CN106778522A - 一种基于Gabor特征提取和空间变换的单样本人脸识别方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于Gabor特征提取和空间变换的单样本人脸识别方法，主要解决在只有单张训练样本图像的条件下，由于类内散布矩阵是零而导致的传统面部识别方法不能够应用的问题。该方法采用Gabor小波从原始的单样本图像中提取空间特征向量，然后融合所提取的空间特征向量和原始的光谱特征向量，利用特征空间变换方法对融合特征矩阵进行低维特征空间变换，将其变换到一个低维子空间中，最后，利用最近邻分类器完成识别。本发明方法能够准确地完成单样本人脸的识别，提高了识别精度、降低了计算的代价。与现有技术相比，本发明提出的人脸识别方法更具有效性和鲁棒性。

Description

一种基于Gabor特征提取和空间变换的单样本人脸识别方法

技术领域

本发明属于模式识别和图像处理领域，涉及到针对单张面部图像，由于类内散布矩阵为零，传统人脸识别方法无法使用情形下的人脸识别问题；具体地说是一种基于Gabor特征提取和空间变换的单样本人脸识别方法，可用于单样本情境下的视频监控、身份识别等。

背景技术

人脸识别技术是生物特征识别技术中最重要的一种，目前在视频监控、督查执法、多媒体、过程控制、身份识别等领域都有广泛的应用。到目前为止，许多研究者在这方面的研究已经取得了很多科研成果。但是，针对恶劣或者特定的环境下，往往会对人脸识别***提出一个全新的挑战，例如，执法人员仅有犯罪分子身份证上的一张面部图像，此时只能通过这张图像进行监控对比。对于这种只有一张面部图像的情景，人脸识别问题将会变得非常困难，这主要是因为常用的分类模型中的类内散布矩阵是零，Fisher线性判别分析、最大散度差等传统方法都将无法直接使用。这种情形我们通常称为无约束环境下的单训练样本人脸识别问题。如何在较差的光照、面部姿态变化较大、表情变化较大的条件下，利用监控捕捉到犯罪分子的单张全新面部，完成准确的自动识别是一个很大的挑战。目前针对单训练样本的人脸识别问题，仍没有得到很好的解决。

近年来，国内外一些研究人员针对单样本训练图像做了一些研究。Gao等人对单样本训练图像提出了基于奇异值分解(SVD)的Fisher线性判别分析法(Gao Q,Zhang L,ZhangD.Face recognition using FLDA with single training image per person[J].Applied Mathematics and Computation,2008,205(2):726-734.)，该方法首先是对单张图像进行SVD分解，得到一组基图像，然后再用原始图像和这组基图像构造每一类新的训练图像。此时，就可以得到FLDA模型中的类内散布矩阵。Koc和Barkana等人提出了基于列旋转正交三角分解(QRCP)的方法(Koc M,Barkana A.A new solution to one sample problemin face recognition using FLDA[J].Applied Mathematics and Computation,2011,217(24):10368-10376.)，该方法利用列旋转正交三角分解(QRCP)对单训练样本图像进行处理，同样也得到一组基图像，然后利用所得的基图像来构建近似图像(该近似图像包含原始图像97％的能量)，最后利用得到的近似图像和原始图像组成每一类新的训练图像，从而获得FLDA模型中的类内散布矩阵。Li等人则提出了另一种得到类内散布矩阵的方法(Li L,Gao J,Ge H.A new face recognition method via semi-discrete decomposition forone sample problem[J].Optik-International Journal for Light and ElectronOptics,2016,127(19):7408-7417.)，该方法利用半离散分解(SDD)来代替SVD或者QRCP，利用人为设置分解能量参数获取近似图像，同样得到FLDA模型中的类内散布矩阵。

虽然基于SVD和基于QRCP的Fisher线性判别分析方法都能解决单训练样本的人脸识别问题，但是这两种方法也有以下三个方面的缺点：(1)重构的近似图像不能令人十分满意或者信服；(2)在基于QRCP的方法中，没有给出理论的分析和解释近似图像至少要包含原图像97％的能量；在基于SVD的方法中，当近似图像的数目大于4时，基图像和原始图像只存在一个微小的差异。(3)基于SVD和QRCP的方法中，忽略了对于大尺度图像的分解和存储。

在识别率和识别时间上，基于SDD的方法要优于基于SVD和QRCP的方法，且所需的存储空间少，但是基于SDD的方法仍然存在三个主要的缺陷：(1)该方法的停止准则需要人为控制；(2)基于SDD的方法仍然使用Fisher判别准则，即：该方法仍然利用类内散布矩阵和类间散布矩阵来获得有效的判别信息。

