CN106092015A - 一种轨道表面凹陷长度检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种轨道表面凹陷长度检测方法，首先根据传感器采集到的振动信号构造包括直线、三角形和半圆在内的结构元素，对信号进行自适应形态滤波，对滤波后的轴箱垂向振动信号进行改进的频率切片小波变换，绘制信号时频图和时频幅值图，然后确定振动信号异常的目标区间，分离重构目标区间，并对目标区间信号进行频率切片小波变换，获得细化时频信息，获得幅值最大时对应的故障特征频率，根据列车速度和故障特征频率，估算轨道表面凹陷长度。本发明无需预先设定滤波频带，具有更好的时频分辨特性，能为轨道检测提供技术支持。

Description

一种轨道表面凹陷长度检测方法

技术领域

本发明属于交通安全工程技术领域，特别是一种轨道表面凹陷长度检测方法。

背景技术

众多大中型城市首选轨道交通列车作为公共交通，其运营准时、方便快捷、容量大，能够承担大中型城市的客流输送服务。随着近年来经济飞速发展以及中央政府的大力支持，我国线路长度、列车数量、客流数量等大幅增长，轨道交通建设规模不断扩大，我国已成为世界最大的城市轨道交通建设市场之一。轨道是城轨交通运输的重要组成部分，在日常列车运营过程中，随着列车轮对的反复压迫和冲击，轨道将出现垂向和横向的动态形变和永久形变，使得轨道出现各种安全隐患，严重威胁列车的运营安全性以及乘客的舒适性，因此轨道的检查和维护一直是城轨交通的重点工作之一。列车运营过程中，轨道存在不平顺情况是引起列车异常振动的首要原因，轨道不平顺对列车的振动影响情况与其波长有关，长波不平顺将引起乘客不适，降低运营公司的运营水平，而短波不平顺将引起轮轨作用力激增，使得列车振动加剧，降低列车零部件寿命，严重情况下将使轨道磨损，危及行车安全。

因此如何及时有效的对轨道状况进行检测，引起轨道交通行业专家的广泛关注。“Real J I,Montalbán L,Real T,et al.808.Development of a system to obtainvertical track geometry measuring axle-box accelerations from in-servicetrains[J].Journal of Vibroengineering,2012,14(2)”采用二次积分、高通滤波和相位补偿等技术剔除车轮踏面故障、噪声干扰等无效信号，实现轨道垂向不平顺的监测。“丁建明,林建辉,王晗,等.轨道局部缺陷动态检测冲击特征定位比较法[J].振动与冲击,2014,33(6):113-117”采用现代频率切片小波变换对轨道表面凹陷引起的前后轮振动特性进行时频特征分析，进而判断轨道局部是否存在缺陷，并采用动力学仿真模型进行验证。以上技术对于轨道不平顺进行了定性的研究，并未对于轨道缺陷进行定量的分析，从而造成对轨道行车安全评估不准确。

发明内容

本发明的目的在于提供一种简便高、精确可靠的轨道表面凹陷长度检测方法。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种轨道表面凹陷长度检测方法包括以下步骤：

步骤1，根据传感器采集到的振动信号构造包括直线、三角形和半圆在内的结构元素；

步骤2，根据特征频率强度系数选择特征频率强度系数高的元素，对信号进行自适应形态滤波，消除噪声等干扰；

步骤3，对滤波后的轴箱垂向振动信号进行改进的频率切片小波变换，绘制信号时频图和时频幅值图；

步骤4，根据信号在时频图和时频幅值图中的能量分布特征及规律，确定振动信号异常的目标区间，即能量分布集中以及幅值陡变的区间；

步骤5，分离重构目标区间，如果切片区间难以确定，说明干扰噪声较大，需要进一步对信号进行自适应形态滤波；

步骤6，对目标区间信号进行频率切片小波变换，获得细化时频信息，获得幅值最大时对应的故障特征频率；

步骤7，根据列车速度和故障特征频率，估算轨道表面凹陷长度。

本发明与现有技术相比，其显著优点：(1)将自适应形态滤波加入到振动信号的滤波处理中来，无需预先设定滤波频带。(2)利用改进的频率切片小波变换对信号进行分析，具有更好的时频分辨特性。(3)检测轨道凹陷精度满足现场工程需求，能为轨道检测提供技术支持。

