阵：
(6)根据公式(12)，在不同的频率ω处分别建立方程，如下：
求解式(13)，得到动量轮质量矩阵Mff与动量轮刚度矩阵Kff参数的修正值修正后的质量矩阵：
刚度矩阵：
最终得到真实动量轮的无阻尼自由振动方程为：
其中
(7)当动量轮固定在测力平台上进行扰动力测量时，将动量轮的自由度x(t)分成两组，分别为：不与刚性界面相连的内部自由度，即转子自由度xf(t)和在刚性界面上的边界自由度，即框架自由度xs(t)，即
其中为动量轮的质量阵，C为动量轮阻尼矩阵，由工程经验验给出，为动量轮刚度阵。
(8)按照不与刚性界面相连的内部自由度、与刚性界面连接的边界自由度将C进行分块：
方程(15)变为刚性界面下动量轮的结构动力学方程，如下：
(9)在频域下，将步骤(8)的刚性界面下动量轮的结构动力学方程转化为：
式中，xf、xs、F1、F2分别表示xf(t)、xs(t)、F1(t)和F2(t)对应的频域复数量。
(10)设动量轮的动刚度矩阵将Z分块，即将公式(17)式可转化为：
其中
动量轮的框架固定于测力平台上，xs＝0，代入公式(18)，得到固定界面处的约束力F2，如下
(11)建立航天器结构有限元模型，将动量轮安装在航天器上，建立动量轮与该航天器的耦合动力学方程，按照动量轮转子位移xf、动量轮框架位移xs、航天器节点xk，将耦合动力学方程进行分块：
式中，下标“k”代表航天器有限元模型上的节点的标号，xk为航天器的节点位移；
由式(20)得到：
设则
(12)在航天器的动量轮安装界面施加力-F2，动量轮和航天器耦合动力学方程(20)变为：
式中，为动量轮转子位移，为动量轮框架位移，为航天器节点位移。
将式(19)代入式(24)，得到：
(13)对比方程(22)与(26)、方程(23)与(27)，可知，此时：
可知当在航天器扰动界面施加力向量计算得到动力学方程解与方程(20)解相同。至此，得到动量轮安装界面等效激励力为
(14)解方程(27)，得到动量轮工作时给航天器造成的扰动响应。
本发明与现有技术相比的优点在于：
(1)本发明所提出的动量轮模型修正方法为动量轮的模型修正提供了方法依据，经修正后必然提高动量轮扰动预示的精度；
(2)本发明所利用的试验数据不需要在动量轮主结构上安装传感器，不会打破动量轮的保护结构，试验方案简单易行；
(3)本发明以动量轮的质量矩阵、刚度矩阵元素作为修正对象，降低了修正的计算量，提高了分析效率；
(4)利用本发明所提供的动量轮安装界面等效激励力进行扰动响应分析，分析精度高。
(5)本发明通过推导结构动力学方程，发现了扰动在扰源-测量界面-卫星安装面内的传递规律，提出了动量轮安装界面等效激励力获取方法。这种方法根据扰动力在动量轮在结构内的传递特性，给出了模型分析计算得出的刚性界面约束力、试验实测的刚性界面约束力之间的差与模型质量、刚度矩阵元素的关系，并将矩阵内的元素作为对象进行修正，以使实测模态和分析模态相关，使模型的计算结果和实际测试结果一致；
(6)本发明获取的安装界面等效激励力是一种精确的微振动源解耦加载方法，这种方法考虑了动量轮自身结构对扰动的放大作用，适用于航天器的扰动响应分析。
附图说明
图1为本发明航天器上某点的扰动响应曲线；
图2为本发明动量轮构成简图；
图3为本发明刚性界面下的动量轮***图；
图4为本发明动量轮+星体结构耦合***图；
图5为本发明动量轮解耦加载***图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。
一种动量轮与航天器安装界面等效激励力的获取方法，利用的试验数据不需要在动量轮主结构上安装传感器，不会打破动量轮的保护结构，试验方案简单易行，以动量轮的质量矩阵、刚度矩阵元素作为修正对象，降低了修正的计算量，提高了分析效率，利用本发明所提供的动量轮安装界面等效激励力进行扰动响应分析，分析精度高。将方法获得的动量轮等效激励力施加于动量轮与航天器的安装界面，能够准确反应航天器与动量轮间的耦合作用，提高动量轮扰动分析预示的精度。
动量轮的建模与加载方法对于整个微振动分析模型而言是最为重要的输入，十几年来一直是国内外微振动领域的研究热点之一。从原理上讲，动量轮本身也是柔性体，扰源作用的大小受到星体结构动态特性的影响，其实际作用机理是扰源与星体结构的耦合作用，需要采用耦合分析。利用本发明所提供的等效激励力获取方法进行分析，计算响应与真实响应一致。
本发明的步骤如下：
为简化动量轮的动力学模型，认为其质量集中于转子，模型包含10个自由度。
(1)提出动量轮的结构动力学方程如下：
式中x(t)为t时刻动量轮的位移,为t时刻动量轮的速度，为t时刻动量轮的加速度；{f}为动量轮所受的激励；
式中，m为动量轮的质量，Irr为动量轮绕径向的转动惯。
式中caz为动量轮轴向阻尼，c为动量轮径向平动阻尼，cd2为动量轮摆动阻尼。
式中，式中kaz为动量轮轴向刚度，k为动量轮径向平动刚度，kd2为动量轮摆动刚度。ωr代表模态测试确定的径向平动模态角频率，根据工程经验，初设ωr＝1e4得到k；其中代表模态测试确定的轴向平动模态角频率，初设ωaz＝2e4得到kaz；其中ωswing代表模态测试确定的摇摆模态角频率，初设ωswing＝1.5e3得到kd2。
(2)当不考虑动量轮的阻尼时即Cf＝0，动量轮框架固定时的时域动力学方程为：
式中，下标f代表转子自由度，s代表框架自由度，Mff为转子质量矩阵，Kff为转子刚度矩阵，
F1(t)行数与Mff相同，F1(t)为动量轮转子所受扰动力，F2(t)行数与Mss相同，F2(t)为刚性界面对动量轮的约束力。
式(2)对应的频域动力学方程为：
式中，F1为动量轮内的转子所受到的扰动力，F2为动量轮固定的刚性界面约束力，F1、F2均为ω的函数，即F1＝F1(ω)、F2＝F2(ω)。ω为动量轮振动圆频率，xf为xf(t)对应的频域值。
(3)动量轮内的转子所受到的扰动力与动量轮固定的刚性界面约束力的传递关系表示如下：
Ksf[-ω2Mff+Kff]-1{F1}＝{F2}····················(4)
式中，Ksf＝-Kff，方程(4)变换为
式中，E为单位矩阵，其维度与Mff相同；
对式(5)变换得到
(4)根据式(6)，建立动量轮的真实结构的数学方程如下：
式中，为待求真实动量轮的质量矩阵，为待求真实动量轮的刚度矩阵，为测量所得真实动量轮刚性界面约束力。
(5)(3)计算所得{F2}与测量所得存在一定的误差，设：
其中
式(7)减去式(6)并利用式(8)与式(9)，得到：
设Kff为参数p1、p2、…、pi的函数，即Kff＝Kff(p1,p2,…,pi)，Mff为参数pi+1、…、pn的函数，即Mff＝Mff(pi+1,pi+2,…,pn)，可以对式(10)中的矩阵进行泰勒展开：
其中Δp1、Δp2、…、Δpi、Δpi+1、…、Δpn为Kff、Mff中p1、p2、…、pi、pi+1、…、pn与结构真实参数的偏差。
将式(11)代入方程(10)得到
式中，[S]代表灵敏度矩阵：
(6)根据公式(12)，在不同的频率ω处分别建立方程，如下：
求解式(13)，得到动量轮质量矩阵Mff与动量轮刚度矩阵Kff参数的修正值修正后的质量矩阵：
刚度矩阵：
最终得到真实动量轮的无阻尼自由振动方程为：
其中
至此完成了对动量轮结构动力学模型的修正，修正后必然提高动量轮扰动预示的精度；本发明所利用的试验数据不需要在动量轮主结构上安装传感器，不会打破动量轮的保护结构；这个修正过程以动量轮的质量矩阵、刚度矩阵元素作为修正对象，降低了修正的计算量，提高了分析效率。
