CN106709152A - 一种电磁散射建模中快速构造低维减基空间的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种电磁散射建模中快速构造低维减基空间的方法。首先，从待仿真结构的几何域或几何边界中选出决定最终输出变量的域或边界，称之为主域或主边界。其次，基于原始的高维模型，构造关于主域内或主边界上变量的高维部分模型，并在参数化环境中针对高维部分模型构造减基空间，所得称为部分减基空间。最后，将高维部分模型投影至部分减基空间得到近似的低维模型，并以低维模型的求解代替原始高维模型的求解，提高仿真模型求解效率。本方法尤其适合于最终输出变量仅由高维模型中的部分解决定的情况。与传统减基法相比，本方法不仅进一步降低了减基空间的维度(对应地，进一步减小了低维模型的维度)，而且极大地提高了减基空间的构造速度。

Description

一种电磁散射建模中快速构造低维减基空间的方法

技术领域

本发明属于电磁场散射测量领域，更具体地，是一种快速构造低维减基空间的方法。

背景技术

在电磁场散射测量领域中，根据测量信号提取待求参数的过程中，涉及到多次正向建模，即需要对待求参数选取很多数值，并求解对应的仿真模型。仿真模型一般采用传统的数值方法进行求解，如有限元法、有限时域差分法、边界元法等。在实际操作过程中，上述数值方法将待仿真模型转化为高维线性方程进行求解，即转化为高维模型的求解。虽然已有多种针对高维模型的快速求解方法，但计算效率仍然难以满足实际测量应用中的需求。究其原因，是因为求解过程中的计算复杂度并没有显著降低。

为了解决这一问题，发展出了多种模型降阶方法，如降阶方法动力缩聚法、基于Krylov子空间技术方法、正常正交分解法、平衡截断法等，上述方法可以在一定程度上降低高维模型的维度，进而减小计算复杂度，提高计算效率。但上述方法仍然存在诸多缺陷，如难以对非线性问题进行有效表示，计算效率提升有限等。减基法作为近年来新发展起来的一种新型模型降阶方法，克服了上述模型降阶方法存在的缺陷。其特征在于，针对待仿真模型，利用贪婪算法构造出一个减基空间；将高维模型投影至该空间，得到与减基空间维度相同的近似模型；以近似模型代替原始高维模型进行求解，获得待仿真模型的近似解。由于近似模型的维度远小于高维模型，因此待仿真模型的求解效率得到了极大提升。

由以上描述可见，近似模型的维度与所得待仿真模型解的精度，完全由减基空间决定。因此，如何在保证精度的前提下，尽可能快地构造维度更低的减基空间变得至关重要。

现有研究中，为提高减基空间的构造速度，多采用以近似误差因子代替真实投影误差的方法，避免了求解所有可变参数采样点对应的高维模型，从而减小了一部分计算量。然而，这种近似误差因子通常是真实投影误差的几倍甚至上十倍，从而导致基于近似误差因子构造的减基空间的维度，大于基于真实误差因子构造的减基空间的维度，进而降低了低维模型的求解效率。而且，对于有些问题而言，难以构造近似误差因子。此外，现有研究中，为进一步降低减基空间的维度，多将可变参数的参数域分割为多个子域，在各子域内独立构造减基空间(称为局部减基空间)。由于在一个参数子域内选出的减基空间的基函数，对另一个参数子域内的减基空间影响较小，因此这种基于参数域分割获得的部分减基空间，其维度应当小于基于整体参数域构造的减基空间的维度。然而，这种方法并非从本质上减小减基空间的维度。

为了方便表述，此处以边界元法为例进行说明，对于其他基于微分方程的数值建模方法，只需将以下表述中的几何边界用几何域进行替换，所述原理并不发生改变。假设散待仿真结构Ω由K条边界分割为多个均匀区域，利用边界元法将待仿真模型转化为高维***AX＝b进行求解。如果我们最终关心的输出量仅与S条边界(1≤s≤S，1≤l_s≤K)上的场变量相关，则其余(K-S)条边界上的场变量可视为该问题中的冗余信息。因此，利用减基法对高维***进行整体降阶是一种不经济的做法，不仅使得减基空间的构造极为耗时，而且最终所得的低维模型仍然包含了冗余信息，从而影响其求解效率。