下面结合附图对本发明作进一步详细描述。

附图说明

图1为本发明轨道表面凹陷长度检测方法流程图。

图2为列车集总参数简化模型。

图3为地铁轴箱实测振动信号。

图4中(a)开运算下不同结构元素的频率强度系数，(b)闭运算下不同结构元素的频率强度系数，(c)开闭运算下不同结构元素的频率强度系数，(d)闭开运算下不同结构元素的频率强度系数。

图5为滤波后轴箱实测振动信号。

图6为改进的小波变换后轴箱实测振动信号时频图。

图7中第一幅为目标区域a重构信号，第二幅为目标区域b重构信号，第三幅为目标区域a和b重构信号的合成图。

图8中(a)为目标区域a的细化频谱，(b)为目标区域a的时频幅值图。

图9中(b)为目标区域b的细化频谱，(b)为目标区域b的时频幅值图。

具体实施方式

结合图1，本发明轨道表面凹陷长度检测方法，包括以下步骤：

步骤1，根据传感器采集到的振动信号构造包括直线、三角形和半圆在内的结构元素。

所述的结构元素构造具体过程如下：

首先，设信号x＝{x_i|i＝1,2,…,N}的局部极大值序列和局部极小值序列分别为LB＝{LB_i|i＝1,2,…,N_LB}和LS＝{LS_i|i＝1,2,…,N_LS}，其中N_LB表示局部极大值个数，N_LS表示局部极小值个数，x_i为信号中第i个元素，N为信号中元素的总个数，LB_i为局部极大值序列中第i个局部极大值，LS_i为局部极小值序列中第i个局部极小值；

局部极大值序列和局部极小值序列的相邻间隔表述为：

AM_P＝{am_Pi＝LB_i+1-LB_i|i＝1,2,…,N_LB-1} (1)

${\mathrm{AM}}_N=\{{{\mathrm{am}}_N}_i={\mathrm{LS}}_{i+1}-{\mathrm{LS}}_i|i=\mathrm{1,2},...,N_{\mathrm{LS}}-1\}---\left(2\right)$

其中，为第i+1个局部极大值和第i个局部极大值之间的间隔大小，第i+1个局部极大值和第i个局部极大值之间的间隔大小；

其次，考虑直线、三角形、半圆形结构元素的特点，构造数学形态滤波器相应结构元素尺度L_S的最大值和最小值分别为：

$L_{s\max }=\mathrm{ceil}\left(\max \left(\right[\max \left({{\mathrm{am}}_P}_i\right)+1]/2,[\max \left({{\mathrm{am}}_N}_i\right)-1]/2)\right)---\left(3\right)$

$L_{s\max }=\mathrm{fix}\left(\min \left(\right[\min \left({{\mathrm{am}}_P}_i\right)-1]/2,[\max \left({{\mathrm{am}}_N}_i\right)-1]/2)\right)---\left(4\right)$

式中，ceil表示向上取整计算；fix表示向零靠拢取整；

由式(3)和式(4)可得，结构元素的长度尺度序列L_S为：

L_s＝{L_smin,L_smin+1,L,L_smax-1,L_smax}(5)

则相应数学形态滤波器结构元素高度尺度的最大值H_max：

H_max＝max(max(AM_P),max(AM_N))(6)

那么，结构元素序列公式保证结构元素长度尺度与高度尺度值保持一致：

$H_j=H_{max}\left(\frac{j}{L_{smax}-L_{s\min }}\right),j=1,2,...,L_{smax}-L_{s\min }---\left(7\right)$

最后，在已知直线型、三角型、半圆型结构元素集长度和高度的前提下，分别构造如下结构集：

直线结构集：

G₁(N)＝{zeros(2L_smin+1),zeros(2(L_smin+1)+1),L,zeros(2L_smax+1)}

(8)

三角结构集：

$G_2\left(N\right)=\left\{g\right|g\left(n\right)=H_j\×\[1-\frac{\left|n\right|}{L_s}\]\}---\left(9\right)$

