CN106407561B - 一种并行gpdt算法在多核soc上的划分方法 - Google Patents

一种并行gpdt算法在多核soc上的划分方法 Download PDF

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CN106407561B CN201610832540.5A CN201610832540A CN106407561B CN 106407561 B CN106407561 B CN 106407561B CN 201610832540 A CN201610832540 A CN 201610832540A CN 106407561 B CN106407561 B CN 106407561B
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Abstract

本发明属于集成电路设计技术领域，具体为一种并行GPDT算法在多核SoC上的划分方法。并行GPDT算法包括两层迭代，内层迭代负责求解工作集，而外层迭代负责更新工作集。在计算速度的关键路径方面，外层循环的关键路径是梯度的更新，内层循环的关键路径是每次投影之后向量的计算，这两部分矩阵运算都需要在多核上并行化处理；而其余的运算只能通过在主核上串行的方式实现，包括利用Dai‑Fletcher算法实现的梯度投影操作，以及通过引入快速排序算法来实现工作集的更新等。计算结束后得到的向量即为GPDT算法训练数据的支持向量。

Description

一种并行GPDT算法在多核SOC上的划分方法
技术领域
本发明属于集成电路设计技术领域，具体为一种并行GPDT算法在多核SoC上的划分方法。
背景技术
GPDT算法是Zanni等人提出的一种对原始QP问题的分解方法，其每次迭代的工作集变量个数在102到103数量级之间，使得算法在很少的几次迭代之后就可以达到收敛，虽然每次迭代的计算量比较大，但可以通过并行化的方式将复杂的计算分配到多个处理器上进行，从而获得更快的训练速度。
支持向量机问题的原始表达式为：
Figure BDA0001116404800000011
Figure BDA0001116404800000012
G是一个l×l的矩阵，称为核矩阵，其中，
Figure BDA0001116404800000013
Figure BDA0001116404800000014
为核函数。
问题的分解就是将待求解的向量
Figure BDA0001116404800000015
分成两部分，一部分是工作集，用B来表示，另一部分是非工作集，用N来表示。公式中待求解向量、样本类别向量以及核矩阵都相应被分解为如下形式：
Figure BDA0001116404800000016
经过化简，分解之后的QP子问题转换成如下形式：
Figure BDA0001116404800000017
Figure BDA0001116404800000018
QP子问题的求解过程主要分为四个步骤，通过循环迭代求出最终结果，迭代结束的判断条件为KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件。
算法的具体步骤如下：
步骤1：初始化。
将向量
Figure BDA0001116404800000021
初始化为0，然后选择两个整数nB和nC,令0≤nC≤nB≤1,nC为偶数，从向量
Figure BDA0001116404800000022
中随机选择nB个元素组成工作集B，剩余的元素组成非工作集N,令外层迭代次数k＝1；
步骤2：QP子问题求解。
Figure BDA0001116404800000023
Figure BDA0001116404800000024
令
Figure BDA0001116404800000025
为QP子问题的解。然后再令
Figure BDA0001116404800000026
步骤2.1：初始化
令
Figure BDA0001116404800000027
表示初始梯度，并且令
Figure BDA0001116404800000028
下降步长ρ0∈[ρmin，ρmax]，ρmin和ρmax为预设值，且满足0<ρmin＜ρmax,令内层迭代次数k’＝0；
步骤2.2：投影
用PΩ()表示向可行域Ω投影的操作，首先判断向量
Figure BDA0001116404800000029
是否满足终止条件，如果满足则结束迭代，否则利用下式来计算梯度下降的方向：
Figure BDA00011164048000000210
步骤2.3：矩阵乘法
计算矩阵
Figure BDA00011164048000000211
步骤2.4：线搜索
用线搜索的方法计算系数λk‘，并且更新待求向量
Figure BDA00011164048000000212
步骤2.5：更新
计算第k’+1次迭代的
Figure BDA00011164048000000213
和
Figure BDA00011164048000000214
Figure BDA00011164048000000215
Figure BDA00011164048000000216
然后计算新的梯度下降步长ρk′+1，令迭代次数k’＝k’+1，并返回步骤2.2。
步骤3：梯度更新。
更新第k次迭代后目标函数关于向量
Figure BDA00011164048000000217
的梯度：
Figure BDA00011164048000000218
更新之后，如果
Figure BDA00011164048000000219
满足KKT条件，那么结束迭代，否则进入下一步。
步骤4：工作集更新。
首先求解如下问题：
Figure BDA00011164048000000220
Figure BDA0001116404800000031
然后，将结果
Figure BDA0001116404800000032