发明内容

本发明公开了一种电磁散射建模中快速构造低维减基空间的方法，用于大幅降低现有减基法中构造减基空间的计算量，达到提高构造减基空间效率的目标；同时可以获得更低维度的减基空间，从而进一步降低电磁测量领域中的模型计算复杂度，进而进一步降低***的成本，提高***处理速度。

本发明提出的一种电磁场散射测量领域中仿真模型的减基方法，包括以下步骤：

步骤101，在待仿真模型所包含的可变参数对应的参数域中，进行采样，获得一系列可变参数的采样点；

步骤102，定义待仿真结构的参考形貌，将参考形貌离散化；所述参考形貌，指待仿真结构的可变参数取值为其参数域的中间值的仿真结构；

步骤103，将所有可变参数采样点对应的实际形貌上描述待仿真模型的控制方程，转化为参考形貌上的控制方程；

步骤104，基于步骤102中参考形貌的离散结果，将步骤103中所有可变参数采样点对应的控制方程，转化为高维线性方程组进行求解，称高维线性方程组为高维模型；

步骤105，根据应用需要，选出决定待仿真模型输出参数的主域或主边界，从高维模型中分离出关于主域内或主边界上待求变量的部分，称为高维部分模型；

所述主域对应于有限元法或有限时域差分法，所述主边界对应于边界元法或矩量法；

步骤106，利用贪婪算法，在所有可变参数采样点对应的高维部分模型中进行迭代，每一步迭代选出一个投影误差最大的参数；最大投影误差小于预设误差阈值时，迭代终止；所有在迭代过程中选出的参数对应的高维部分模型的解，将作为基函数构成减基空间。

进一步的，步骤101中，所述可变参数包括待仿真模型的形貌参数，或者还包括输入项的特征参数，包括入射电磁波的波长或/和入射角。

进一步的，步骤101中，在可变参数的参数域内采样，可采用均匀采样、对数采样、切比雪夫采样等多种方法。

进一步的，步骤102中，其特征在于，离散参考形貌可以选用常单元、线性单元或高阶单元。

进一步的，步骤103中，如果可变参数不包含表征待仿真结构的形貌参数，则参考形貌和实际形貌上控制方程相同。

进一步的，步骤106的实现包含以下步骤：

步骤201，从所有可变参数采样点中任选一个参数，计算其所对应的高维部分模型的解并归一化，作为构造减基空间的第一个基函数；

步骤202，基于基函数，构造减基空间；

步骤203，将各个可变参数采样点对应的高维部分模型，投影至步骤202所述的不完备的减基空间，得到不完备的低维模型并求解；

步骤204，计算步骤203投影过程中各个可变参数采样点对应的投影误差；

所述投影误差，指分别求解高维部分模型和对应的不完备低维模型所得解之间的误差的范数；

步骤205，从步骤204中所得的各个可变参数采样点对应的投影误差中，选出最大值，与预定的误差阈值比较大小；

步骤206，若步骤205中最大投影误差大于误差阈值，则从可变参数采样点中选出与最大投影误差对应的参数，该参数对应的高维部分模型的解，与已有的减基空间的基函数正交归一化后，添加至基函数组合中，转步骤202；

步骤207，若步骤205中最大投影误差小于误差阈值，则获得完备的减基空间，减基空间构造结束。

进一步的，步骤204中，计算投影误差可采用l₂范数或l_∞范数。

进一步的，步骤201和206中，基函数的正交归一化可采用QR分解法或Gram-Schmit方法实现。

本发明中所述“低维”指得到的减基空间的维度，与传统减基法所得减基空间相比，维度更低。

减基法在实际应用过程中面临两个问题：1)如何快速构造一个减基空间；2)如何获得维度更低的减基空间(对应的近似模型维度更低，求解效率更高)。与传统减基法针对高维模型进行整体降阶的做法不同，本专利所述方法是对从高维模型中分离出来的部分模型(因为其维度依旧很高，称为高维部分模型)进行降阶，可以同时解决以上两个问题。因此，本专利所述方法其实是对传统减基法的一种改进。

