CN106886152B - 一种基于二阶奇次重复控制器的磁悬浮转子奇次谐波电流抑制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于二阶奇次重复控制器的磁悬浮转子奇次谐波电流抑制方法，首先建立了含有转子质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型，其次采用了基于二阶奇次重复控制器(以下简称SOORC)的磁悬浮转子奇次谐波电流抑制方法。SOORC具有针对奇次谐波频率抑制的二阶内膜结构，可以改善谐波频率变化或不确定条件下的谐波抑制能力，即提高***对谐波频率变化或不确定条件下的控制鲁棒性。本发明还采用相位滞后‑超前补偿对***的稳态性能以及动态性能进行了改善，可以实现对磁悬浮转子中磁轴承线圈产生的奇次谐波电流分量进行抑制，适用于存在转子质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子***奇次谐波电流分量的抑制。

Description

一种基于二阶奇次重复控制器的磁悬浮转子奇次谐波电流抑 制方法

技术领域

本发明涉及磁悬浮转子谐波电流抑制的技术领域，具体涉及一种基于二阶奇次重复控制器的磁悬浮转子奇次谐波电流抑制方法，应用于磁悬浮控制力矩陀螺转子***中的谐波电流抑制，为磁悬浮控制力矩陀螺在“超静”卫星平台上的应用提供技术支持。

背景技术

磁悬浮控制力矩陀螺(Control Moment Gyroscope，CMG)中的转子稳定悬浮是通过采用磁轴承电磁力实现的，磁轴承的转子和定子之间无接触摩擦。故磁轴承与传统机械轴承相比具有诸多优点：首先，由于磁轴承的转子和定子之间无接触摩擦，因此CMG飞轮转子转速与机械轴承相比可以实现大幅度提高，同时增加了***工作寿命；其次，易于实现磁悬浮飞轮转子不平衡振动力的主动控制，降低***工作中的振动强度；此外，鉴于CMG框架的等效转动惯量与转子支承刚度相关，故采用基于磁轴承支承转子的方式可以调低轴承刚度，从而增大CMG框架的等效转动惯量。因此，磁轴承在同等力矩输出的条件下可以提高***框架角速率精度和CMG力矩输出精度，最终提高航天器的指向精度与稳定度。磁轴承在航天器高精度长寿命姿态控制执行机构中已得到广泛应用。因此，基于磁轴承的高精度长寿命CMG是航天器姿态控制执行机构的理想选择。

虽然磁悬浮控制力矩陀螺具有诸多优点，但***中的高频振动可以通过磁轴承传递给航天器间接影响航天器姿态控制精度，从而导致卫星平台的指向精度和稳定度降低。磁悬浮控制力矩陀螺CMG的高频振动主要由转子质量不平衡和传感器谐波导致。其中转子质量不平衡是产生振动的主要原因，其次因传感器检测面的圆度误差、电磁特性不均匀等原因，位移传感器信号中会出现同频和倍频的电流成分即传感器谐波，这种传感器谐波会引起谐波振动。

谐波振动抑制可以分为零电流、零位移和零振动三类。其中零电流振动抑制具有计算量小和功耗低的优点。当前电流抑制技术主要针对单一频率的干扰实现抑制，针对谐波电流抑制的研究工作则相对较少，主流方法集中在重复控制RC算法和并联多陷波器或多LMS滤波器算法。但并联多陷波器算法不能实现所有振动同时抑制且计算量大，同时需要考虑不同滤波器间的收敛速度问题，设计起来相对比较复杂；重复控制RC算法则无需并联多个滤波器便可实现对不同频率成分振动的同时抑制。重复控制RC算法是根据内模原理实现***零静态误差的一种方法，而现有应用于磁悬浮转子***的重复控制算法均是基于谐波电流频率精确确定的条件下完成的内膜结构设计，并没有考虑谐波电流频率变化或不确定时谐波电流抑制效果衰减的问题。