半圆结构集：

$G_3\left(N\right)=\left\{g\right|g\left(n\right)=H_j\×\[\sqrt{1-{\left(\frac{n}{L_s}\right)}^2}\]\}---\left(10\right)$

式中，n＝-L_s…0，…，L_s，j＝1,2,…L_smax-L_smin,L_s＝L_smin,…,L_smax。

步骤2，根据特征频率强度系数选择特征频率强度系数高的元素，对信号进行自适应形态滤波，消除噪声等干扰。

所述的自适应形态滤波过程如下：采用特征频率强度系数量化各结构元素对列车轴箱垂向振动信号的处理能力，特征频率强度系数越大，特征频率越明显，与之相应的模式出现的概率就越高，该特征频率强度系数表达式如式(11)所示，其定义为频谱中特征频率各倍频幅值与频率幅值总和的比值：

$Cf=\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}{\mathrm{FC}}_i/\underset{j=1}{\overset{N-1}{\Σ}}{F}_j---\left(11\right)$

式中，FC_i(i＝1,2,3)表示频谱中特征频率各倍频幅值，F_j(j＝1,2,…,N-1)表示频率幅值；

在不同尺度结构元素作用下，特征频率强度系数具有不同的幅值大小，按照幅值大小进行排序选择最优的结构元素，进而按照式(12)组合最优滤波器；

如果选取不同尺度的结构元素进行组合，将构成广义形态滤波器：

$y\left(n\right)=\frac{1}{2}\·\[F_{Goc}\left(f\right(n\left)\right)+F_{Gco}\left(f\right(n\left)\right)\]---\left(12\right)$

其中：

F_Goc(f(n))＝(fog₁·g₂)(n) (13)

F_Gco(f(n))＝(f·g₁οg₂)(n) (14)

式中，f(n)为原始待滤波的信号，g₁(n)和g₂(n)分别为不同的结构元素(直线结构元素、三角形结构元素或者半圆形结构元素)；ο、·分别代表数学形态中的开运算和闭运算。

步骤3，对滤波后的轴箱垂向振动信号进行改进的频率切片小波变换，绘制信号时频图和时频幅值图。所述的改进频率切片小波变换过程如下：

标准高斯函数定义为

$p\left(t\right)=\frac{1}{\mathrm{\α}\sqrt{2\mathrm{\π}}}{e}^{\[-\frac{t^2}{2{\mathrm{\α}}^2}\]}---\left(15\right)$

式中，α为窗口宽度，其值为

$\mathrm{\α}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{1}{\left|\mathrm{\ω}\right|}---\left(16\right)$

式中，ω为频率平移因子；

为了提高FSWT(频率切片小波变换)对不同信号的适应性，针对高斯函数进行改进：

$\mathrm{\α}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{x}{a+b\sqrt{\left|\mathrm{\ω}\right|}}---\left(17\right)$

式中，x，a，b为大于0的常量，且尺度参数x，b调节窗口幅值，而a调节窗口宽度；随着参数x的增加，窗口宽度在时域增加，相应地频率分辨率提高，因而通过调节x获得理想的时频分辨率，故频率切片函数改进为：

$\hat{p}\left(\mathrm{\ω}\right)=e^{\frac{-2x^2{\mathrm{\π}}^2{\mathrm{\ω}}^2}{a+b\sqrt{\mathrm{\ω}}}}---\left(18\right)$

步骤4，根据信号在时频图和时频幅值图中的能量分布特征及规律，确定振动信号异常的目标区间，即能量分布集中以及幅值陡变的区间。

步骤5，分离重构目标区间，如果切片区间难以确定，说明干扰噪声较大，需要进一步对信号进行自适应形态滤波。所述的分离重构目标区间的具体步骤如下：

在信号的时频变换区间内，目标区间通过选择时频切片区间(t₁,t₂,ω₁,ω₂)进行分离重构：

$f_s\left(t\right)=\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_{{\mathrm{\ω}}_1}^{{\mathrm{\ω}}_2}{\∫}_{t1}^{t2}{W}_f(\mathrm{\τ},\mathrm{\ω},\mathrm{\λ},\mathrm{\σ})e^{i\mathrm{\ω}(t-\mathrm{\τ})}d\mathrm{\τ}d\mathrm{\ω}---\left(19\right)$