(7)优选利用瑞士Kistler公司生产的9255B型测力平台，进行动量轮扰动力(矩)测量。动量轮构成简图见说明书附图2，动量轮包括转子和框架，测量时框架固定于测力平台上，工作框架固定于航天器上。动量轮扰动测量状态见说明书附图3。此时，动量轮固定在测力平台上进行扰动力测量时。将动量轮自由度x(t)分成两组，分别为：不与刚性界面相连的内部自由度(即转子自由度)xf(t)和在刚性界面上的边界自由度(即框架自由度)xs(t)，即
其中为动量轮的质量阵，C为动量轮阻尼矩阵，由工程经验给出。国内某型号动量轮的阻尼参数矩阵结果如下：
为动量轮刚度阵。
(8)按照不与刚性界面相连的内部自由度、与刚性界面连接的边界自由度将、C、进行分块：
方程(15)变为
(9)在频域下，将步骤(8)的刚性界面下动量轮的结构动力学方程转化为：
式中，xf、xs、F1、F2分别表示xf(t)、xs(t)、F1(t)和F2(t)对应的频域复数量。
(10)设动量轮的动刚度矩阵将Z分块，即将公式(17)式可转化为：
其中
当动量轮固定于测力平台上，xs＝0，代入公式(18)，得到固定界面处的约束力F2，如下：
(11)建立航天器的有限元模型，将动量轮安装在航天器上(见说明书附图4)，建立动量轮与该航天器的耦合动力学方程，按照动量轮转子位移xf、动量轮框架位移xs与航天器节点xk，将耦合动力学方程进行分块：
式中，下标“k”代表航天器有限元模型上的节点的标号。xk为航天器的节点位移。。
由式(20)得到：
设则
(12)在航天器的动量轮安装界面施加力-F2(如图3和图5所示)，动量轮和航天器耦合动力学方程(20)变为：
式中，为动量轮转子位移，为动量轮框架位移，为航天器节点位移。
将式(19)代入式(24)，得到：
(13)对比方程(22)与(26)、方程(23)与(27)，可知，此时：
可知当在航天器扰动界面施加力向量计算得到动力学方程解与方程(20)解相同。至此，得到动量轮安装界面等效激励力为
(14)解方程(27)，得到动量轮工作给航天器造成的扰动响应，如图1所示。
图1为航天器上某点的扰动响应曲线，其中横坐标表示ω/2π，纵坐标为航天器上某节点的加速度幅值。
以国内某型号动量轮为对象，利用测力平台进行扰动力测量。利用本发明所提供的动量轮安装界面等效激励力获取方法获取等效激励力，然后进行扰动响应分析，分析得到的航天器某位置仿真结果与试验测量结果进行对比如下表：。
表1响应分析结果
如表1所示，利用本文所提方法获得的激励力进行动量轮扰动响应分析，得到的航天器某点加速度响应误差最大不超过5％，说明发明所提供方法是合理有效的，精度较高。

Claims (2)

1.一种动量轮与航天器安装界面等效激励力的获取方法，其特征在于步骤如下：
(1)提出动量轮的结构动力学方程如下：
<mrow> <msub> <mi>M</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>{</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>{</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>{</mo> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mi>f</mi> <mo>}</mo> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中x(t)为t时刻动量轮的位移,为t时刻动量轮的速度，为t时刻动量轮的加速度；{f}为动量轮所受的激励；
<mrow> <msub> <mi>M</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>m</mi> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mi>m</mi> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mi>m</mi> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>I</mi> <mi>r</mi> <mi>r</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>I</mi> <mi>r</mi> <mi>r</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> </mrow>
式中，m为动量轮的质量，Irr为动量轮绕径向的转动惯；
<mrow> <msub> <mi>C</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>c</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>c</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <mi>cd</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>cd</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <mi>cd</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>cd</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>c</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>c</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>cd</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <mi>cd</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>cd</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <mi>cd</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> </mrow>
式中caz为动量轮轴向阻尼，c为动量轮径向平动阻尼，cd2为动量轮摆动阻尼；