发明内容

本发明目的为：克服现有技术不足，发明了一种基于二阶奇次重复控制器的磁悬浮转子奇次谐波电流抑制方法。该发明通过二阶重复控制算法的引入，提高了磁悬浮转子***在谐波电流频率变化或不确定条件下的奇次谐波电流抑制精度。

本发明采用的技术方案为：一种基于二阶奇次重复控制器的磁悬浮转子奇次谐波电流抑制方法，包括以下步骤：

步骤(1)建立含有转子质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型；

磁悬浮转子径向两自由度由主动磁轴承控制，其余三个自由度由安装在转子和定子上的永磁环实现无源稳定悬浮。Q为磁轴承定子几何中心，O为转子几何中心，C为转子质心。以Q为中心建立惯性坐标系QXY，以O为中心建立旋转坐标系Oεη，(x,y)为在惯性坐标系下转子几何中心O的坐标值。

针对X通道谐波电流，建模如下：

由牛顿第二定律可知磁悬浮转子在X方向的动力学方程如下：

其中，m为转子质量，f_x为磁轴承在X方向的轴承力，e为转子几何中心与质心之间的偏差，Ω为转子转速，φ为转子不平衡质量的初始相位。

主被动磁轴承的轴承力由主动磁轴承的电磁力和被动磁轴承的永磁力组成，X通道中轴承力f_x可写为：

f_x＝f_ex+f_px

其中，f_ex为X通道主动磁轴承的电磁力，f_px为X通道被动磁轴承的永磁力。其中，永磁力与位移呈线性关系，表示为：

f_px＝K_prx

其中，K_pr是被动磁轴承位移刚度；

当转子悬浮在磁中心附近时，主动磁轴承电磁力可近似线性化为：

f_ex≈K_erx+K_ii_x

其中，K_er、K_i分别为主动磁轴承位移刚度、电流刚度，i_x为功放输出电流；

对于含有质量不平衡的转子***，有：

X(t)＝x(t)+Θ_x(t)

其中，X(t)为转子质心位移，x(t)为转子几何中心位移，Θ_x(t)为质量不平衡引起的位移扰动，记为：

Θ_x(t)＝lcos(Ωt+θ)

其中，l为质量不平衡的幅值，θ为相位，Ω为转子转速；

考虑到实际转子***，因机械加工精度和材料的不均匀等因素的影响，通常传感器谐波不可避免，故传感器实际测得的位移x_s(t)可表示为：

x_s(t)＝x(t)+x_d(t)

其中，x_d(t)为传感器谐波，可重写为：

其中，c_a是传感器谐波系数的幅值，θ_a是传感器谐波系数的相位，w为传感器谐波的最高次数；

将i_x、X(t)、Θ_x(t)、x_d(t)依次进行拉普拉斯变换得i_x(s)、X(s)、Θ_x(s)、x_d(s)，写出转子动力学方程有：

ms²X(s)＝(K_er+K_pr)(X(s)-Θ_x(s))+K_ii_x(s)

其中，

i_x(s)＝-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(X(s)-Θ_x(s)+x_d(s))

其中，K_s为位移传感器增益环节、G_c(s)为控制器环节，G_w(s)为功放环节；

从上式可以看出，由于质量不平衡和传感器谐波的存在，导致线圈电流中存在与转速同频的电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(X(s)-Θ_x(s))和倍频的电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)x_d(s)。

在主动磁轴承可控的径向平动自由度X通道和Y通道中，两通道解耦，所以Y通道电流模型与X通道相似，具体分析如下：

转子动力学方程有：

ms²Y(s)＝(K_er+K_pr)(Y(s)-Θ_y(s))+K_ii_y(s)

式中，Y(s)为转子质心位移y(t)的拉式变换，Θ_y(s)为质量不平衡引起的位移扰动Θ_y(t)的拉式变换，i_y(s)是Y通道功放输出电流i_y(t)的拉式变换。

上式中，

i_y(s)＝-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(Y(s)-Θ_y(s)+y_d(s))

式中，y_d(s)为传感器谐波y_d(t)的拉式变换。

从上式可以看出，由于质量不平衡和传感器谐波的存在，导致线圈电流中存在与转速同频的电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(Y(s)-Θ_y(s))和倍频的电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)y_d(s)。