步骤6，对目标区间信号进行频率切片小波变换，获得细化时频信息，获得幅值最大时对应的故障特征频率。

步骤7，根据列车速度和故障特征频率(如图2)，估算轨道表面凹陷长度。所述根据列车速度和故障特征频率，估算轨道表面凹陷长度的具体步骤如下：

当列车运行速度为V，轮轨的垂向动力学方程可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_1{\stackrel{\·\·}{z}}_1+K_1(z_1-z_2)=0\\ m_2{\stackrel{\·\·}{z}}_2+c_2{\stackrel{\·}{z}}_2+K_2{z}_2-K_1(z_1-z_2)=0\end{array}\right.---\left(20\right)$

当轨道存在不平顺η后，轨道相对于静平衡位置的位移表示为z₂+η，则式(20)转化为：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_1{\stackrel{\·\·}{z}}_1+K_1(z_1-z_2-\mathrm{\η})=0\\ m_1{\stackrel{\·\·}{z}}_2+c_2{\stackrel{\·}{z}}_2+K_2{z}_2-K_1(z_1-z_2-\mathrm{\η})=0\end{array}\right.---\left(21\right)$

轮轨关系的求解转化为对常系数微分方程的求解：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\stackrel{\·\·}{z}}_1}{{{\mathrm{\ω}}_1}^2}+z_1-z_2=\mathrm{\η}\\ \frac{{\stackrel{\·\·}{z}}_2}{{{\mathrm{\ω}}_2}^2}+\frac{c_2}{K_1}{\stackrel{\·}{z}}_2+(\frac{K_2}{K_1}+1)z_2-z_1=-\mathrm{\η}\end{array}\right.---\left(22\right)$

式中， 为轴箱加速度；

谐波型轨道不平顺频率与轴箱加速度频率之间的关系通过研究谐波型轨道不平顺的轮轨动力学方程来求解，谐波型轨道不平顺取输入量为余弦形谐波：

$\mathrm{\η}\left(t\right)=\frac{1}{2}a(1-cos\mathrm{\ω}t)---\left(23\right)$

因此，对式(22)求解可得

${\stackrel{\·\·}{z}}_1=\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}{A}_i{e}^{-p_{i}t}+Bcos(\mathrm{\ω}t+\mathrm{\ψ})---\left(24\right)$

式中，A_i、p_i、B为常数，其值大小由ω₁、ω₂、K₁、K₂等参数共同决定；

从式(24)看出，等式右边第一项是与频率无关的衰减函数，第二项为的稳态值，即轴箱振动加速度的频率与轨道不平顺的频率ω相同，所以当列车以速度v在轨道上正常运行，轨道不平顺波长为λ，则角速度ω＝2πv/λ，轨道不平顺对列车的冲击频率f＝v/λ，轨道特定的缺陷对应着特定的特征频率，若已知列车速度和不平顺波长，则求得特征频率；反之，已知列车速度和故障特征频率，便可求得轨道不平顺波长。

下面结合具体实施例对本发明作进一步详细说明。

实施例

本发明以某地铁公司A型车实测的轴箱垂向振动信号为例，对其分别进行自适应形态滤波预处理和频率切片小波变换，以验证所提方法的工程适应性。该A型车轴箱垂向振动加速度传感器采样频率为20KHz，列车运行速度为10m/s。

图3为采样时间1s内轴箱垂向振动信号的波形图，该信号没有周期性的振动冲击，即说明列车轮对状况良好。为进一步取得信号故障特征信息，需对振动信号进行滤波，降低干扰信号对分析结果的影响。