基于以上的分析，本发明公开了一种电磁散射建模中快速构造低维减基空间的方法，该方法仅对高维模型中决定最终输出量的部分进行降阶处理。我们称与最终输出量相关的边界为主边界，无关的边界为次边界。根据待仿真结构边界的划分结果(划分为K个自边界)，将高维线性***中的阻抗矩阵A划分为K²个分块，并选出与主边界相关的S²个分块A_ij(l₁≤i,j≤l_S)组合成一个新的矩阵A_p，称之为与主边界相关的高维部分模型的阻抗矩阵。类似地，将激励向量b按边界划分结果划分为K个分块，选出与主边界相关的S个分块b_i(l₁≤i≤l_S)，并消去主边界上的激励在次边界上产生的作用，按顺序组合成一个新的向量b_p，称之为与主边界相关的高维部分模型的激励向量。通过上述方法构造的高维部分模型，仅仅包含了主边界上的场变量信息，并且仍然保持了其在高维模型中的特性不变。针对上述高维部分模型构造减基空间，不仅可以极大地提高减基空间的构造效率，而且可进一步降低减基空间的维度，从而进一步提高近似模型的求解效率。

附图说明

参照下面的说明，结合附图，可以对本发明有最佳的理解。在附图中，相同的部分可由相同的标号表示。

图1示出了本发明公开的方法的实现流程图；

图2示出了本发明公开的方法中构造部分减基空间的实现流程图；

图3以正方形结构为例，示出了本发明公开的方法中参考形貌到实际形貌的仿射变换的实现流程图；

图4示出了本发明实施例1中所采用的二维散射体的截面示意图；

图5示出了本发明实施例1中，利用贪婪算法构造整体减基空间与部分减基空间时最大投影误差随减基空间维度的收敛图；

图6示出了本发明实施例1中，新参数下求解高维模型和将高维部分模型投影至部分减基空间所得的近似低维模型，所得的主边界上场变量的振幅对比；

图7示出了本发明实施例2中所采用的二维散射体的截面示意图；

图8示出了本发明实施例2中，新参数下求解高维模型和将高维部分模型投影至部分减基空间所得的近似低维模型，所得的主边界上场变量的振幅对比。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及示例性实施例，对本发明进行进一步详细说明。为方便描述，此处以边界元法求解电磁散射问题为例，对本发明所公开的方法进行详细阐述。应当理解，此处所描述的示例性实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明的适用范围。

图1示出了本发明提供部分减基法的示例性处理流程。以边界元法求解电磁散射问题的基础，即电磁散射问题中边界元法的控制方程，为物体边界上电磁场变量的积分方程：

其中r₁与r₂分别代表观察点和源点的坐标。若观察点不在物体的边界上，则c＝1；若观察点位于边界上，则c＝α/2π(二维问题下)或c＝α/4π(三维问题下)，α是边界上源点处的内包角。G(r₁,r₂)是Helmholtz方程的基本解，G^*(r₁,r₂)是G(r₁,r₂)的法向导数。u^t(r₁)和u^t(r₂)分别代表观察点和源点处的总场，u^inc(r₁)代表观察点处的入射场q(r₂)为u^t(r₂)的法向导数。TE偏振下有p＝1，u代表电场，TM偏振下有p＝ε_r代表材料的相对介电常数，u代表磁场。

在电磁散射测量中，物体的形貌是一个重要的测量对象。图1步骤102中，首先定义待仿真结构的一个参考形貌则任意可变参数对应的实际形貌均可以通过参考形貌的变换得到。所述变换包括缩放变换、旋转变换和位移变换。假设待仿真结构包含多个边界，则待仿真结构参考形貌上第i个边界到实际形貌上对应的第i个边界的仿射变换关系T_i:可表述为其中映射参数γ_i∈R为缩放系数，R_i∈R^d×d为d维空间中的旋转矩阵，t_i∈R^d为位移向量。为具体说明参考形貌到实际形貌的仿射变换的实现，图3中以二维正方形结构形貌的仿射变换为例详细地进行阐述。如图3(a)所示，设参考形貌为边长为L，中心点O与坐标原点重合的正方形，实际形貌为边长为2L，中心点坐标为(1.75L,1.5L)且经过旋转的正方形。则参考形貌到实际形貌的仿射变换可分解为缩放变换、旋转变换和位移变换的组合，如图3(b)所示。由第一步缩放变换可知，缩放系数γ＝2；由第二步旋转变换可知，结构沿逆时针方向旋转了45°，则旋转矩阵由第三步平移变换可知，位移向量t＝[1.75L,1.5L]。

