CN106127737A - 一种用于体育比赛测量中的平板标定*** - Google Patents

Abstract

一种用于体育比赛测量中的平板标定***，本***采用平面图形标定法。平面标定法就是利用多个成像平面对目标的位置进行分析，选择合适的成像平面对目标进行位置的确定。第一步，用左右两台不同方位的摄像机对标定物及被标定物拍摄并获取图像；第二步，对左右两台摄像机获取的图像进行处理后，从中对特征点进行提取和匹配，进而获得摄像机的内部参数和外部参数；第三步，利用两种方法的测量原理，通过特征点及摄像机的内外参数，计算得到被标定物位于三维空间的信息。对传统标定方法和平面棋盘格标定方法进行了对比实验，使用平面棋盘格标定法比使用传统三维立体框架标定法的精度更高，相对误差更小。

Description

一种用于体育比赛测量中的平板标定***

技术领域

本发明涉及应用于体育比赛中的摄像机三维空间标定，属于体育现场测量研究领域，尤其涉及一种体育中的三维摄像便携标定***。

背景技术

录像解析是体育科研中常用的研究手段，通过对运动技术图像的解析可以在不影响正常比赛和训练的前提下，较真实地获得运动员比赛时的运动学参数。对摄像机进行准确的三维空间标定是录像解析的前提。目前国内外的运动生物力学研究领域中，目前体育科研领域的研究主要使用的标定方法是基于三维辐射状框架的传统摄像机标定，然后将标定过的二维数据经过直接线性变换(Direct Linear Transformation，DLT)后，获得三维坐标数据。

通常在测量现场使用固定的标准框架来对所使用的摄像机进行标定，它为辐射状由八只可拆卸标杆组成。

这种方法在实际应用中有较大的局限性，尤其是在比赛和训练现场进行标定时，这些限制会更突出，局限性如下：

首先对实际测量的标定范围有限，无法对大范围运动项目进行有效的标定，甚至有时因比赛现场拍摄位置的特殊性而导致无法测量；其次随着使用时间的增长，框架会因自身形变等原因而导致测量误差的增大；再次这种框架相对比较笨重，携带不方便，在体育比赛现场安装时费时费力；最后在标定时还需要人工对框架的标记点进行识别，从而会大大增加标定的时间。以上问题对体育科学研究造成了一定的影响，因此需要一种新的方法替代传统的三维立体框架标定，以达到在标定时方便、快捷、有效的目的。

发明内容

本发明采用平面图形标定法。平面标定法就是利用多个成像平面对目标的位置进行分析，选择合适的成像平面对目标进行位置的确定。每个平面的成像都是不同的，由于每个平面的成像都是在运动的，所以需要在摄像机与目标之间的平面内找到某几个点，来分析目标与摄像机之间的成像规律，然后根据这一规律对目标进行标定。由于对物体的标定会受到这些点的影响，随着目标的不断运动，摄像机与目标之间平面内的点就会越来越多，因而物体标定的准确度也就越来越高，从而为摄像机标定提供了可靠的信息支持，并会减少摄像机标定的成本，提高了标定的效率。相比三维立体标定法，平面标定的精确度更高，标定所用的时间相对较短，长时间使用后不会发生形变，而且携带方便，成本较低，所以平面标定法在体育测量研究领域中值得推广。

摄像机模型

三维重建的过程需要通过摄像机获取数据，因此需要先了解清楚摄像机的工作原理。

通过摄像机，三维空间中的点能够映射到成像平面也就是二维图像上，其中映射关系可以用矩阵来表示。

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=M\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中(x，y)^t为摄像机成像平面中的点，(X，Y，Z)^t为三维空间中的点，相较二维图像信息多了一个深度信息Z。矩阵M表示三维信息与二维信息之间的映射关系矩阵。

三维信息与二维信息之间的映射关系矩阵M定义为摄像机参数，M中的各参数由实验和计算确定，求解各参数的过程称为摄像机标定。为求解上述矩阵各元素的变换关系，需建立摄像机的几何成像模型。***模型，又称为线性模型，是目前最简单同时也是最常用的摄像机成像模型。