步骤(2)设计一种基于二阶奇次重复控制器的磁悬浮转子奇次谐波电流抑制方法；

以谐波电流为控制目标，算法控制器以“***”的形式嵌入原闭环***。将谐波电流i_x作为误差信号输入至该***式重复控制器模块，该模块的输出等效反馈至原控制***的功放输入端。该模块的设计主要包括以下两个方面：

①采用SOORC结构算法，针对磁悬浮转子***在任一转速下实际产生的谐波电流进行频谱分析可知，谐波电流主要频率分量为奇次谐波电流。根据SOORC结构设计的一般方式，设计基于2k+1(k＝0.1.2.3...)次主导频率的SOORC内模环节。谐波电流中占主导地位的谐波分量由频谱分析得到；SOORC内模结构参考主要谐波分量完成设计。

②相位超前-滞后补偿环节由相位超前-滞后校正环节和一阶低通滤波器组成，根据***函数相频特性及***稳定性条件确定。该补偿环节可提高***稳定性，拓宽控制器增益的取值上限，同时使***稳定性设计的冗余度增加而且动态性能和稳态性能都有一定改善。

进一步地，所述的步骤(2)谐波电流抑制算法为：

①SOORC控制器的结构设计

重复控制器(RC)是基于内模原理实现误差信号跟踪，可以通过引入无穷多个闭环极点来消除

倍频谐波分量。SOORC结构可以设计为包含2k+1(k＝0.1.2.3...)次谐波频率的内模，即引入与奇次谐波电流频率分量相对应的内模环节，实现奇次谐波频率的准确定位和极点引入。从而，在引入的频率点处，***频率响应可获得无穷增益。

SOORC结构传递函数G_SOORC(z)可以表示为：

其中，

k_rc为G_SOORC(z)所对应的控制器增益，Q(z)为低通滤波器；N₂表示SOORC的离散延时采样点数；

采用SOORC结构，针对磁悬浮转子***在任一转速下实际产生的谐波电流进行频谱分析可知，谐波电流主要频率分量为奇次谐波电流。根据SOORC设计的一般方式，设计基于2k+1(k＝0.1.2.3...)次谐波频率为主导频率的SOORC内模环节。

根据SOORC内模原理可知，奇次谐波成分的频率响应几乎可被抑制为零。SOORC与传统RC相比，当谐波电流频率变化或不确定时，控制***的鲁棒性得到一定改善。同时，控制器增益k_rc的适当调整，可以改善***动态性能；

②、相位补偿函数K_f(z)的设计

为实现***稳定，设计了一种基于多个超前环节和滞后环节串联组成的***幅频特性校正方法，即：补偿函数K_f(z)设计为：

K_f(z)＝G₁(z)G₂ ^m(z)G₃(z)q(z)(m＝0,1,2…)

其中，G₁(z)为低频段补偿环节，其一般表达形式为：(Z(·)为离散化记号)

