CN105987695A - 一种高速旋转弹姿态解算用四区间拉格朗日方法 - Google Patents
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Abstract
本发明具体涉及一种高速旋转弹姿态解算用四区间拉格朗日方法。本发明主要解决计算复杂的问题,具体方法包括下列过程:角速度与四元数的插值基函数表示、数值积分推导过程。本发明方法采用四元数法描述飞行器的旋转运动,解决了参数退化问题,同时还可减少三角函数的计算量,有利于提高运算速度和精度。因此,与现有技术相比,本发明具有计算简单方便等优点。
Description
技术领域
本发明具体涉及一种高速旋转弹姿态解算用四区间拉格朗日方法。
背景技术
在传统的飞行力学中,因为已假定弹体具备飞行稳定性,弹体攻角的幅值很小,所以,飞行器相对于参考系的姿态可通过欧拉(Euler)角来描述的。三个欧拉角分别为俯仰角θ、偏航角ψ、滚转角γ,则这3个欧拉角的变化率与弹体角速度的关系可表示为如下微分方程形式:
但是,这种表达方式不适用于大幅度的姿态运动。因为在某些特殊情况下,个别姿态角不确定,运动学方程出现奇异性。例如当俯仰角θ=90°时,偏航角ψ为不确定,且方程dψ/dt有奇异性。在控制弹道中,因为弹体的攻角可能很大,所以,传统上利用欧拉角的建模方法在精度、稳定性方面已不能满足要求,已不再适用于有控弹道,需要采用新的建模方法[103]。
六参数法、九参数法和四元数法都是解姿态角变化的有效方法。其中,六参数法和九参数法是求解坐标变换的方向余弦,当然,用方向余弦描述飞行器的旋转运动,在任何情况下都不会退化。但无论是六参数法还是九参数法,其参数都不是全部独立的,它们之间要满足以下6个非线性约束方程:
所以,以方向余弦确定动系对定系的位置,只能选定9个参数中的3个为独立参数,而其余6个参数都表示为这3个独立参数的函数。因此,用方向余弦表示刚体旋转运动的方程虽不退化,但参数和联系方程数目较多,计算复杂。
若采用四元数法描述飞行器的旋转运动,不存在参数退化问题,而且,四元数法只有4个参数,1个联系方程,比较简单方便,同时还可减少三角函数的计算量,有利于提高运算速度和精度。
发明内容
本发明的目的是为解决上述现有技术中存在计算复杂的问题,而提供一种高速旋转弹姿态解算用四区间拉格朗日方法。
为解决上述技术问题,本发明所采用的技术方案是:一种高速旋转弹姿态解算用四区间拉格朗日方法,其中:包括下列过程:
1.1角速度与四元数的插值基函数表示
四元数运动微分方程为
或
式中,
q为惯性系至载体系的坐标变换四元数;
ω=[ωx ωy ωz]T,表示刚体角速度在在体系中的分量;
写为矩阵式,有
其中: q=[k0 k1 k2 k3]T
设已知在t0时刻,有姿态四元数q0。Δt为角速度采样时间间隔,设有载体系下测取的角速度序列:
时间 | t0 | t0+Δt | t0+2Δt | t0+3Δt | t0+4Δt |
角速度 | ω0 | ω1 | ω2 | ω3 | ω4 |
姿态四元数 | q0 | q1 | q2 | q3 | q4 |
对载体系下测取的角速度序列ω0~4以及坐标变化四元数序列q0~4均采用Lagrange插值函数拟合,则:
ω(t)=Lωn(t)+Rωn(t)
(1.3)
q(t)=Lqn(t)+Rqn(t)
其中,Lωn(t)、Lqn(t)分别为角速度ω、四元数q的插值基函数,Rqn(t)、Rωn(t)为对应的余项,t=[t0,t4],ti=t0+iΔt
则(5.2-9)式可写为:
其中:Li(t)——ω对应的Lagrange插值基函数;
Lj(t)——q对应的Lagrange插值基函数。
作变换:t=t0+hx,dt=hdx,则有:
t0,x=0
tm,x=m
t=t0+hx
tm=t0+hm=t0+mΔt
h=Δt
1.2数值积分推导过程
根据四元数的增量式描述,tm时刻的四元数可表示为:
其中:q0——t0时刻的坐标变换四元数;
qm——tm时刻的坐标变换四元数;
对于四区间数值积分,令:
其中:
则(1.7)式可进一步描述为:
即:
式(1.10)的矩阵式为
其中,Ω=[Ωx Ωy Ωz]T,
