CN107180433A - 一种局部交叉熵度量模糊c均值的水平集图像分割算法 - Google Patents

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CN107180433A CN201710416228.2A CN201710416228A CN107180433A CN 107180433 A CN107180433 A CN 107180433A CN 201710416228 A CN201710416228 A CN 201710416228A CN 107180433 A CN107180433 A CN 107180433A
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江晓亮
林欢
冯凯萍
丁小康
王桢
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Abstract

本发明提供了一种局部交叉熵度量模糊C均值的水平集图像分割算法，属于图像处理领域。本局部交叉熵度量模糊C均值的水平集图像分割算法，包括以下步骤：S1：输入原图像并计算它滤波后的图像S2：初始化水平集函数φ＝φ0(x)；S3：初始化权值系数和参数μ、α、ν、ε、σ、Δt；S4：更新权值系数和S5：更新水平集函数φ；S6：判断水平集演化曲线是否满足收敛准则，若没有，转到步S4继续计算，直到满足终止条件。本发明具有能够成功地处理弱边缘和灰度不均匀目标，且具有一定的抗噪性的特点优点。

Description

一种局部交叉熵度量模糊C均值的水平集图像分割算法
技术领域
本发明属于图像处理领域，涉及一种局部交叉熵度量模糊C均值的水平集图像分割算法。
背景技术
图像分割是计算机视觉、目标跟踪、以及医疗成像的基本课题，也是一项复杂的任务，在整个图像处理过程中占有非常重要的地位。由于噪声、低对比度、灰度不均匀等现象的出现，给图像分割带来了很大的挑战，尤其在医学领域，其分割的难度更大。传统的FCM算法以平方误差和为聚类准则，利用迭代法来优化目标函数，从而使数据集合的最优聚类得以完成。正是由于聚类方法中成功地引入了模糊理论，使得FCM算法保留了更多的原始图像信息，因此成为目前图像处理领域中应用较为广泛的分割方法之一。FCM算法的优势在于其无监督性、高效性及自适应性，该方法虽然简单、快速，但缺乏本质上的平滑约束，而且对于先验知识(形状、纹理等)没有进行考虑，也未能取得光滑的分割边界和封闭的分割区间。
最近几年，基于水平集的几何活动轮廓模型在图像分割领域得到了广泛使用，其基本思想是：对于图像域内的一个初始闭合曲线及其能量方程，通过能量函数的极小化过程，使得演化曲线向着图像中的目标边缘逼近，从而获得图像的分割结果。因此，该方法在能量泛函的定义中易于加入目标形状、图像区域等先验知识，从而得到光滑、封闭的分割结果。传统的水平集分割方法只考虑了图像的梯度信息，对于弱边缘或者噪声区域，得到的分割结果往往很不理想。
为了更有效地解决上述问题，新的模型被不断地提出。其中，Li等人将惩罚项引入到水平集的能量方程中，对水平集函数和符号距离函数之间的偏差进行约束。同时，Li等人又提出了LBF(Local Binary Fitting)模型，通过利用图像的局部区域信息作为约束条件，具有更好的分割定位能力。之后，Wang等人提出了LGDF(Local Gaussian DistributionFitting)模型，将图像区域内的灰度归纳为不同均值和方差的高斯分布，进而大大提高了图像的分割精度。近些年，许多学者采用交叉熵准则来计算能量泛函。由于引入了高斯核函数，这类算法可以自适应地增加或减小样本点属于某个聚类中心的权重，因此有效地减小了孤立点、噪声点对图像分割所造成的影响。但是，这类方法并没有考虑图像的局部信息，导致算法不能准确地提取图像中灰度不均匀目标的边缘。
发明内容
本发明的目的是针对现有的技术存在上述问题，提出了一种局部交叉熵度量模糊C均值的水平集图像分割算法，本水平集图像分割算法成功地处理弱边缘和灰度不均匀目标，且具有一定的抗噪性的特点。
本发明的目的可通过下列技术方案来实现：
一种局部交叉熵度量模糊C均值的水平集图像分割算法，其特征在于，包括以下步骤：
S1：输入原图像并计算它滤波后的图像
S2：初始化水平集函数φ＝φ0(x)，它的SDF定义如下：
S3：初始化权值系数和参数μ、α、ν、ε、σ、Δt；
S4：更新权值系数和
S5：更新水平集函数φ；
S6：判断水平集演化曲线是否满足收敛准则，若没有，转到步S4继续计算，直到满足终止条件。
在上述局部交叉熵度量模糊C均值的水平集图像分割算法，所述的S5进一步包括以下子步骤：
S5.1：用交叉熵准则来重新构造FCM_S算法的目标函数
公式中，k为聚类的数目，N为像素点的个数，xi为第i个像素点的灰度值，xi是以j为中心的邻域像素灰度值，vc为第c个聚类中心，uic表示第i个像素点属于第c类的隶属度，g(s)＝exp(-s2/2ρ2)是大小为ρ的高斯核函数；
S5.2：引入高斯核函数来获取图像的局部信息，具体如下：
公式中，Kσ(j,i)为标准差为σ的高斯核函数：
S5.3：采用水平集方法来求解能量函数，则能量泛函的水平集方程表示如下：
公式中，M1(φi)＝Hε(φi)，M2(φi)＝1-Hε(φi)，Heaviside函数H(z)需要用它的一个光滑版本Hε(z)来替代，通常被定义为：
公式中，ε是一个大于零的参数，对Hε(z)求导，得：
S5.4：在目标函数中引入长度项和惩罚项，能量泛函可以表示为：
公式中，ν为长度项长度的权重系数，μ为惩罚项的权重系数；
S5.5：采用标准的梯度下降流法来极小化能量泛函,固定水平集函数求的导数，可得：
S5.6：保持固定，关于水平集函数极小化能量泛函φ*，同时，引入时间变量t，可得到如下的水平集演化方程：
S5.7：设定因此，简化为：
与现有技术相比，本具有以下优点：
首先，鉴于交叉熵准则在处理噪声方面有较大的优势，将其取代平方误差和准则来重新构造FCM_S(Fuzzy C-Means with Spatial Constraints)算法的目标函数，这样处理可以自适应地增加或减小样本点属于某个聚类的程度；其次，将改进后的聚类算法融入到变分水平集框架中，使得模型可准确地对像素点进行归类；最后，采用加权迭代法和梯度下降流法来求解模型的泛函对弱边缘和噪声图像都能取得很好的分割效果，且对初始轮廓的灵活性更强。
附图说明
图1为本发明所涉及方法的流程框图。