系数b根据***具体选取，实现***低频段的有效校正，同时，中高频段的特性变化很小。

G₂ ^m(z)为中频段超前补偿环节，一般表达形式为：

系数a、参数T_a、m根据***相位补偿需求具体选取，使得***中频段被有效校正。

G₃(z)为中低频段滞后校正，一般表达形式为：

系数c、参数T_b根据G₂ ^m(z)超前校正效果设计，使得***在经过G₂ ^m(z)超前校正后中频段满足***稳定条件。

q(z)为截止频率为ω_c的一个低通滤波器，一般表达形式为：

其中，ω_c为***截止频率。

采用以上方式，可提高***稳定性设计的冗余度和改善***的动态性能和稳态性能。

本发明基本原理：传统RC可以实现谐波电流的有效抑制，但传统RC实现谐波电流有效抑制的前提条件是基于谐波电流频率的精确确定，当谐波电流频率变化或不确定时，传统RC的谐波电流抑制效果会出现很大衰减。二阶RC在谐波电流抑制过程中对频率的变化或不确定具有一定的控制鲁棒性，可以提高谐波电流频率变化或不确定时谐波电流抑制精度和收敛速度。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)、为了有效抑制磁悬浮转子***中的谐波电流，本发明提出了一种基于二阶奇次重复控制器的磁悬浮转子奇次谐波电流抑制方法。SOORC的内模环节可以针对谐波频率(包含2k+1(k＝0.1.2.3...)次谐波频率)实现准确定位和极点引入，从而实现***谐波电流有效抑制。SOORC结构可以通过调整内模环节的参数w₁和w₂来提高***的鲁棒性。相较于传统RC而言，SOORC对谐波电流控制的收敛速度会加快，***的动态性能也相应得到改善。加入相位滞后-超前补偿环节，一方面可以保证***稳定，另一方面拓宽了***控制器增益k_rc的取值上限，使***动态性能得到改善。适用于存在质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子谐波电流抑制。

(2)、本发明将SOORC结构和相位滞后-超前环节相互结合起来，提高了***的动态性能和稳态性能，同时优化了***的谐波抑制效果。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2为主被动磁悬浮转子***结构示意图；

图3为转子静不平衡示意图；

图4为传感器谐波示意图；

图5为X通道磁轴承控制***框图；

图6为Y通道磁轴承控制***框图；

图7为针对X通道改进***式重复控制器整体***框图；

图8为针对X通道改进***式重复控制器整体***框图；

图9为***式重复控制器具体结构框图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。

如图1所示，一种基于二阶奇次重复控制器的磁悬浮转子奇次谐波电流抑制方法的实施过程是：首先建立含有转子质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型；然后设计一种基于二阶奇次重复控制器的磁悬浮转子奇次谐波电流抑制方法；

步骤(1)建立含有质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型

磁悬浮转子***结构示意图如图2所示，主要由永磁体(1)、主动磁轴承(2)和转子(3)组成，其径向两自由度由主动磁轴承控制，其余三个自由度由安装在转子和定子上的永磁环实现无源稳定悬浮。图3为转子静不平衡示意图，Q表示磁轴承定子的几何中心，O表示转子的几何中心，C表示转子的质心。以Q为中心建立惯性坐标系QXY，以O为中心建立旋转坐标系Oεη，(x,y)表示转子几何中心O在惯性坐标系下的坐标值。针对径向平动自由度X通道，建模如下：

根据牛顿第二定律，磁悬浮转子在X方向的动力学方程如下：

其中，m表示转子质量，f_x表示磁轴承在X方向的轴承力，e表示转子几何中心与质心之间的偏差，Ω表示转子转速，φ表示转子不平衡质量的初始相位。

主被动磁轴承的结构由主动磁轴承和被动磁轴承组成。主被动磁轴承的轴承力由主动磁轴承的电磁力和被动磁轴承的永磁力组成，故X通道中轴承力f_x可写为：

f_x＝f_ex+f_px

其中，f_ex为X通道主动磁轴承的电磁力，f_px为X通道被动磁轴承的永磁力。永磁力与位移呈线性关系，表示为：

f_px＝K_prx

其中，K_pr是被动磁轴承位移刚度；

当转子悬浮在磁中心附近时，主动磁轴承电磁力可近似线性化为：

f_ex≈K_erx+K_ii_x

其中，K_er、K_i分别为主动磁轴承位移刚度、电流刚度，i_x为功放输出电流；

在实际转子***中，由于图2中的磁轴承装配误差、转子测量表面圆度误差和电磁不均匀等因素的影响，会产生如图4所示的传感器谐波，图中，4表示传感器，5表示定子，6表示转子。传感器实际测得的位移x_s(t)可表示为：

x_s(t)＝x(t)+x_d(t)