发明内容

针对上述存在的问题，本发明提出一种基于Gabor特征提取和空间变换的单样本人脸识别方法，以解决单样本图像情景下的类内散布矩阵是零的问题，该方法不仅可以大大减少用于人脸识别的特征维数，还能保证一定的识别性能。从而提高了人脸识别在实际应用中的准确性和鲁棒性。

实现本发明的关键技术是：在单张训练样本图像的情形下，首先利用Gabor小波从原始的单张训练样本图像中提取空间特征向量；然后利用所提取的空间特征向量和原始的光谱特征向量得到融合特征矩阵；再利用特征空间变换方法对融合特征矩阵进行低维特征空间变换，将融合特征矩阵变换到一个低维子空间中。最后利用最近邻分类器进行识别。基于Gabor特征提取和空间变换的单样本人脸识别方法不仅大大的提高了识别率，降低了计算的复杂度，并且与现有技术相比，此方法更具有效性和鲁棒性。

为实现上述目标，具体实现步骤如下：

(1)利用Gabor小波提取单张图像的空间信息。

(1.1)构造Gabor滤波函数：本发明采用一个二维Gabor滤波来提取单张图像的空间信息，它是由一个复杂的正弦平面来调整的高斯核函数。被定义为：

其中，f是复杂正弦平面波的中心角频率，θ代表Gabor函数的正常平行条纹方向，φ是相位，σ是标准偏差，γ是用于指定Gabor函数支持椭率的空间比率。

(1.2)构造Gabor滤波器组：由于Gabor滤波器组是由一组不同频率和方向的Gabor滤波器组成的，本发明中，我们使用具有五个不同尺度和八个不同方向的Gabor滤波器组，下述两式给出了一个具有五个不同尺度和八个不同方向的Gabor滤波器组：

(1.3)面部图像的Gabor表示：对于一张面部图像A(x,y)，其Gabor表示可以通过原图像的卷积和Gabor滤波来获得，即：

其中，G(x,y)代表Gabor滤波在不同尺度u和不同方向v的二维卷积结果。并且G(x,y)的大小由下采样因子ξ来决定，并且对其实行归零均值和单位方差，得到一个滤波特征矩阵Z_u,v∈R^m*n。

(1.4)构造Gabor方向块特征矩阵：将(1.3)中得到的滤波特征矩阵Z_u,v转换为一维列向量，用Z₀表示面部图像A(x,y)的五个不同尺度和八个不同方向的Gabor方向块特征矩阵如下：

其中，是Z_u,v在尺度i下的一维表示，Z₀∈R^{(m *n)×40}是从卷积结果G(x,y)中获得的Gabor方向块特征矩阵。

2、融合Gabor小波提取的空间信息和原始图像本身的光谱信息。

由步骤1得到Gabor方向块特征矩阵为Z₀∈R^(m*n)×40，另一方面，由于单张训练样本图像本身包含非常重要的光谱信息，因此，将Gabor空间特征向量和光谱特征向量Y₀∈R^{(m *n)×41}进行融合，可以得到融合特征矩阵F∈R^(m*n)×41：

其中，σ₁和σ₂分别是Z₀和Y₀的标准偏差，它可以通过计算特征向量方差的平方根来得到。

3、基于融合特征矩阵的特征空间变换。

(3.1)建立融合特征优化模型

(3.2)进行特征空间变换得到变换矩阵

4、构造投影特征向量

对于测试特征向量f∈R^n×1，通过如下线性变换，可以得到投影特征向量

很显然，上述的计算复杂度明显的降低了。

5、在得到投影特征向量之后，用最近邻分类器进行识别。

本发明方法具有以下优点：

(1)克服了单训练样本遇到的难题：由于单训练样本模型中的类内散布矩阵是零，因此传统Fisher准则失效，而本发明方法通过Gabor滤波和特征空间变换来重构类内散布矩阵。

(2)本发明能够充分利用原始图像的空间信息和它本身的光谱信息。同时，基于Gabor的空间特征信息比图像本身的光谱特征信息更具有鲁棒性，并且能够避免表情、姿态和光照等变化引起的局部扭曲。大大的提高了识别率和识别时间，降低了计算的代价。与现有技术相比，本发明提出的人脸识别方法更具有效性和鲁棒性。