中的非零项对应的αi取出，组成工作集
Figure BDA0001116404800000033
非零项的个数最大为nc个，然后从旧的工作集B中取出元素填充到
Figure BDA0001116404800000034
中，直到
Figure BDA0001116404800000035
中达到nB个元素，最后令
Figure BDA0001116404800000036
k＝k+1，然后返回步骤2。
GPDT算法的优点是每次迭代求解的工作集元素个数能够达到103数量级，使得算法能够快速地收敛，然而在单次迭代中由于存在大量的矩阵运算，计算量非常大。
发明内容
本发明的目的是提供一种并行GPDT算法在多核SoC上的划分方法，以大大缩短单次迭代的计算时间，从而提高整个训练算法的运行效率。
本发明提供的并行GPDT算法在多核SoC上的划分方法，其总体思想是，将工作集B中的nB个元素平均分配到N个处理器上，并且每个处理器在本地都存有训练数据的备份，这样可以将矩阵运算很方便地分配到N个处理器上执行。由算法的基本原理可以看出，算法的并行度主要集中在步骤2和步骤3中，这两步是矩阵运算相对集中的步骤。
并行GPDT算法在多核SoC上的划分方法，包括两个部分：行分解和列分解；具体介绍如下。
行分解方法。包括：矩阵按行分解、并行计算、结果拼接三个步骤：
在步骤2.1的初始化过程中，计算初始梯度
Figure BDA0001116404800000037
其中，A表示一个nB×nB的矩阵，而
Figure BDA0001116404800000038
表示一个nB×1的列向量，那么，
Figure BDA0001116404800000039
的结果也是一个nB×1的列向量；首先，将矩阵A将按行分解为
Figure BDA00011164048000000310
其中，Ani表示一个
Figure BDA00011164048000000311
的矩阵；然后在各个核上计算
Figure BDA00011164048000000312
的值；最后，在主核上将各核的运算结果拼接，
Figure BDA00011164048000000313
即为
Figure BDA00011164048000000314
的结果。
列分解方法。包括：矩阵按列分解、并行计算、结果拼接三个步骤：
在步骤3的梯度更新中，计算
Figure BDA00011164048000000315
其中，GLB是一个l×nB的矩阵，而
Figure BDA00011164048000000316
是一个nB×1的列向量，则二者相乘的结果
Figure BDA00011164048000000317
是一个l×1的列向量。由于矩阵GLB是l行nB列，所以，首先，将矩阵按列分解为
Figure BDA0001116404800000041
Figure BDA0001116404800000042
按行分解为
Figure BDA0001116404800000043
然后，在各个核上计算
Figure BDA0001116404800000044
最后，在主核上将各个核计算的结果累加，
Figure BDA0001116404800000045
即为
Figure BDA0001116404800000046
的值。
根据上述划分方法，则改进后的并行GPDT算法(即基于在多核SoC上划分的并行GPDT算法)的具体步骤如下：
步骤1：首先在主核上初始化向量
Figure BDA0001116404800000047
为0，选择两个整数nB和nC，令0≤nC≤nB≤1，nC为偶数，从向量
Figure BDA0001116404800000048
中随机选择nB个元素组成工作集B，令外层迭代次数k＝1。
步骤2：QP子问题求解
Figure BDA0001116404800000049
2.1 在主核上设定初始梯度
Figure BDA00011164048000000410
下降步长ρ0∈[ρmin，ρmax]，ρmin和ρmax为预设值，且满足0<ρmin＜ρmax，令内层迭代次数k’＝0；
2.2 然后在各个核上并行计算初始梯度
Figure BDA00011164048000000411
的行片段
Figure BDA00011164048000000412
在主核上将计算结果拼接：
Figure BDA00011164048000000413
其中，A是nB×nB矩阵，
Figure BDA00011164048000000414
是nB×1的列向量，
Figure BDA00011164048000000415
也是nB×1的列向量；首先，将矩阵A将按行分解为
Figure BDA00011164048000000416
其中，Ani表示一个
Figure BDA00011164048000000417
的矩阵；然后在各个核上计算
Figure BDA00011164048000000418
的值；最后，在主核上将各核的运算结果拼接，
Figure BDA00011164048000000419
即为
Figure BDA00011164048000000420
的结果；
2.3 在主核上完成向可行域Ω投影的操作，并判断向量
Figure BDA00011164048000000421
是否满足终止条件，如果满足则结束迭代，否则计算梯度下降的方向d(k’)；
2.4 接着在各个核上并行计算矩阵z(k’)的行片段
Figure BDA00011164048000000422
其中矩阵A的行分解方式同步骤2.2中一样，然后在主核上将各核的运算结果拼接，
Figure BDA00011164048000000423
即为
Figure BDA00011164048000000424
的计算结果；
2.5 然后在主核上先线搜索计算系数λk,计算新的步长ρk‘+1以及uk′+1等，再令内层迭代次数k’＝k’+1；判断uk′+1是否满足KKT终止条件，如果满足，进入下一步；否则，返回到步骤2.2，计算新的梯度下降方向。