根据自适应形态滤波器构造原理，首先计算实测振动信号结构元素参数，结构元素的长度尺度序列L为[6，20]，结构元素高度尺度H为[0，0.6826]，对实测轴箱垂向振动信号进行基本的形态运算，以典型轨道表面凹陷频率280Hz作为故障特征频率，求出在直线、三角和半圆三种基本形态运算下的特征频率强度系数数值大小，并按照幅值大小进行排序选择最优的结构元素。图4为在不同算子及结构元素下的频率强度系数图，在不同形态运算下最优结构元素如表1所示。本发明选用长度为16的上三角结构元素和长度为11的下半圆结构元素构成广义形态滤波器对原始信号进行处理。

表1

图5为滤波后轴箱实测振动信号，然后对滤波后的信号进行改进的切片函数进行分析，如图6所示。图6中时频幅值最大的两个目标区域分别为[0.56s，0.63s，262Hz，332Hz]和[0.65s，0.72s，313Hz，369Hz]，根据公式(20)分离目标区域a和b。图7为目标区域的重构信号，可以看出经过频率切片小波变换后，信号重构效果良好，比原始信号更加平滑，振动冲击更加清晰。

图8为目标区域a的细化频谱和时频幅值，图9为目标区域b的细化频谱和时频幅值。目标区域a的幅值峰值对应时间和频率为(0.6029s，282.1Hz)，目标区域b的幅值峰值对应时间和频率为(0.6843s，338.5Hz)，因此可以判断在为0.6029s和0.6843s时，轨道对列车存在一个282.1Hz和338.5Hz的冲击信号，在时域上难以区别的振动异常点，经过频率切片小波变换后可以准确找出振动异常时间点和冲击频率。在10m/s的列车运行速度条件下，轨道表面凹陷长度分别为35.4mm和29.5mm，两者均属于中等轨道表面凹陷，现场实测凹陷长度为34.6和27，说明本发明有一定的工程可靠性。

Claims (6)

1.一种轨道表面凹陷长度检测方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1，根据传感器采集到的振动信号构造包括直线、三角形和半圆在内的结构元素；

步骤2，根据特征频率强度系数选择特征频率强度系数高的元素，对信号进行自适应形态滤波，消除噪声等干扰；

步骤3，对滤波后的轴箱垂向振动信号进行改进的频率切片小波变换，绘制信号时频图和时频幅值图；

步骤4，根据信号在时频图和时频幅值图中的能量分布特征及规律，确定振动信号异常的目标区间，即能量分布集中以及幅值陡变的区间；

步骤5，分离重构目标区间，如果切片区间难以确定，说明干扰噪声较大，需要进一步对信号进行自适应形态滤波；

步骤6，对目标区间信号进行频率切片小波变换，获得细化时频信息，获得幅值最大时对应的故障特征频率；

步骤7，根据列车速度和故障特征频率，估算轨道表面凹陷长度。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于步骤1所述的结构元素构造具体过程如下：

首先，设信号x＝{x_i|i＝1,2,…,N}的局部极大值序列和局部极小值序列分别为LB＝{LB_i|i＝1,2,…,N_LB}和LS＝{LS_i|i＝1,2,…,N_LS}，其中N_LB表示局部极大值个数，N_LS表示局部极小值个数，x_i为信号中第i个元素，N为信号中元素的总个数，LB_i为局部极大值序列中第i个局部极大值，LS_i为局部极小值序列中第i个局部极小值；

局部极大值序列和局部极小值序列的相邻间隔表述为：

${\mathrm{AM}}_P=\{{\mathrm{am}}_{P_i}={\mathrm{LB}}_{i+1}-{\mathrm{LB}}_i|i=\mathrm{1,2},\·\·\·,N_{\mathrm{LB}}-1\}---\left(1\right)$

${\mathrm{AM}}_N=\{{\mathrm{am}}_{N_i}={\mathrm{LS}}_{i+1}-{\mathrm{LS}}_i|i=\mathrm{1,2},\·\·\·,N_{\mathrm{LB}}-1\}---\left(2\right)$

其中，为第i+1个局部极大值和第i个局部极大值之间的间隔大小，第i+1个局部极大值和第i个局部极大值之间的间隔大小；

其次，考虑直线、三角形、半圆形结构元素的特点，构造数学形态滤波器相应结构元素尺度L_S的最大值和最小值分别为：

$L_{s\max }=\mathrm{ceil}\left(\max \left(\right[\max \left({\mathrm{am}}_{P_i}\right)+1]/2,[\max \left({\mathrm{am}}_{N_i}\right)-1]/2)\right)---\left(3\right)$