<mrow> <msub> <mi>K</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>k</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>k</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <mi>kd</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>kd</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <mi>kd</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>kd</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>k</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>k</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>kd</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <mi>kd</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>kd</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <mi>kd</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> </mrow> 1
式中，式中kaz为动量轮轴向刚度，k为动量轮径向平动刚度，kd2为动量轮摆动刚度；ωr代表模态测试确定的径向平动模态角频率，根据工程经验，初设ωr＝1e4得到k；其中代表模态测试确定的轴向平动模态角频率，初设ωaz＝2e4得到kaz；其中ωswing代表模态测试确定的摇摆模态角频率，初设ωswing＝1.5e3得到kd2；
(2)当不考虑动量轮的阻尼时即Cf＝0，动量轮框架固定时的时域动力学方程为：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>{</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>{</mo> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，下标f代表转子自由度，s代表框架自由度，Mff为转子质量矩阵，Kff为转子刚度矩阵，
<mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>m</mi> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mi>m</mi> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mi>m</mi> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>I</mi> <mi>r</mi> <mi>r</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>I</mi> <mi>r</mi> <mi>r</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> </mrow>
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F1(t)行数与Mff相同，F1(t)为动量轮转子所受扰动力，F2(t)行数与Mss相同，F2(t)为刚性界面对动量轮的约束力；
式(2)对应的频域动力学方程为：
<mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mi>f</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>)</mo> <mo>...</mo> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow>
式中，F1为动量轮内的转子所受到的扰动力，F2为动量轮固定的刚性界面约束力，F1、F2均为ω的函数，即F1＝F1(ω)、F2＝F2(ω)；ω为动量轮振动圆频率，xf为xf(t)对应的频域值；
(3)动量轮内的转子所受到的扰动力与动量轮固定的刚性界面约束力的传递关系表示如下：
Ksf[-ω2Mff+Kff]-1{F1}＝{F2}…………………………(4)
式中，Ksf＝-Kff，方程(4)变换为
<mrow> <mo>{</mo> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mi>E</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>{</mo> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>}</mo> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，E为单位矩阵，其维度与Mff相同；
对式(5)变换得到
<mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>{</mo> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>}</mo> <mo>+</mo> <mo>{</mo> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>}</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>{</mo> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>}</mo> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
(4)根据式(6)，建立动量轮的真实结构的数学方程如下：
<mrow> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mi>X</mi> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mi>X</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>{</mo> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>}</mo> <mo>+</mo> <mo>{</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mn>2</mn> <mi>X</mi> </msubsup> <mo>}</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>{</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mn>2</mn> <mi>X</mi> </msubsup> <mo>}</mo> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，为待求真实动量轮的质量矩阵，为待求真实动量轮的刚度矩阵，为测量所得真实动量轮刚性界面约束力；
(5)式(3)计算所得{F2}与测量所得存在一定的误差，设：