***模型

在摄像机成像几何模型中，需要涉及如下三个坐标系：

1)图像坐标系：以图像原点建立的以像素为单位的像素坐标系。像素的横坐标u和纵坐标v分别是该像素所在图像中的像素的列数与行数。s_x和s_y分别表示数字图像一个像素的长和宽，也就是物理长度。如确定s_x和s_y就能得到以物理单位(如毫米)表示的图像坐标系。图1的***模型中，x_sc_sy_s坐标系即为图像坐标系，图像坐标系所在的平面称为成像平面。点p是成像平面上的一个像素点。

2)摄像机坐标系：与图像坐标系不同的是，摄像机坐标系是三维坐标系。原点为摄像机光心，z_c轴为摄像机光轴，与成像平面垂直，x_c与y_c轴分别与图像坐标系的横纵坐标轴平行。摄像机坐标只表示摄像机内部的坐标关系，所以与摄像机位置无关。图1中，O_cx_cy_cz_c坐标系为摄像机坐标系。点p_c为三维空间中一个点，其成像点在成像平面上为点p。

3)世界坐标系：由于摄像机坐标系只能描述摄像机内部的坐标关系，所以还需要引入一个表示摄像机位置的坐标系，也就是世界坐标系。世界坐标系的选取一般都是为了计算或者表示方便，所以并不是固定的。在双目或者多目重建时，选择其中一个摄像机坐标系为世界坐标系，也选择参照物建立世界坐标系。世界坐标系是一个三维坐标系，其原点为O_w，坐标轴分别为x_w，y_w，z_w。

以像素为单位图像坐标系中的坐标(u，v)^T是像素点坐标，单位是像素，而不是物理长度坐标。使用的时候需要物理长度坐标(x_s，y_s)^T，那么采用公式(2)计算。

$u=\frac{x_s}{s_x}+u_0,v=\frac{y_s}{s_y}+v_0---\left(1\right)$

其中，u₀和v₀是图像中心偏移量。因为以像素为单位的图像坐标系原点一般是图像的左上角，而以物理长度为单位的图像坐标系时，一般以成像平面与光轴交点作为原点，这个交点的坐标为(u₀，v₀)^t，所以可以用u₀和v₀作为偏移量给出。公式(1)用齐次坐标形式写出如下：

$\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{s_x}& 0& u_0\\ 0& \frac{1}{s_y}& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_s\\ y_s\\ 1\end{array}\right]---\left(2\right)$

另外根据相似三角形原理，得到在摄像机坐标系下，成像点所对应的空间点坐标与图像坐标系坐标变换关系：

$\frac{1}{z_c}\left[\begin{array}{c}{x}_c\\ y_c\\ z_c\end{array}\right]=\frac{1}{f}\left[\begin{array}{c}{x}_s\\ y_s\\ 1\end{array}\right]---\left(3\right)$

其中f为摄像机焦长度，即光心O_c到成像平面x_sc_sy_s的距离。根据公式(1)，将公式(3)用齐次坐标表示如下：

$z_c\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{s_x}& 0& u_0\\ 0& \frac{1}{s_y}& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}f& 0& 0& 0\\ 0& f& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_c\\ y_c\\ z_c\\ 1\end{array}\right]---\left(4\right)$

摄像机坐标系与世界坐标系都是采用物理长度单位，两者之间的变换关系可以用旋转矩阵R和向量t来描述。世界坐标系空间中一点P的坐标为(x_w，y_w，z_w，1)^T，在摄像机坐标系下的坐标为(x_c，y_c，z_c，1)^T，那么则有如下关系：

$\left[\begin{array}{c}{x}_c\\ y_c\\ z_c\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0^T& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_w\\ y_w\\ z_w\\ 1\end{array}\right]---\left(5\right)$

其中，旋转矩阵R是3×3的正交单位矩阵，t是3×1的平移向量，O是1×3的零向量。

根据公式(4)和(5)推导出从世界坐标系中坐标点对应的图像坐标系中坐标关系：

$\begin{array}{c}{z}_c\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{s_x}& 0& u_0\\ 0& \frac{1}{s_y}& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}f& 0& 0& 0\\ 0& f& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0^T& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_w\\ y_w\\ z_w\\ 1\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\α}}_x& 0& u_0& 0\\ 0& {\mathrm{\α}}_y& v_0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0^T& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_w\\ y_w\\ z_w\\ 1\end{array}\right]=M_I{M}_{E}X=MX\end{array}---\left(6\right)$