因此，式(1)中实际形貌的边界上的积分方程，可以转化为定义在参考形貌的边界上的积分方程

其中并且有

式(2)中，若场变量u及其法向导数q为标量，则 若为矢量，则 其中表示参考形貌上源点处的旋转矩阵。

图1步骤102中，离散参考形貌的边界将式(2)中边界积分方程描述的待仿真模型，可用一个维度为N^h的线性方程组表征，称为高维模型。在参数化环境中，该高维模型可写作

A(μ)X＝b(μ) (4)

其中，可变参数μ∈Δ，Δ表示可变参数的参数域。阻抗矩阵A包含了式(4)所示线性方程组中的所有系数，b为包含入射项的激励项，X为散射体边界上待求的场变量。

若物体Ω由K条边界包围，则阻抗矩阵A可分解为K²个分块A_ij(1≤i,j≤K)，A_ij代表源点x和观察点y分别落在边界和上。同理，激励项b和待求量X可以分别分解为K个分块b_i与X_i(1≤i≤K)，b_i代表边界上的入射场，X_i代表边界上待求的场变量。假设最终的输出量仅与边界(1≤s≤S,1≤l_s≤K)上的场变量相关，并称这些边界为主边界，其余边界(1≤t≤T,1≤k_T≤K,k_t≠l_s)为次边界。如图1步骤105所示。在确定了主边界的基础上，可以构造关于主边界上场变量的维度为的高维部分模型

A_p(μ)X_p＝b_p(μ) (5)

其中，阻抗矩阵A_p由高维模型的阻抗矩阵A中与主边界相关的分块矩阵，重新组合而得

高维部分模型的激励项定义为

其中，代表边界上的激励项，代表边界上的场变量，代表阻抗矩阵A中观察点和源点分别落在边界和g上的分块矩阵。式(7)中b_p的定义表明，原始高维模型中主边界上的激励在次边界上产生的作用，已经从主边界上的原始激励中消去了。因此，基于高维模型和高维部分模型求解所得主边界上的场变量是相等的，即

图1步骤106中，针对高维部分模型，利用贪婪算法构造减基空间，其具体流程见图2所示。第一步，如步骤201所示，从可变参数的所有采样点μ_Ξ中任选一参数μ₁，其对应的高维部分模型的解X_p(μ₁)归一化为ξ₁，构成减基空间的基函数ζ＝{ξ₁}。第二步，如步骤202所示，根据基函数ζ构造不完备的减基空间。第三步，如步骤203所示，将各个可变参数采样点对应的高维部分模型，投影至不完备的减基空间，得到不完备的低维模型

并求解。其中，第四步，如步骤204所示，计算步骤203投影过程中各个可变参数采样点对应的投影误差

其中表示将低维模型的解向高维部分模型的解空间中逆向投影。第五步，如步骤205所示，比较最大投影误差max(ε(μ_Ξ))与预设误差阈值ε_tol。若前者大于后者，则选出误差最大的参数该参数对应的高维部分模型的解X_p(μ_i)与已有的减基空间的基函数ζ正交归一化为ξ，并扩充基函数至ζ＝{ζ,ξ}，如步骤206所示，转202；若前者小于后者，则获得完备的减基空间，减基空间构造结束，如步骤207所示。

为方便后续描述，本发明中涉及的几个减基空间的声明如下：部分减基空间是指针对高维部分模型构造的减基空间，整体减基空间是指针对原始高维模型构造的减基空间。

步骤203中，将一个n维模型投影到低维度的减基空间中，其计算复杂度为Ο(n²)。假设高维部分模型的维度是原始高维模型维度N^h的1/m，并假设部分减基空间和整体减基空间的维度相同，则前者的计算复杂度仅为后者的1/m²。此外，由于高维部分模型的复杂度小于原始高维模型，可以预见部分减基空间的维度N_p理论上比整体减基空间的维度N低，即N_p<N。结合前面的分析可知，针对同一个电磁散射问题，理论上构造部分减基空间的计算复杂度为构造整体减基空间计算复杂度的g倍。此外，将高维部分模型投影至部分减基空间所得低维模型的维度为N_p，而将原始高维模型投影至整体减基空间所得低维模型的维度为N，则前者的求解复杂度仅为后者的(N_p/N)³。由此可见，本发明公开的方法，不仅可以实现减基空间的快速构造，而且得到的近似模型维度更低，相应地，具有更高的求解效率。