<mrow> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mi>X</mi> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mi>X</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mo>{</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mn>2</mn> <mi>X</mi> </msubsup> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>}</mo> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mo>{</mo> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>}</mo> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中
式(7)减去式(6)并利用式(8)与式(9)，得到：
<mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mo>{</mo> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>}</mo> <mo>+</mo> <mo>{</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </msubsup> <mo>}</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>E</mi> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mo>{</mo> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>}</mo> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
设Kff为参数p1、p2、…、pi的函数，即Kff＝Kff(p1,p2,…,pi)，Mff为参数pi+1、…、pn的函数，即Mff＝Mff(pi+1,pi+2,…,pn)，对式(10)中的矩阵进行泰勒展开：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>&amp;Delta;p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>&amp;Delta;p</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>...</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>&amp;Delta;p</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>&amp;Delta;p</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>...</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>&amp;Delta;p</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中Δp1、Δp2、…、Δpi、Δpi+1、…、Δpn为Kff、Mff中p1、p2、…、pi、pi+1、…、pn与结构真实参数的偏差；
将式(11)代入方程(10)得到
<mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>S</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>{</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>p</mi> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>E</mi> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mo>{</mo> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>}</mo> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，[S]代表灵敏度矩阵：
<mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>S</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>{</mo> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>}</mo> <mo>+</mo> <mo>{</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </msubsup> <mo>}</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
(6)根据公式(12)，在不同的频率ω处分别建立方程，如下：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>p</mi> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mi>E</mi> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mi>E</mi> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mi>E</mi> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
求解式(13)，得到动量轮质量矩阵Mff与动量轮刚度矩阵Kff参数的修正值修正后的质量矩阵：
<mrow> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mi>X</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;p</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;p</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;p</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
刚度矩阵：