图2.1为各算法对合成噪声图像的分割结果；图2.2为各算法对多目标图像的分割结果；图2.3为各算法对T型图像的分割结果；图2.4为各算法对真实飞机图像的分割结果。
图3、图4、图5、图6分别为LBF模型、LGDF模型、LCK模型、LCFCM_S模型和LCFCM_S1模型分别在噪声水平分别为0.1、0.2、0.3、0.4和0.5(从上至下)的分割结果,(a)为原始图像，真实的边界是已知的；(b)为带有初始轮廓的椒盐噪声图像。
图7为对合成图像和真实图像分割结果的RMSE值,(a)为图3中各算法分割结果的RMSE值；(b)为图4中各算法分割结果的RMSE值；(c)为图5中各算法分割结果的RMSE值；(d)为图6中各算法分割结果的RMSE值。
图8为对医学图像的分割结果，(a)为原始图像，；(b)为LBF模型分割结果；(c)为LGDF模型分割结果；(d)为LCK模型分割结果；(e)为LCFCM_S模型分割结果；(f)为LCFCM_S1模型分割结果。
图9为对自然图像的分割结果，(a)为原始图像，；(b)为LBF模型分割结果；(c)为LGDF模型分割结果；(d)为LCK模型分割结果；(e)为LCFCM_S模型分割结果；(f)为LCFCM_S1模型分割结果。
具体实施方式
以下是本发明的具体实施例并结合附图，对本发明的技术方案作进一步的描述，但本发明并不限于这些实施例。
如图1所示，一种局部交叉熵度量模糊C均值的水平集图像分割算法，其特征在于，包括以下步骤：
S1：输入原图像并计算它滤波后的图像
S2：初始化水平集函数φ＝φ0(x)，它的SDF定义如下：
S3：初始化权值系数和参数μ、α、ν、ε、σ、Δt；
S4：更新权值系数和
S5：更新水平集函数φ，包括以下子步骤：
S5.1：用交叉熵准则来重新构造FCM_S算法的目标函数
公式中，k为聚类的数目，N为像素点的个数，xi为第i个像素点的灰度值，xi是以j为中心的邻域像素灰度值，vc为第c个聚类中心，uic表示第i个像素点属于第c类的隶属度，g(s)＝exp(-s2/2ρ2)是大小为ρ的高斯核函数；
S5.2：引入高斯核函数来获取图像的局部信息，具体如下：
公式中，Kσ(j,i)为标准差为σ的高斯核函数：
S5.3：采用水平集方法来求解能量函数，则能量泛函的水平集方程表示如下：
公式中，M1(φi)＝Hε(φi)，M2(φi)＝1-Hε(φi)，Heaviside函数H(z)用Hε(z)来替代：
公式中，ε是一个大于零的参数，对Hε(z)求导：
S5.4：在目标函数中引入长度项和惩罚项，能量泛函可以表示为：
公式中，ν为长度项长度的权重系数，μ为惩罚项的权重系数；
S5.5：采用标准的梯度下降流法来极小化能量泛函,固定水平集函数求的导数，可得：
S5.6：保持固定，关于水平集函数极小化能量泛函φ*，同时，引入时间变量t，可得到如下的水平集演化方程：
S5.7：设定因此，简化为：
S6：判断水平集演化曲线是否满足收敛准则，若没有，转到步S4继续计算，直到满足终止条件。
在上述局部交叉熵度量模糊C均值的水平集图像分割算法，所述的S5进一步包括以下子步骤：
S5.1：用交叉熵准则来重新构造FCM_S算法的目标函数
公式中，k为聚类的数目，N为像素点的个数，xi为第i个像素点的灰度值，xi是以j为中心的邻域像素灰度值，vc为第c个聚类中心，uic表示第i个像素点属于第c类的隶属度，g(s)＝exp(-s2/2ρ2)是大小为ρ的高斯核函数；
S5.2：引入高斯核函数来获取图像的局部信息，具体如下：
公式中，Kσ(j,i)为标准差为σ的高斯核函数：
S5.3：采用水平集方法来求解能量函数，则能量泛函的水平集方程表示如下：
公式中，M1(φi)＝Hε(φi)，M2(φi)＝1-Hε(φi)，Heaviside函数H(z)需要用它的一个光滑版本Hε(z)来替代，通常被定义为：
公式中，ε是一个大于零的参数，对Hε(z)求导，得：
S5.4：在目标函数中引入长度项和惩罚项，能量泛函可以表示为：
公式中，ν为长度项长度的权重系数，μ为惩罚项的权重系数；
S5.5：采用标准的梯度下降流法来极小化能量泛函,固定水平集函数求的导数，可得：
S5.6：保持固定，关于水平集函数极小化能量泛函φ*，同时，引入时间变量t，可得到如下的水平集演化方程：
S5.7：设定因此，简化为：
图2.1为各算法对合成噪声图像的分割结果；图2.2为各算法对多目标图像的分割结果；图2.3为各算法对T型图像的分割结果；图2.4为各算法对真实飞机图像的分割结果。
图3、图4、图5、图6为各算法在不同椒盐噪声下的分割结果。其中，(a)为原始图像，真实的边界是已知的；(b)为带有初始轮廓的椒盐噪声图像，其噪声水平分别为0.1、0.2、0.3、0.4和0.5(从上至下)；(c-g)分别为LBF模型、LGDF模型、LCK模型、LCFCM_S模型和LCFCM_S1模型的分割结果。
为了定量地比较各模型的分割精度，采用均方根误差(Root Mean SquaredError，RMSE)来衡量分割结果与真实值之间的偏差。RMSE准则定义如下：
公式中，(xk,yk)(k＝0,...,n-1)表示分割后图像轮廓上点的坐标，(k＝0,...,n-1)表示真实图像轮廓上与(xk,yk)距离最近的对应点的坐标。RMSE的值越小，表示分割结果与真实结果之间的差距越小，对应模型的分割精度就越高；反之，RMSE的值越大，说明分割效果就越差。图7为各算法对合成图像和真实图像分割结果的RMSE值。其中，(a)为图3中各算法分割结果的RMSE值；(b)为图4中各算法分割结果的RMSE值；(c)为图5中各算法分割结果的RMSE值；(d)为图6中各算法分割结果的RMSE值。通过对比可以发现，LBF和LGDF模型的RMSE值相对较大，LCK模型次之，而LCFCM_S和LCFCM_S1模型的RMSE值最小，这说明本发明的两个模型在分割精度方面优于其它三种算法，对噪声的鲁棒性更好。
图8为各算法对医学图像的分割结果。其中，(a)为原始图像，；(b)为LBF模型分割结果；(c)为LGDF模型分割结果；(d)为LCK模型分割结果；(e)为LCFCM_S模型分割结果；(f)为LCFCM_S1模型分割结果。表1显示了上述五种算法分割时所需要的迭代次数和迭代时间。从表中可以看出，LCFCM_S模型迭代所需的运算时间相对较长，这是因为该模型中有两个卷积项需要计算。事实上，通过简化，LCFCM_S1模型具有较低的计算复杂度，且分割结果和LCFCM_S模型相差不大。LBF模型的计算速度也很快，但分割效果明显不如本发明提出的两个模型。