其中，α_x＝f/s_x，α_y＝f/s_y，M是3×4矩阵，称为投影矩阵；由上式可以看出M_I完全由α_x、α_y、u₀、v₀决定，上述参数只与摄像机内部结构有关，而与摄像机位置姿态外部因素无关，因此称之为内部参数，简称内参；M_E完全由摄像机相对于世界坐标系的位置姿态决定，因此称为摄像机的外部参数，简称外参。摄像机标定就是确定摄像机的内外参数的过程。

摄像机标定

摄像机标定是三维重建的第一步，通过摄像机标定得到摄像机内外参数以及镜头畸变参数。标定过程非常重要，如果标定得到的结果不够精确，后面的重建会受很大影响。通用的标定方法有DLT方法、Tsai定标方法、张正友标定法。张正友标定法，又称棋盘格标定法，是目前领域内广泛认可并采用的标定方法。标定的过程需要对一个已知尺寸参数的棋盘格平面进行多角度拍照，利用得到的多幅图像求解摄像机参数，如图3所示。

令u＝(u，v，1)^T，X＝(x_w，y_w，z_w，1)^T，对式(6)进行以下改写：

$z_{c}u=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\α}}_x& 0& u_0\\ 0& {\mathrm{\α}}_y& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}R& t\end{array}\right]X=A\left[\begin{array}{cc}R& t\end{array}\right]X---\left(7\right)$

其中A是3×3矩阵，即摄像机的内参数矩阵。[R t]是3×4矩阵，即摄像机的外参数矩阵，包括平移向量(3×1矩阵)和旋转矩阵(3×3矩阵)。公式简化如下：

z_cu＝HX (8)

其中H＝A[r₁ r₂ t]，为3×3矩阵。这是因为所用的棋盘格为平面，选取世界坐标系z_w＝0，旋转向量就只剩下r₁和r₂两个列向量。H称为单应性矩阵，该矩阵表示三维空间中在一个平面上的点和摄像机成像平面上点之间的变换关系。成像平面上的像点选取棋盘格的内部角点，其坐标通过图像处理的方式得到，三维空间点坐标根据棋盘格尺寸参数确定。这样，每张图片对应一个单应矩阵。

把单应矩阵用三个列向量形式表示，并且为了更具有普适性，加入尺度缩放因子，则有：

H＝[h₁ h₂ h₃]＝λA[r₁ r₂ t] (9)

其中λ就是加入的尺度缩放因子。由于R是旋转矩阵，是单位正交矩阵，因此r₁和r₂是相互正交的。A是摄像机内参数矩阵，是可逆的，有：

$h_1^T{A}^{-T}{A}^{-1}{h}_2=0---\left(10\right)$

$h_1^T{A}^{-T}{A}^{-1}{h}_1=h_2^T{A}^{-T}{A}^{-1}{h}_2---\left(11\right)$

令：

$B=A^{-T}{A}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{B}_{11}& B_{12}& B_{13}\\ B_{21}& B_{22}& B_{23}\\ B_{31}& B_{32}& B_{33}\end{array}\right]---\left(12\right)$

因为B矩阵是一个对称矩阵，所以又用一个6维向量来表示：

b＝(B₁₁，B₁₂，B₂₂，B₁₃，B₂₃，B₃₃)^T (13)

令H矩阵的第i列向量为：

h_i＝(h_i1，h_i2，h_i3)^T (14)

则有：

$h_i^T{\mathrm{Bh}}_j=v_{ij}^{T}b---\left(15\right)$

其中：

v_ij＝[h_i1h_j1，h_i1h_j2+h_i2h_j1，h_i2h_j2，h_i3h_j1+h_i1h_j3，h_i3h_j2+h_i2h_j3，h_i3h_j3]^T (16)

最后，根据内参数限制条件(10)、(11)得：

$\left[\begin{array}{c}{v}_{12}^T\\ {\left(v_{11}-v_{22}\right)}^T\end{array}\right]b=0---\left(17\right)$