对于(6.2-19)式,m=0时,有q0=q0;m=1,…,4时,有:
将(1.12)写成四元数矩阵形式:
[A][Q]=[B] (1.13)
其中:
展开(1.14)式,有:
用消元法求解四元数方程组,完成消元后:
回代过程:
由此求得了四元数q,q=[q0,q1,q2,q3];
1.3根据四元数计算欧拉角
则各姿态角计算公式如下:
θ=arcsin[2(q1q2+q0q3)] (-90°,90°) (1.17)
当 时:
当 时
ψ=0
由此便得到了三个姿态角:俯仰角θ、偏航角ψ、滚转角γ。
由于本发明方法采用四元数法描述飞行器的旋转运动,解决了参数退化问题,同时还可减少三角函数的计算量,有利于提高运算速度和精度。因此,与现有技术相比,本发明具有计算简单方便等优点。
具体实施方式
本实施例一种高速旋转弹姿态解算用四区间拉格朗日方法,其特征是:包括下列过程:
1.1角速度与四元数的插值基函数表示
四元数运动微分方程为
或
式中,
q为惯性系至载体系的坐标变换四元数;
ω=[ωx ωy ωz]T,表示刚体角速度在在体系中的分量;
写为矩阵式,有
其中: q=[k0 k1 k2 k3]T
设已知在t0时刻,有姿态四元数q0。Δt为角速度采样时间间隔,设有载体系下测取的角速度序列:
时间 | t0 | t0+Δt | t0+2Δt | t0+3Δt | t0+4Δt |
角速度 | ω0 | ω1 | ω2 | ω3 | ω4 |
姿态四元数 | q0 | q1 | q2 | q3 | q4 |
对载体系下测取的角速度序列ω0~4以及坐标变化四元数序列q0~4均采用Lagrange插值函数拟合,则:
ω(t)=Lωn(t)+Rωn(t)
(1.3)
q(t)=Lqn(t)+Rqn(t)
其中,Lωn(t)、Lqn(t)分别为角速度ω、四元数q的插值基函数,Rqn(t)、Rωn(t)为对应的余项,t=[t0,t4],ti=t0+iΔt
则(5.2-9)式可写为:
其中:Li(t)——ω对应的Lagrange插值基函数;
Lj(t)——q对应的Lagrange插值基函数。
作变换:t=t0+hx,dt=hdx,则有:
t0,x=0
tm,x=m
t=t0+hx
tm=t0+hm=t0+mΔt
h=Δt
1.2数值积分推导过程
根据四元数的增量式描述,tm时刻的四元数可表示为:
其中:q0——t0时刻的坐标变换四元数;
qm——tm时刻的坐标变换四元数;
对于四区间数值积分,令:
其中:
则(1.7)式可进一步描述为:
即:
式(1.10)的矩阵式为
其中,Ω=[Ωx Ωy Ωz]T,
对于(6.2-19)式,m=0时,有q0=q0;m=1,…,4时,有:
将(1.12)写成四元数矩阵形式:
[A][Q]=[B] (1.13)
其中:
展开(1.14)式,有:
用消元法求解四元数方程组,完成消元后:
回代过程:
由此求得了四元数q,q=[q0,q1,q2,q3];
1.3根据四元数计算欧拉角
则各姿态角计算公式如下:
θ=arcsin[2(q1q2+q0q3)] (-90°,90°) (1.17)
当 时:
当 时
ψ=0
由此便得到了三个姿态角:俯仰角θ、偏航角ψ、滚转角γ。
Claims (1)
1.一种高速旋转弹姿态解算用四区间拉格朗日方法,其特征是:包括下列过程:
1.1角速度与四元数的插值基函数表示
四元数运动微分方程为
或
式中,
q为惯性系至载体系的坐标变换四元数;
ω=[ωx ωy ωz]T,表示刚体角速度在在体系中的分量;
写为矩阵式,有
其中: q=[k0 k1 k2 k3]T
设已知在t0时刻,有姿态四元数q0。Δt为角速度采样时间间隔,设有载体系下测取的角速度序列:
对载体系下测取的角速度序列ω0~4以及坐标变化四元数序列q0~4均采用Lagrange插值函数拟合,则:
ω(t)=Lωn(t)+Rωn(t)
(1.3)
q(t)=Lqn(t)+Rqn(t)
其中,Lωn(t)、Lqn(t)分别为角速度ω、四元数q的插值基函数,Rqn(t)、Rωn(t)为对应的余项,t=[t0,t4],ti=t0+iΔt
则(5.2-9)式可写为:
其中:Li(t)——ω对应的Lagrange插值基函数;
Lj(t)——q对应的Lagrange插值基函数。
