CN107291053A - 一种nurbs曲线直接插补柔性加减速控制方法 - Google Patents

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彭晋民
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邵明
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Abstract

一种NURBS曲线直接插补柔性加减速控制方法，该方法包括如下步骤：读取加工代码文件，提取出NURBS曲线相关参数；对NURBS曲线进行预处理，获得NURBS曲线几何特征；采用柔性加减速方法获得符合机床加减速特性的插补点。本发明的一种NURBS曲线直接插补柔性加减速控制方法，减小对机床造成的冲击，避免引起电机震荡和失步等，可以提高加工精度，延迟机床寿命。

Description

一种NURBS曲线直接插补柔性加减速控制方法
【技术领域】
本发明属于数控加工技术领域，具体是涉及一种NURBS曲线直接插补柔性加减速控制方法。
【背景技术】
非均匀有理B样条(Non-uniform Rationa1 B-spline，NURBS)曲线具有良好的形状表达能力，在汽车、飞机、造船等型面零件造型设计和加工制造方面应用越来越广，已成为STEP-NC中表达自由曲线曲面的唯一形式。以NURBS形式表示的加工文件代码简练，而且没有精度损失，其代码量只有传统NC代码的具有微小段直线不可比拟的优势。但是，数控***要能支持NURBS曲线插补，必须先构造NURBS曲线插补器，插补速度和精度直接受插补器影响。
数控机床在加工过程中，当遇到启动、停止或段间转接时，如果速度变化太大，有可能对机床本身产生较大冲击，引起电机震荡和失步等，将对加工精度造成影响，甚至危害机床寿命。通常做法是在机床启动、停止及段间转接时对速度进行控制，即进行加减速处理。启动阶段是通过增大进给脉冲频率使机床加速进给，机床停止阶段是通过降低进给脉冲频率，使机床进行减速直至速度为零。速度规划好坏对于机床运动的平滑性起到关键作用，对于实现高速高精加工意义重大。
常见的加减速控制方法有：直线加减速法、指数加减速法等。直线加减速方法计算复杂度不高，容易实现，其速度控制过程是根据时间按比例对速度进行调整，但该方法平滑性较差。指数加减速方法实现也简单，它是根据指数规律来调整进给速度，其平滑性较好。但是这两种方法在加速开始阶段和减速结束阶段都会存在速度突变，导致加速度不连续，从而对机床产生较大冲击，影响零件的加工质量，以及机床的使用寿命。
采用传统直线和指数加减速方法，已不能满足加工零件日趋复杂、加工零件精度不断提高的要求，为了适应现代数控加工工件的复杂多变性，保证工件的加工精度和机床的使用寿命，柔性加减速算法也越来越受到青睐。一方面，柔性加减速可以根据加工运动的最大速度、输出脉冲频率等，构造合适的加减速特性曲线；另一方面，柔性加减速在控制***中采用特殊方法来实现多变的加减速曲线，相比较于传统加减速方法其速度过度更为平顺。
当采用高速切削加工NURBS曲线曲面时，由于曲率的存在，必然会引起较大的速度波动。若加速度过大，超过机床进给***动态刚度的设计承受能力，就会给整个加工***、加工过程和零件的加工质量造成严重影响。因此，必须设计良好的柔性加减速控制方法，控制加速度、加加速度变化模式，实现速度的平滑处理。
中国发明专利201410177337.X公开了一种速度敏感点分段NURBS曲线的S型加减速控制插补算法，是将各分段曲线闭区间利用步骤(5-1)中S型加减速控制方法根据插补周期T分别对加速和减速阶段进行速度规划，得到各分段曲线在每一个插补周期内的进给速度，将获得的进给速度代入预插补公式计算出插补点参数u，再将插补点参数u代入NURBS曲线的矩阵表达式，得到各插补点的坐标值。采用S曲线加减速控制方法其加加速度为常数值，即为最大加加速度J，加速度变化是一阶线性变化。因此，对于加加速度最大阶跃为2J，这势必对机床造成较大冲击。
常见的加减速控制方法有：直线加减速法、指数加减速法等。直线加减速方法计算复杂度不高，容易实现，其速度控制过程是根据时间按比例对速度进行调整，但该方法平滑性较差。指数加减速方法实现也简单，它是根据指数规律来调整进给速度，其平滑性较好。但是这两种方法在加速开始阶段和减速结束阶段都会存在速度突变，导致加速度不连续，从而对机床产生较大冲击，影响零件的加工质量，以及机床的使用寿命。
采用传统直线和指数加减速方法，已不能满足加工零件日趋复杂、加工零件精度不断提高的要求，为了适应现代数控加工工件的复杂多变性，保证工件的加工精度和机床的使用寿命，柔性加减速算法也越来越受到青睐。一方面，柔性加减速可以根据加工运动的最大速度、输出脉冲频率等，构造合适的加减速特性曲线。另一方面，柔性加减速在控制***中采用特殊方法来实现多变的加减速曲线，相比较于传统加减速方法其速度过度更为平顺。
S型加减速方法是一种柔性加减速方法，但是其加加速度为常数值，加加速度最大阶跃为2倍最大加加速度，这会对机床造成较大的冲击。
【发明内容】
本发明所要解决的技术问题在于提供一种NURBS曲线直接插补柔性加减速控制方法，不仅实现速度平滑控制，而且使得加速度的规划也是平滑的，从而减小对机床造成的冲击，避免引起电机震荡和失步等，可以提高加工精度，延迟机床寿命。