<mrow> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mi>X</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;p</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;p</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
最终得到真实动量轮的无阻尼自由振动方程；
(7)当动量轮固定在测力平台上进行扰动力测量时，将动量轮的自由度x(t)分成两组，分别为：不与刚性界面相连的内部自由度，即转子自由度xf(t)和在刚性界面上的边界自由度，即框架自由度xs(t)，即
<mrow> <mi>M</mi> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mi>C</mi> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mi>K</mi> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中为动量轮的质量阵，C为动量轮阻尼矩阵，为动量轮刚度阵；
(8)按照不与刚性界面相连的内部自由度、与刚性界面连接的边界自由度将C进行分块：
<mrow> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
方程(15)变为刚性界面下动量轮的结构动力学方程，如下：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mi>X</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mi>X</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mi>X</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mi>X</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mi>X</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
(9)在频域下，将步骤(8)的刚性界面下动量轮的结构动力学方程转化为：
<mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mi>X</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;omega;</mi> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mi>X</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mi>X</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mi>X</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mi>X</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>)</mo> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mi>f</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>...</mo> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow>
式中，xf、xs、F1、F2分别表示xf(t)、xs(t)、F1(t)和F2(t)对应的频域复数量；
(10)设动量轮的动刚度矩阵将Z分块，即将公式(17)式可转化为：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mi>f</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中
动量轮的框架固定于测力平台上，xs＝0，代入公式(18)，得到固定界面处的约束力F2，如下
<mrow> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
(11)建立航天器结构有限元模型，将动量轮安装在航天器上，建立动量轮与该航天器的耦合动力学方程，按照动量轮转子位移xf、动量轮框架位移xs、航天器节点xk，将耦合动力学方程进行分块：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mi>f</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，下标“k”代表航天器有限元模型上的节点的标号，xk为航天器有限元模型上的节点位移；
由式(20)得到：
<mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>...</mo> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow>
设则
(12)在航天器的动量轮安装界面施加力-F2，动量轮和航天器耦合动力学方程(20)变为：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>f</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，为动量轮转子位移，为动量轮框架位移，为航天器节点位移；
将式(19)代入式(24)，得到：
<mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>f</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 5
<mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
(13)对比方程(22)与(26)、方程(23)与(27)，可知，此时：
<mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>f</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>f</mi> </msub> </mrow>
可知当在航天器扰动界面施加力向量计算得到动力学方程解与方程(20)解相同；至此，得到动量轮安装界面等效激励力为
(14)解方程(27)，得到动量轮工作时给航天器造成的扰动响应。