附图说明

图1本发明方法的流程图

图2 Gabor滤波在5个不同尺度和8个不同方向上的实部

图3单张面部图像的2个Gabor滤波的卷积结果

图4来自每一个数据集的5张不同的面部图像

图5四种方法在不同投影下的识别率(ORL人脸数据库)

图6四种方法在不同投影下的识别率(Yale人脸数据库)

图7四种方法在不同投影下的识别率(FERET人脸数据库)

具体实施方式

本发明是一种基于Gabor特征提取和空间变换的单样本人脸识别方法。参照图1，本发明的具体实施步骤包括以下。

步骤1.利用Gabor小波提取单张图像的空间信息。

(1.1)构造Gabor滤波函数：本发明采用一个二维Gabor滤波来提取单张图像的空间信息，它是由一个复杂的正弦平面来调整的高斯核函数。被定义为：

其中，f是复杂正弦平面波的中心角频率，θ代表Gabor函数的正常平行条纹方向，φ是相位，σ是标准偏差，γ是用于指定Gabor函数支持椭率的空间比率。

(1.2)构造Gabor滤波器组：由于Gabor滤波器组是由一组不同频率和方向的Gabor滤波器组成的，本发明中，我们使用具有五个不同尺度和八个不同方向的Gabor滤波器组，下述两式给出了一个具有五个不同尺度和八个不同方向的Gabor滤波器组：

(1.3)面部图像的Gabor表示：对于一张面部图像A(x,y)，其Gabor表示可以通过原图像的卷积和Gabor滤波来获得，即：

其中，G(x,y)代表Gabor滤波在不同尺度u和不同方向v的二维卷积结果。并且G(x,y)的大小由下采样因子ξ来决定，并且对其实行归零均值和单位方差，得到一个滤波特征矩阵Z_u,v∈R^m*n。

(1.4)构造Gabor方向块特征矩阵：将(1.3)中得到的滤波特征矩阵Z_u,v转换为一维列向量，用Z₀表示面部图像A(x,y)的五个不同尺度和八个不同方向的Gabor方向块特征矩阵如下：

其中，是Z_u,v在尺度i下的一维表示，Z₀∈R^{(m *n)×40}是从卷积结果G(x,y)中获得的Gabor方向块特征矩阵。

步骤2.融合Gabor特征提取的空间特征信息和原始图像的光谱信息。

由于单张样本图像本身包含非常重要的光谱信息，因此，将Gabor空间特征向量和光谱特征向量Y₀∈R^(m*n)×41进行融合，得到融合特征矩阵F∈R^(m*n)×41：

其中，σ₁和σ₂分别是Z₀和Y₀的标准偏差，它可以通过计算特征向量方差的平方根来得到。

步骤3.对融合特征矩阵F进行特征空间变换。

(3.1)建立融合特征优化模型

为了能够区分所有训练图像中的每一类，希望来自同一类的差异尽可能的小，相反，来自不同类样本图像之间的差异尽可能大。受Fisher准则思想的启发，我们建立了如下融合特征优化模型：

我们的目标就是利用特征空间变换来投影融合特征矩阵到一个低维的特征子空间中，并找到能够使得类间分离性最大的一个最优线性变换阵。

(3.2)进行特征空间变换得到变换矩阵W₂。

(3.2a)Gabor类间散布矩阵和Gabor类内散布矩阵的构建。

假设从融合特征矩阵中得到n维训练样本，c是类的个数，n_i(i＝1,2,…,c)是第i类训练样本的个数，于是Gabor类间散布矩阵和Gabor类内散布矩阵分别定义如下：

其中，是来自第i类的第j个融合特征向量，f_i是第i类的均值向量，f₀是所有训练样本的均值向量。

我们同时最大化和最小化就能得到变换矩阵W。其优化模型如下：

但是当上述公式中的矩阵和矩阵奇异时，上述准则是不成立的。在这种情况下，矩阵分解以及特征空间变换通常起着重要的作用。在特征空间变换中，由于我们的目标是最大化不同类别的差异性，因此，应该丢弃的零空间，这是因为它包含没有用的信息；同时应该保留的零空间的重要信息。

(3.2b)投影Gabor类间散布矩阵和Gabor类内散布矩阵到s₁维子空间并且得到变换W₁。

在此步中，首先考虑的奇异值分解(SVD)