步骤3：在得到QP子问题的解
Figure BDA00011164048000000425
后，需要更新梯度，在各个核上并行计算梯度增量的列片段
Figure BDA00011164048000000426
然后在主核上将结果累加，得到新的梯度：
计算
Figure BDA0001116404800000051
其中，GLB是一个l×nB的矩阵，而
Figure BDA0001116404800000052
是一个nB×1的列向量，则二者相乘的结果
Figure BDA00011164048000000513
是一个l×1的列向量。由于矩阵GLB是l行nB列，所以，首先，将矩阵按列分解为
Figure BDA0001116404800000053
Figure BDA0001116404800000054
按行分解为
Figure BDA0001116404800000055
然后，在各个核上计算
Figure BDA0001116404800000056
最后，在主核上将各个核计算的结果累加，
Figure BDA0001116404800000057
即为
Figure BDA0001116404800000058
的值。
步骤4：在主核上判断
Figure BDA0001116404800000059
是否满足KKT条件，如果满足，计算结束，否则在主核上更新工作集，具体更新过程见背景技术介绍，令k＝k+1，返回到步骤2。
该并行GPDT算法主要包括两层迭代，内层迭代负责求解工作集B，外层迭代负责更新工作集B。在计算速度的关键路径方面，内层循环的关键路径是每次投影后向量z(k’)的计算，而外层循环的关键路径是梯度的更新，这两部分矩阵运算需要分配到各个核上并行化处理，并行化处理的方式分别为“按行分解”和“按列分解”，其余的运算在主核上串行实现，主要包括两部分，一是梯度的投影操作，采用的是Dai-Fletcher算法，二是工作集B的更新，这一步通过引入快速排序算法来高效地填充新工作集中的元素。
附图说明
图1并行GPDT算法流程。
图2按行分解的矩阵乘法。
图3按列分解的矩阵乘法。
具体实施方式
下面结合附图，对本发明作进一步的描述。
如图1所示，本发明将算法中计算初始梯度
Figure BDA00011164048000000510
中的
Figure BDA00011164048000000511
内层循环计算矩阵z(k’)、外层循环计算梯度增量
Figure BDA00011164048000000512
的过程通过并行化处理，分配到多个处理器上进行，将大大减少每次迭代过程中矩阵运算的时间，另外算法中的其他部分仍然是串行化操作，包括梯度的投影和工作集的更新等。根据阿姆达尔定律，并行化算法的加速比不但跟可并行化部分的加速比有关，还跟可并行化部分的比例有关，因此随着训练数据的增加，可并行化部分的运算时间比例增加，算法整体的加速比将逐渐接近于并行化部分的加速比。
1、并行划分的总体思想是，将工作集B中的nB个元素平均分配到N个处理器上，每个处理器分配到的工作集下标定义为集合Ip，p＝1，2，…，N，则分配之后的集合Ip满足：
Figure BDA0001116404800000061
即每个处理器分配到的集合互不相交。假设每个处理器分配到的工作集元素个数为np个，且满足
Figure BDA0001116404800000062
并且每个处理器在本地都存有训练数据的备份，这样就可以将矩阵运算很方便地分配到N个处理器上执行，算法的并行度主要集中在步骤2和步骤3中。
2、Dai-Fletcher算法初始梯度的并行化计算初始梯度的计算公式为
Figure BDA0001116404800000063
其中A表示一个nB×nB的矩阵，而
Figure BDA0001116404800000064
则表示一个nB×1的列向量，那么
Figure BDA0001116404800000065
的结果也是一个nB×1的列向量。按照附图2划分，将矩阵A按行分解，每个处理器上分配到矩阵A的其中np行的片段，然后与列向量
Figure BDA0001116404800000066
相乘，最后经过拼接，得到最终的结果：
Figure BDA0001116404800000067
同理，步骤2.3中矩阵
Figure BDA0001116404800000068
的计算也用相同的方法进行分解，即
Figure BDA0001116404800000069
3、梯度更新的并行计算梯度更新的公式为：
Figure BDA00011164048000000610
令
Figure BDA00011164048000000611
则
Figure BDA00011164048000000612
其中，GLB是一个l×nB的矩阵，而
Figure BDA00011164048000000613
表示相邻两次迭代的向量
Figure BDA00011164048000000614
的差值，则二者相乘的结果
Figure BDA00011164048000000615
是一个l×1的列向量。由于矩阵GLB是l行nB列，所以这里的划分方式是将矩阵GLB按列分解，如附图3所示。对于每个处理器来说，其分配到的矩阵GLB的列片段Gnp是l行np列的矩阵，与列向量
Figure BDA00011164048000000616
的行片段
Figure BDA00011164048000000617
相乘，得到的结果是
Figure BDA00011164048000000618
是一个l行的列向量，所以需要将每个处理器的计算结果进行累加才能得到最终的结果：
Figure BDA00011164048000000619
4、算法中的其他部分，包括梯度的投影操作和工作集的更新等，则仍然在主核上串行执行，改进后的并行GPDT算法总体流程如附图1所示。