2.根据权利要求1所述的一种动量轮与航天器安装界面等效激励力的获取方法，其特征在于：步骤(6)最终得到真实动量轮的无阻尼自由振动方程为：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mi>X</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>{</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mi>X</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mi>X</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mi>X</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mi>X</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>{</mo> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow>
其中
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Cited By (4)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN111881598A (zh) * 2020-06-23 2020-11-03 北京空间飞行器总体设计部 一种基于加速度谱的卫星及部组件界面力谱获取方法
CN112270035A (zh) * 2020-09-21 2021-01-26 北京空间飞行器总体设计部 基于界面阻抗的航天器多轴等效正弦条件设计方法及***
CN113361010A (zh) * 2021-06-03 2021-09-07 天河超级计算淮海分中心 轮毂弯曲疲劳寿命计算方法、装置、设备及存储介质
CN116125935A (zh) * 2023-04-14 2023-05-16 成都飞机工业（集团）有限责任公司 一种装配工艺流程构建方法、装置、设备及介质

Citations (6)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US20030179655A1 (en) * 2002-03-21 2003-09-25 Chopard Manufacture S.A. Balance wheel provided with an adjustment device
CN101226561A (zh) * 2007-12-28 2008-07-23 南京航空航天大学 用于微型航天器姿态轨道控制***的微型仿真支持***及工作方法
US7438264B2 (en) * 2005-05-06 2008-10-21 United States Of America As Represented By The Administrator Of The National Aeronautics And Space Administration Method and associated apparatus for capturing, servicing and de-orbiting earth satellites using robotics
CN104732071A (zh) * 2015-03-03 2015-06-24 北京空间飞行器总体设计部 一种动量轮与航天器结构的耦合动响应获取方法
CN105129112A (zh) * 2015-07-22 2015-12-09 上海交通大学 一种主被动一体的隔振装置和隔振平台
CN106528931A (zh) * 2016-09-30 2017-03-22 北京空间飞行器总体设计部 一种用于整星动力学分析的活动部件扰动测量与计算方法

Patent Citations (6)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US20030179655A1 (en) * 2002-03-21 2003-09-25 Chopard Manufacture S.A. Balance wheel provided with an adjustment device
US7438264B2 (en) * 2005-05-06 2008-10-21 United States Of America As Represented By The Administrator Of The National Aeronautics And Space Administration Method and associated apparatus for capturing, servicing and de-orbiting earth satellites using robotics
CN101226561A (zh) * 2007-12-28 2008-07-23 南京航空航天大学 用于微型航天器姿态轨道控制***的微型仿真支持***及工作方法
CN104732071A (zh) * 2015-03-03 2015-06-24 北京空间飞行器总体设计部 一种动量轮与航天器结构的耦合动响应获取方法
CN105129112A (zh) * 2015-07-22 2015-12-09 上海交通大学 一种主被动一体的隔振装置和隔振平台
CN106528931A (zh) * 2016-09-30 2017-03-22 北京空间飞行器总体设计部 一种用于整星动力学分析的活动部件扰动测量与计算方法

Non-Patent Citations (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
STEPHEN J. DOTI&* 等: "SPACECRQFT ATTITUDE CONTROL USING AN INDUCTION MOTOR ACTUATED", 《IEE COLLOQUIUM ON ALL ELECTRIC AIRCRAFT (DIGEST NO. 1998/260)》 *
邵骁麟 等: "基于一维等效模型的弹性平面索网隔振结构非线性振动响应特性研究", 《振动与冲击》 *

Cited By (6)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN111881598A (zh) * 2020-06-23 2020-11-03 北京空间飞行器总体设计部 一种基于加速度谱的卫星及部组件界面力谱获取方法
CN111881598B (zh) * 2020-06-23 2024-05-03 北京空间飞行器总体设计部 一种基于加速度谱的卫星及部组件界面力谱获取方法
CN112270035A (zh) * 2020-09-21 2021-01-26 北京空间飞行器总体设计部 基于界面阻抗的航天器多轴等效正弦条件设计方法及***
CN112270035B (zh) * 2020-09-21 2023-06-06 北京空间飞行器总体设计部 基于界面阻抗的航天器多轴等效正弦条件设计方法及***
CN113361010A (zh) * 2021-06-03 2021-09-07 天河超级计算淮海分中心 轮毂弯曲疲劳寿命计算方法、装置、设备及存储介质
CN116125935A (zh) * 2023-04-14 2023-05-16 成都飞机工业（集团）有限责任公司 一种装配工艺流程构建方法、装置、设备及介质

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