内参数限制条件中的h₁和h₂通过单应矩阵求得。单应矩阵H为3×3矩阵，共有9个参数，其中一个是尺度因子，只需要求解8个参数。每个视场对应一个单应矩阵，只需要提供四个角点信息即可求解，每个角点的x和y坐标提供一个方程。可见，每张照片对应两个方程组，摄像机内参数共有5个未知数，只要提供多于3张照片即可求得。当标定拍照图像较多时，采用列文伯格-马夸尔特迭代算法进行优化求解。

当求解出b向量后，根据(10)反求解出摄像机内参数矩阵A。

当求解出矩阵A后，进而计算出摄像机的外参数：

$\begin{array}{c}{r}_1={\mathrm{\λA}}^{-1}{h}_1\\ r_2={\mathrm{\λA}}^{-1}{h}_2\\ r_3=r_1\×r_2\\ t={\mathrm{\λA}}^{-1}{h}_3\end{array}---\left(18\right)$

通过上面的过程，就可以求解出摄像机的内外参数，进一步就可以求出畸变参数。

附图说明

图1***模型

图2图像坐标系

图3标定所用的棋盘格

图4平面标定***组成

图5平面标定技术路线图

图6整体流程图

具体实施方式

如图4-6所示，基于平面图形的三维空间标定***主要由以下几部分构成：自制的平面标定板、摄像机(至少两台)、标定软件和笔记本电脑。

第一步，用左右两台不同方位的摄像机对标定物及被标定物拍摄并获取图像；第二步，对左右两台摄像机获取的图像进行处理后，从中对特征点进行提取和匹配，进而获得摄像机的内部参数和外部参数；第三步，利用两种方法的测量原理，通过特征点及摄像机的内外参数，计算得到被标定物位于三维空间的信息。

平面棋盘格标定

摄像机摆放位置及摄像机参数设置与传统方法中相同，分别对标准一米板、平面棋盘格标定板进行拍摄，拍摄时先分别通过左右两台摄像机单独拍摄若干张置于图像中心的棋盘格标定板不同角度的图像，之后再通过左右两机同时拍摄若干张棋盘格标定板不同角度的图像和在空间范围内不同位置移动的标准一米板的图像，对拍摄后的图像进行图像处理，通过自编***自动提取图像特征点并与标定板特征点进行匹配，***自动求出左右摄像机内参数与外参数，得到相应的参数文件之后进行双目标定，得出棋盘格标定板每个格子的长度与标准长度的差值以及重建长度的分布数据，利用软件得到左右两台摄像机拍摄画面的标准一米板四个端点A、B、C、D所对应的二维投影坐标信息后，可由***重建得到一米板四个端点A、B、C、D的三维坐标值，从而通过计算可以得到AB、CD之间的三维重建距离。

在五米、十米以及三十米的拍摄距离下，对传统标定方法和平面棋盘格标定方法进行了对比实验，通过对标准一米板进行标定重建，对其重建的结果进行精度误差比较。

实验测量距离在五米、十米及三十米时，对一米板用三维立体框架及平面棋盘格标定板两种标定物分别标定，选取对一米板标定后的实际测量值与标准值绝对误差进行组间差异分析。如下表1所示，对两种标定物测量得到的多组重建结果的平均值比较。

表1两种标定物三种拍摄距离下测量值与标准值绝对误差的组间差异

注：N为拍摄组数，绝对误差均值、标准差单位为mm

使用独立样本T检验，比较三维立体框架和平面棋盘格两种不同标定物对一米板测量值与标准值绝对误差的差异。结果表明，平面棋盘格标定相比三维立体框架的测试结果误差更小，检验结果显示具有非常显著性差异(P<0.01)，即在三种拍摄距离下标定，使用平面棋盘格标定法比使用传统三维立体框架标定法的精度更高，相对误差更小。

Claims (2)

1.一种用于体育比赛测量中的平板标定***，其特征在于：

本***采用平面图形标定法；平面标定法就是利用多个成像平面对目标的位置进行分析，选择合适的成像平面对目标进行位置的确定；每个平面的成像都是不同的，由于每个平面的成像都是在运动的，所以需要在摄像机与目标之间的平面内找到某几个点，来分析目标与摄像机之间的成像规律，然后根据这一规律对目标进行标定；由于对物体的标定会受到这些点的影响，随着目标的不断运动，摄像机与目标之间平面内的点就会越来越多，因而物体标定的准确度也就越来越高，从而为摄像机标定提供了可靠的信息支持，并会减少摄像机标定的成本，提高了标定的效率；相比三维立体标定法，平面标定的精确度更高，标定所用的时间相对较短，长时间使用后不会发生形变，而且携带方便，成本较低，所以平面标定法在体育测量研究领域中值得推广；