将U_b分块，其中因此，

从而，得到如下形式的公式：

其中，是列正交矩阵，是一个对角元素非增且正的对角矩阵。在实际应用中，矩阵的奇异性会导致判别能力的降低。因此，其零特征值以及对应的特征向量应该被丢弃。基于上述考虑，首先，利用变换将原始的数据变换到s₁维的空间中。于是就得到了变换

(3.2c)在s₁维的变换空间中进行相关的变换得到变换W₂。

在步骤(3.2b)中已经得到变换在所得到的变换空间中，类间散布矩阵和类内散布矩阵分别变为：

其中，于是就将原先的n×n维的类间散布矩阵和类内散布矩阵降低到s₁×s₁维。

现在，我们考虑的特征值分解：

其中是正交矩阵，是一个对角矩阵。于是有：

在大多数的应用领域中，的秩要大于的秩，并且∑_w是非奇异的，由于：

所以，有：

因此，最优变换矩阵可以通过如下的公式得到：

实际上，上述优化问题可以转化为如下特征值问题来求解：

而上述特征问题的解可通过求解广义特征值来得到。假设λ₁，λ₂，…，λ_t是特征值问题的t个按降序排列的最大特征值，w₁，w₂，…，w_t是对应的特征向量。

为了求解问题主要考虑两个步骤：第一步是通过奇异值分解(SVD)来最大化类间散布矩阵，第二步是求解广义特征值问题。而第一步的关键问题是处理如下优化问题：

我们已知：是列正交矩阵，是对角元素非增且正的对角矩阵。因此，可得到U_b1是上述问题的解。

另外，伪逆通常用来求解奇异矩阵。矩阵的伪逆可通过奇异值分解(SVD)来计算。使用伪逆的一个自然扩展是利用特征分解矩阵或者(来实现)。更具体地说，令M＝U∑V^T是M的奇异值分解，其中U和V是列正交矩阵，∑是对角元素为正的对角矩阵，然后M的伪逆为M⁺＝V∑^-1U^T。基于上述的讨论，我们得到的最优变换矩阵

从而，基于上述变换和论证，我们得出在变换后的s₁维子空间中，是一个最优变换矩阵。

步骤4.构造投影特征向量

对于面部测试图像I∈R^M×N，基于Gabor的空间特征矩阵可以由公式 得到，并且由公式可以得到融合特征矩阵。因此，一个新的面部测试图像的Gabor方向块特征矩阵由公式 以及就可得到。

步骤5.最后利用最近邻分类器进行识别。

基于上述的说明，对于一张面部图像A(x,y)，经过Gabor小波提取空间特征信息，然后与原始图像的光谱信息进行融合，再经过特征空间变换，在变换后的s₁维子空间中，我们得到最优变换矩阵 并且得到了投影特征向量然后用最近邻分类器进行识别。最近邻分类器(NNc)是一个非参数方法的分类器，其主要思想是：假设训练样本集为X＝{(x₁,l₁),(x₂,l₂),…,(x_n,l_n)}，其中l_i,i＝1,2,…,n是类标，如果测试样本x和训练样本的k个样本x₁,…,x_k之间存在最小距离，则测试样本x属于l_i(i＝1,2,…,k)类。

假设F^test是测试图像，根据公式可以得到Gabor方向块特征矩阵x^test。由如下公式可知F^test属于第i类：

其中，

本发明的效果可通过以下仿真实验进一步说明。

1.仿真条件及参数

本发明实例是针对ORL、Yale以及FERET人脸数据库。ORL数据库包含40个人的400幅112×92大小的人脸图像，每人10幅。由于这些图像是在不同时间拍摄的，因此具有姿态、角度、尺度、表情和眼镜等的变化。图4(a)给出了本数据集的5张不同的面部图像。本实验中每个人的1张图像用于训练，剩余的9张图像用于测试；Yale人脸数据库包含来自15个人的165张图像，每人有11张图像。这些图像会随着面部表情和光照条件的变化而变化，例如：高兴、悲伤、吃惊、冷漠，带眼镜等。图4(b)给出了本数据集的5张不同的面部图像。在实验中，每张图像的大小设置为100×100，每个人的1张图像用于训练，剩下的图像用于测试；FERET人脸数据库是由美国国防部通过DARPA项目发起的。此数据集包含来自1199个具有姿态、面部表情等不同人的14051张面部灰度图像。图4(c)给出了本数据集的5张不同的面部图像。实验中，我们选择15个人的5张不同图像，一共是75张面部图像，并将图像大小调整为80×80。我们在上述三个人脸数据库上进行了50次实验，并与现有方法进行了比较，即关于单张人脸图像的基于SVD的Fisher线性判别分析方法、基于QRCP的Fisher线性判别分析方法以及基于SDD的Fisher线性判别分析方法。图2展示了5个不同尺度和8个不同方向的Gabor滤波器组。图3展示了单张面部图像上2个Gabor滤波的卷积结果。