Claims (1)

1.一种并行GPDT算法在多核SoC上的划分方法，其特征在于，具体步骤如下：
步骤1：首先在主核上初始化向量
Figure FDA0002474205910000015
为0，选择两个整数nB和nC，令0≤nC≤nB≤1，nC为偶数，从向量
Figure FDA0002474205910000016
中随机选择nB个元素组成工作集B，令外层迭代次数k＝1；
步骤2：QP子问题求解
Figure FDA0002474205910000017
2.1在主核上设定初始梯度
Figure FDA0002474205910000018
下降步长ρ0∈[ρmin，ρmax]，ρmin和ρmax为预设值，且满足0<ρmin＜ρmax，令内层迭代次数k’＝0；
2.2然后在各个核上并行计算初始梯度
Figure FDA0002474205910000019
的行片段
Figure FDA00024742059100000110
在主核上将计算结果拼接：
Figure FDA00024742059100000111
其中，A是nB×nB矩阵，
Figure FDA00024742059100000112
是nB×1的列向量，
Figure FDA00024742059100000113
也是nB×1的列向量；首先，将矩阵A将按行分解为
Figure FDA0002474205910000011
其中，Ani表示一个
Figure FDA00024742059100000114
的矩阵；然后在各个核上计算
Figure FDA00024742059100000115
的值；最后，在主核上将各核的运算结果拼接，
Figure FDA0002474205910000012
即为
Figure FDA00024742059100000116
的结果；
2.3在主核上完成向可行域Ω投影的操作，并判断向量
Figure FDA00024742059100000117
是否满足终止条件，如果满足则结束迭代，否则计算梯度下降的方向d(k’)；
2.4接着在各个核上并行计算矩阵z(k’)的行片段
Figure FDA00024742059100000118
其中矩阵A的行分解方式同步骤2.2中一样，然后在主核上将各核的运算结果拼接，
Figure FDA0002474205910000013
即为
Figure FDA00024742059100000119
的计算结果；
2.5然后在主核上先线搜索计算系数λk,计算新的步长ρk‘+1以及uk′+1，再令内层迭代次数k’＝k’+1；判断uk′+1是否满足KKT终止条件，如果满足，进入下一步；否则，返回到步骤2.2，计算新的梯度下降方向；
步骤3：在得到QP子问题的解
Figure FDA00024742059100000120
后，需要更新梯度，在各个核上并行计算梯度增量的列片段
Figure FDA00024742059100000121
然后在主核上将结果累加，得到新的梯度：
计算
Figure FDA0002474205910000014
其中，GLB是一个l×nB的矩阵，而
Figure FDA00024742059100000122
是一个nB×1的列向量，则二者相乘的结果
Figure FDA00024742059100000123
是一个l×1的列向量；由于矩阵GLB是l行nB列，所以，首先，将矩阵按列分解为
Figure FDA0002474205910000022
Figure FDA0002474205910000023
按行分解为
Figure FDA0002474205910000021
然后，在各个核上计算
Figure FDA0002474205910000024
最后，在主核上将各个核计算的结果累加，
Figure FDA0002474205910000025
即为
Figure FDA0002474205910000026
的值；
步骤4：在主核上判断
Figure FDA0002474205910000027
是否满足KKT条件，如果满足，计算结束，否则在主核上更新工作集，令k＝k+1，返回到步骤2。
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