摄像机模型

三维重建的过程需要通过摄像机获取数据，因此需要先了解清楚摄像机的工作原理；

通过摄像机，三维空间中的点能够映射到成像平面也就是二维图像上，其中映射关系可以用矩阵来表示；

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=M\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中(x，y)^t为摄像机成像平面中的点，(X，Y，Z)^t为三维空间中的点，相较二维图像信息多了一个深度信息Z；矩阵M表示三维信息与二维信息之间的映射关系矩阵；

三维信息与二维信息之间的映射关系矩阵M定义为摄像机参数，M中的各参数由实验和计算确定，求解各参数的过程称为摄像机标定；为求解上述矩阵各元素的变换关系，需建立摄像机的几何成像模型；***模型，又称为线性模型，是目前最简单同时也是最常用的摄像机成像模型；

***模型

在摄像机成像几何模型中，需要涉及如下三个坐标系：

1)图像坐标系：以图像原点建立的以像素为单位的像素坐标系；像素的横坐标u和纵坐标v分别是该像素所在图像中的像素的列数与行数；s_x和s_y分别表示数字图像一个像素的长和宽，也就是物理长度；如确定s_x和s_y就能得到以物理单位表示的图像坐标系；***模型中，x_sc_sy_s坐标系即为图像坐标系，图像坐标系所在的平面称为成像平面；点p是成像平面上的一个像素点；

2)摄像机坐标系：与图像坐标系不同的是，摄像机坐标系是三维坐标系；原点为摄像机光心，z_c轴为摄像机光轴，与成像平面垂直，x_c与y_c轴分别与图像坐标系的横纵坐标轴平行；摄像机坐标只表示摄像机内部的坐标关系，所以与摄像机位置无关；O_cx_cy_cz_c坐标系为摄像机坐标系；点p_c为三维空间中一个点，其成像点在成像平面上为点p；

3)世界坐标系：由于摄像机坐标系只能描述摄像机内部的坐标关系，所以还需要引入一个表示摄像机位置的坐标系，也就是世界坐标系；世界坐标系的选取一般都是为了计算或者表示方便，所以并不是固定的；在双目或者多目重建时，选择其中一个摄像机坐标系为世界坐标系，也选择参照物建立世界坐标系；世界坐标系是一个三维坐标系，其原点为O_w，坐标轴分别为x_w，y_w，z_w；

以像素为单位图像坐标系中的坐标(u，v)^T是像素点坐标，单位是像素，而不是物理长度坐标；使用的时候需要物理长度坐标(x_s，y_s)^T，那么采用公式(2)计算；

$u=\frac{x_s}{s_x}+u_0,v=\frac{y_s}{s_y}+v_0---\left(1\right)$

其中，u₀和v₀是图像中心偏移量；因为以像素为单位的图像坐标系原点一般是图像的左上角，而以物理长度为单位的图像坐标系时，一般以成像平面与光轴交点作为原点，这个交点的坐标为(u₀，v₀)^t，所以可以用u₀和v₀作为偏移量给出；公式(1)用齐次坐标形式写出如下：

$\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{s_x}& 0& u_0\\ 0& \frac{1}{s_y}& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_s\\ y_s\\ 1\end{array}\right]---\left(2\right)$

另外根据相似三角形原理，得到在摄像机坐标系下，成像点所对应的空间点坐标与图像坐标系坐标变换关系：

$\frac{1}{z_c}\left[\begin{array}{c}{x}_c\\ y_c\\ z_c\end{array}\right]=\frac{1}{f}\left[\begin{array}{c}{x}_s\\ y_s\\ 1\end{array}\right]---\left(3\right)$