其中，x_d(t)为传感器谐波，可重写为：

其中，c_a是传感器谐波系数的幅值，θ_a是传感器谐波系数的相位，w为传感器谐波的最高次数；

磁轴承X方向平动控制***如图5所示，其中，K_s为位移传感器增益环节、G_c(s)为控制器环节，G_w(s)为功放环节，P(s)为转子***的传递函数；将i_x、X(t)、Θ_x(t)、x_d(t)依次进行拉普拉斯变换得i_x(s)、X(s)、Θ_x(s)、x_d(s)，写出转子动力学方程有：

ms²X(s)＝(K_er+K_pr)(X(s)-Θ_x(s))+K_ii_x(s)其中，

i_x(s)＝-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(X(s)-Θ_x(s)+x_d(s))

式中，X(t)为转子质心位移，x(t)为转子几何中心位移，Θ_x(t)为质量不平衡引起的位移扰动。

从上式可以看出，由于质量不平衡和传感器谐波的存在，导致线圈电流中存在与转速同频电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(X(s)-Θ_x(s))和倍频的电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)x_d(s)。

在主动磁轴承可控的径向平动自由度X通道和Y通道中，两通道解耦，所以Y通道电流模型与X通道相似，具体分析如下：

磁轴承Y方向平动控制***如图6所示，其中，K_s为位移传感器增益环节、G_c(s)为控制器环节，G_w(s)为功放环节，P(s)为转子***的传递函数。

转子动力学方程有：

ms²Y(s)＝(K_er+K_pr)(Y(s)-Θ_y(s))+K_ii_y(s)

式中，Y(s)为转子质心位移y(t)的拉式变换，Θ_y(s)为质量不平衡引起的位移扰动Θ_y(t)的拉式变换，i_y(s)是Y通道功放输出电流i_y(t)的拉式变换。

上式中，

i_y(s)＝-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(Y(s)-Θ_y(s)+y_d(s))

式中，y_d(s)为传感器谐波y_d(t)的拉式变换。

从上式可以看出，由于质量不平衡和传感器谐波的存在，导致线圈电流中存在与转速同频电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(Y(s)-Θ_y(s))和倍频的电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)y_d(s)。

谐波电流所导致的谐波振动会通过磁轴承传递给航天器，从而间接影响航天器姿态控制精度。因此，谐波电流的有效抑制是非常必要的；

步骤(2)一种基于二阶奇次重复控制器的磁悬浮转子奇次谐波电流抑制方法

针对步骤(1)线圈电流中存在谐波电流这一问题，本发明采用一种基于二阶奇次重复控制器的磁悬浮转子奇次谐波电流抑制方法对谐波电流进行抑制。

针对X通道谐波电流，在原X通道闭环***基础上***SOORC，如图7所示。由X通道转子不平衡质量引起的位移偏差以及传感器谐波作为干扰信号R_x(s)和D_x(s)，经过控制器G_c(s)和功放G_w(s)后形成谐波电流I_x(s)。I_x(s)经两路反馈至输入端，一路经过转子***G_p(s)，另一路则经过“***”的SOORC。图7中SOORC的具体结构框图如图9所示，其中I(z)是X通道中谐波电流I_x(s)离散化后的电流序列，即跟踪误差，k_rc为SOORC控制器的增益，N为离散电流序列I(z)的周期，且有N＝f_s/f₀，f₀为X通道谐波电流成分中的基频，f_s为***采样频率；N₂表示SOORC的离散延时采样点数。K_f(z)表示在低频段和中频段的相位补偿函数，在设计中，

表示高频段的相位补偿函数，Q(z)为低通滤波器。

由于X、Y通道相互解耦，故针对Y通道谐波电流抑制可仿照上述X通道得谐波电流抑制方式。Y通道电流抑制具体实施步骤如下：在原Y通道闭环***基础上***SOORC，如图8所示，由Y通道转子不平衡质量引起的位移偏差以及传感器谐波作为干扰信号R_y(s)和D_y(s)，经过控制器G_c(s)和功放G_w(s)后形成谐波电流I_y(s)，I_y(s)经两路反馈至输入端，一路经过转子***G_p(s)，另一路则经过“***”的SOORC。图8中SOORC控制器的具体结构框图如图9所示，此时I(z)即是Y通道谐波电流I_y(s)离散化后的电流序列，即跟踪误差，k_rc为SOORC控制器的增益，N为离散电流序列I(z)的周期，且有N＝f_s/f₀，f₀为Y通道谐波电流成分中的基频，f_s为***采样频率；N2表示SOORC的离散延时采样点数。K_f(z)，以及Q(z)的作用、定义与X通道均一致。