表1图8中各模型的分割时间和迭代次数
图9为各算法对自然图像的分割结果。其中，(a)为原始图像，；(b)为LBF模型分割结果；(c)为LGDF模型分割结果；(d)为LCK模型分割结果；(e)为LCFCM_S模型分割结果；(f)为LCFCM_S1模型分割结果。为了定性地评价各算法的性能，采用Dice相似性系数(DiceSimilarity Coefficient，DSC)来衡量每个方法的分割精度。假定S1表示各模型分割所获得的区域，S2为给定图像的真实边界，那么DSC度量可以被定义为：
公式中，N(·)表示封闭区域内像素点的个数。DSC的取值范围是0～1，DSC的值越接近1，表示图像的分割精度就越高。表2提供了各种算法对自然图像分割结果的量化评估。通过比较可以发现，LBF模型和LGDF模型分别有一幅图像得到的分割结果是最好的，而LCFCM_S模型所获得的DSC值中有六幅是最高的，说明该模型的分割结果是相当精确的。
表2各算法对自然图像分割结果的DSC值
本文中所描述的具体实施例仅仅是对本发明精神作举例说明。本发明所属技术领域的技术人员可以对所描述的具体实施例做各种各样的修改或补充或采用类似的方式替代，但并不会偏离本发明的精神或者超越所附权利要求书所定义的范围。本文使用这些术语仅仅是为了更方便地描述和解释本发明的本质；把它们解释成任何一种附加的限制都是与本发明精神相违背的。

Claims (2)

1.一种局部交叉熵度量模糊C均值的水平集图像分割算法，其特征在于，包括以下步骤：
S1：输入原图像并计算它滤波后的图像
S2：初始化水平集函数φ＝φ0(x)，它的SDF定义如下：
<mrow> <msup> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>x</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>o</mi> <mi>u</mi> <mi>t</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>d</mi> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>C</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>x</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>C</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>x</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>d</mi> <mi>e</mi> <mi> </mi> <mi>C</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
S3：初始化权值系数和参数μ、α、ν、ε、σ、Δt；
S4：更新权值系数和
S5：更新水平集函数φ；
S6：判断水平集演化曲线是否满足收敛准则，若没有，转到步S4继续计算，直到满足终止条件。
2.根据权利要求1所述的局部交叉熵度量模糊C均值的水平集图像分割算法，其特征在于，所述的S5进一步包括以下子步骤：
S5.1：用交叉熵准则来重新构造FCM_S算法的目标函数
<mrow> <munder> <mi>min</mi> <msubsup> <mrow> <mo>{</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>}</mo> </mrow> <mrow> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </msubsup> </munder> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mi>m</mi> </msubsup> <msup> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mi>m</mi> </msubsup> <msup> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
公式中，k为聚类的数目，N为像素点的个数，xi为第i个像素点的灰度值，xi是以j为中心的邻域像素灰度值，vc为第c个聚类中心，uic表示第i个像素点属于第c类的隶属度，g(s)＝exp(-s2/2ρ2)是大小为ρ的高斯核函数；
S5.2：引入高斯核函数来获取图像的局部信息，具体如下：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mi>min</mi> <msubsup> <mrow> <mo>{</mo> <msubsup> <mrow> <mo>{</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> </mrow> <mrow> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </msubsup> <mo>}</mo> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </msubsup> </munder> <mo>-</mo> <mo>(</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mi>m</mi> </msubsup> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mi>m</mi> </msubsup> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> <msup> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mover> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
公式中，Kσ(j,i)为标准差为σ的高斯核函数：