本发明是这样实现的：
一种NURBS曲线直接插补柔性加减速控制方法，该方法包括如下步骤：
步骤(1)、读取加工代码文件，提取出NURBS曲线相关参数；
步骤(2)、对NURBS曲线进行预处理，获得NURBS曲线几何特征；
步骤(3)、采用柔性加减速方法获得符合机床加减速特性的插补点。
进一步地，所述步骤(1)，具体包括：
CNC解释器程序读取用户输入的以NURBS曲线表述的加工代码文件，获取NURBS曲线次数p，控制点Pi(i＝0，1，…，n)，及其对应的权因子wi(i＝0，1，…，n)相关参数，由NURBS曲线表达式，构成出代加工NURBS曲线，NURBS曲线表达式为：
式中由解释器程序从加工代码文件读取的参数有：Pi-控制点信息，wi-权因子信息，p-NURBS曲线次数；
式中Ni,p(u)为p次规范B样条基函数，可由下式递推计算：
其中，U＝{u0,u1,...,un+p+1}称为节点矢量，u是NURBS曲线的自变量。
进一步地，所述步骤(2)具体包括：
扫描曲线，获得曲线速度敏感区集合U，
其中F为机床指令速度；
进而，对曲线所有速度敏感区进行处理，得到曲线各速度敏感区速度极小值点集合第一行表示速度极小值点参数矢量，第二行表示其最大允许进给速度，其中，NURBS曲线首尾节点分别添加到集合头和尾，对应的参数矢量为u＝0，u＝1；
进而，由速度极小值点可以将曲线分成若干曲线段，其集合表述为：
L＝{li}。
进一步地，所述步骤(3)具体包括：
对曲线段进行柔性加减速控制，得到每个插补周期对应插补点，即获得满足柔性加减速情况下的各插补点的参数矢量，再由NURBS曲线定义式求出插补点对应的各轴坐标；
柔性加减速分为五段，分别为加加速、减加速、匀速、加减速、减减速。
其中加速度变化为呈现二阶曲线变化，加加速度变化呈现一阶曲线变化；
令加加速度为j，加速度为a、速度为v，令加速开始时刻为T0，加加速阶段完成时刻为T1，持续时间为t1；减加速阶段完成时刻为T2，持续时间为t2；匀速阶段完成时刻为T3，持续时间为t3；加减速阶段完成时刻为T4，持续时间为t4；减减速阶段完成时刻为T5，持续时间为t5。各阶段完成时刻与持续时间关系为：
由上式可得各个阶段加加速度j(t)、加速度a(t)和速度v(t)计算方程；
令加加速度变化直线曲率为k，则加加速度方程可表示为：
通过对加加速度积分可得加速度方程为：
对加速度积分可得速度方程为：
其中：
对速度进行积分可得位移为：
其中S1，S2，S3，S4，S5由下式求出：
本发明的优点在于：柔性加减速控制方法，加加速度变化呈一阶直线型曲线变化，加速度变化呈二阶曲线型变化，加加速度最大阶跃为最大加加速度值，不仅实现速度平滑控制，而且使得加速度的规划平滑，从而减小对机床造成的冲击，避免引起电机震荡和失步等，因此可以提高加工精度，延迟机床寿命。本发明的柔性加减速方法加加速度变化呈一阶线性变化，加速度变化呈二阶曲线型变化，加加速度最大阶跃为J，对机床造成的冲击比现有技术减小了一倍。通过求取每个插补周期加加速度、加速度、速度及位移，最后得到插补点参数u及其坐标值，而现有技术是通过(5-1)计算速度值后，再代入预插补公式计算出插补点参数u，再将插补点参数u代入NURBS曲线的矩阵表达式，得到各插补点的坐标值，实现过程不一样。
【附图说明】
下面参照附图结合实施例对本发明作进一步的描述。
图1是本发明的控制方法***框图。
图2是本发明的控制方法模式图。
图3是本发明的控制方法流程图。
【具体实施方式】
本发明为一种NURBS曲线直接插补柔性加减速控制方法。在该方法中，CNC解释器程序读取用户输入的以NURBS曲线表述的加工代码文件，获取NURBS曲线次数p，控制点Pi(i＝0，1，…，n)，及其对应的权因子wi(i＝0，1，…，n)等相关参数，由NURBS曲线表达式，构成出代加工NURBS曲线；扫描曲线，获得曲线速度敏感区集合，进而，对曲线所有速度敏感区进行处理，得到曲线各速度敏感区速度极小值点集合，然后由速度极小值点将曲线分成若干曲线段；对曲线段进行柔性加减速控制，得到每个插补周期对应插补点，即获得满足柔性加减速情况下的各插补点的参数矢量，再由NURBS曲线定义式求出插补点对应的各轴坐标。
图1是本发明的一种NURBS曲线直接插补柔性加减速控制方法***框图。其中详细展示了一种NURBS曲线直接插补柔性加减速控制方法所包括的五个部分，其中每个部分产生的结果作为下一个部分数据处理的对象。
第一个部分CNC解释器程序读取用户输入的以NURBS曲线表述的零件加工代码文件，读取出NURBS曲线相关参数，构造出要加工的NURBS曲线；第二部分，扫描曲线，识别出加工速度低于指令速度的曲线部分作为速度敏感区，得到曲线速度敏感区集合；第三部分，扫描曲线速度敏感区集合，得到每个速度敏感区速度极小值点，构成速度极小值点集合；第四部分，以速度极小值点加上曲线首尾端点，对NURBS曲线分段，得到分段曲线集；第五部分，对曲线段进行柔性加减速处理，获得满足机床加减速性能的插补点，并由NURBS定义式得到各插补点坐标值。
图2是一种NURBS曲线直接插补柔性加减速控制方法模式图。其中详细展示了柔性加减速控制方法时间、速度、加速度、加加速度、位移等的变化规律。
图2中，柔性加减速模式分为五段，分别为加加速、减加速、匀速、加减速、减减速。其中加速度变化为呈现二阶曲线变化，加加速度变化呈现一阶曲线变化。