为清晰的展示本发明公开方法的有效性，将分别针对闭合边界的物体和无限宽基底上的物体进行电磁散射仿真研究。所有仿真均在配置了双Intel Xeon E5-2650处理器的工作站上完成，每个处理器的时钟频率均为2GHz，仿真采用Matlab软件编程实现。

图4所示的二维圆柱散射体，该结构中心为半径R＝1μm的Si圆柱体，外层涂覆厚度分别为t₁和t₂的SiO₂和Si₃N₄材料。假设波长为0.6μm的TE偏振平面波，如图3中301所示，垂直投射到散射体上，可变参数包括t₁∈[0.5,0.55]μm，t₂∈[0.6,0.65]μm。该散射体包括三条边界，由内向外分别以402、403和404表示。对于该电磁散射问题，我们关心的是入射平面波与散射体作用后自由空间中电磁场的分布，即最终关心的输出量是自由空间中的电磁近场分布。根据边界元法的原理容易得知，自由空间中的电磁近场完全受最外层边界404上的场变量控制，因此，本实施例中主边界为404，次边界为402与403。设构造减基空间时的误差阈值tol＝10^-5，分别针对原始高维模型和高维部分模型构造减基空间。

图5为利用贪婪算法构造减基空间过程中，最大投影误差max(ε(μ_Ξ))的收敛图。501和502分别表示构造整体减基空间和部分减基空间过程中最大投影误差随着迭代步数增加的收敛趋势，可见前者的收敛速度仅约为后者的一半，从侧面预示了整体减基空间的维度N应当约为部分减基空间维度N_p的两倍。

表1展示了本实施例中原始的高维模型、高维部分模型、整体减基空间和部分减基空间的维度，四者分别为N^h＝2904，N＝179和N_p＝81。N/N_p＝2.21与图4展示结果基本一致。容易得知，则按之前分析结果可知，理论上构造部分减基空间的计算复杂度为构造整体减基空间的6.75％。实际仿真过程中，二者的运行时间分别为Time₂＝0.12h，Time₁＝2.59h，前者耗时约为后者的4.52％，与理论值接近。

表1实施例1中原始高维模型、高维部分模型、整体减基空间和部分减基空间的维度及后两者的构造时间

图5及表1中的结果已经充分证明了在针对闭合边界散射体仿真中本发明公开的方法的有效性。为验证该方法所得结果的正确性，任选一组参数(t₁,t₂)＝(0.5201,0.6376)μm，求解其对应的高维模型和经部分减基空间降阶后的近似低维模型。两种方法求得主边界404上的电场振幅分别见图6中的601和602所示，二者最大的相对误差为4.43×10^-7，满足预设精度要求。

图7(a)所示为待研究的无限宽Si基底上的Si₃N₄散射体结构，散射体为带有圆角的矩形，其宽度和高度分别以CD和H表示，圆角半径以R表示，两个散射体的间距以S表示，单位振幅的TE平面波以角度θ投射到该结构上，如701所示。在该实施例中，R和S分别固定在10nm和1μm，可变参数包括CD∈[0.665,0.735]μm,H∈[0.095,0.105],θ_inc∈[45,90]°。对该结构进行建模时所用模型如图7(b)所示，d＝0，可见模型共包括两条边界，自上而下分别以702和703表示。在该结构的电磁散射问题中，我们关心的是散射体上方自由空间中电磁场的分布。自由空间中的电磁近场完全受最外层边界702上的场变量控制，因此，本实施例中主边界为702，次边界为703。设构造减基空间时的误差阈值tol＝10^-4，分别针对原始的高维模型和高维部分模型构造减基空间。

表2展示了本实施例中原始的高维模型、高维部分模型、整体减基空间和部分减基空间的维度，四者分别为N^h＝5340，N＝681和N_p＝592。N/N_p＝1.15。容易得知，则按之前分析结果可知，理论上构造部分减基空间的计算复杂度为构造整体减基空间的24.39％。实际仿真过程中，二者的运行时间分别为Time₂＝2.36h，Time₁＝7.42h，前者耗时约为后者的31.81％，与理论值基本接近。