由图9可知，SOORC结构的传递函数G_SOORC(z)可以表示为：

其中，

k_rc为G_SOORC(z)所对应的控制器增益，Q(z)为低通滤波器。

SOORC控制器设计过程如下：

本发明应用的磁悬浮转子***，在高转速情况下，根据频谱分析可知，转子有效谐波扰动主要表现在同频、三倍频、五倍频、七倍频和九倍频。故从频谱分析结果可知，该转子***中的奇次谐波频率分量占据谐波电流成分的主导位置。针对该磁悬浮转子***，设计的二阶奇次谐波频率抑制结构(SOORC)如图9所示，其内模结构的传递函数G_SOORC(z)可表示为：

其中，w₁-w₂＝1

稳定性分析和相位滞后-超前补偿环节设计：

a)、稳定性分析：

对于如图7、8所示的闭环***，若同时满足下列条件，则闭环***是渐进稳定的：

条件1：

若0<w₂<1，则

若-1<w₂<0，则

条件2：

条件1和条件2成立须满足以下等式关系：

其中，

为相位补偿后***函数，和

分别表示相位补偿后***函数

的幅值和相角；为***中低频段补偿函数，

和

分别表示

的幅值和相角；

表示原***函数，和

分别表示***函数

的幅值和相角；

为低通滤波器；为***高频补偿环节；T_s为控制***采样时间；N₂为离散***延时采样点数。

对于图9所示***，k_rc的取值范围由条件1给定，N₂的取值范围由条件2给定。针对一个实际***而言，

以及T_sω(ω≈ω_c)均是已知，因此，***参数可以确定。

b)、相位滞后-超前补偿环节设计：

相位补偿环节K_f(z)的一般形式为：

K_f(z)＝G₁(z)G₂ ^m(z)G₃(z)q(z)(m＝0,1,2…)

其中，G₁(z)为低频段补偿，其一般表达形式为(Z(·)为离散化记号)：

系数b根据***具体选取，实现***低频段特性有效校正，中高频段特性变化很小。

G₂ ^m(z)为中频段超前补偿，一般表达形式为：

中频段相位补偿环节G₂ ^m(z)由m个相位超前环节构成。由于每个相位超前环节所能提供的最大超前角不超过65°，因此G₂(z)所能提供的最大超前角不超过m×65°。为了保证校正后***有一定的相位冗余度和信噪比，一般使得每个超前环节提供的超前角在40°到50°之间。根据***达到稳定状态需要的角度和每个超前环节提供的超前角，来确定m值。如***bode图相位最低点所对应相位为

选择超前环节提供的超前角为45°，则：

G₃(z)为中低频段滞后校正，一般表达形式为：

***在经过G₂ ^m(z)的超前相位补偿后，有可能使得中低频段内***相位发生较大幅度的改变，从而影响***整体性能。为减弱由于G₂ ^m(z)对***中低频段的影响，需要加入滞后校正环节G₃(z)。

系数c、参数T_b根据G₂ ^m(z)超前校正效果设计，使得***在经过G₂ ^m(z)超前校正后中频段相位满足***稳定条件。

q(z)为截止频率为ω_c的低通滤波器，一般表达形式为：

其中，ω_c为***截止频率，可以削弱高频补偿环节

对***高频段的相位影响。

综上所述，通过引入相位补偿函数和增益系数，可以保证算法加入后***的稳定性。

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (1)

1.一种基于二阶奇次重复控制器的磁悬浮转子奇次谐波电流抑制方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤(1)：建立含有质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型；

磁悬浮转子径向两平动自由度分别由主动磁轴承控制，径向两扭动自由度和轴向平动自由度分别由安装在转子和定子上的永磁环，即被动磁轴承实现无源稳定悬浮控制，其中，Q为磁轴承定子几何中心，O为转子几何中心，C为转子质心，以Q为中心建立惯性坐标系QXY，以O为中心建立旋转坐标系Oεη，(x,y)表示在惯性坐标系下转子几何中心O的坐标值；