$L_{s\min }=\mathrm{fix}\left(\min \left(\right[\min \left({\mathrm{am}}_{P_i}\right)-1]/2,[\max \left({\mathrm{am}}_{N_i}\right)-1]/2)\right)---\left(4\right)$

式中，ceil表示向上取整计算；fix表示向零靠拢取整；

由式(3)和式(4)可得，结构元素的长度尺度序列L_S为：

L_s＝{L_smin,L_smin+1,L,L_smax-1,L_smax}(5)

则相应数学形态滤波器结构元素高度尺度的最大值H_max：

H_max＝max(max(AM_P),max(AM_N))(6)

那么，结构元素序列公式保证结构元素长度尺度与高度尺度值保持一致：

$H_j=H_{max}\left(\frac{j}{L_{smax}-L_{s\min }}\right),j=1,2,...,L_{smax}-L_{s\min }---\left(7\right)$

最后，在已知直线型、三角型、半圆型结构元素集长度和高度的前提下，分别构造如下结构集：

直线结构集：

G₁(N)＝{zeros(2L_smin+1),zeros(2(L_smin+1)+1),L,zeros(2L_smax+1)} (8)

三角结构集：

$G_2\left(N\right)=\left\{g\right|g\left(n\right)=H_j\×\[1-\frac{\left|n\right|}{L_s}\]\}---\left(9\right)$

半圆结构集：

$G_3\left(N\right)=\left\{g\right|g\left(n\right)=H_j\×\[\sqrt{1-{\left(\frac{n}{L_s}\right)}^2}\]\}---\left(10\right)$

式中，n＝-L_s…0，…，L_s，j＝1,2,…L_smax-L_smin,L_s＝L_smin,…,L_smax。

3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于步骤2所述的自适应形态滤波过程如下：采用特征频率强度系数量化各结构元素对列车轴箱垂向振动信号的处理能力，特征频率强度系数越大，特征频率越明显，与之相应的模式出现的概率就越高，该特征频率强度系数表达式如式(11)所示，其定义为频谱中特征频率各倍频幅值与频率幅值总和的比值：

$Cf=\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}{\mathrm{FC}}_i/\underset{j=1}{\overset{N-1}{\Σ}}{F}_j---\left(11\right)$

式中，FC_i(i＝1,2,3)表示频谱中特征频率各倍频幅值，F_j(j＝1,2,…,N-1)表示频率幅值；

在不同尺度结构元素作用下，特征频率强度系数具有不同的幅值大小，按照幅值大小进行排序选择最优的结构元素，进而按照式(12)组合最优滤波器；

如果选取不同尺度的结构元素进行组合，将构成广义形态滤波器：

$y\left(n\right)=\frac{1}{2}\·\[F_{Goc}\left(f\right(n\left)\right)+F_{Gco}\left(f\right(n\left)\right)\]---\left(12\right)$

其中：

F_Goc(f(n))＝(fog₁·g₂)(n) (13)

F_Gco(f(n))＝(f·g₁οg₂)(n) (14)

式中，f(n)为原始待滤波的信号，g₁(n)和g₂(n)分别为不同的结构元素(直线结构元素、三角形结构元素或者半圆形结构元素)；ο、·分别代表数学形态中的开运算和闭运算。

4.根据权利要求1所述的方法，其特征在于步骤3所述的改进频率切片小波变换过程如下：

标准高斯函数定义为

$p\left(t\right)=\frac{1}{\mathrm{\α}\sqrt{2\mathrm{\π}}}{e}^{\[-\frac{t^2}{2{\mathrm{\α}}^2}\]}---\left(15\right)$

式中，α为窗口宽度，其值为

$\mathrm{\α}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{1}{\left|\mathrm{\ω}\right|}---\left(16\right)$

式中，ω为频率平移因子；

为了提高FSWT对不同信号的适应性，针对高斯函数进行改进：

$\mathrm{\α}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{x}{a+b\sqrt{\left|\mathrm{\ω}\right|}}---\left(17\right)$