2.仿真内容及结果分析

仿真试验中，本发明方法与传统的基于SVD的Fisher线性判别分析法、基于QRCP的Fisher线性判别分析法以及基于SDD的Fisher线性判别分析法进行对比分析，实验在三个数据集上展开。

实验一：

实验一是在ORL人脸数据库上按上述五步实施的，关于识别率的实验结果见图5，从图5中我们可以看出：在四种方法中，所提方法的最大识别率是76.67％，均高于其他方法(基于SVD的Fisher线性判别分析方法的最大识别率是56.67％、基于QRCP的Fisher线性判别分析方法的最大识别率是68.89％、基于SDD的Fisher线性判别分析方法的最大识别率是71.94％)。相比于其他三种方法，我们所提方法具有最大的识别率，并且获得了最好的识别性能。显然，所提方法的鲁棒性是利用了Gabor方向特征块及融合特征空间变换的原因。

实验二：

实验二是在Yale人脸数据库上按上述五步进行实施的，图6给出了四种方法的识别率关于投影向量的变化关系，从图6中我们可以得出如下结论：所提方法随着投影向量个数的增加，识别率也逐渐增大，且识别性能逐渐增强。基于SVD的Fisher线性判别分析方法、基于QRCP的Fisher线性判别分析方法、基于SDD的Fisher线性判别分析方法以及所提方法的最大识别率分别是24.00％，38.67％，45.33％和64.67％。从识别率上来看，所提方法是最优的，基于SDD的Fisher线性判别分析方法和基于QRCP的Fisher线性判别分析方法两种方法是次优的，基于SVD方法的Fisher线性判别分析方法识别性能是最差的，这一点图6能够充分地说明以上观点

实验三：

实验三是在FERET人脸数据库上仍旧按上述五步进行实施的。基于SVD的Fisher线性判别分析方法、基于QRCP的Fisher线性判别分析方法、基于SDD的Fisher线性判别分析方法以及所提方法的识别率与投影向量之间的关系见图7。从图7可以清晰地看到，所提方法的识别性能比其它三种方法要高，并且随着投影向量个数的增加其识别率也逐渐增加，这表现出了很好的识别性能。基于SVD的Fisher线性判别分析方法、基于QRCP的Fisher线性判别分析方法、基于SDD的Fisher线性判别分析方法以及所提方法的最好识别率分别为：88.83％，86.67％，93.33％和96.67％。

由上述三个实验表明，本发明基于Gabor特征提取和空间变换的单样本人脸识别方法在实际的人脸识别中，由于Gabor特征块对表情、姿态和光照变化而引起的局部扭曲具有鲁棒性，所以具有比较好的识别结果。表1给出了四种方法在三个不同数据集上的最大识别率(rr，％)和识别时间(t，s)。#1、#2和#3分别代表ORL、Yale和FERET数据集。

表1四种方法在不同数据集上的最大识别率(rr，％)和识别时间(t，s).

从表1可以看出，所提方法的识别率高于其他三种方法(即：基于SVD的Fisher线性判别分析方法、基于QRCP的Fisher线性判别分析方法、基于SDD的Fisher线性判别分析方法)的识别率，在识别时间上也远远少于其他三种方法。换句话说，在上述所有实验中，所提方法在ORL、Yale和FERET数据集上的运行时间要比基于SDD方法分别快大约22.28，98.08和52.60倍。

从实验结果图可以明显看出，本发明方法的识别率明显的高于基于SVD的Fisher线性判别分析方法、基于QRCP的Fisher线性判别分析方法和基于SDD的Fisher线性判别分析方法，且平均识别时间明显要低于其他三种算法。这种时间上的差异性主要是由图像矢量化而导致的。由此可见，本发明的人脸识别方法是一种非常有效并且有着很好鲁棒性的单样本人脸识别方法。

Claims (3)