表2实施例2中原始高维模型、高维部分模型、整体减基空间和部分减基空间的维度及后两者的构造时间

表2中的结果已经充分证明了在针对基底上散射体仿真中本发明公开方法的有效性。为验证其正确性，任选一组参数(CD,H,θ)＝(0.7012μm,0.0973,78.3360°)，求解其对应的高维模型和经部分减基空间降阶后的近似低维模型。两种方法求得主边界702上的电场振幅分别见图8中的801和802所示，二者最大的相对误差为5.22×10^-5，满足预设精度要求。

通过上述两个实施例，充分验证了本发明所提方法的有效性。该方法可极大地提高构造减基空间的计算效率，并且对于主边界或主域形貌复杂度与次边界或次域相当的散射体，该方法还可大幅降低减基空间的维度，进而降低近似低维模型的维度，从而提高待仿真模型的求解效率。

应当理解，此处所描述的示例性实施例仅用以阐述本发明的核心思想，并展示本发明产生的效果，并不用于限定本发明的适用范围，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种电磁场散射测量领域中仿真模型的减基方法，包括以下步骤：

步骤101，在待仿真模型所包含的可变参数对应的参数域中，进行采样，获得一系列可变参数的采样点；

步骤102，定义待仿真结构的参考形貌，将参考形貌离散化；所述参考形貌，指待仿真结构的可变参数取值为其参数域的中间值的仿真结构；

步骤103，将所有可变参数采样点对应的实际形貌上描述待仿真模型的控制方程，转化为参考形貌上的控制方程；

步骤104，基于步骤102中参考形貌的离散结果，将步骤103中所有可变参数采样点对应的控制方程，转化为高维线性方程组进行求解，称高维线性方程组为高维模型；

步骤105，根据应用需要，选出决定待仿真模型输出参数的主域或主边界，从高维模型中分离出关于主域内或主边界上待求变量的部分，称为高维部分模型；

所述主域对应于有限元法或有限时域差分法，所述主边界对应于边界元法或矩量法；

步骤106，利用贪婪算法，在所有可变参数采样点对应的高维部分模型中进行迭代，每一步迭代选出一个投影误差最大的参数；最大投影误差小于预设误差阈值时，迭代终止；所有在迭代过程中选出的参数对应的高维部分模型的解，将作为基函数构成减基空间。

2.根据权利要求1所述方法，其特征在于，步骤101中，所述可变参数包括待仿真模型的形貌参数，或者还包括输入项的特征参数，包括入射电磁波的波长或/和入射角。

3.根据权利要求1所述方法，其特征在于，步骤101中，在可变参数的参数域内采样，可采用包括均匀采样、对数采样或切比雪夫采样在内的多种方法。

4.根据权利要求1所述步骤，其特征在于，步骤102中离散参考形貌选用常单元、线性单元或高阶单元。

5.根据权利要求1所述方法，其特征在于，步骤103中如果可变参数不包含表征待仿真结构的形貌参数，则参考形貌和实际形貌上控制方程相同。

6.根据权利要求1所述方法，其特征在于，步骤106的实现包含以下步骤：

步骤201，从所有可变参数采样点中任选一个参数，计算其所对应的高维部分模型的解并归一化，作为构造减基空间的第一个基函数；

步骤202，基于基函数，构造减基空间；

步骤203，将各个可变参数采样点对应的高维部分模型，投影至步骤202所述的不完备的减基空间，得到不完备的低维模型并求解；

步骤204，计算步骤203投影过程中各个可变参数采样点对应的投影误差；

所述投影误差，指分别求解高维部分模型和对应的不完备低维模型所得解之间的误差的范数；

步骤205，从步骤204中所得的各个可变参数采样点对应的投影误差中，选出最大值，与预定的误差阈值比较大小；

步骤206，若步骤205中最大投影误差大于误差阈值，则从可变参数采样点中选出与最大投影误差对应的参数，该参数对应的高维部分模型的解，与已有的减基空间的基函数正交归一化后，添加至基函数组合中，转步骤202；

步骤207，若步骤205中最大投影误差小于误差阈值，则获得完备的减基空间，减基空间构造结束。

7.根据权利要求6所述方法，其特征在于，步骤204中，计算投影误差采用l₂范数或l_∞范数。

8.根据权利要求6所述方法，其特征在于，步骤206中，基函数的正交归一化采用QR分解法或Gram-Schmit方法实现。