<mrow> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mi>&amp;pi;&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>
S5.3：采用水平集方法来求解能量函数，则能量泛函的水平集方程表示如下：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mi>min</mi> <mrow> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>,</mo> <msubsup> <mrow> <mo>{</mo> <msubsup> <mrow> <mo>{</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> </mrow> <mrow> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </msubsup> <mo>}</mo> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </msubsup> </mrow> </munder> <mo>-</mo> <mo>(</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </munder> <msub> <mi>M</mi> <mi>c</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </munder> <msub> <mi>M</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> <msup> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mover> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
公式中，M1(φi)＝Hε(φi)，M2(φi)＝1-Hε(φi)，Heaviside函数H(z)用Hε(z)来替代：
<mrow> <msub> <mi>H</mi> <mi>&amp;epsiv;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mfrac> <mi>arctan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>z</mi> <mi>&amp;epsiv;</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow>
公式中，ε是一个大于零的参数，对Hε(z)求导：
<mrow> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>&amp;epsiv;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mfrac> <mfrac> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <msup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow>
S5.4：在目标函数中引入长度项和惩罚项，能量泛函可以表示为：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mi>min</mi> <mrow> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>,</mo> <msubsup> <mrow> <mo>{</mo> <msubsup> <mrow> <mo>{</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> </mrow> <mrow> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </msubsup> <mo>}</mo> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </msubsup> </mrow> </munder> <mo>-</mo> <mo>(</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </munder> <msub> <mi>M</mi> <mi>c</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </munder> <msub> <mi>M</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> <msup> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mover> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mo>|</mo> <mo>&amp;dtri;</mo> <msub> <mi>H</mi> <mi>&amp;epsiv;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mi>&amp;mu;</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mo>&amp;dtri;</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
公式中，ν为长度项长度的权重系数，μ为惩罚项的权重系数；