图2中，T0为加加速阶段时刻，T1为加加速阶段完成时刻，T2为减加速阶段完成时刻，T3为匀速阶段完成时刻，T4为加减速阶段完成时刻，T5为减减速阶段完成时时刻；t1为加加速时长，t2为减加速时长，t3为匀速阶段时长，t4为加减速时长，t5为减减速阶段时长；v0为加加速阶段速率，v1为加加速阶段结束时速率，v2为减加速阶段结束时速率，v3为匀速阶段结束时速率，v4为加减速阶段结束时速率，v5为减减速阶段结束时速率；
令其加加速度为，加速度为、速度为，各阶段时间设置为：
由上式可得各个阶段加加速度j(t)、加速度a(t)和速度v(t)计算方程。
令加加速度变化直线曲率为k，则加加速度方程可表示为：
通过对加加速度积分可得加速度方程为：
对加速度积分可得速度方程为：
其中：
对速度进行积分可得位移为：
其中S1，S2，S3，S4，S5由下式求出：
图3是本发明的一种NURBS曲线直接插补柔性加减速控制方法流程图。其中详细展示了柔性加减速控制方法具体实现步骤，包含读取***最大进给速度等相关参数，读取曲线段数据，计算当前插补时间、插补加加速度、插补加速度，并得到当前插补速度，进而获得当前插补周期位移值，然后再求得位移距离所对应的插补点参数矢量，并进一步获得插补点的坐标值。
图3中流程图步骤包括：
柔性加减速模块读取***参数，包括最大进给速度V、机床最大允许加速度A、机床最大允许加加速度J、插补周期值T以及柔性加减速k值；进入步骤2。
柔性加减速模块读取曲线段li，并得到该曲线段参数矢量区间[us,ue]，进入步骤3。
计算当前插补时间t，t＝t+T，开始时t＝0，T为插补周期值，进入步骤4。
根据柔性加减速模式，由时间t和k值计算当前插补时刻的加加速度值，进入步骤5。
根据柔性加减速模式，由当前插补时刻加加速度值，时间t和机床运行最大加速度值，计算当前插补时刻的加速度值，进入步骤6。
根据柔性加减速模式，由当前插补时刻加速度值，时间t，计算当前插补时刻的速度值，进入步骤7。
根据柔性加减速模式，由当前插补时刻速度值、加速度值、时间t，计算当前插补位移值，进入步骤8。
根据插补位移值得的当前插补点参数矢量，进入步骤9。
根据NURBS曲线定义式，由当前插补点参数矢量计算插补点的坐标值，进入步骤10。
如果曲线段处理完毕，则退出，否则继续执行步骤3。
本发明的柔性加减速控制方法，加加速度变化呈一阶直线型曲线变化，加速度变化呈二阶曲线型变化，加加速度最大阶跃为最大加加速度值，速度和加速度变化更加平缓，从而减小对机床造成的冲击，避免引起电机震荡和失步等，因此可以提高加工精度，延迟机床寿命。
以上所述仅为本发明的较佳实施用例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换以及改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种NURBS曲线直接插补柔性加减速控制方法，其特征在于：该方法包括如下步骤：
步骤(1)、读取加工代码文件，提取出NURBS曲线相关参数；
步骤(2)、对NURBS曲线进行预处理，获得NURBS曲线几何特征；
步骤(3)、采用柔性加减速方法获得符合机床加减速特性的插补点。
2.如权利要求1所述的一种NURBS曲线直接插补柔性加减速控制方法，所述步骤(1)，具体包括：
CNC解释器程序读取用户输入的以NURBS曲线表述的加工代码文件，获取NURBS曲线次数p，控制点Pi(i＝0，1，…，n)，及其对应的权因子wi(i＝0，1，…，n)相关参数，由NURBS曲线表达式，构成出代加工NURBS曲线，NURBS曲线表达式为：
<mrow> <mi>C</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>w</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>P</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>w</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow>
式中由解释器程序从加工代码文件读取的参数有：Pi-控制点信息，wi-权因子信息，p-NURBS曲线次数；
式中Ni,p(u)为p次规范B样条基函数，可由下式递推计算：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mi>p</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>p</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mi>p</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中，U＝{u0,u1,...,un+p+1}称为节点矢量，u是NURBS曲线的自变量。
3.如权利要求1所述的一种NURBS曲线直接插补柔性加减速控制方法，所述步骤(2)具体包括：
扫描曲线，获得曲线速度敏感区集合U，