1.一种基于Gabor特征提取和空间变换的单样本人脸识别方法，包括：

(1)利用Gabor小波提取单张图像的空间信息：

(1.1)构造Gabor滤波函数：本发明采用一个二维Gabor滤波来提取单张图像的空间信息，它是由一个复杂的正弦平面来调整的高斯核函数；被定义为：

其中，f是复杂正弦平面波的中心角频率，θ代表Gabor函数的正常平行条纹方向，φ是相位，σ是标准偏差，γ是用于指定Gabor函数支持椭率的空间比率；

(1.2)构造Gabor滤波器组：由于Gabor滤波器组是由一组不同频率和方向的Gabor滤波器组成的，本发明中，我们使用具有五个不同尺度和八个不同方向的Gabor滤波器组，下述两式给出了一个具有五个不同尺度和八个不同方向的Gabor滤波器组：

(1.3)面部图像的Gabor表示：对于一张面部图像A(x,y)，其Gabor表示可以通过原图像的卷积和Gabor滤波来获得，即：

其中，G(x,y)代表Gabor滤波在不同尺度u和不同方向v的二维卷积结果；并且G(x,y)的大小由下采样因子ξ来决定，并且对其实行归零均值和单位方差，得到一个滤波特征矩阵Z_u,v∈R^m*n；

(1.4)构造Gabor方向块特征矩阵：将(1.3)中得到的滤波特征矩阵Z_u,v转换为一维列向量，用Z₀表示面部图像A(x,y)的五个不同尺度和八个不同方向的Gabor方向块特征矩阵如下：

其中，是Z_u,v在尺度i下的一维表示，Z₀∈R^(m*n)×40是从卷积结果G(x,y)中获得的Gabor方向块特征矩阵；

(2)融合Gabor小波提取的空间信息和原始图像本身的光谱信息：由步骤(1)得到Gabor方向块特征矩阵为Z₀∈R^(m*n)×40，另一方面，由于单张训练样本图像本身包含非常重要的光谱信息，因此，将Gabor空间特征向量和光谱特征向量Y₀∈R^(m*n)×41进行融合，可以得到融合特征矩阵F∈R^(m*n)×41：

其中，σ₁和σ₂分别是Z₀和Y₀的标准偏差，它可以通过计算特征向量方差的平方根来得到；

(3)基于融合特征矩阵的特征空间变换：

(3.1)建立融合特征优化模型

(3.2)进行特征空间变换得到变换矩阵

(4)投影特征向量的构造；

(5)在得到投影特征向量之后，用最近邻分类器进行识别。

2.根据权利要求1所述的一种基于Gabor特征提取和空间变换的单样本人脸识别方法；其特征在于：步骤(3.2)所述的特征空间变换框架的具体过程如下：

(3.2a)定义Gabor类间散布矩阵和类内散布矩阵：

假设从融合特征矩阵中得到n维训练样本，c是类的个数，n_i(i＝1,2,…,c)是第i类训练样本的个数，于是Gabor类间散布矩阵和Gabor类内散布矩阵分别定义如下：

其中，是来自第i类的第j个融合特征向量，f_i是第i类的均值向量，f₀是所有训练样本的均值向量；

(3.2b)将类间散布矩阵和类内散布矩阵变换到s₁维的空间中并得到变换W₁：

首先考虑的奇异值分解(SVD)

将U_b分块，其中因此，

从而，公式能够转化成如下的形式：

其中，是列正交矩阵，是一个对角元素非增且正的对角矩阵；在实际应用中，矩阵的奇异性会导致判别能力的降低；因此，其零特征值以及对应的特征向量应该被丢弃；基于上述考虑，我们利用变换将原始的数据变换到s₁维的空间中；

(3.2c)在s₁维的变换空间中进行相关的变换得到最终变换W₂：

在所得到的s₁维变换空间中，类间散布矩阵变为：

类内散布矩阵变为：

其中，

现在，我们考虑的特征值分解：

其中是正交矩阵，是一个对角矩阵；于是有：

在大多数的应用领域中，的秩要大于的秩，并且∑_w是非奇异的，由于：

所以，有：

因此，最优变换矩阵可以通过下式得到：

3.根据权利要求1所述的一种基于Gabor特征提取和空间变换的单样本人脸识别方法；其特征在于：

步骤(4)所述的投影特征向量的构造的具体方法为：

对于测试特征向量f∈R^n×1，通过如下线性变换，可以得到投影特征向量

很显然，计算复杂度明显的降低了；对面部测试图像I∈R^M×N，基于Gabor的空间特征矩阵可以由公式得到，并且由公式可以得到融合特征矩阵；因此，一个新的面部测试图像的Gabor方向块特征矩阵可由以下公式得到：

则x就是我们所需要的Gabor方向块特征矩阵，这里表示为