作变换:t=t0+hx,dt=hdx,则有:
t0,x=0
tm,x=m
t=t0+hx
tm=t0+hm=t0+mΔt
h=Δt
1.2数值积分推导过程
根据四元数的增量式描述,tm时刻的四元数可表示为:
其中:q0——t0时刻的坐标变换四元数;
qm——tm时刻的坐标变换四元数;
对于四区间数值积分,令:
其中:
则(1.7)式可进一步描述为:
即:
式(1.10)的矩阵式为
其中,Ω=[Ωx Ωy Ωz]T,
对于(6.2-19)式,m=0时,有q0=q0;m=1,...,4时,有:
将(1.12)写成四元数矩阵形式:
[A] [Q]=[B] (1.13)
其中:
展开(1.14)式,有:
用消元法求解四元数方程组,完成消元后:
回代过程:
由此求得了四元数q,q=[q0,q1,q2,q3];
1.3根据四元数计算欧拉角
则各姿态角计算公式如下:
θ=arcsin[2(q1q2+q0q3)] (-90°,90°) (1.17)
当 时:
当 时
ψ=0
由此便得到了三个姿态角:俯仰角θ、偏航角ψ、滚转角γ。
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CN201510047218.7A Pending CN105987695A (zh) | 2015-01-29 | 2015-01-29 | 一种高速旋转弹姿态解算用四区间拉格朗日方法 |
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CN (1) | CN105987695A (zh) |
Cited By (4)
Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
---|---|---|---|---|
CN107478110A (zh) * | 2017-07-28 | 2017-12-15 | 北京航天控制仪器研究所 | 一种基于状态观测器的旋转弹姿态角计算方法 |
CN107741228A (zh) * | 2017-05-24 | 2018-02-27 | 北京大学 | 一种基于重心拉格朗日插值法的捷联惯导姿态解算方法 |
CN107870563A (zh) * | 2017-08-17 | 2018-04-03 | 北京理工大学 | 一种旋转弹全阶反馈控制器的插值增益调度方法 |
CN113418499A (zh) * | 2021-05-13 | 2021-09-21 | 青岛杰瑞自动化有限公司 | 一种旋转飞行器滚转角解算方法及*** |
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2015
- 2015-01-29 CN CN201510047218.7A patent/CN105987695A/zh active Pending
Cited By (5)
Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
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CN107741228A (zh) * | 2017-05-24 | 2018-02-27 | 北京大学 | 一种基于重心拉格朗日插值法的捷联惯导姿态解算方法 |
CN107478110A (zh) * | 2017-07-28 | 2017-12-15 | 北京航天控制仪器研究所 | 一种基于状态观测器的旋转弹姿态角计算方法 |
CN107478110B (zh) * | 2017-07-28 | 2019-12-20 | 北京航天控制仪器研究所 | 一种基于状态观测器的旋转弹姿态角计算方法 |
CN107870563A (zh) * | 2017-08-17 | 2018-04-03 | 北京理工大学 | 一种旋转弹全阶反馈控制器的插值增益调度方法 |
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Application publication date: 20161005 |