其中f为摄像机焦长度，即光心O_c到成像平面x_sc_sy_s的距离；根据公式(1)，将公式(3)用齐次坐标表示如下：

$z_c\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{s_x}& 0& u_0\\ 0& \frac{1}{s_y}& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}f& 0& 0& 0\\ 0& f& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_c\\ y_c\\ z_c\\ 1\end{array}\right]---\left(4\right)$

摄像机坐标系与世界坐标系都是采用物理长度单位，两者之间的变换关系可以用旋转矩阵R和向量t来描述；世界坐标系空间中一点P的坐标为(x_w，y_w，z_w，1)^T，在摄像机坐标系下的坐标为(x_c，y_c，z_c，1)^T，那么则有如下关系：

$\left[\begin{array}{c}{x}_c\\ y_c\\ z_c\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0^T& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_w\\ y_w\\ z_w\\ 1\end{array}\right]---\left(5\right)$

其中，旋转矩阵R是3×3的正交单位矩阵，t是3×1的平移向量，O是1×3的零向量；

根据公式(4)和(5)推导出从世界坐标系中坐标点对应的图像坐标系中坐标关系：

$\begin{array}{c}{z}_c\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{s_x}& 0& u_0\\ 0& \frac{1}{s_y}& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}f& 0& 0& 0\\ 0& f& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0^T& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_w\\ y_w\\ z_w\\ 1\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&alpha;}}_x& 0& u_0& 0\\ 0& {\mathrm{\&alpha;}}_y& v_0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0^T& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_w\\ y_w\\ z_w\\ 1\end{array}\right]=M_I{M}_{E}X=MX\end{array}---\left(6\right)$

其中，α_x＝f/s_x，α_y＝f/s_y，M是3×4矩阵，称为投影矩阵；由上式可以看出M_I完全由α_x、α_y、u₀、v₀决定，上述参数只与摄像机内部结构有关，而与摄像机位置姿态外部因素无关，因此称之为内部参数，简称内参；M_E完全由摄像机相对于世界坐标系的位置姿态决定，因此称为摄像机的外部参数，简称外参；摄像机标定就是确定摄像机的内外参数的过程；

摄像机标定

摄像机标定是三维重建的第一步，通过摄像机标定得到摄像机内外参数以及镜头畸变参数；标定过程非常重要，如果标定得到的结果不够精确，后面的重建会受很大影响；通用的标定方法有DLT方法、Tsai定标方法、张正友标定法；张正友标定法，又称棋盘格标定法，是目前领域内广泛认可并采用的标定方法；标定的过程需要对一个已知尺寸参数的棋盘格平面进行多角度拍照，利用得到的多幅图像求解摄像机参数；

令u＝(u，v，1)^T，X＝(x_w，y_w，z_w，1)^T，对式(6)进行以下改写：

$z_{c}u=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\&alpha;}}_x& 0& u_0\\ 0& {\mathrm{\&alpha;}}_y& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\&lsqb;\begin{array}{cc}R& t\end{array}\&rsqb;X=A\&lsqb;\begin{array}{cc}R& t\end{array}\&rsqb;X---\left(7\right)$

其中A是3×3矩阵，即摄像机的内参数矩阵；[R t]是3×4矩阵，即摄像机的外参数矩阵，包括平移向量(3×1矩阵)和旋转矩阵(3×3矩阵)；公式简化如下：

z_cu＝HX (8)

其中H＝A[r₁ r₂ t]，为3×3矩阵；这是因为所用的棋盘格为平面，选取世界坐标系z_w＝0，旋转向量就只剩下r₁和r₂两个列向量；H称为单应性矩阵，该矩阵表示三维空间中在一个平面上的点和摄像机成像平面上点之间的变换关系；成像平面上的像点选取棋盘格的内部角点，其坐标通过图像处理的方式得到，三维空间点坐标根据棋盘格尺寸参数确定；这样，每张图片对应一个单应矩阵；

把单应矩阵用三个列向量形式表示，并且为了更具有普适性，加入尺度缩放因子，则有：

H＝[h₁ h₂ h₃]＝λA[r₁ r₂ t] (9)