S5.5：采用标准的梯度下降流法来极小化能量泛函,固定水平集函数求的导数，可得：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </munder> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>H</mi> <mi>&amp;epsiv;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </msubsup> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <msubsup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </msubsup> <mover> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </munder> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>H</mi> <mi>&amp;epsiv;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <msubsup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </munder> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>H</mi> <mi>&amp;epsiv;</mi> </msub> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </msubsup> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <msubsup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </msubsup> <mover> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </munder> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>H</mi> <mi>&amp;epsiv;</mi> </msub> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <msubsup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>;</mo> </mrow>
S5.6：保持固定，关于水平集函数极小化能量泛函φ*，同时，引入时间变量t，可得到如下的水平集演化方程：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>H</mi> <mi>&amp;epsiv;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>&amp;epsiv;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </munder> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>j</mi> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <msubsup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>j</mi> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mover> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mover> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>v&amp;delta;</mi> <mi>&amp;epsiv;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;dtri;</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mo>&amp;dtri;</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;dtri;</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mo>&amp;dtri;</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
S5.7：设定因此，简化为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>H</mi> <mi>&amp;epsiv;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>&amp;epsiv;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </munder> <msub> <mi>K</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mover> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mover> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>v&amp;delta;</mi> <mi>&amp;epsiv;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;dtri;</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mo>&amp;dtri;</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>-</mo> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;dtri;</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mo>&amp;dtri;</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>.</mo> </mrow> 3
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