式中，x，a，b为大于0的常量，且尺度参数x，b调节窗口幅值，而a调节窗口宽度；随着参数x的增加，窗口宽度在时域增加，相应地频率分辨率提高，因而通过调节x获得理想的时频分辨率，故频率切片函数改进为：

$\hat{p}\left(\mathrm{\ω}\right)=e^{\frac{-2x^2{\mathrm{\π}}^2{\mathrm{\ω}}^2}{a+b\sqrt{\mathrm{\ω}}}}.---\left(18\right)$

5.根据权利要求1所述的方法，其特征在于步骤5所述的分离重构目标区间的具体步骤如下：

在信号的时频变换区间内，目标区间通过选择时频切片区间(t₁,t₂,ω₁,ω₂)进行分离重构：

$f_s\left(t\right)=\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_{{\mathrm{\ω}}_1}^{{\mathrm{\ω}}_2}{\∫}_{t1}^{t2}{W}_f(\mathrm{\τ},\mathrm{\ω},\mathrm{\λ},\mathrm{\σ})e^{i\mathrm{\ω}(t-\mathrm{\τ})}d\mathrm{\τ}d\mathrm{\ω}.---\left(19\right)$

6.根据权利要求1所述的方法，其特征在于步骤7所述根据列车速度和故障特征频率，估算轨道表面凹陷长度的具体步骤如下：

当列车运行速度为V，轮轨的垂向动力学方程可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_1{\stackrel{\·\·}{z}}_1+K_1(z_1-z_2)=0\\ m_1{\stackrel{\·\·}{z}}_2+c_2{\stackrel{\·}{z}}_2+K_2{z}_2-K_1(z_1-z_2)=0\end{array}\right.---\left(20\right)$

当轨道存在不平顺η后，轨道相对于静平衡位置的位移表示为z₂+η，则式(20)转化为：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_1{\stackrel{\·\·}{z}}_1+K_1(z_1-z_2-\mathrm{\η})=0\\ m_1{\stackrel{\·\·}{z}}_2+c_2{\stackrel{\·}{z}}_2+K_2{z}_2-K_1(z_1-z_2-\mathrm{\η})=0\end{array}\right.---\left(21\right)$

轮轨关系的求解转化为对常系数微分方程的求解：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\stackrel{\·\·}{z}}_1}{{{\mathrm{\ω}}_1}^2}+z_1-z_2=\mathrm{\η}\\ \frac{{\stackrel{\·\·}{z}}_2}{{{\mathrm{\ω}}_2}^2}+\frac{c_2}{K_1}{\stackrel{\·}{z}}_2+(\frac{K_2}{K_1}+1)z_2-z_1=-\mathrm{\η}\end{array}\right.---\left(22\right)$

式中， 为轴箱加速度；

谐波型轨道不平顺频率与轴箱加速度频率之间的关系通过研究谐波型轨道不平顺的轮轨动力学方程来求解，谐波型轨道不平顺取输入量为余弦形谐波：

$\mathrm{\η}\left(t\right)=\frac{1}{2}a(1-cos\mathrm{\ω}t)---\left(23\right)$

因此，对式(22)求解可得

${\stackrel{\·\·}{z}}_1=\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}{A}_i{e}^{-p_{i}t}+Bcos(\mathrm{\ω}t+\mathrm{\ψ})---\left(24\right)$

式中，A_i、p_i、B为常数，其值大小由ω₁、ω₂、K₁、K₂等参数共同决定；从式(24)看出，等式右边第一项是与频率无关的衰减函数，第二项为的稳态值，即轴箱振动加速度的频率与轨道不平顺的频率ω相同，所以当列车以速度v在轨道上正常运行，轨道不平顺波长为λ，则角速度ω＝2πv/λ，轨道不平顺对列车的冲击频率f＝v/λ，轨道特定的缺陷对应着特定的特征频率，若已知列车速度和不平顺波长，则求得特征频率；反之，已知列车速度和故障特征频率，便可求得轨道不平顺波长。