针对X通道谐波电流，建模如下：

由牛顿第二定律可得磁悬浮转子在X方向上的动力学方程如下：

其中，m为转子质量，f_x为磁轴承在X方向的轴承力，e为转子几何中心与质心之间的偏差，Ω为转子转速，φ为转子不平衡质量的初始相位；

主被动磁轴承的结构由主动磁轴承和被动磁轴承组成，主被动磁轴承的轴承力由主动磁轴承的电磁力和被动磁轴承的永磁力组成，故X通道中轴承力f_x可写为：

f_x＝f_ex+f_px

其中，f_ex为X通道主动磁轴承的电磁力，f_px为X通道被动磁轴承的永磁力，其中，被动磁轴承的永磁力与位移呈线性关系，表示为：

f_px＝K_prx

其中，K_pr是被动磁轴承位移刚度；x是惯性坐标系下转子几何中心O在X通道的位移值；

当转子悬浮在磁中心附近时，主动磁轴承电磁力可近似线性化为：

f_ex≈K_erx+K_ii_x

其中，K_er、K_i分别为主动磁轴承位移刚度、电流刚度，i_x为功放输出电流；

对于含有质量不平衡的转子***则有：

X(t)＝x(t)+Θ_x(t)

其中，X(t)为转子质心位移，x(t)为转子几何中心位移，Θ_x(t)为质量不平衡引起的位移扰动，记为：

Θ_x(t)＝lcos(Ωt+θ)

其中，l为质量不平衡的幅值，θ为相位，Ω为转子转速；

考虑到实际转子***中，因机械加工精度和材料的不均匀因素的影响，通常传感器谐波不可避免，故传感器实际测得的位移x_s(t)可表示为：

x_s(t)＝x(t)+x_d(t)

其中，x_d(t)为传感器谐波，可重写为：

其中，c_a是传感器谐波系数的幅值，θ_a是传感器谐波系数的相位，w为传感器谐波的最高次数；

将i_x、X(t)、Θ_x(t)、x_d(t)依次进行拉普拉斯变换得i_x(s)、X(s)、Θ_x(s)、x_d(s)，写出转子动力学方程有：

ms²X(s)＝(K_er+K_pr)(X(s)-Θ_x(s))+K_ii_x(s)

其中，

i_x(s)＝-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(X(s)-Θ_x(s)+x_d(s))

其中，K_s为位移传感器增益环节、G_c(s)为控制器环节，G_w(s)为功放环节；

由上式可知，因转子质量不平衡和传感器谐波的存在，导致线圈电流中存在与转速同频的电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(X(s)-Θ_x(s))和倍频的电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)x_d(s)，且同频电流会在磁轴承非线性作用下再次转换为倍频电流；

在主动磁轴承可控的径向平动自由度X通道和Y通道中，两通道解耦，所以Y通道电流模型与X通道相似，具体分析如下：

转子动力学方程有：

ms²Y(s)＝(K_er+K_pr)(Y(s)-Θ_y(s))+K_ii_y(s)

式中，Y(s)为转子质心位移y(t)的拉式变换，Θ_y(s)为质量不平衡引起的位移扰动Θ_y(t)的拉式变换，i_y(s)是Y通道功放输出电流i_y(t)的拉式变换；

上式中，

i_y(s)＝-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(Y(s)-Θ_y(s)+y_d(s))

式中，y_d(s)为传感器谐波y_d(t)的拉式变换；

由上式可知，因质量不平衡和传感器谐波的存在，导致线圈电流中存在与转速同频的电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(Y(s)-Θ_y(s))和倍频的电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)yd(s)；

步骤(2)：设计一种基于二阶奇次重复控制器的磁悬浮转子奇次谐波电流抑制方法

二阶奇次重复控制器，以奇次谐波电流抑制为控制目标，二阶奇次重复控制器控制器以“***”的形式嵌入原闭环***，谐波电流i_x作为误差信号输入至该***式重复控制器模块，该模块的输出反馈至原控制***的功放输入端，该模块的设计主要包括以下三个步骤：