其中λ就是加入的尺度缩放因子；由于R是旋转矩阵，是单位正交矩阵，因此r₁和r₂是相互正交的；A是摄像机内参数矩阵，是可逆的，有：

$h_1^T{A}^{-T}{A}^{-1}{h}_2=0---\left(10\right)$

$h_1^T{A}^{-T}{A}^{-1}{h}_1=h_2^T{A}^{-T}{A}^{-1}{h}_2---\left(11\right)$

令：

$B=A^{-T}{A}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{B}_{11}& B_{12}& B_{13}\\ B_{21}& B_{22}& B_{23}\\ B_{31}& B_{32}& B_{33}\end{array}\right]---\left(12\right)$

因为B矩阵是一个对称矩阵，所以又用一个6维向量来表示：

b＝(B₁₁，B₁₂，B₂₂，B₁₃，B₂₃，B₃₃)^T (13)

令H矩阵的第i列向量为：

h_i＝(h_i1，h_i2，h_i3)^T (14)

则有：

$h_i^T{\mathrm{Bh}}_j=v_{ij}^{T}b---\left(15\right)$

其中：

v_ij＝[h_i1h_j1，h_i1h_j2+h_i2h_j1，h_i2h_j2，h_i3h_j1+h_i1h_j3，h_i3h_j2+h_i2h_j3，h_i3h_j3]^T (16)

最后，根据内参数限制条件(10)、(11)得：

$\left[\begin{array}{c}{v}_{12}^T\\ {(v_{11}-v_{22})}^T\end{array}\right]b=0---\left(17\right)$

内参数限制条件中的h₁和h₂通过单应矩阵求得；单应矩阵H为3×3矩阵，共有9个参数，其中一个是尺度因子，只需要求解8个参数；每个视场对应一个单应矩阵，只需要提供四个角点信息即可求解，每个角点的x和y坐标提供一个方程；可见，每张照片对应两个方程组，摄像机内参数共有5个未知数，只要提供多于3张照片即可求得；当标定拍照图像较多时，采用列文伯格-马夸尔特迭代算法进行优化求解；

当求解出b向量后，根据(10)反求解出摄像机内参数矩阵A；

当求解出矩阵A后，进而计算出摄像机的外参数：

$\begin{array}{c}{r}_1={\mathrm{\&lambda;A}}^{-1}{h}_1\\ r_2={\mathrm{\&lambda;A}}^{-1}{h}_2\\ r_3=r_1\&times;r_2\\ t={\mathrm{\&lambda;A}}^{-1}{h}_3\end{array}---\left(18\right)$

通过上面的过程，就可以求解出摄像机的内外参数，进一步就可以求出畸变参数。

2.根据权利要求1所述的一种用于体育比赛测量中的平板标定***，其特征在于：基于平面图形的三维空间标定***主要由以下几部分构成：自制的平面标定板、摄像机、标定软件和笔记本电脑；

第一步，用左右两台不同方位的摄像机对标定物及被标定物拍摄并获取图像；第二步，对左右两台摄像机获取的图像进行处理后，从中对特征点进行提取和匹配，进而获得摄像机的内部参数和外部参数；第三步，利用两种方法的测量原理，通过特征点及摄像机的内外参数，计算得到被标定物位于三维空间的信息；

平面棋盘格标定

摄像机摆放位置及摄像机参数设置与传统方法中相同，分别对标准一米板、平面棋盘格标定板进行拍摄，拍摄时先分别通过左右两台摄像机单独拍摄若干张置于图像中心的棋盘格标定板不同角度的图像，之后再通过左右两机同时拍摄若干张棋盘格标定板不同角度的图像和在空间范围内不同位置移动的标准一米板的图像，对拍摄后的图像进行图像处理，通过自编***自动提取图像特征点并与标定板特征点进行匹配，***自动求出左右摄像机内参数与外参数，得到相应的参数文件之后进行双目标定，得出棋盘格标定板每个格子的长度与标准长度的差值以及重建长度的分布数据，利用软件得到左右两台摄像机拍摄画面的标准一米板四个端点A、B、C、D所对应的二维投影坐标信息后，可由***重建得到一米板四个端点A、B、C、D的三维坐标值，从而通过计算可以得到AB、CD之间的三维重建距离；

在五米、十米以及三十米的拍摄距离下，对传统标定方法和平面棋盘格标定方法进行了对比实验，通过对标准一米板进行标定重建，对其重建的结果进行精度误差比较。