<mrow> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>|</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lt;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mi>u</mi> <mo>&amp;Exists;</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>1</mn> </mrow>
其中F为机床指令速度；
进而，对曲线所有速度敏感区进行处理，得到曲线各速度敏感区速度极小值点集合第一行表示速度极小值点参数矢量，第二行表示其最大允许进给速度，其中，NURBS曲线首尾节点分别添加到集合头和尾，对应的参数矢量为u＝0，u＝1；
进而，由速度极小值点可以将曲线分成若干曲线段，其集合表述为：
L＝{li}。
4.如权利要求1所述的一种NURBS曲线直接插补柔性加减速控制方法，所述步骤(3)具体包括：
对曲线段进行柔性加减速控制，得到每个插补周期对应插补点，即获得满足柔性加减速情况下的各插补点的参数矢量，再由NURBS曲线定义式求出插补点对应的各轴坐标；
柔性加减速分为五段，分别为加加速、减加速、匀速、加减速、减减速。
其中加速度变化呈二阶曲线变化，加加速度变化呈一阶曲线变化；
令加加速度为j，加速度为a、速度为v，令加速开始时刻为T0，加加速阶段完成时刻为T1，持续时间为t1；减加速阶段完成时刻为T2，持续时间为t2；匀速阶段完成时刻为T3，持续时间为t3；加减速阶段完成时刻为T4，持续时间为t4；减减速阶段完成时刻为T5，持续时间为t5。各阶段完成时刻与持续时间关系为：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>5</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
由上式可得各个阶段加加速度j(t)、加速度a(t)和速度v(t)计算方程；
令加加速度变化直线曲率为k，则加加速度方程可表示为：
<mrow> <mi>j</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>k</mi> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>&amp;le;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>k</mi> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>5</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
通过对加加速度积分可得加速度方程为：
<mrow> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>k&amp;tau;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>&amp;le;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mi>max</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>k&amp;tau;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>k&amp;tau;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>max</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>k&amp;tau;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>5</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
对加速度积分可得速度方程为：
<mrow> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>6</mn> </mfrac> <msup> <mi>k&amp;tau;</mi> <mn>3</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>&amp;le;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>max</mi> </msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>6</mn> </mfrac> <msup> <mi>k&amp;tau;</mi> <mn>3</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>6</mn> </mfrac> <msup> <mi>k&amp;tau;</mi> <mn>3</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>max</mi> </msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>6</mn> </mfrac> <msup> <mi>k&amp;tau;</mi> <mn>3</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>5</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
其中：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>6</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>kt</mi> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>6</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>kt</mi> <mn>2</mn> <mn>3</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>6</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>kt</mi> <mn>4</mn> <mn>3</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>6</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>kt</mi> <mn>5</mn> <mn>3</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> 2
对速度进行积分可得位移为：
<mrow> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>24</mn> </mfrac> <msup> <mi>k&amp;tau;</mi> <mn>4</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>&amp;le;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>24</mn> </mfrac> <msup> <mi>k&amp;tau;</mi> <mn>4</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>24</mn> </mfrac> <msup> <mi>k&amp;tau;</mi> <mn>4</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>4</mn> </msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>24</mn> </mfrac> <msup> <mi>k&amp;tau;</mi> <mn>4</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>5</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
其中S1，S2，S3，S4，S5由下式求出：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>24</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>kt</mi> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>t</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>24</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>kt</mi> <mn>2</mn> <mn>4</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>24</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>kt</mi> <mn>4</mn> <mn>4</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>t</mi> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>24</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>kt</mi> <mn>5</mn> <mn>4</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>.</mo> </mrow> 3
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Application publication date: 20171024

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