①二阶奇次重复控制器结构方法，通过对磁悬浮转子***在任一转速下所产生的谐波电流进行频谱分析可知，磁悬浮转子***中谐波电流频率成分主要为奇次谐波，根据二阶奇次重复控制器结构的一般设计方式，设计与主导频率为奇次谐波倍频相对应的二阶RC内模环节，谐波电流中占主导地位的奇次谐波分量由频谱分析得到；

②二阶奇次重复控制器结构加权系数设计，针对改进后的RC控制器，依据稳定性判据进行稳定性分析后获得结构中w₁和w₂两个加权系数的关系及参考范围，通过适当调节加权系数可使得该二阶***在谐波电流频率变化或不确定时控制过程具有一定的鲁棒性；

③相位超前-滞后补偿环节由相位超前-滞后校正环节和一阶低通滤波器组成，根据***函数相频特性及***稳定性条件确定，该补偿环节可提高***稳定性，拓宽控制器增益的取值上限，同时使***稳定性设计的冗余度增加而且动态性能和稳态性能都有一定改善；

所述的步骤(2)电流抑制方法 为：

①二阶奇次重复控制器的结构设计

重复控制器RC是基于内模原理实现误差信号跟踪，可以通过引入无穷多个闭环极点来消除n倍频谐波分量，

尽管传统RC结构可以实现所有倍频谐波分量的抑制，但采用传统RC时，控制***对频率变化的鲁棒性较差，二阶奇次重复控制器结构引入了抑制倍频谐波分量的内模环节，可以针对需要抑制的谐波频率分量实现准确定位和极点引入，从而，在引入频率点处，***频率响应为无穷增益；

二阶奇次重复控制器结构传递函数G_SOORC(z)可以表示为：

其中，

k_rc为G_SOORC(z)所对应的控制器增益，Q(z)为低通滤波器；N₂表示二阶奇次重复控制器的离散延时采样点数；N为离散电流序列I(z)的周期，且有N＝f_s/f₀，f₀为X通道谐波电流成分中的基频，f_s为***采样频率；

根据在任一转速下磁悬浮转子***产生的谐波电流的频谱分析可知，谐波电流主要频率成分为奇次谐波，根据二阶奇次重复控制器设计的一般方式，设计基于2k+1次主导频率的二阶奇次重复控制器内模环节，k＝0.1.2.3...；

根据二阶奇次重复控制器内模原理可知，奇次谐波成分的频率响应几乎可被抑制为零，二阶奇次重复控制器与传统RC相比，当谐波电流频率变化或不确定时，控制***的鲁棒性得到一定改善，同时，控制器增益k_rc的适当调整，可以改善***动态性能；

②相位补偿函数K_f(z)的设计

为保证***的稳定性，设计了一种基于多个超前环节和滞后环节相串联的***幅频特性校正方法，即：补偿函数K_f(z)设计为：

K_f(z)＝G₁(z)G₂ ^m(z)G₃(z)q(z)，m＝0,1,2…

其中，G₁(z)为低频段补偿，其一般表达形式为：

Z(·)为离散化记号，系数b根据***具体选取，实现***低频段的有效校正，同时***中高频段的特性变化很小；

G₂ ^m(z)为串联m个超前相位补偿环节的中频段相位补偿函数，一般表达形式为：

系数a、参数T_a、m根据***相位补偿需求具体选取，实现***中频段特性的有效校正；

G₃(z)为中低频段滞后校正，一般表达形式为：

系数c、参数T_b根据G₂ ^m(z)超前校正效果设计，使得***在经过G₂ ^m(z)超前校正后中频段满足***稳定条件；

q(z)为截止频率为ω_c的一个低通滤波器，一般表达形式为：

其中，ω_c为***截止频率；

采用以上环节相串联的方式，可提高***稳定性设计的冗余度，同时改善***动态性能和稳态性能。

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